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2015高三数学一轮复习058二项式定理


2015 级高三数学一轮复习学案(理)

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编号:058

第五十八课时 二项式定理 课前预习案 考纲要求 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.对于二项式定理,主要考查利用通项公式求展开式的特定项、求特定项的系数、利用赋值法求二项式展开式系数问题等. 基础知识梳理 1.二项式定理:(a+b)n=_________________________________________ 这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项 式叫(a+b)n 的二项展开式. 式中的____________叫二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,即通项 Tr+1=___________. 注意: (1)它表示的是二项式的展开式的第 r (2)其中 Cn 叫二项式展开式第 r 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为_______. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 (3)字母 a 按 直到 .
0

? 1 项,而不是第 r 项.

r

? 1 项的二项式系数,而二项式展开式第 r ? 1 项的系数是字母幂前的常数.

. ;字母 b 按 排列,从第一项起,次数由零逐项增 1

排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到

(4)二项式的系数从 C n ,C1 n,一直到 3.二项式系数的性质



.

(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即 Cn (2)增减性与最大值: 二项式系数 C k n ,当 k <

r

? Cnn?r .

n +1 时,二项式系数逐增大. 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的;当 n 是偶数时,中间一项 2

______________取得最大值; 当 n 是奇数时,中间两项__________,__________取得最大值.
1 2 r n (3)各二项式系数和:C0 n+Cn+Cn+?+Cn+?+Cn= 2 4 1 3 5 C0 n+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=

; .

4.二项展开式的系数 a0 , a1 , a2 , a3 , ???an 的性质: 对于

f ( x) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?????an xn , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an ? f (1) ;

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? (?1)n an ? f (?1)
预习自测 1.(2011· 福建)(1+2x)5 的展开式中,x2 的系数等于( A.80 B.40 C.20 ). D.10

2.若(1+ 2)5=a+b 2(a,b 为有理数),则 a+b=( ). A.45 B.55 C.70 D.80 ).

3.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a0+a2+a4 的值为( A.9 B.8 C.7 D.6 1

2015 级高三数学一轮复习学案(理)
n

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4.(2011· 重庆)(1+3x) (其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x 与 x 的系数相等,则 n=( ). A.6 B.7 C.8 D.9

5.(2011·安徽)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+?+a21x21,则 a10+a11=________. 课堂探究案 典型例题 考点 1 二项展开式中的特定项或特定项的系数
3

【典例 1】已知 (

x?

1 2 x
3

)n 的展开式中,第 6 项为常数项.

(1)求 n;(2)求含 x2 的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.

【变式 1】 (1) (2011· 山东)若?x-

?

a?6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为__ x2 ?

_.

(2)已知(1+x+x2) ( x ?

1 n ) 的展开式中没有常数项,n∈N*,且 2≤n≤8,n= x3



考点 2 二项式中的系数与二项式系数 【典例 2】 (1) 在 ( x (2)若 ( x ? A.10
2

?

1 10 ) 的二项展开式中,x11 的系数是_____. 2x
)

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( x
B.20 C.30 D.120

【变式 2】设(x-1)4(x+2)8=a0x12+a1x11+?+a11x+a12,则 a0+a2+?+a10+a12=____.

考点 3

二项式定理中的赋值法的应用

【典例 3】二项式(2x-3y)9 的展开式中,求: (1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.

【变式 3】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7.求: (1)a1+a2+?+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (2)a1+a3+a5+a7; (4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|. 2

2015 级高三数学一轮复习学案(理) 考点 4 二项式的和与积

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【典例 4】在(1+2x)3(1-x)4 的展开式中含 x 项的系数为________. 2 【变式 4】在 x x- x 考点 5

( ) 的展开式中,x 的系数是________(用数字作答).
7 4

二项式展开式中的最值问题 1 n ? 【典例 5】已知?x+ ? 2 x? 的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求 n 的值; (2)展开式中二项式系数最大的项;(3)展开式中系数最大的项.

?x 1 ? 【变式 5】 (1)在 ? ? 3 ? x? ?2
A.-7 (2)已知二项式 ( B.7

n

的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( C.-28 D.28



x?

2 n * ) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1, 2 x
3 2

(1)求展开式中各项的系数和; (2)求展开式中含 x 的项; (3)求展开式中二项式系数最大的项.

当堂检测 1 1.二项式 2x-x A.20 2.若二项式 A.6

(

) 的展开式中的常数项是(
6

) C.160 ). D.-160

B.-20

(

x-

2 x

) 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值可能为(
n

B.10

C.12 ) C.-4

D.15

3.?x (1-t)3dt 的展开式中 x 的系数是(

?0

A.-1 a 4.已知 x- x A.28 5.设?5x-
8

B.1

D.4 ).

( ) 的展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是(
B.38 C.1 或 38 D.1 或 28

?

1 n ? 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开式中 x 的系数为( x? B.150 C.300 D.-300 ) D.45

).

A.-150 6.?

? ?

x+

1 3

?2n ? 展开式的第 6 项系数最大,则其常数项为( x?
B.252

A.120

C.210

3

2015 级高三数学一轮复习学案(理)

编写: 课后拓展案

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A 组全员必做题 )

1 . (2013 新课标Ⅱ)已知 (1 ? ax )(1 ? A. ? 4 B. ? 3

x) 5 的展开式中 x 2 的系数为 5 ,则 a ? (
C. ? 2 D. ? 1

2 . (2013 新课标Ⅰ)设 m 为正整数, ( x ? 最大值为 b ,若 13a A.5 3 . (2013 大纲) A. 56
8

y ) 2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y ) 2 m ?1 展开式的二项式系数的
) C.7 D.8 ) D. 168 )
3

? 7 b ,则 m ? (
B.6
4

?1 ? x ? ?1+y ?
10

的展开式中 x

2

y 2 的系数是(
C. 112

B. 84

4 . (2013 上海春) (1 ? x) 的二项展开式中的一项是( A. 45 x B. 90 x
n
2

C. 120 x

D. 252 x

4

5

1 ? ? . (2013 辽宁)使 ? 3x ? ? ? n ? N? ?的展开式中含有常数项的最小的n为 ( x x? ?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7



6 ?? 1? ?? x ? ? , x ? 0, 6 . (2013 陕西)设函数 f ( x) ? ?? x? ? x ? 0. ? ? x,

则当 x>0 时, f [ f ( x )] 表达式的展开式中常数项为(



A.-20

B.20
2

C.-15

D.15 ) D.-40

7. (2013 年高考江西卷(理) )(x A.80

2 x3

) 展开式中的常数项为( C.40

5

B.-80

B 组提高选做题 1. (2013 上海春季)36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 36=2 所以 36 的所有正约数之和为 (1 ? 3 ? 3
2
2

? 32 ,

) ? (2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ) ? (22 ? 22 ? 3 ? 22 ? 32 )

? (1 ? 2 ? 22 )(1 ? 3 ? 32 ) ? 91 .参照上述方法,可求得 2000 的所有正约数之和为_______.
2. (2013 四川)二项式 ( x ?

y)5 的展开式中,含 x 2 y 3 的项的系数是_________.(用数字作答)
6

1 ? ? 3. (2013 天津)在 ? x ? ? x? ?

的二项展开式中的常数项为______.

4

2015 级高三数学一轮复习学案(理)

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编号:058

预习自测 1.B 典型例题 【典例 1】 (1)10; (2) 【变式 1】 (1)4; (2)5 【典例 2】 (①)15;(②)B 【变式 2】.8

2.C3.B4.B 5.0

45 45 2 63 45 ?2 x , T6 ? ? ; T9 ? x ; (3) T3 ? 4 8 256 4

【典例 3】 (1)512; (2) ?1 ; (3)

59 ? 1 2 37 ? 1 7 ; (4 ) 3 2

【变式 3】 (1) ? 2 ; (2) 【典例 4】2 【变式 4】84 【典例 5】 (1)8; (2) T5

?1 ? 37 2

; (3 )

?

7 35 2 5 x ; (3) T3 ? 7 x , T4 ? 7 x 2 8
3

【变式 5】 (1).B 当堂检测 1. 【答案】D

1 )1; 2 ) ?16 x 2 ; 3 ) 1120 x (2).(○ (○ (○

?6

1 1 - r 【解析】二项式(2x- )6 的展开式的通项是 Tr+1=C6 ·(2x)6 r· - x x 1 6-3 二项式(2x- )6 的展开式中的常数项是 C3 ·(-1)3=-160. 6·2 x 2. 【答案】C
n 【解析】Tr+1=Cr n( x)
-r

( ) =C ·2
r r 6

6-r

·(-1)r·x6

-2r

.令 6-2r=0,得 r=3,因此

( )
- 2 x

r

r x =(-2)rCn

n ?3r 2

n-3r ,当 r=4 时, =0,又 n∈N*,∴n=12. 2

3. 【答案】B

? ?1 ? x ?4 ? x 【解析】 ? (1-t) dt= ? ? ?? ?0 ?0 4 ? ? ? ? C1 4 ? ?1? - =1. 4
x 3

?1 ? x ? =?
4

4

1 + ,故这个展开式中 x 的系数是 4

4. 【答案】C
4 8 8 【解析】由题意知 C4 8·(-a) =1120,解得 a=±2,令 x=1,得展开式各项系数和为(1-a) =1 或 3 .

5. 【答案】B 【解析】由已知条件 4n-2n=240,解得 n=4,
4-r Tr+1=Cr 4(5x)

?- 1 ?r=(-1)r54 ? x?

-r

Cr 4

x

3 4? r 2

, 5

2015 级高三数学一轮复习学案(理) 3r 令 4- =1,得 r=2,T3=150x. 2 6【答案】C

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编号:058

【解析】 根据二项式系数的性质,得 2n=10,故二项式?
5 1 5? r 5 ? 10-r ? 6 Tr+1=Cr ·? 3 ?r=Cr ,根据题意 5- 10( x) 10 x 6 ? x?

? ?

x+

1 3

?2n ? 的展开式的通项公式是 x?

4 r =0,解得 r=6,故所求的常数项等于 C6 10=C10=210.

A 组全员必做题 课后拓展案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6. A 7.C B 组提高选做题 1.4836 2.10 3.15

6



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