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湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


湖北省武汉二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为() A.﹣2 B . ﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 2. (5 分)直线 l:x+ y﹣4=0 与圆 C:x +y =4 的位置关系是() A.相交过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 3. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 a 为()
2 2

A.20

B.14

C.10

D.7

4. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.5π

5. (5 分)统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年 36 次比赛中的结果如下:甲队平均 每场比赛丢失 1.5 个球,全年比赛丢失球的个数的标准差为 1.2; 乙队全年丢失了 79 个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为 0.6.据此分析: ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球; ④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4

6. (5 分)下列说法正确的个数是() ①平行于同一直线的两条直线平行 ②平行于同一平面的两个平面平行 ③两条平行线中的一条和一个平面平行,则另一条也与这个平面平行 ④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面也平行. A.1 B. 2 C. 3 D.4 7. (5 分)已知圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 与圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的 最大值为() A. B. C. D.2
2 2 2 2

8. (5 分)天气预报说,在今后的三天中,每三天下雨的情况不完全相间,每一天下雨的概率 均为 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:用 1,2,3,4 表 示下雨,从下列随机数表的第 1 行第 2 列开始读取直到末尾从而获得 N 个数据.据此估 计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为() 19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989. A. B. C. D.非 ABC 的结果

9. (5 分)把红、黄、蓝 3 张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人 1 张,事件 A:“甲得红卡” 与事件 B:“乙得红卡”是() A.不可能事件 B. 必然事件 C. 对立事件 D.互斥且不对立事件 10. (5 分)过点 P(3,4)在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条?() A.4 B. 5 C. 6 D.7

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11. (5 分)武汉 2 中近 3 年来,每年有在校学生 2222 人,每年有 22 人考取了北大清华,高 分率稳居前“2”,展望未来 9 年前景美好.把三进制数(22222222)3 化为九进制数的结果为. 12. (5 分)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为. 13. (5 分)已知线性相关的两个变量 x,y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 其线性回归方程为 =bx+a,则 a,b 满足的关系式为.

14. (5 分)某人有 4 把钥匙,其中 2 把能打开门,现随机地取 1 把钥匙试着开门,不能开门 就把钥匙放在旁边,他第二次才能打开门的概率是. 15. (5 分)已知 x,y∈(0,1) ,则 的最小值为.

16. (5 分)在正四面体 S﹣ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为△ ABC 的中心,则异面直线 EF 与 AB 所成的角是. 17. (5 分)已知点 P(x,y)满足(x﹣cosα) +(y﹣sinα) =1,α∈(0,2π],由 P 点组成 的图形的面积为.
2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)如图是调查某地某公司 1000 名员工的月收入后制作的直方图.根据直方图估计: (1)该公司月收入在 1000 元到 1500 元之间的人数; (2)该公司员工的月平均收入; (3)该公司员工收入的众数; (4)该公司员工月收入的中位数.

19. (13 分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数,乙组记录中有 一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示. (Ⅰ)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为 ,求 x 及乙组同学投篮命中次数的方差;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 次的同学中,各随机选取 一名,求这两名同学的投篮命中次数之和为 17 的概率.

20. (13 分)三 棱锥 P﹣DEF 中,顶点 P 在平面 DEF 上的射影为 O. (1)如果 PE=PF=PD,证明 O 是三角形 DEF 的外心(外接圆的圆心) (2)如果 PE=PF=1,PD=2,EF= ,DE=DF= ,证明:O 是三角形 DEF 的垂心(三条高 的交点)

21. (14 分)已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,AC∩BD=O, AA1=2 ,BD⊥A1A,∠BAD=∠A1AC=60°,点 M 是棱 AA1 的中点. (1)求证:A1C∥平面 BMD; (2)求证:A1O⊥平面 ABCD; (3)求三棱锥 B﹣AMD 的体积.

22. (13 分)已知圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣4=0. (1)写出圆 C 的标准方程,并指出圆心坐标和半径大小; (2) 是否存在斜率为 1 的直线 m, 使 m 被圆 C 截得的弦为 AB, 且 OA⊥OB (O 为坐标原点) . 若 存在,求出直线 m 的方程; 若不存在,说明理由.

2

2

湖北省武汉二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为() A.﹣2 B . ﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 考点: 两条直线平行的判定. 专题: 计算 题. 分析: 根据两直线平行,且直线 l2 的斜率存在,故它们的斜率相等,解方程求得 m 的值.

解答: 解:∵直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,∴

=



解得 m=2 或﹣3, 故选 C. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,它们的斜率相等或者都不存在. 2. (5 分)直线 l:x+ y﹣4=0 与圆 C:x +y =4 的位置关系是() A.相交过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆心(0,0)到直线 l:x+ 切.
2 2

y﹣4=0 的距离 d 正好等于半径,可得直线和圆相 y﹣4=0 的距离为 d= =2=r(半径) ,

解答: 解:由于圆心(0,0)到直线 l:x+

故直线和圆相切, 故选:C. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 3. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 a 为()

A.20

B.14

C.10

D.7

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程依次计算程序运行的结果,发现输出 a 值的周期是 5,再根据条件确 定最后一次运行的 a 值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 i=1,a=5; 第二次循环 i=2,a=14; 第三次循环 i=3,a=7; 第四次循环 i=4,a=20; 第五次循环 i=5,a=10; 第六次循环 i=6,a=5; …, 输出的 a 值的周期为 5, ∵跳出循环的 i 值为 2015,∴第 2014 次循环的 a=20.

故选:A. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结果,发现 输出 a 值的周期是关键. 4. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.5π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体,及球的直径和圆 锥的底 面半径和高,分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式,即可得到答案. 解答: 解:由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体 球直径为 2,则半径为 1, 圆锥的底面直径为 4,半径为 2,高为 3 则 V= =

故选:A 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知的三视图,判断几何体的形状 和底面半径,高等数据是解答的关键. 5. (5 分)统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年 36 次比赛中的结果如下:甲队平均 每场比赛丢失 1.5 个球,全年比赛丢失球的个数的标准差为 1.2; 乙队全年丢失了 79 个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为 0.6.据此分析: ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球; ④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据甲队平均每场比赛丢失 1.5 个球,乙队全年丢失了 79 个球,乙队平均每场比赛 丢失 ,根据两个队的标准差比较,甲队不如乙队稳定,乙队几乎场场失球,甲队表现时好

时坏,选出正确的说法.

解答: 解:∵甲队平均每场比赛丢失 1.5 个球,乙队全年丢失了 79 个球,乙队平均每场比 赛丢失 ,

∴甲队技术比乙队好,故①正确, ∵甲全年比赛丢失球的个数的标准差为 1.2,全年比赛丢失球的个数的方差为 0.6. ∴乙队发挥比甲队稳定,故②正确, 乙队几乎场场失球,甲队表现时好时坏,故③④正确, 总上可知有 4 种说法正确, 故选 D. 点评: 本题考查方差与标准差,考查平均数,这是对于两组数据最常考查的内容,平均数 可以反映数据的平均水平,方差反映数据的稳定程度,一般从这两个方面来把握数据. 6. (5 分)下列说法正确的个数是() ①平行于同一直线的两条直线平行 ②平行于同一平面的两个平面平行 ③两条平行线中的一条和一个平面平行,则另一条也与这个平面平行 ④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面也平行. A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 对四个选项逐一分析排查,找出正确的命题. 解答: 解:对于命题①关键平行线的传递性得到命题正确; ②根据面面平行的性质和判断可得命题正确; ③两条平行线中的一条和一个平面平行,另一条有可能在这个平面内,所以命题错误; ④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,这条直线也可能在另一平面内,所以命题错 误; 所以正确命题的个数为 2; 故选 B. 点评: 本题考查了空间线面关系和面面关系,考查了学生的空间想象能力.属于基础题. 7. (5 分)已知圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 与圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的 最大值为() A. B. C. D.2
2 2 2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆与圆之间的位置关系,两圆外切则圆心距等于半径之和,得到 a+b=3.利用基 本不等式即可求出 ab 的最大值. 解答: 解:由已知, 2 2 圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 的圆心为 C1(a,﹣2) ,半径 r1=2. 2 2 圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 的圆心为 C2(﹣b,﹣2) ,半径 r2=1. 2 2 2 2 ∵圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 与圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 相外切,

∴|C1C2|=r1+r2. 即 a+b=3. 由基本不等式,得 ab≤ = .

故选:C. 点评: 本题考查圆与圆之间的位置关系,基本不等式等知识,属于中档题. 8. (5 分)天气预报说,在今后的三天中,每三天下雨的情况不完全相间,每一天下雨的概率 均为 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:用 1,2,3,4 表 示下雨,从下列随机数表的第 1 行第 2 列开始读取直到末尾从而获得 N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为() 19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989. A. B. C. D.非 ABC 的结果

考点: 随机数的含义与应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下 32 组随机数,在 32 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共 8 组随机数, 根据概率公式, 得到结果. 解答: 解: 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果, 经随机模拟产生了如下 32 组随机数, 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191、271、932、812、191、431、393、113, 共 8 组随机数, ∴所求概率为 =0.25.

故选:C 点评: 本题考查模拟方法估计概率,解题的关键是利用等可能事件的概率,注意列举法在 本题的应用. 9. (5 分)把红、黄、蓝 3 张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人 1 张,事件 A:“甲得红卡” 与事件 B:“乙得红卡”是() A.不可能事件 B. 必然事件 C. 对立事件 D.互斥且不对立事件 考点: 随机事件. 专题: 概率与统计. 分析: 利用对立事件和互斥事件的定义求解. 解答: 解:黑、红、白 3 张卡片分给甲、乙、丙三人,每人一张, 事件“甲分得红卡”与“乙分得红卡”不可能同时发生, 但事件“甲分得红卡”不发 生时, 事件“乙分得红卡”有可能发生,有可能不发生, ∴事件“甲分得红牌卡”与“乙分得红卡”是互斥但不对立事件.

故选:D. 点评: 本题考查对立事件、必然事件、不可能事、互斥事件的判断,解题时要认真审题, 是基础题. 10. (5 分)过点 P(3,4)在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条?() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 当直线经过原点时满足条件,直线方程为: 程为 ,把点 P(3,4)代入可得: .当直线不经过原点时,设直线方

,对 a,b 取非负整数即可得出. .

解答: 解:当直线经过原点时满足条件,直线方程为: 当直线不经过原点时,设直线方程为 把点 P(3,4)代入可得: , ,

满足条件的 a,b 有(6,8) , (4,16) , (5,10) (9,6) , (15,5) , (7,7) . 综上可得:满足条件的直线共有 7 条. 故选:D. 点评: 本题考查了直线的截距式、整数的性质,考查了推理能力,属于基础题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡 对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11. (5 分)武汉 2 中近 3 年来,每年有在校学生 2222 人,每年有 22 人考取了北大清华,高 分率稳居前“2”,展望未来 9 年前景美好.把三进制数(22222222)3 化为九进制数的结果为 8888(9) . 考点: 进位制. 专题: 算法和程序框图. 分析: 先把 5 进制的数(22222222)3 化为十进制数再变为七九进制数,用除 k 取余法. 0 1 2 3 4 5 6 7 解答: 解: (22222222)3=2×3 +2×3 +2×3 +2×3 +2×3 +2×3 +2×3 +2×3 =6560, 0 1 2 3 ∵6560=8×9 +8×9 +8×9 +8×9 ∴把三进制数(22222222)3 化为九进制数的结果是 8888(9) 故答案为:8888(9) 点评: 本题考查进位制之间的换算,熟练掌握进行制的变化规律是正确解题的要诀. 12. (5 分)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 x +(y﹣2) =1. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题.
2 2

分析: 由圆心在 y 轴上,设出圆心的坐标(0,b) ,又圆的半径 为 1,写出圆的标准方程, 由所求圆过(1,2) ,把(1,2)代入圆的方程即可确定出 b 的值,从而得到圆的方程. 解答: 解:由圆心在 y 轴上,设出圆心坐标为(0,b) ,又半径为 1, 2 2 ∴所求圆的方程为 x +(y﹣b) =1, 由所求圆过(1,2) , 2 代入圆的方程得:1+(2﹣b) =1, 解得:b=2, 则所求圆的方程为:x +(y﹣2) =1. 2 2 故答案为:x +(y﹣2) =1 点评: 此题考查了圆的标准方程,利用的方法是待定系数法,其步骤为:根据题意设出圆 心坐标,又根据圆的半径写出圆的标准方程,把圆上点的坐标代入确定出设出的字母,进而确 定出圆的方程.熟练掌握此方法是解本题的关键. 13. (5 分)已知线性相关的两个变量 x,y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 其线性回归方程为 =bx+a,则 a,b 满足的关系式为 6a+21b=13.
2 2

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 计算出 x,y 的平均数,即为样本中心点的坐标,代入即可得出结论. 解答: 解:由题意, = (1+2+3+4+5+6)= , = (0+2+1+3+3+4)= 代入 =bx+a,可得 = b+a,即 6a+21b=13. ,

故答案为:6a+21b=13. 点评: 本题考查线性回归方程,本题解题的关键是理解线性回归方程过这组数据的样本中 心点. 14. (5 分)某人有 4 把钥匙,其中 2 把能打开门,现随机地取 1 把钥匙试着开门,不能开门 就把钥匙放在旁边,他第二次才能打开门的概率是 .

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 第二次打开门的概率为 . .

解答: 解:第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为 故答案为:

点评: 本题考查等可能事件的概率,相互独立事件的概率乘法公式的应用,明确第二次打 开门所表示的意义,是解题的关键.

15. (5 分)已知 x,y∈(0,1) ,则 的最小值为 2 .

考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 直线与圆. 分析: 表

示:以(0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)为顶点的正方形内部动点(x,y)到四个顶点距离 的和,根据两点之间距离线段最短,可得当(x,y)为正方形对角线的交点时, 取最小值. 解答: 解:∵x,y∈(0,1) , ∴ 表示:

以(0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)为顶点的正方形内部动点(x,y)到四个顶点距离的 和, 根据两点之间距离线段最短, 可得当(x,y)为正方形对角线的交点,即 x=y= 时, 的最小值为 2 , 故答案为:2 点评: 本题考查的知识点是两点之间距离公式,其中正确理解 表示:以(0, 0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)为顶点的正方形内部动点(x,y)到四个顶点距离的和,是解 答的关键. 16. (5 分)在正四面体 S﹣ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为△ ABC 的中心,则异面直线 EF 与 AB 所成的角是 60°. . 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 根据正四面体 S﹣ABC 的特点求出其高以及底边的高,建立空间直角坐标系,写出 各点的坐标,求出 的坐标,利用向量的数量积公式求出 ,根据异面直

线所成的角与向量角的关系求出答案. 解答: 解:以 SF 为 z 轴,以 FB 为 x 轴建立空间直角坐标系,设正四面体 S﹣ABC 的棱长 为 1,则

△ ABC 的高为



因为 F 为△ ABC 的中心, 所以根据三角形重心的性质,F 到 AC 的距离为 所以 A( 在三角形 SAF 中, SA=1,AF= 所以 所以 S 所以 ,E( , , , ) , , ,B( ,

) ,F(0,0,0)

所以 cos

所以



所以异面直线 EF 与 AB 所成的角是 60°. 故答案为 60°.

点评: 本题考查通过坐标系将立体几何问题转化为代数问题来解决,考查利用向量的数量 积求异面直线所成的角,要注意异面直线所成角的范围. 17. (5 分)已知点 P(x,y)满足(x﹣cosα) +(y﹣sinα) =1,α∈(0,2π],由 P 点组成 的图形的面积为 4π. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆.
2 2

分析: 动点构成的图形是一个以原点为圆心半径为 1 的一个圆,那么 P 表示的含义其实就 是距离圆上的点距离为 1 的一群点,就可以看做是以原点为圆心半径为 1+1=2 的一个圆点, 由此能求出结果. 2 2 解答: 解:∵点 P(x,y)满足(x﹣cosα) +(y﹣sinα) =1,α∈(0,2π], ∴动点构成的图形是一个以原点为圆心半径为 1 的一个圆, 那么 P 表示的含义其实就是距离圆上的点距离为 1 的一群点, 就可以看做是以原点为圆心半径为 1+1=2 的一个圆点, ∴由 P 点组成的图形的面积为:π×(1+1) =4π. 故答案为:4π. 点评: 本题考查图形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运 用. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)如图是调查某地某公司 1000 名员工的月收入后制作的直方图.根据直方图估计: (1)该公司月收入在 1000 元到 1500 元之间的人数; (2)该公司员工的月平均收入; (3)该公司员工收入的众数; (4)该公司员工月收入的中位数.
2

考点: 众数、中位数、平均数;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)在频率分步直方图中小长方形的面积为频率,用长乘以宽,得到频率,用频率 乘以总体个数,可得该公司月收入在 1000 元到 1500 元之间的人数; (2)利用区间中值乘以该组的频率,然后相加即可求出估计被调查者月收入的平均数. (3)出现次数最多的数; (4)在频率分布直方图中,左右面积相等的数即为中位数. 解答: 解: (1)×1000=100 人, (2)0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400 元 (3)众数为 2500 元; (4)中位数为 2400 元(面积分为相等的两部分; 点评: 本题主要考查了频率分布直方图,在频率分步直方图中小长方形的面 积为频率,以 及求平均数等有关知识,属于基础题. 19. (13 分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数,乙组记录中有 一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示. (Ⅰ)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为 ,求 x 及乙组同学投篮命中次数的方差;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 次的同学中,各随机选取 一名,求这两名同学的投篮命中次数之和为 17 的概率.

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据乙组同学投篮命中次数的平均数为 学投篮命中次数的方差; (Ⅱ)根据古典概型的概率公式进行计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)依题意得: 方差 +(9﹣
2

,建立方程关系即可求 x 及乙组同

,解得 x=8, ) +(10﹣ ) ]=
2



(Ⅱ)记甲组投篮命中次数低于 10 次的同学为 A1,A2,他们的命中次数分别为 9,7. 乙组投篮命中次数低于 10 次的同学为 B1,B2,B3,他们的命中次数分别为 8,8,9. 依题意,不同的选取方法有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2, B3) ,共 6 种. 设“这两名同学的投篮命中次数之和为 17”为事件 C,则 C 中恰含有(A1,B1) , (A1,B2)共 2 种. ∴P(C)= .

点评: 本题主要考查茎叶图的应用,以及古典概率的计算,考查学生的计算能力. 20. (13 分)三棱锥 P﹣DEF 中,顶点 P 在平面 DEF 上的射影为 O. (1)如果 PE=PF=PD,证明 O 是三角形 DEF 的外心(外接圆的圆心) (2)如果 PE=PF=1,PD=2,EF= ,DE=DF= ,证明:O 是三角形 DEF 的垂心(三条高 的交点)

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: (1)连接 OD、OE、OF,由 PD=PE=PF 可得:Rt△ PDO≌Rt△ PEO≌Rt△ PFO,进 而得到:OD=OE=OF,即 O 是三角形 DEF 的外心(外接圆的圆心) (2)如果 PE=PF=1,PD=2,EF= ,DE=DF= ,由勾股定理可得:△ PEF、PDF、PED 都是直角三角形,由线面垂直的判定定理和性质定理,可证得 DF⊥EO,EF⊥DO,DE⊥FO, 即 O 是三角形 DEF 的垂心(三条高的交点) . 解答: 证明: (1)过 P 作 PO 垂直于平面 DEF,O 为垂足, 连接 OD、OE、OF, ∵PD=PE=PF ∴Rt△ PDO≌Rt△ PEO≌Rt△ PFO, ∴OD=OE=OF, 故 O 为三角形 DEF 的外心. (4 分) (2)过 P 作 PO 垂直于平面 DEF,O 为垂足, ∵PE=PF=1, , ,PD=2, ∴△PEF、PDF、PED 都是直角三角形.…(1 分) …(3 分)

…(1 分)





∵PE∩PO=P,PE,PO?平面 PEO, ∴DF⊥平面 PEO, 又∵EO?平面 PEO, ∴DF⊥EO, 同理可得:EF⊥DO,DE⊥FO, 即 O 是三角形 DEF 的垂心. 点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质,勾股定理, 三角形的四心,难度不大,属于基础题. 21. (14 分)已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,AC∩BD=O, AA1=2 ,BD⊥A1A,∠BAD=∠A1AC=60°,点 M 是棱 AA1 的中点. (1)求证:A1C∥平面 BMD; (2)求证:A1O⊥平面 ABCD; (3)求三棱锥 B﹣AMD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的性质即可证明 A1C∥平面 BMD; (2)根据线面垂直的判定定理即可证明 A1O⊥平面 ABCD; (3)利用体积转化法即可求三棱锥 B﹣AMD 的体积. 解答: 证明: (1)连结 MO, 则 ?MO∥AC,

∵MO?平面 BMD,A1C?平面 BMD, ∴A1C∥平面 BMD. (2)∵BD⊥AA1,BD⊥AC,∴BD⊥平面 A1AC, 于是 BD⊥A1O,AC∩BD=O, ∵底面 A BCD 是边长为 2 的菱形,且∠BAD=60°, ∴AO= ,AA1= ,cos∠A1AC=60°,

∴A1O⊥AC, ∵A1O⊥BD, ∴A1O⊥平面 ABCD; (3)体积转换法: ∵A1O⊥平面 ABCD,M 为 A1O 的中点, ∴M 到平面 ABCD 的距离为 . 点评: 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定以及空间几何体的体积的计算,要 求熟练掌握相应的判定定理. 22. (13 分)已知圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣4=0. (1)写出圆 C 的标准方程,并指出圆心坐标和半径大小; (2) 是否存在斜率为 1 的直线 m, 使 m 被圆 C 截得的弦为 AB, 且 OA⊥OB (O 为坐标原点) . 若 存在,求出直线 m 的方程; 若不存在,说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用;圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由已知能求出圆的标准方程,圆心坐标(1,﹣2)和半径. 2 2 (2)假设直线 m:y=x+b,代入圆的方程得:2x +2(b+1)x+b +4b﹣4=0,因为直线与圆相 2 交,从而 b +6b﹣11<0,由此能求出直线方程. 2 2 解答: 解: (1)圆的标准方程为(x﹣1) +(y+2) =9, 圆心坐标(1,﹣2) ,半径为 3…(3 分) (2)假设直线 m:y=x+b, 2 2 代入圆的方程得:2x +2(b+1)x+b +4b﹣4=0, 因为直线与圆相交, 2 所以 b +6b﹣11<0,
2 2

,三角形 ABD 的面积为



设 A( x1,y1) ,B(x2,y2) , ,…(4 分) 由 OA,OB 垂直,得: , ∴(x1+b) (x2+b)+x1x2=0, ∴
2



∴b +3b﹣4=0,解得 b=﹣4,或 b=1, 2 均满足 b +6b﹣11<0, 所求直线存在 y=x﹣4 或 y=x+1. 点评: 本题考查圆的标准方程、圆心坐标和半径的求法,考查满足条件的直线方程是否存 在的判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.


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