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广东省肇庆市2015-2016学年高二下学期期末考试理科数学试题(word版)


试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2015—2016 学年第二学期统一检测题

高二数学(理科)
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将考生号涂黑. 2. 选

择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式: 参考公式:线性回归方程 y

?? b

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

?(x ? x)
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 i

n

i

? nx ? y ? nx 2

2

?x
i ?1

n

?x ,其中 x , y 表示样本均值. ? ? y ?b ,a

2 i

n(ad ? bc) 2 2 ? 2 列联表随机变量 K ? . P( K 2 ? k ) 与 k 对应值表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设 i 是虚数单位,则复数

2i 在复平面内所对应的点位于 1? i

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 (A)

1 10
1 x 0

(B)

3 10

(C)

3 5

(D)

9 10

(3)定积分

? ? 2x ? e ?dx 的值为
(B) e ? 1 (C) e (D) e ? 1
高二数学(理科)第 1 页 共 9 页

(A) e ? 2

(4)已知 p 是 q 的充分不必要条件,则 ? q 是 ? p 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也必要条件

2 (5)已知随机变量 X 服从正态分布 N 3, ? , 且 P ? X ? 4? ? 0.84 , 则 P ? 2 ? X ? 4? ?

?

?

(A) 0.84

(B) 0.68

(C) 0.32

(D) 0.16

(6)设函数 f ? x ? 在 R 上可导,其导函数为 f ' ? x ? ,且函数 y ? ?1 ? x ? f ' ? x ? 的图象如图所 示,则下列结论中一定成立的是 (A)函数 f ? x ? 有极大值 f ? 2 ? 和极小值 f ?1? (B)函数 f ? x ? 有极大值 f ? ?2? 和极小值 f ?1? (C)函数 f ? x ? 有极大值 f ? 2 ? 和极小值 f ? ?2? (D)函数 f ? x ? 有极大值 f ? ?2? 和极小值 f ? 2 ?

3 ? bi (b ? R ) 的实部和虚部相等,则 | z | 等于 2?i (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 (D) 2 (8)将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,
(7)如果复数 z ? 则不同的排列方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)36 种 (9)通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 爱好 不爱好 总计 40 20 60 20 30 50 60 50 110

则下列结论正确的是 (A)有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” (B)有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” (C)在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” (D)在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” (10)下列四个结论正确的是 ①若 p ? q 是真命题,则 ? p 可能是真命题; ②命题“ ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” ;
2

③“ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的充要条件; ④当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 在区间 (0, ??) 上单调递减. (A)①④ (B)②③ (C)①③
?

(D)②④

高二数学(理科)第 2 页 共 9 页

(11)在 x ? x ? y 的展开式中, x5 y 2 的系数为
2

?

?

5

(A)10

(B)20

(C)30

(D)60

(12)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1,其导函数 f ' ? x ? 满足 f ' ? x ? ? k ? 1 ,则 下列结论中一定错误的是 (A)f ?

?1? 1 (B)f ?? ?k? k

1 1 k ?1? ? 1 ? ? 1 ? (C)f ? (D) f ? ? ?? ?? ?? ? k ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)若 ? x ? a ? 的展开式中, x 的系数为 15,则 a = ▲
10

7

.

( 14 )6 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内,每坑 2 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5 ,如果一 个坑内至少有 1 粒种子发芽,那么这个坑不需要补种,则 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补 种的概率为 ▲ (用数字作答) . (15)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? bx ,直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? f ( x) 相切,则 b ? (16)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元). ▲ .

根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 6.5 x ? 17.5 , 则表中 t 的值
^

为 ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? , ( ? 为参数). 以坐标 ? y ? 2 ? sin ?

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 . (Ⅰ)求 C1 和 C2 在直角坐标系下的普通方程; (Ⅱ)已知直线 l : y ? x 和曲线 C1 交于 M , N 两点,求弦 MN 中点的极坐标.

高二数学(理科)第 3 页 共 9 页

(18) (本小题满分 12 分) 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表: 价格 x (元/kg) 日需求量 y (kg) 10 11 15 10 20 8 25 6 30 5

(Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)当价格 x ? 40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少?

(19) (本小题满分 12 分) 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产 品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值(数学期望). (20) (本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AC ? BC , BC ? CC1 .设 AB1 的中 点为 D , B1C I BC1 ? E . (Ⅰ)证明: DE∥ 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)证明: BC1 ? AB1 . (21) (本小题满分 12 分)
x
A1 A C

B D E C1

B1

已知函数 f ? x ? ? e ? 2ax( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ? x ? 在点 A 处的切线斜率为 ?1 . (Ⅰ)求 a 的值及函数 f ? x ? 的极值;
2 x (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, x ? 1 ? e .

(22) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) , g ( x) ? xf ?( x) , x ? 0 ,其中 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数. (Ⅰ)若 f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 n ? N ,证明:
*

1 1 1 ? ? ?? ? ln ? n ? 1? . 2 3 n ?1
高二数学(理科)第 4 页 共 9 页

2015—2016 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 D 7 A 8 A 9 A 10 D 11 C 12 C

二、填空题 (13)

1 2

(14)

9 64

(15)0

(16)50

三、解答题 (17) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? x ? 1 ? cos ? , ? x ? 1 ? cos ? , 2 2 2 2 得? ,得 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? = cos ? ? sin ? =1 , ? y ? 2 ? sin ? ? y ? 2 ? sin ?
2 2

所以 C1 的普通方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? =1 . 因为 x ? ? cos ? ,所以 C2 的普通方程为 x ? ?2 .
2 2 ? ?? x ? 1? ? ? y ? 2 ? =1 2 (Ⅱ)由 ? 得 x ? 3x ? 2 ? 0 ? ?y ? x x1 ? x2 3 3 3 ? ,弦 MN 中点的横坐标为 ,代入 y ? x 得纵坐标为 , 2 2 2 2

(3 分) (5 分)

(7 分)

(9 分)

弦 MN 中点的极坐标为: ?

?? ?3 2, ? 4? ?2

(10 分)

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) x ?

1 ?10 ? 15 ? 20 ? 25 ? 30 ? ? 20 , 5

(1 分) (2 分)

y?
5

1 ?11 ? 10 ? 8 ? 6 ? 5 ? ? 8 , 5
2 2 2 i

? ? x ? x ? ? ? ?10? ? ? ?5?
i ?1

? 02 ? 52 ? 102 ? 250 ,
高二数学(理科)第 5 页 共 9 页

(3 分)

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ?10 ? 3 ? ? ?5? ? 2 ? 0? 0 ? 5? ? ?2? ?10? ? ?3? ? ?80 .(4 分)
5 i ?1 i i

b?

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

??
5 i ?1

xi ? x

?

2

?

?80 ? ?0.32 . 250

(6 分)

a ? y ? bx ? 8 ? 0.32 ? 20 ? 14.4 .
所求线性回归方程为 ? y ? ?0.32x ? 14.4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 x ? 40 时, ? y ? ?0.32 ? 40 ?14.4 ? 1.6 . 故当价格 x ? 40 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg.

(8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,则

P ? A? ?

1 1 A2 A3 3 ? . A52 10

(4 分) (5 分) (6 分)

(Ⅱ)X 的可能取值为 200,300,400.

P ? X ? 200 ? ? P ? X ? 300 ? ?

2 A2 1 ? , 2 A5 10 3 1 1 2 A3 ? C2 C3 A2 3 ? , 3 A5 10

(7 分)

P ? X ? 400 ? ? 1 ? P ? X ? 200 ? ? P ? X ? 300 ? ? 1 ?
1 1 3 1 2 3 C2 A3 A3 ? A2 C3 A3 3 ( P ? X ? 400 ? ? ? ) 4 A5 5

1 3 6 3 ? ? ? , (8 分) 10 10 10 5

故 X 的分布列为

(9 分) 200 300 400

X
P

1 10

3 10

3 5

高二数学(理科)第 6 页 共 9 页

EX ? 200 ?

1 3 6 ? 300 ? ? 400 ? ? 350 . 10 10 10

(12 分)

(20) (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)依题意知 E 是 BC1 的中点,又因为 D 是 AB1 的中点, 所以 DE 是 ?ACB1 的中位线,所以 DE / / AC . 又因为 DE ? 面ACC1 A 1 , AC ? 面ACC1 A 1, 所以 DE∥ 平面 AAC 1 1C . (2 分)

A

C

B D A1 E C1

(3 分) (5 分)
B1

(Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 面ABC , AC ? 面ABC ,所以 AC ? CC1 . (6 分) 又因为 AC ? BC, BC ? CC1 ? C ,所以 AC ? 面BCC1B1 . 又因为 BC1 ? 面BCC1B1 ,所以 BC1 ? AC . 因为 BC =CC1 ,所以矩形 BCC1B1 是正方形,所以 BC1 ? B1C . 因为 AC, B1C ? 面B1 AC , AC ? B1C ? C ,所以 BC1 ? 面B1 AC . 又因为 AB1 ? 面B1 AC ,所以 BC1 ? AB1 . (7 分) (8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? e ? 2ax ,得 f ' ? x ? ? e ? 2a .
x x

(1 分) (2 分) (3 分)

又 f ' ? 0? ? 1 ? 2a= ?1,得 a ? ?1 .
x x ∴ f ( x) ? e ? 2 x , f ?( x) ? e ? 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .

当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??,ln 2) 上单调递减;当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (ln 2, ??) 是单调递增; (4 分)

ln 2 ∴当 x ? ln 2 时, f ( x ) 取得极小值,且极小值为 f (ln 2) ? e ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ,无极大

高二数学(理科)第 7 页 共 9 页

值. (Ⅱ)令 g ? x ? ? ex ? x2 ?1 ,则 g ' ? x ? ? ex ? 2x . 由(Ⅰ)得 g ?( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 故 g ( x ) 在 R 上单调递增,又 g ? 0 ? ? 0 ,
2 x ∴当 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即 x ? 1 ? e .

(6 分) (8 分) (10 分) (11 分) (12 分)

(22) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ' ? x ? ?

1 x ,所以 g ? x ? ? (x?0) . 1? x 1? x
ax 恒成立. 1? x

(1 分)

已知 f ? x ? ? ag ? x ? 恒成立,即 ln ?1 ? x ? ? 设 ? ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

1 a x ?1? a ax ? ? (x?0) ,则 ? ? ? x ? ? . 2 2 1 ? x ?1 ? x ? 1? x ?1 ? x ?

(2 分)

当 a ? 1 时, ? ?( x ) ? 0 (仅当 x ? 0 , a ? 1 时等号成立) ,∴ ? ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调递增,又

? ? 0? ? 0 ,∴ ? ? x ? ? 0 在 ?0, ?? ? 上恒成立.
即 a ? 1 时, ln ?1 ? x ? ?

(3 分) (4 分)

ax 恒成立(仅当 x ? 0 时等号成立). 1? x

当 a ? 1 时,对 x ? ? 0, a ? 1? 恒有 ? ? ? x ? ? 0 ,∴ ? ? x ? 在 ? 0, a ? 1? 上单调递减, ∴ ? ? a ? 1? ? ? ? 0? ? 0 . 即 a ? 1 时,存在 x ? 0 ,使 ? ? x ? ? 0 ,故知 ln ?1 ? x ? ? 综上可知, a 的取值范围是 ? ??,1? . (Ⅱ)证法一: 在(Ⅰ)中取 a ? 1 ,可得 ln ?1 ? x ? ? 令x? (5 分)

ax 不恒成立. 1? x

(6 分) (7 分)

x ,x?0. 1? x

(8 分) (9 分)

1 1 n ?1 * , n ? N ,则 . ? ln n n ?1 n

下面用数学归纳法证明:
高二数学(理科)第 8 页 共 9 页

①当 n ? 1 时,

1 ? ln 2 ,结论成立. 2

(10 分)

1 1 1 ②假设当 n ? k 时结论成立,即 ? ? ? ? ? ln ? k ? 1? . 2 3 k ?1
那么当 n ? k ? 1 时, 即结论成立. 由①②可知,结论对 n ? N 成立.
*

1 1 1 1 1 k ?2 ? ? ?? ? ? ln ? k ? 1? ? ? ln ? k ? 1? ? ln ? ln ? k ? 2? , 2 3 k ?1 k ? 2 k ?2 k ?1
(11 分) (12 分)

证法二 : 在(Ⅰ)中取 a ? 1 ,可得 ln ?1 ? x ? ? 令x?

x ,x?0. 1? x

(8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

1 n ?1 1 * , n ? N ,则 ln . ? n n n ?1 1 1 1 , ln 3 ? ln 2 ? ,?, ln ? n ? 1? ? ln n ? , 2 3 n ?1

故有 ln 2 ? ln1 ?

上述各式相加可得 ln ? n ? 1? ? 证法三: y

1 1 1 ,结论得证. ? ? ?? 2 3 n ?1

x y? 1? x

? O 1 2 3
n?1

n

x

如图, ?

n

0

x x 1 2 n ,x ? n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积, 而 ? ? ?? dx 是由曲线 y ? 1? x x ?1 2 3 n ?1

是图中所示各矩形的面积和, ∴
n n? 1 2 n x 1 ? ? ??? ?? dx ? ? ?1 ? ?dx ? n ? ln ? n ? 1? ,结论得证. 0 0 2 3 n ?1 1? x ? 1? x ?

高二数学(理科)第 9 页 共 9 页


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