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2017届高三数学文一轮总复习练习10.3.2古典概型.doc


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课时跟踪检测(五十九)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快

古典概型

1.(2015· 扬州模拟)把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为 a, 第二次出现的点数为 b, 直线 l1: ax+by=4, 直线 l2: x+2y=2, 则 l1∥l2 的概率为________. 解析:把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,共 有 36 种结果.要使直线 l1:ax+by=4 与直线 l2:x+2y=2 平行,则有 a=1,b=2 或 a=3, 2 1 b=6,即(1,2),(3,6),共 2 种结果,所以两条直线平行的概率是 = . 36 18 答案: 1 18

2.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为偶数的概率为________. 解析:因为从 4 张卡片中任取出 2 张的情况为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4), 共 6 种.其中 2 张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3),(2,4)共 2 种,所以 2 张卡片上的数字 1 之和为偶数的概率为 . 3 1 答案: 3 3 .在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为 ________. 解析:如图,在正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点, 共有 15 种选法, 其中构成的四边形是梯形的有 ABEF, BCDE, ABCF, CDEF, 6 2 ABCD,ADEF,共 6 种情况,故构成的四边形是梯形的概率 P= = . 15 5 2 答案: 5

4.如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1,2,3,4 中的 任何一个,允许重复,则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 ________. 解析:只考虑 A,B 两个方格的填法,不考虑大小,A,B 两个方格有 16 种填法.要使 填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则从 1,2,3,4 中选 2 个数字,大的放入 A 格,小的放 入 B 格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共 6 种,故填入 A 方格的数字大于 B 6 3 方格的数字的概率为 = . 16 8 3 答案: 8
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5.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率是________. 解析:从 5 个球中任取三个共有 10 种结果,没有白球只有一种结果,所以至少有一个 1 9 白球的概率为 1- = . 10 10 答案: 9 10

?二保高考,全练题型做到高考达标 1.(2016· 启东检测)有 5 根细木棒,长度分别为 1,3,5,7,9,从中任取 3 根,能构成三角 形的概率是________. 解析:从 5 根细木棒中任取 3 根共有 10 种取法,能构成三角形的有 3 种取法:3,5,7; 3 5,7,9;3,7,9.所以所求概率为 P= . 10 答案: 3 10

2.设 m,n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有 5 的 条件下,方程 x2+mx+n=0 有实根的概率为________. 解析:先后两次出现的点数中有 5 的情况有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), 共 11 种. 其中使方程 x2+mx+n=0 有实根的情况有: (5,5), 7 (6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共 7 种.故所求概率为 . 11 答案: 7 11

3.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当 a>b,b<c 时称 为“凹数”(如 213,312)等.若 a,b,c∈{1,2,3,4},且 a,b,c 互不相同,则这个三位数为“凹 数”的概率是________. 解析:由 1,2,3 组成的三位数有 123,132,213,231,312,321,共 6 个;由 1,2,4 组成的三位 数有 124,142,214,241,412,421,共 6 个;由 1,3,4 组成的三位数有 134,143,314,341,413,431, 共 6 个;由 2,3,4 组成的三位数有 234,243,324,342,423,432,共 6 个.所以共有 6+6+6+6 =24 个三位数. 当 b=1 时, 有 214,213,314,412,312,413, 共 6 个“凹数”; 当 b=2 时, 有 324,423, 6+2 1 共 2 个“凹数”.故这个三位数为“凹数”的概率 P= = . 24 3 1 答案: 3 4.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平 面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事 件 Cn 发生的概率最大,则 n 的所有可能值为________.

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解析:分别从集合 A 和 B 中随机取出一个数,确定平面上的一个点 P(a,b),则有(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共 6 种情况,a+b=2 的有 1 种情况,a+b=3 的有 2 种情 况,a+b=4 的有 2 种情况,a+b=5 的有 1 种情况,所以可知若事件 Cn 发生的概率最大, 则 n 的所有可能值为 3 和 4. 答案:3 和 4 5.记连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,向量 a=(m,n)与向量 b=(1,0)的夹 π 0, ?的概率为________. 角为 α,则 α∈? ? 4? 解析:法一:依题意,向量 a=(m,n)共有 6× 6=36(个),其中满足向量 a=(m,n)与向 π? 量 b=(1,0)的夹角 α∈? 即 n<m 的(m, n)可根据 n 的具体取值进行分类计数: 第一类, ?0,4?, 当 n=1 时,m 有 5 个不同的取值;第二类,当 n=2 时,m 有 4 个不同的取值;第三类, 当 n=3 时,m 有 3 个不同的取值;第四类,当 n=4 时,m 有 2 个不同的取值;第五类, π? 当 n=5 时,m 有 1 个取值,因此满足向量 a=(m,n)与向量 b=(1,0)的夹角 α∈? ?0,4?的(m, 15 5 n)共有 1+2+3+4+5=15(个),所以所求概率为 = . 36 12 法二:依题意可得向量 a=(m,n)共有 6× 6=36(个),其中满足向量 a=(m,n)与向量 b π? 36-6 15 =(1,0)的夹角 α∈? ?0,4?,即 n<m 的向量 a=(m,n)有 2 =15(个),所以所求概率为36= 5 . 12 答案: 5 12

6.(2016· 南京三模)现有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 共五张牌,从这五张牌中随机取 2 张牌, 则所取 2 张牌均为红心的概率为________. 解析:所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5),共 10 个,其中 2 张牌均为红心的事件有(1,2),(1,3),(2,3),共 3 个,故所求的概率 3 为 P= . 10 答案: 3 10

x2 y2 7.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则双曲线 2 - 2=1 的离心率 e> 5 a b 的概率是________. 解析:由 e= b2 1+ 2 > 5,得 b>2a.当 a=1 时,b=3,4,5,6 四种情况;当 a=2 时,b a

=5,6 两种情况, 总共有 6 种情况. 又同时掷两颗骰子, 得到的点数(a, b)共有 36 种结果. ∴

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6 1 所求事件的概率 P= = . 36 6 1 答案: 6 8.(2016· 常州一模)现有 7 名数理化成绩优秀者,分别用 A1,A2,A3,B1,B2,C1, C2 表示,其中 A1,A2,A3 的数学成绩优秀,B1,B2 的物理成绩优秀,C1,C2 的化学成绩 优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则 A1 和 B1 不全被选中的概率为________. 解析:从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,所有可能的结果组成的 12 个基本事件为:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1, C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2, C1),(A3,B2,C2). 设“A1 和 B1 不全被选中”为事件 N, 则其对立事件 N 表示“A1 和 B1 全被选中”, 由于 N 2 1 ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以 P( N )= = ,由对立事件的概率计算公式得 P(N) 12 6 1 5 =1-P( N )=1- = . 6 6 5 答案: 6 9.(2016· 兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片 除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字 依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. 解:(1)由题意,(a,b,c)所有可能的结果为:(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2), (1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1), (2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3), 共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2), (1,2,3), (2,1,3), 共 3 种, 3 1 所以 P(A)= = , 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a, b, c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3),共 3 种,

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3 8 所以 P(B)=1-P( B )=1- = , 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9 10.(2016· 深圳一调)一个袋中有 4 个大小相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,黑球 1 个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个. (1)求连续取两次都是白球的概率; (2)假设取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,若连续取三次, 则分数之和为 4 分的概率是多少? 解:(1)连续取两次的基本事件有:(红,红),(红,白 1),(红,白 2),(红,黑);(白 1, 红),(白 1,白 1),(白 1,白 2),(白 1,黑);(白 2,红),(白 2,白 1),(白 2,白 2),(白 2, 黑);(黑,红),(黑,白 1),(黑,白 2),(黑,黑),共 16 个. 连续取两次都是白球的基本事件有:(白 1,白 1),(白 1,白 2),(白 2,白 1),(白 2, 白 2),共 4 个, 4 1 故所求概率为 = . 16 4 (2)连续取三次的基本事件有:(红,红,红),(红,红,白 1),(红,红,白 2),(红,红, 黑);(红,白 1,红),(红,白 1,白 1),(红,白 1,白 2),(红,白 1,黑),…,共 64 个. 因为取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,若连续取三次,则分 数之和为 4 分的基本事件有: (红,白 1,白 1),(红,白 1,白 2),(红,白 2,白 1),(红,白 2,白 2),(白 1,红, 白 1),(白 1,红,白 2),(白 2,红,白 1),(白 2,红,白 2),(白 1,白 1,红),(白 1,白 2,红),(白 2,白 1,红),(白 2,白 2,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红), 共 15 个. 15 故所求概率为 . 64

?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1 1.已知函数 f(x)= x3+ax2+b2x+1,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 3 0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为________. 解析: 对函数 f(x)求导可得 f′(x)=x2+2ax+b2,要满足题意需 x2+2ax+b2=0 有两个不 等实根, 即 Δ=4(a2-b2)>0, 即 a>b.又(a, b)的取法共有 9 种, 其中满足 a>b 的有(1,0), (2,0), 6 2 (2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共 6 种,故所求的概率 P= = . 9 3 2 答案: 3

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2.在一个不透明的箱子里装有 5 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1,2,3,4,5.甲先 从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子 中摸出一个小球. (1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的 概率; (2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于 6,则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公 平吗? 解:用(x,y)(x 表示甲摸到的数字,y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基 本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),共 25 个. (1)设甲获胜的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2), 10 2 (4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共 10 个.则 P(A)= = . 25 5 (2)设甲获胜的事件为 B,乙获胜的事件为 C.事件 B 所包含的基本事件有:(1,1),(1,2), (1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共 10 个. 10 2 则 P(B)= = , 25 5 3 所以 P(C)=1-P(B)= . 5 因为 P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.

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