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3.4.1基本不等式的证明1课时


3.4.1 基本不等式

一、问题引入

如图,这是在北京召 开的第24届国际数学大 会的会标,会标根据中 国古代数学家赵爽的弦 图设计的,颜色的明暗 使它看上去像一个风车, 代表中国人民热情好客。

二、问题探索
问1:在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则 a 2 ? b2 正方形的面积为S=————, 问2:R t △ AEB, R t △BFC, R t △CGD,R t △AHD是全等三角形,它们 的面积和是S’=——— 2ab

问3:S与S’有什么样的关系? 从图形中易得, s > s’,即 a 2 + b2 > 2ab

三、探索新知
问:观察以上图形,我们能够得到什么结论呢?
发现:当 a ? b 时,等号成立。

从而,我们得到:重要不等式
一般的,对于任意实数a、b, 我们有a ? b ? 2ab, 当且仅当a ? b时取得等号。
2 2

思考
若a ? 0, b ? 0, 那么我们用 a , b , 代替a, b, 得到什么结论呢?

证明: 要证
只要证

三、探索新知 2、基本不等式:若a ? 0, b ? 0, 那么就有 a?b a ? b ? 2 ab即 ab ? 当且仅当a ? b时取得等号 2
a?b ab ? 2
① ② ③

a?b 2 a>0,b>0,则ab ? ( ) 2

a ? b ? 2 ab

分 析 法

要证?,只要证

a ? b ? 2 ab ? 0

要证?,只要证 ( a ? b )2 ? 0成立

三、探索新知
说明: (1)适用范围:a>0,b>0; (2)阐释:两数的算术平均数大于等于两数几何平均数; (3)当且仅当 a=b 时,等号成立。

归纳总结 1、重要不等式:一般的,对于任意实数a、b, 我们有

a ?b
2

2

? 2ab, 当且仅当a ? b时取得等号。

2、基本不等式:若a ? 0, b ? 0, 那么就有 a?b a ? b ? 2 ab即 ab ? 当且仅当a ? b时取得等号 2

四、典例分析
例1:
(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、 宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园,问这个矩形的 长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? ? 分析:
? (1)面积确定,长与宽取何值,篱笆最短:

知xy, 求(x ? y) 2 min ? (2)周长确定,长与宽取何值,菜园面积最大:

知(x ? y) xymax 2 ,求

四、典例分析
解:设长为 xm,宽为 y m, (1)由题知,xy ? 100 ,而篱笆长为 由基本不等式知 x? y
xy ? 2

2( x ? y)

从而有

2( x ? y) ? 2 xy ? 20

等号当且仅当 x ? y ? 10 ,时成立。
2 (2)由题知,( x ? y) ? 36 ,而菜园面积为 由基本不等式知 xy ? x ? y ? 9
2

xy

从而有

xy ? 81

当且仅当 x ? y ? 9时,等号成立。

五、巩固练习
1.x ? 0,当x 取什么值, ? x

1 的值最小?最小值是多少? x

2.已知直角三角形的面积等于50,两直角边各为多少时,两直 角边的和最小,最小值是多少?
x? x x?0 1 x

六、能力提高
例2:
12 已知 x ? 0 ,求 f ( x) ? x ? 3x 的最小值。
解: x ? 0 ? 12 12 ? 3x ? 2 ? 3 x ? 12; x x 12 当且仅当 ? 3 x, 即x ? 2时取等号; x ? f ( x)最小值为12. ? f ( x) ?

4 练习: 已知 x ? 3, 求f ( x) ? ? x的最大值。 x ?3

七、课堂小结 1.基本不等式的形式。

2.基本不等式应注意的条件。
3.基本不等式的应用。

八、作业

A组 1、2;B组 1题


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