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2015世纪金榜理科数学(广东版)课时提升作业(二十三) 3.8


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课时提升作业(二十三)
应 用 举 例 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据,不能确定 A,B 间距离的是 ( ) 10

0 分)

A.α ,a,b

B.α ,β ,a

C.a,b,γ

D.α ,β ,b

2.(2014·济南模拟)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一 测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计 算出 A,B 两点间的距离为 ( A.50 错误!未找到引用源。m C.25 错误!未找到引用源。m ) B.50 错误!未找到引用源。m D.错误!未找到引用源。m

3.(2014·开封模拟)某人向正东方向走 xkm 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好是错误!未找到引用源。km,那么 x 的值为 (
-1-

)

A.错误!未找到引用源。

B.2 错误!未找到引用源。 D.3

C. 错 误 !

未找到引用源。或 2 错误!未找到引用源。

4.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20m 高的旗杆,甲观测的仰角为 50°,乙观测的仰角为 40°,用 d1,d2 分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么 有 ( ) B.d1<d2 D.d2<20m

A.d1>d2 C.d1>20m

5.(2014·宁德模拟)已知△ABC 的面积为错误!未找到引用源。,AC=错误!未找 到引用源。,∠ABC=错误!未找到引用源。,则△ABC 的周长等于 ( A.3+错误!未找到引用源。 C.2+错误!未找到引用源。 B.3 错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 )

6.(2014·长春模拟)如图,在湖面上高为 10m 处测得天空中一朵云的仰角为 30°,测得湖中之影的俯角为 45°,则云距湖面的高度为(精确到 0.1m)( )

A.2.7 m

B.17.3 m

C.37.3 m

D.373 m

7.在△ABC 中,a 比 c 长 4,b 比 c 长 2,且最大角的余弦值是-错误! 未找到引用源。 , 则△ABC 面积等 于( ) B.错误!未找到引用源。 C. 错 误 !

A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。
-2-

8.△ABC 中,A∶B=1∶2,∠ACB 的平分线 CD 把△ABC 的面积分成 3∶2 两部分,则 cosA 等于 ( ) B.错误!未找到引用源。 D.0 C.

A.错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.在?ABCD 中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则?ABCD 的对角线 AC 长为 面积为 . ,

10.(2014· 广州模拟)已知 A 船在灯塔 C 东偏北 10°处,且 A 到 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 40°,A,B 两船的距离为 3km,则 B 到 C 的距离为 11.(2014·云南师大附中模拟)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2,B=错误!未找到引用源。且 sin2A+sin(A-C)=sinB,则△ABC 的面 积为 . km.

12.(能力挑战题)某城市为加强对建筑文物的保护,计划对该市的所有建筑文物 进行测量,如图是一座非常著名的古老建筑,其中 A 是烟囱的最高点,选择一条水 平基线 HG,使得 H,G,B 三点在同一条直线上,AB 与水平基线 HG 垂直,在相距为 60 m 的 G,H 两点用测角仪测得 A 的仰角∠ACE,∠ADE 分别为 75°,30°,已知测 角仪器的高 BE=1.5 m,则 AB= 1.4,错误!未找到引用源。≈1.7) m.(参考数据:错误!未找到引用源。≈

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三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014·肇庆模拟)如图,在△ABC 中,已知∠B=45°, D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 14.(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c.已知 c=2,acosB-bcosA=错误!未找到引用源。. (1)求 bcosA 的值. (2)若 a=4,求△ABC 的面积. 15.(能力挑战题)(2013· 江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 1260m, 经测量,cosA=错误!未找到引用源。,cosC=错误!未找到引用源。.

(1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 什么范围内?

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答案解析
1.【解析】选 A.选项 B 中由正弦定理可求 b,再由余弦定理可确定 AB.选项 C 中 可由余弦定理确定 AB.选项 D 同 B 类似. 2.【解析】选 A.因为∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠CBA=30°,在△ABC 中,由 正弦定理,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。, 所以 AB=50 错误!未找到引用源。(m),故选 A. 【加固训练】 如图所示,为测一建筑物的高度,在地面 上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得建筑物顶端的 仰角为 30°,45°,且 A,B 两点间的距离为 60m,则该 建筑物的高度为 ( ) B.(30+15 错误!未找到引用源。)m D.(15+15 错误!未找到引用源。)m

A.(30+30 错误!未找到引用源。)m C.(15+30 错误!未找到引用源。)m

【解析】选 A.在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60, sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=错误!未找到引用 源。×错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, 由正弦定理,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 PB=错误!未找到引用源。=30(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。), 所以建筑物的高度为 PBsin45°=30(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。)×错误!未找到引用源。
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=(30+30 错误!未找到引用源。)m. 3. 【解析】选 C. 如图所示 , 设此人从 A 出发 , 则 AB=xkm,BC=3km,AC= 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 km, ∠ ABC=30°, 由余弦定理,得(错误!未找到引用源。)2=x2+32-2x〃3〃cos30°, 整理得 x2-3 错误!未找到引用源。x+6=0,解得 x=错误!未找到引用源。或 2 错 误!未找到引用源。. 4.【解析】选 B.由 tan50°=错误!未找到引用源。,tan40°=错误!未找到引 用源。及 tan 50°>tan 40°可知,d1<d2. 5.【解析】选 A.由题意可得错误!未找到引用源。AB〃BC〃sin∠ABC=错误!未 找到引用源。, 即错误! 未找到引用源。 AB〃 BC〃 错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 , 所以 AB〃BC=2. 再由余弦定理可得 3=AB2+BC2-2AB〃BC〃cos 错误!未找到引用源。=AB2+BC2-2, 所以 AB2+BC2=5, 所以(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB〃BC=5+4=9, 所以 AB+BC=3,所以△ABC 的周长等于 AB+BC+AC=3+错误!未找到引用源。,故选 A. 6.【解析】选 C.在△ACE 中,tan 30°=错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。. 所以 AE=错误!未找到引用源。. 在△AED 中,tan 45°=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,
-6-

所以 AE=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 CM=错误!未找到引用源。=10(2+错误!未找到引用源。)≈37.3(m). 7.【思路点拨】先利用余弦定理求出三边,再选择与最大角有关的面积公式求面 积. 【解析】选 B.由题意得 a=c+4,b=c+2,则 A 为最大角, cosA=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。, 即 c2-4c-12=-c2-2c. 即 c2-c-6=0. 解得 c=3,或 c=-2(舍), 所以 a=7,b=5,A=120°. 所以 S△ABC=错误!未找到引用源。bcsinA=错误!未找到引用源。×5×3×错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 8.【思路点拨】先根据角平分线的性质,将面积比转化为三角形中两边的关系, 再由正弦定理构造方程求解. 【解析】选 C.因为 CD 为∠ACB 的平分线, 所以 D 到 AC 与 D 到 BC 的距离相等. 所以△ACD 中 AC 边上的高与△BCD 中 BC 边上的高相等. 因为 S△ACD∶S△BCD=3∶2,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由正弦定理,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,又因为 B=2A, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错
-7-

误!未找到引用源。,所以 cosA=错误!未找到引用源。. 9.【解析】在? ABCD 中,连接 AC,则 CD=AB=6, ∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°. 根据余弦定理,得 AC=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=3 错误!未找到引用源。. ?ABCD 的面积 S=2S△ABD=AB〃AD〃sin∠BAD =6×3sin60°=9 错误!未找到引用源。. 答案:3 错误!未找到引用源。 9 错误!未找到引用源。

10.【解析】如图,依题意可知:AB=3km,AC=2km, ∠ACB=120°, 设 BC=x. 在△ABC 中,由余弦定理知: 32=22+x2-4xcos120°, 即 x2+2x-5=0, 解得 x=错误!未找到引用源。-1(负值舍去). 答案:(错误!未找到引用源。-1) 11.【解析】因为 sin2A=sinB-sin(A-C), 所以 2sinAcosA=sin(A+C)-sin(A-C), 所以 2sinAcosA=2cosAsinC. 因为△ABC 是锐角三角形,所以 cosA≠0, 所以 sinA=sinC,即 A=C=B=错误!未找到引用源。,
-8-

所以 S△ABC=错误!未找到引用源。×2×2×错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 12.【解析】因为∠ACE=75°,∠ADC=30°,所以∠CAD=45°,在△ACD 中,CD=60, 由正弦定理得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则 AC=30 错误! 未找到引用源。. 在 Rt△AEC 中,AE=ACsin75°,而 sin75°=sin(30°+45°)=错误! 未找到引用源。 , 所以 AE=15(1+错误! 未找到引用源。 )≈40.5(m),故 AB=AE+EB=40.5+1.5=42(m). 答案:42 13.【解析】在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=-错误! 未找到引用源。, 所以∠ADC=120°, 所以∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 AB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =5 错误!未找到引用源。. 14.【解析】(1)因为 acosB-bcosA=错误!未找到引用源。,根据余弦定理得, a〃错误!未找到引用源。-b〃错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 2a2-2b2=7c,又因为 c=2,所以 a2-b2=7, 所以 bcosA=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。.
-9-

(2)由 acosB-bcosA=错误!未找到引用源。及 bcosA=-错误!未找到引用源。, 得 acosB=错误!未找到引用源。, 又因为 a=4,所以 cosB=错误!未找到引用源。, 所以 sinB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 S△ABC=错误!未找到引用源。acsinB=错误!未找到引用源。. 【方法技巧】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S=错误! 未找到引用源。 absinC=错误! 未找到引用源。 acsinB= 错误!未找到引用源。bcsinA,一般是已知哪一个角就使用与该角正弦值有关的 面积公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 15.【思路点拨】(1)利用正弦定理确定出 AB 的长.(2)先设再建立时间 t 与甲、 乙间距离 d 的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件“使两位游客在 C 处 互相等待的时间不超过 3 分钟”建立不等关系求解. 【解析】(1)在△ABC 中,因为 cosA=错误!未找到引用源。,cosC=错误!未找到 引用源。, 所以 sinA=错误! 未找到引用源。 ,sinC=错误! 未找到引用源。 .从而 sinB=sin[π -(A+C)] =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。×错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由正弦定理错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得 AB=错误!未找到引用源。×sinC=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用
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源。=1040(m). 所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙 距离 A 处 130tm,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t) ×错误!未找到引用源。=200(37t2-70t+50), 因 0≤t≤错误!未找到引用源。,即 0≤t≤8, 故当 t=错误!未找到引用源。(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 得 BC=错误!未找到引用源。×sinA=错误!未找到引用源。×错误!未找到引 用源。=500(m). 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 vm/min, 由题意得-3≤错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。≤3,解得错误!未 找到引用源。≤v≤错误!未找到引用源。,所以为使两位游客在 C 处互相等待 的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在错误! 未找到引用源。 (单位:m/min) 范围内. 【加固训练】如图,甲船以每小时 30 错误!未找到引用 源。 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线 航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟 到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 错误!未找到引用源。海里.问:乙
- 11 -

船每小时航行多少海里? 【解析】如图,连接 A1B2,由已知 A2B2=10 错误!未找到引用源。, A1A2=30 错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=10 错误!未找到引用 源。, 所以 A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180°-120°=60°, 所以△A1A2B2 是等边三角形, 所以 A1B2=A1A2=10 错误!未找到引用源。. 由已知,A1B1=20, 所以∠B1A1B2=105°-60°=45°, 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1 错误!未找到引用源。=A1 错误!未找到引用源。+A1 错误!未找到引用源。 -2A1B1〃A1B2〃cos 45° =202+(10 错误!未找到引用源。)2-2×20×10 错误!未找到引用源。×错误! 未找到引用源。=200, 所以 B1B2=10 错误!未找到引用源。. 因此,乙船的速度为错误! 未找到引用源。 =30 错误! 未找到引用源。 (海里/时).

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