2015高三数学一轮复习058二项式定理

2015 级高三数学一轮复习学案（理）

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第五十八课时 二项式定理 课前预习案 考纲要求 1.能用计数原理证明二项式定理． 2.对于二项式定理，主要考查利用通项公式求展开式的特定项、求特定项的系数、利用赋值法求二项式展开式系数问题等. 基础知识梳理 1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________ 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项 式叫(a＋b)n 的二项展开式. 式中的____________叫二项展开式的通项，用 Tr＋1 表示，即通项 Tr＋1＝___________. 注意： （1）它表示的是二项式的展开式的第 r （2）其中 Cn 叫二项式展开式第 r 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为_______. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 (3)字母 a 按 直到 .
0

? 1 项，而不是第 r 项.

r

? 1 项的二项式系数，而二项式展开式第 r ? 1 项的系数是字母幂前的常数.

. ；字母 b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1

排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到

(4)二项式的系数从 C n ，C1 n，一直到 3．二项式系数的性质

，

.

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即 Cn (2)增减性与最大值： 二项式系数 C k n ，当 k ＜

r

? Cnn?r .

n ＋1 时，二项式系数逐增大. 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当 n 是偶数时，中间一项 2

______________取得最大值； 当 n 是奇数时，中间两项__________，__________取得最大值．
1 2 r n (3)各二项式系数和：C0 n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＋?＋Cn＝ 2 4 1 3 5 C0 n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝

； .

4.二项展开式的系数 a0 , a1 , a2 , a3 , ???an 的性质： 对于

f ( x) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?????an xn ， a0 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an ? f (1) ；

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? (?1)n an ? f (?1)
预习自测 1．(2011· 福建)(1＋2x)5 的展开式中，x2 的系数等于( A．80 B．40 C．20 )． D．10

2．若(1＋ 2)5＝a＋b 2(a，b 为有理数)，则 a＋b＝( )． A．45 B．55 C．70 D．80 )．

3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4 的值为( A．9 B．8 C．7 D．6 1

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n

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4．(2011· 重庆)(1＋3x) (其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x 与 x 的系数相等，则 n＝( )． A．6 B．7 C．8 D．9

5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a21x21，则 a10＋a11＝________. 课堂探究案 典型例题 考点 1 二项展开式中的特定项或特定项的系数
3

【典例 1】已知 (

x?

1 2 x
3

)n 的展开式中，第 6 项为常数项．

(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．

【变式 1】 （1） (2011· 山东)若?x－

?

a?6 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为__ x2 ?

_.

（2）已知(1＋x＋x2) ( x ?

1 n ) 的展开式中没有常数项，n∈N*，且 2≤n≤8，n= x3

．

考点 2 二项式中的系数与二项式系数 【典例 2】 （1） 在 ( x （2）若 ( x ? A.10
2

?

1 10 ) 的二项展开式中，x11 的系数是_____. 2x
)

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( x
B.20 C.30 D.120

【变式 2】设(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11＋?＋a11x＋a12，则 a0＋a2＋?＋a10＋a12＝____.

考点 3

二项式定理中的赋值法的应用

【典例 3】二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．

【变式 3】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋?＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|. 2

2015 级高三数学一轮复习学案（理） 考点 4 二项式的和与积

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【典例 4】在(1＋2x)3(1－x)4 的展开式中含 x 项的系数为________． 2 【变式 4】在 x x－ x 考点 5

( ) 的展开式中，x 的系数是________(用数字作答)．
7 4

二项式展开式中的最值问题 1 n ? 【典例 5】已知?x＋ ? 2 x? 的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求 n 的值； (2)展开式中二项式系数最大的项；(3)展开式中系数最大的项．

?x 1 ? 【变式 5】 （1）在 ? ? 3 ? x? ?2
A.-7 （2）已知二项式 ( B.7

n

的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ C.-28 D．28

）

x?

2 n * ) ， （n∈N ）的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10：1， 2 x
3 2

（1）求展开式中各项的系数和； (2)求展开式中含 x 的项； （3）求展开式中二项式系数最大的项.

当堂检测 1 1．二项式 2x－x A．20 2．若二项式 A．6

(

) 的展开式中的常数项是(
6

) C．160 )． D．－160

B．－20

(

x－

2 x

) 的展开式中第 5 项是常数项，则正整数 n 的值可能为(
n

B．10

C．12 ) C．－4

D．15

3.?x (1－t)3dt 的展开式中 x 的系数是(

?0

A．－1 a 4．已知 x－ x A．28 5．设?5x－
8

B．1

D．4 )．

( ) 的展开式中常数项为 1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是(
B．38 C．1 或 38 D．1 或 28

?

1 n ? 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 M－N＝240，则展开式中 x 的系数为( x? B．150 C．300 D．－300 ) D．45

)．

A．－150 6.?

? ?

x＋

1 3

?2n ? 展开式的第 6 项系数最大，则其常数项为( x?
B．252

A．120

C．210

3

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A 组全员必做题 ）

1 ． （2013 新课标Ⅱ）已知 (1 ? ax )(1 ? A． ? 4 B． ? 3

x) 5 的展开式中 x 2 的系数为 5 ,则 a ? （
C． ? 2 D． ? 1

2 ． （2013 新课标Ⅰ）设 m 为正整数, ( x ? 最大值为 b ,若 13a A．5 3 ． （2013 大纲） A． 56
8

y ) 2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y ) 2 m ?1 展开式的二项式系数的
） C．7 D．8 ） D． 168 ）
3

? 7 b ,则 m ? （
B．6
4

?1 ? x ? ?1+y ?
10

的展开式中 x

2

y 2 的系数是（
C． 112

B． 84

4 ． （2013 上海春） (1 ? x) 的二项展开式中的一项是（ A． 45 x B． 90 x
n
2

C． 120 x

D． 252 x

4

5

1 ? ? ． （2013 辽宁）使 ? 3x ? ? ? n ? N? ?的展开式中含有常数项的最小的n为 （ x x? ?
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

）

6 ?? 1? ?? x ? ? , x ? 0, 6 ． （2013 陕西）设函数 f ( x) ? ?? x? ? x ? 0. ? ? x,

则当 x>0 时, f [ f ( x )] 表达式的展开式中常数项为（

）

A．-20

B．20
2

C．-15

D．15 ） D．-40

7． （2013 年高考江西卷（理） ）(x A．80

2 x3

) 展开式中的常数项为（ C．40

5

B．-80

B 组提高选做题 1． （2013 上海春季）36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 36=2 所以 36 的所有正约数之和为 (1 ? 3 ? 3
2
2

? 32 ,

) ? (2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ) ? (22 ? 22 ? 3 ? 22 ? 32 )

? (1 ? 2 ? 22 )(1 ? 3 ? 32 ) ? 91 .参照上述方法,可求得 2000 的所有正约数之和为_______.
2． （2013 四川）二项式 ( x ?

y)5 的展开式中,含 x 2 y 3 的项的系数是_________.(用数字作答)
6

1 ? ? 3． （2013 天津）在 ? x ? ? x? ?

的二项展开式中的常数项为______.

4

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预习自测 1.B 典型例题 【典例 1】 （1）10； （2） 【变式 1】 （1）4； （2）5 【典例 2】 （①）15;（②）B 【变式 2】.8

2.C3.B4.B 5.0

45 45 2 63 45 ?2 x ， T6 ? ? ； T9 ? x ； （3） T3 ? 4 8 256 4

【典例 3】 （1）512； （2） ?1 ； （3）

59 ? 1 2 37 ? 1 7 ； （4 ） 3 2

【变式 3】 （1） ? 2 ； （2） 【典例 4】2 【变式 4】84 【典例 5】 （1）8； （2） T5

?1 ? 37 2

； （3 ）

?

7 35 2 5 x ； （3） T3 ? 7 x ， T4 ? 7 x 2 8
3

【变式 5】 （1）.B 当堂检测 1． 【答案】D

1 ）1； 2 ） ?16 x 2 ； 3 ） 1120 x （2）.（○ （○ （○

?6

1 1 － r 【解析】二项式(2x－ )6 的展开式的通项是 Tr＋1＝C6 ·(2x)6 r· － x x 1 6－3 二项式(2x－ )6 的展开式中的常数项是 C3 ·(－1)3＝－160. 6·2 x 2． 【答案】C
n 【解析】Tr＋1＝Cr n( x)
－r

( ) ＝C ·2
r r 6

6－r

·(－1)r·x6

－2r

.令 6－2r＝0，得 r＝3，因此

( )
－ 2 x

r

r x ＝(－2)rCn

n ?3r 2

n－3r ，当 r＝4 时， ＝0，又 n∈N*，∴n＝12. 2

3. 【答案】B

? ?1 ? x ?4 ? x 【解析】 ? (1－t) dt＝ ? ? ?? ?0 ?0 4 ? ? ? ? C1 4 ? ?1? － ＝1. 4
x 3

?1 ? x ? ＝?
4

4

1 ＋ ，故这个展开式中 x 的系数是 4

4． 【答案】C
4 8 8 【解析】由题意知 C4 8·(－a) ＝1120，解得 a＝±2，令 x＝1，得展开式各项系数和为(1－a) ＝1 或 3 .

5． 【答案】B 【解析】由已知条件 4n－2n＝240，解得 n＝4，
4－r Tr＋1＝Cr 4(5x)

?－ 1 ?r＝(－1)r54 ? x?

－r

Cr 4

x

3 4? r 2

， 5

2015 级高三数学一轮复习学案（理） 3r 令 4－ ＝1，得 r＝2，T3＝150x. 2 6【答案】C

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【解析】 根据二项式系数的性质，得 2n＝10，故二项式?
5 1 5? r 5 ? 10－r ? 6 Tr＋1＝Cr ·? 3 ?r＝Cr ，根据题意 5－ 10( x) 10 x 6 ? x?

? ?

x＋

1 3

?2n ? 的展开式的通项公式是 x?

4 r ＝0，解得 r＝6，故所求的常数项等于 C6 10＝C10＝210.

A 组全员必做题 课后拓展案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6. A 7.C B 组提高选做题 1.4836 2.10 3.15

6