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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第6课时


第八章

平面解析几何

第6课时

双曲线

第八章

平面解析几何

1.双曲线的定义
双曲线如何定义? 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于 提示:__________________________________________

____ 常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹(或集合)叫双曲线 ____________________________________________________ 温馨提醒:若定义中的“小于|F1F2|且大于零”条件改变,其

轨迹不是双曲线.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
当 2a> |F1F2|时 , 动点的轨迹不存在;当 2a= 0 时 , 动点的轨 迹是线段F1F2的中垂线.
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第八章

平面解析几何

2.双曲线的标准方程及简单几何性质
x y 2 - 2 = 1( a> 0, b> 0) a b
2 2

标准方程

y x 2 - 2= 1( a> 0,b> 0) a b

2

2

图形

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第八章
2 2 2 2

平面解析几何

标准方程 范围 对称 性 性 质 顶点 坐标 焦点 坐标 渐近 线

x y y x 2 - 2 = 1( a> 0, b> 0) 2 - 2= 1( a> 0,b> 0) a b a b

x≥a或x≤-a _____________
对称轴: x 轴, y 轴 对称中心: 坐标原点 _________ A1 (- a, 0), A2(a, 0) (±c, 0)

y≥a或y≤-a _____________
对称轴: x 轴, y 轴 对称中心:坐标原点 A1 (0,- a), A2(0, a) (0,± c) a y= ± x b

b y= ± x a ___________

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第八章

平面解析几何

标准方程 离心 率 性 质 实虚 轴

x2 y2 2 - 2 = 1( a> 0, b> 0) a b

y2 x2 2 - 2= 1( a> 0, b> 0) a b

c (1,+∞) a e= __________ , e∈ __________

线段 A1 A2 叫做双曲线的实轴,它的长 |A1 A2 |= 2a ____________ ;线段 B1 B2 叫做双曲线的虚轴, 它的长 |B1 B2 |= 2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚轴长 c = a + b (c> a> 0, c> b> 0)
2 2 2

a, b, c 间 的关系

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平面解析几何

3. 等轴双曲线

实轴与虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为 x2 ____________
2 - y2 = λ(λ≠ 0),其离心率为 e= ________ ,渐近线方程为

y=±x . ________

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第八章

平面解析几何

1.双曲线 2x2 - y2= 8 的实轴长是 ( C ) A. 2 C. 4 B. 2 2 D. 4 2

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第八章

平面解析几何

x y 2. 双曲线方程: + = 1, 那么 k 的范围是 ( D ) |k|- 2 5- k A. k>5 C.- 2<k<2 B. 2<k<5 D.- 2<k<2 或 k>5

2

2

解析:由题意知, (|k|- 2)(5- k)<0,解得- 2<k<2 或 k>5.

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第八章

平面解析几何

3. (2013· 高考广东卷)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 3 F(3, 0),离心率等于 ,则 C 的方程是 ( B ) 2 2 2 x y x2 y2 A. - = 1 B. - = 1 4 4 5 5 x2 y2 x2 y2 C. - = 1 D. - = 1 2 5 2 5
解析:右焦点为 F(3, 0)说明两层含义:双曲线的焦点在 x c 3 2 2 2 2 2 轴上; c= 3.又离心率为 = ,故 a= 2, b = c - a = 3 - 2 a 2 2 2 x y = 5,故 C 的方程为 - = 1. 4 5
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第八章

平面解析几何

5 4. 两个正数 a, b 的等差中项是 , 等比中项是 6, 且 a>b, 2 13 x2 y2 3 则双曲线 2 - 2 = 1 的离心率 e= ________ . a b

解析: a+ b= 5, ab= 6,解得 a, b 的值为 2 或 3. c 13 又 a>b,∴ a= 3, b= 2,∴ c= 13,从而 e= = . a 3

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第八章

平面解析几何

2 y 5.设 F1, F2 是双曲线 x2 - =1 的两个焦点,P 是双曲线 24

上 的 一 点 , 且 3|PF1 | = 4|PF2 | , 则 △ PF1 F2 的 面 积 等 于

24 ________ .
解析:由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1 |= 4|PF2 |可知, |PF1 | - |PF2 |= 2,解得 |PF1 |= 8,|PF2 |= 6.又 |F1 F2 |= 2c= 10,所以 1 △ PF1 F2 为直角三角形, 所以△ PF1 F2 的面积 S= × 6× 8= 24. 2

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平面解析几何

双曲线的定义
x 2 y2 (2013· 高考辽宁卷)已知 F 为双曲线 C: - = 1 的 9 16 左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,

44 . 点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为 ________

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第八章

平面解析几何

[解析 ]由双曲线方程知,b=4,a=3,c=5,则虚轴长为 8, 则|PQ|= 16.由左焦点 F(-5,0),且 A(5,0)恰为右焦点,知 线段 PQ 过双曲线的右焦点, 则 P, Q 都在双曲线的右支上. 由 双曲线的定义可知 |PF|-|PA|=2a,|QF|-|QA|= 2a,两式相 加得, |PF|+ |QF|- (|PA|+ |QA|) = 4a,则 |PF|+ |QF|= 4a + |PQ|=4?3+16=28,故△ PQF 的周长为 28+16=44.

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第八章

平面解析几何

(1)在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨

迹是双曲线,还是双曲线的一支.若是双曲线的一支,则需
确定是哪一支. (2)在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义 是经常使用的知识点.另外,还经常结合||PF1|-|PF2||=2a, 运用平方的方法,建立它与|PF1||PF2|的联系.

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第八章

平面解析几何

x 2 y2 1. (1)已知△ ABP 的顶点 A, B 分别为双曲线 - = 1 的左, 16 9 |sin A- sin B| 右焦点, 顶点 P 在双曲线上, 则 的值等于( A ) sin P A. 4 5 B. 7 4

5 C. 4

D. 7

(2)(2012· 高考辽宁卷)已知双曲线 x2- y2=1,点 F1,F2 为其 两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥ PF2,则 |PF1|+ 2 3 |PF2|的值为________ .
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平面解析几何

|sin A- sin B| 解 析 : (1) 在 △ ABP 中 , 由 正 弦 定 理 知 = sin P ||PB|- |PA|| 2a 8 4 = = = . |AB| 2c 10 5 (2)设 P 在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因 为 PF1⊥ PF2,所以(x+ 2)2+x2= (2c)2= 8,所以 x= 3-1, x+2= 3+ 1,所以 |PF2|+ |PF1|= 2 3.

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平面解析几何

求双曲线的标准方程
y2 x 2 (1)(2014· 东北三校联合模拟)与椭圆 C: + = 1 共 16 12 焦点且过点 (1, 3)的双曲线的标准方程为 (
2 y A. x2- = 1 3 2 x B. y2- = 1 1 2

C)

y2 x 2 C. - =1 2 2 y2 D. - x2= 1 3
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第八章

平面解析几何

(2)(2014· 黄冈中学高三模拟)双曲线 C 的焦距为 2 3, 焦点到 一条渐近线的距离为 2,则双曲线的标准方程为( C )
2 y A. x2- = 1 2

x2 2 B. - y = 1 2
2 2 y x C. x2- = 1 或 y2- =1 2 2

x2 2 y2 D. - y =1 或 - x2=1 2 2

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平面解析几何

y2 x 2 [解析 ](1)椭圆 + = 1 的焦点坐标为(0,- 2), (0,2), 16 12 3 1 ? 2 2 ?m-n=1 y x 设双曲线的标准方程为 - = 1(m>0,n>0), 则? , m n ? ?m+ n=4 解得 m= n= 2. (2)由题知 2c= 2 3, b= 2,故 a=1.这样的双曲线标准方 2 2 2 y 2 x 程有两个,分别是 x - = 1 或 y - = 1. 2 2

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第八章

平面解析几何

求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法. 具体过程是 先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再 根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值.如 果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用 x 2 y2 有公共渐近线的双曲线的方程为 2- 2= λ(λ≠ 0),再由条件 a b 求出 λ 的值即可.
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第八章

平面解析几何

2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12).

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第八章

平面解析几何

解:(1)设双曲线的标准方程为 x 2 y2 y2 x 2 - = 1 或 2- 2= 1(a>0,b>0). a2 b2 a b c 5 由题意知, 2b=12, e= = , a 4 ∴ b= 6, c= 10,a=8. x 2 y2 y2 x 2 ∴双曲线的标准方程为 - = 1 或 - = 1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12), ∴ M(0,12)为双曲线的一个顶点, 故焦点在 y 轴上,且 a= 12. 又 2c= 26,∴ c= 13. ∴ b2= c2-a2= 25. y2 x 2 ∴双曲线的标准方程为 - = 1. 144 25
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第八章

平面解析几何

双曲线的几何性质
x 2 y2 (1)(2013· 高考北京卷)若双曲线 2- 2= 1 的离心率为 a b 3,则其渐近线方程为 ( B ) A. y= ± 2x B. y= ± 2x 1 C. y = ± x 2 2 D. y = ± x 2

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第八章

平面解析几何

π x2 (2)(2013· 高考湖北卷)已知 0< θ< , 则双曲线 C1: 2 - 4 cos θ y2 y2 x2 = 1 与 C2: 2 - 2 =1 的( D ) 2 2 sin θ sin θ sin θ tan θ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等

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第八章

平面解析几何

a 2 +b 2 c [解析 ](1)∵ e= 3,∴ = 3,即 2 = 3, a a 2 2 x y ∴ b2=2a2,∴双曲线方程为 2- 2= 1, a 2a ∴渐近线方程为 y= ± 2x. (2)双曲线 C1 的焦点在 x 轴上, a= cos θ , b= sin θ , c= 1, 1 因此离心率 e1= ;双曲线 C2 的焦点在 y 轴上,由于 cos θ π 0<θ< ,所以 a= sin θ ,b= sin θ tan θ , c= 4 sin2θ + sin2θ tan2θ ,因此离心率 e2= sin2θ + sin2θ tan2θ sin θ 1+ tan2θ 1 = = .故两条 sin θ sin θ cos θ 双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等,离心率相等.
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第八章

平面解析几何

研究双曲线几何性质时的两个注意点: (1)实半轴、 虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重 点; c (2)由于 e= 是一个比值,故只需根据条件得到关于 a,b,c a 的一个关系式,利用 b2= c2- a2 消去 b,然后变形即可求 e, 并注意 e>1.

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第八章

平面解析几何

x 2 y2 3. (1)(2012· 高考湖北卷 )如图,双曲线 2- 2= 1(a, b>0)的 a b 两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2. 若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, 切点分别为 A, B, C, D.则 5+ 1 2 (ⅰ )双曲线的离心率 e= __________ ; (ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 5+ 2 S1 = __________ . 2 S2

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第八章

平面解析几何

x 2 y2 (2)(2012· 高考天津卷 )已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0) a b x 2 y2 与双曲线 C2: - = 1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点 4 16

2 1 为 F( 5, 0),则 a= ________ , b=________ .

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第八章

平面解析几何

解析: (1)(ⅰ )在 Rt△ F1OB2 中, OB⊥ F1B,∵ |OF1|= c, |OB2| = b, bc 2 2 ∴ |F1B2|= b + c .∴ |OB|= 2 2. b +c bc ∴ 2 2 = a, 即 b2c2=a2(b2+ c2)? (c2-a2)c2=a2(2c2- a2). b +c ∴ (e2- 1)e2= 2e2-1,即 e4- 3e2+1= 0. 3- 5 ?, 2 3+ 5? 2 ∴e = ? 2 ?e = 2 舍去? ? 5+ 1 1 1 2 即 e= 6+2 5= ( 5+ 1) = . 2 2 2

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第八章

平面解析几何

1 (ⅱ )S1=4? bc=2bc. 2 x y F1B 所在直线方程为 + = 1.① -c b b c c ∵ kF1B= ,∴ kOB=- ,∴ OB 所在直线方程为 y=- x.② c b b b2c bc2 由①②,得 x=- 2 2, y= 2 2. b +c b +c 2 2 b c bc ∴ B?-b2+ c2, b2+ c2?. ? ? 2 2 3 3 b c bc 4 b c ? ? - ∴ S2= 4? 2 2 ? = . ? b + c ? b2+c2 (b2+c2)2
2 2 2 2 2 2 2 2 ( b + c ) ( 2 c - a ) ( 2 e - 1 ) 5+ 2 S1 ∴ = = . 2 2 2 2 2= 2 2= 2 S2 2b c 2( c -a ) c 2( e -1) e
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第八章

平面解析几何

x 2 y2 (2)与双曲线 - = 1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 4 16 x 2 y2 x2 y2 - = λ,即 - = 1.由题意知 c= 5 ,则 4λ+ 16λ 4 16 4λ 16λ 1 = 5?λ = ,则 a2= 1, b2=4.又 a>0,b>0,故 a= 1, b= 4 2.

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第八章

平面解析几何

与双曲线有关的综合问题
x 2 y2 (2014· 湖南宁远一中测试)已知双曲线 2- 2=1(a>0, a b b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于 3,过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A、 B 两点,F1 为左焦点. (1)求双曲线的方程; (2)若△F1AB 的面积等于 6 2,求直线 l 的方程.

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第八章

平面解析几何

c [解 ](1)依题意,b= 3, = 2? a= 1, c= 2, a 2 y ∴双曲线的方程为 x2- = 1. 3 (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), 由 (1)知 F2(2,0). 易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意,故可设直线 l:y = k(x- 2), y= k( x- 2), ? ? 由? 2 y2 x - = 1, ? 3 ? 消元得 (k2- 3)x2- 4k2x+4k2+3=0,
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平面解析几何

∵直线 l 与双曲线有两个交点,∴k≠± 3, 4k2+ 3 4k2 x1+x2= 2 , x1x2= 2 , k -3 k -3 y1- y2=k(x1-x2), △ F1AB 的面积 S= c|y1- y2|= 2|k|· |x1- x2| 16k4-4(k2- 3)( 4k2+ 3) = 2|k|· |k2- 3| k2+1 = 12|k|· 2 = 6 2. |k - 3| 得 k4+ 8k2- 9= 0, 则 k= ± 1. 所以直线 l 的方程: y= x- 2 或 y=- x+2.
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平面解析几何

双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系. 解决这 类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程, 然后把直 线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想 解题.

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第八章

平面解析几何

x 2 y2 4.过双曲线 - = 1 的右焦点 F2,倾斜角为 30°的直线 3 6 交双曲线于 A, B 两点,O 为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求 |AB|; (2)求△AOB 的面积.

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平面解析几何

解:(1)由双曲线的方程得 a= 3, b= 6, ∴ c= a2+b2= 3, F1(-3,0), F2(3, 0). 3 直线 AB 的方程为 y= (x- 3). 3 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 3 y= ( x- 3), 3 由 2 2 得 5x2+ 6x- 27=0. x y - = 1, 3 6 6 27 ∴ x1+x2=- , x1x2=- . 5 5

? ? ?

∴ |AB|= 1+k2|x1- x2|= = 4 ? 3

1+?

3? ?3?

2

( x1+x2) 2- 4x1x2

36 108 16 3 + = . 25 5 5
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第八章

平面解析几何

(2)直线 AB 的方程变形为 3x-3y-3 3= 0. ∴原点 O 到直线 AB 的距离为 d= 3 = . 2 ( 3)2+(-3)2 |-3 3|

1 1 16 3 3 12 3 ∴S△ AOB= |AB|?d= ? ? = . 2 2 5 2 5

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第八章

平面解析几何

方程思想在求解双曲线 的离心率中的应用
x 2 y2 (2013· 高考湖南卷 )设 F1, F2 是双曲线 C: 2- 2= a b 1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若 |PF1|+|PF2|= 6a ,且△PF1F2 的最小内角为 30 °,则 C 的离心率为 3 _________________ .
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第八章

平面解析几何

[解析 ] 设点 P 在双曲线右支上, F1 为左焦点, F2 为右焦点, 则 |PF1|- |PF2|= 2a. 又 |PF1|+ |PF2|= 6a,∴ |PF1|= 4a, |PF2|=2a. ∵在双曲线中 c>a, ∴在△ PF1F2 中 |PF2|所对的角最小且为 30° . 在 △ PF1F2 中 , 由 余 弦 定 理 得 |PF2|2 = |PF1|2 + |F1F2|2 - 2|PF1||F1F2 |cos 30°,即 4a2= 16a2+ 4c2-8 3ac,即 3a2+ c c2- 2 3ac= 0.∴ ( 3a- c)2= 0,∴ c= 3 a,即 = 3.∴ e= a 3.

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平面解析几何

(1)本题利用方程思想, 将已知条件转化为关于 a,c 的方程, 然后求出离心率 e. (2)求解椭圆、 双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通 常是根据条件列出关于 a, c 的齐次方程或不等式,然后再 转化成关于 e 的方程或不等式求解.

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第八章

平面解析几何

x 2 y2 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左焦点,点 E a b 是该双曲线的右顶点, 过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 于 A,B 两点,若△ ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心

(1,2) 率 e 的取值范围是________.

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平面解析几何

π 解析:根据对称性,只要∠ AEF< 即可.由题意,知 F(- 4 c, 0),直线 AB 的方程为 x=- c,将 x=- c 代入双曲线方
4 2 2 b b b 程,得 y2= 2,取点 A(- c, ),则 |AF|= , |EF|= a+ c, a a a

π b2 只要 |AF|<|EF|就能使∠ AEF< , 即 <a+ c? b2<a2+ ac? c2 4 a - ac- 2a2<0? e2- e-2<0, 解得-1<e<2, 又 e>1, 故 1<e<2. 故填(1, 2).

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平面解析几何

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