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函数应用举例


2.9 函数应用举例(第四课时) 教学目的:根据实际问题,提出不同方案,建立数学模型,选定最佳方案, 解决简单的市场经济问题。 一、例题 例 1 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需 增加投入 100 元,已知总收益满足函数:
1 2 ? ?400x ? x (0 ? x ? 400) R(x) ? ? ,其中 x 是仪器月产量. 2 ? ?80000(x ? 400)

(1) 将月利润表示为月产量的函数 f(x); (2) 当月产量为何值时,公司获利最大?最大利润为多少元?(总收 益=总成本+利润) 分析:由总收益=总成本+利润,知 利润=总收益-总成本.由于 R(x)是分段 函数,所以 f(x)也是分段函数,要分别求出 f(x)在各段的最大值,通过比较, 确定 f(x)的最大值. 解: (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20000+100x,从而
? 1 2 ?? x ? 300x ? 20000(0 ? x ? 400) f (x) ? ? 2 ? ?60000 ? 100x(x ? 400)
1 (2)当 0≤x≤400 时, f (x) ? ? (x ? 300) 2 ? 25000, 2 ∴当 x=300 时,有最大值 25000; 当 x>400 时,f(x)=60000-100x 是减函数, f(x)<60000-100×400<25000. ∴当 x=300 时,f(x)取得最大值 25000. 答:每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25000 元.

例 2 根据市场调查,某商品在最近的 40 天内的价格 f (t ) 与时间 t 满足关系

?1 ? t ? 11(0 ? t ? 20, t ? N ). 销售量 g (t ) 与时间 t 满足关系 f (t ) ? ? 2 ? ?? t ? 41(20 ? t ? 40, t ? N ). 1 43 g (t ) ? ? t ? (0 ? t ? 40, t ? N ) 。求这种商品的日销售额(销售量与价格之积) 3 3 的最大值。 解 : 据 题 意 , 商 品 的价 格 随 时 间 t 变 化 , 且 在 不 同 的 区 间 0 ? t ? 20 与
20 ? t ? 40 上,价格随时间 t 的变化的关系式也不同,故应分类讨论。

设日销售额为 F (t ) 。 ⑴当 0 ? t ? 20, t ? N 时

1 1 43 1 21 1 441 F (t ) ? ( t ? 11)( ? t ? ) ? ? (t ? ) 2 ? ( ? 946 ) 。 2 3 3 6 2 6 4

? 当 t ? 10 或 11 时, F (t ) max ? 176.
1 43 1 1 ⑵当 20 ? t ? 40, t ? N 时, F (t ) ? (?t ? 41)( ? t ? ) ? (t ? 42) 2 ? 。 3 3 3 3

? 当 t ? 20 时, F (t ) max ? 161。
综合(1) 、 (2)知当 t ? 10 或 11 时,日销售额最大,最大值为 176。 例 3 有甲、 乙两种商品, 经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 P 和 Q x 3 x .今 (万元) ,它们与投入资金 x(万元)的关系,有经验公式: P ? , Q ? 5 5 有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的 资金投入分别应为多少?能获得最大利润是多少? 分析:首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系,求得函数解析 式,然后再化为求函数最大值的问题. 解:设对甲种产品投资 x 万元,则乙种商品投资(3-x)万元,总利润 y 万 1 3 3 ? x (0 ? x ? 3) . 元,依题意有: y ? x ? 5 5 令 3 ? x ? t, 则 x ? 3 ? t 2 (0 ? t ? 3).
1 3 1 3 21 所以 y ? (3 ? t 2 ) ? t ? ? (t ? ) 2 ? , t ? [0, 3]. 5 5 5 2 20 3 当 t ? 时 ymax=1.05,此时 x=0.75,3-x=2.25. 2 由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为 0.75 万元和 2.25 万元,获得总利润为 1.05 万元. 二、课后作业: 《精析精练》P103 智能达标训练


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