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河北省唐山市玉田县林南仓中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


河北省唐山市玉田县林南仓中学 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)直线 xtan A. +y+2=0 的倾斜角 α 是() B. C. D.﹣

2. (5 分)在空间直角坐标系中,点 M(﹣3,1,

5) ,关于 x 轴对称的点的坐标是() A.(﹣3,﹣1,﹣5) B. (﹣3,1,﹣5) C. (3,1,﹣5) D. (3,﹣1,﹣5) 3. (5 分)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1、S2,则 S1:S2=() A.1:1 B.2:1 C.3:2 D.4:1 4. (5 分)过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是() A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0 5. (5 分)已知两条直线 l1:x+y﹣2=0,l2:3x+ay+2=0,且 l1⊥l2,则 a=() A.﹣ B . ﹣3 C. D.3

6. (5 分)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,BC=2,DD1=3,则 AC 与 BD1 所成角的 余弦值为() A.0 B. C. ﹣ D.

7. (5 分)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,给出下列命题,其中正确的是() ①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β A.②④ B.②③④ C.①③ D.①②③ 8. (5 分)圆 A.两圆相交 B.两圆相外切 与圆 C.两圆相内切 的位置关系为() D.两圆相离

9. (5 分)有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为()

A.4+

B.4+

C.4+

D.4+π

10. (5 分)如图,ABCD 为正四面体,AD⊥面 α 于点 A,点 B、C、D 均在平面 α 外,且在 平面 α 的同一侧,线段 BC 的中点为 E,则直线 AE 与平面 α 所成角的正弦值为()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则下列结论中错误的是()

A.AC⊥BE B. A1C⊥平面 AEF C. 三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE、BF 所成的角为定值 12. (5 分)已知 P 是直线 l:3x﹣4y+11=0 上的动点,PA、PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两 条切线,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是() A. B. 2 C. D.2
2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上..

13. (5 分) 如图所示, Rt△ A′B′C′为水平放置的△ ABC 的直观图, 其中 A′C′⊥B′C′, B′O′=O′C′=1, 则△ ABC 的面积为.

14. (5 分)两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 间的距离是. 15. (5 分)过点(1,1)的直线 l 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,若|AB|= 方程为.
2 2 2

,则直线 l 的

16. (5 分)已知点 A(﹣2,﹣2) ,B(﹣2,6) ,C(4,﹣2) ,点 P 在圆 x +y =4 上运动, 2 2 2 则|PA| +|PB| +|PC| 的最大值与最小值之和为.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (10 分)如图一线段 AB 所在直线方程为 y=﹣1,线段 AD 所在直线方程为 4x﹣3y+13=0, 线段 CD 所在直线 方程为 x+y=2,求四边形 ABCD 绕 CB 所在直线旋转一周所围成的几何体 的表面积和体积.

18. (12 分)已知△ ABC 的顶点 C 在直线 3x﹣y=0 上,顶点 A、B 的坐标分别为(4,2) , (0, 5) . (Ⅰ)求过点 A 且在 x,y 轴上的截距相等的直线方程; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 10,求顶点 C 的坐标. 19. (12 分)如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC﹣A1 B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4, AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1;

(2)求证:AC1∥平面 CDB1 (3)求三棱锥 A1﹣B1CD 的体积.

20. (12 分)已知 A(0,1) ,B(2,1) ,C(3,4) ,D(﹣1,2) ,问这四点能否在同一个圆 上?若能在同一个圆上,求出圆的方程,若不能在同一圆上,说明理由. 21. (12 分)如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C11 中,AB∥CD ,AD⊥AB,AB=2,AD= AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离; (3)此问仅理科学生做(文科学生不做)求:二面角 B C1﹣E 的正弦值. ,

22. (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的半 径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

河北省唐山市玉田县林南仓中学 2014-2015 学年高二上学 期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)直线 xtan A. +y+2=0 的倾斜角 α 是() B. C. D.﹣

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线方程求出直线的斜率,再由倾斜角的正切值等于斜率得答案. 解答: 解:∵直线 xtan 由 tanα= +y+2=0 的斜率为﹣tan . = ,

,且 0≤α<π,得

故选:C. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了倾斜角与斜率的关系,是基础题. 2. (5 分)在空间直角坐标系中,点 M(﹣3,1,5) ,关于 x 轴对称的点的坐标是() A.(﹣3,﹣1,﹣5) B. (﹣3,1,﹣5) C. (3,1,﹣5) D. (3,﹣1,﹣5) 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用点 M(x,y,z)关于 x 轴对称的点的坐标是(x,﹣y,﹣z)即可得出. 解答: 解:点 M(﹣3,1,5) ,关于 x 轴对称的点的坐标是(﹣3,﹣1,﹣5) . 故选 A. 点评: 本题考查了关于 x 轴对称的对称的点的特点,属于基础题. 3. (5 分)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1、S2,则 S1:S2=() A.1:1 B.2:1 C.3:2 D.4:1 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设为球的半径为 1,结合圆柱的表面积 的公式以及球的表面积即可得到答案. 解答: 解:由题意可得:圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为 1, 所以等边圆柱的表面积为:S1=6π,

球的表面积为:S2=4π. 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为 S1:S2=3:2. 故选 C. 点评: 本题考查几何体的表面积,考查计算能力,特殊值法,在解题中有是有独到功效, 是基础题. 4. (5 分)过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是() A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0 考点: 两条直线平行的判定;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 因为所求直线与直线 x﹣2y﹣2=0 平行,所以设平行直线系方程为 x﹣2y+c=0,代入 此直线所过的点的坐标,得参数值 解答: 解:设直线方程为 x﹣2y+c=0,又经过(1,0) , ∴1﹣0+c=0 故 c=﹣1, ∴所求方程为 x﹣2y﹣1=0; 故选 A. 点评: 本题属于求直线方程的问题,解法比较灵活. 5. (5 分)已知两条直线 l1:x+y﹣2=0,l2:3x+ay+2=0,且 l1⊥l2,则 a=() A.﹣ B . ﹣3 C. D.3

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 l1⊥l2,直接利用两直线方程的系数关系列式求得 a 的值. 解答: 解:∵l1:x+y﹣2=0,l2:3x+ay+2=0,且 l1⊥l2, ∴1×3+1×a=0,解得:a=﹣3. 故选:B. 点评: 本题考查了直线的一般方程与直线垂直的关系,关键是对式子的记忆与运用,是基 础题. 6. (5 分)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,BC=2,DD1=3,则 AC 与 BD1 所成角的 余弦值为() A.0 B. C. ﹣ D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 AC 与 BD1 所成角的余弦值. 解答: 解:建立如图坐标系, ∵在长方体 ABCD﹣A1 B1C1D1 中,AB=2,BC=2,DD1=3, ∴D1(0,0,3) ,B(2,2,0) ,

A(2,0,0) ,C(0,2,0) , ∴ =(﹣2,﹣2,3) , =(﹣2,2,0) . ∴cos< , >= =0.

∴AC 与 BD1 所成角的余弦值为 0. 故选:A.

点评: 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向 量法的合理运用. 7. (5 分)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,给出下列命题,其中正确的是() ①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β A.②④ B.②③④ C.①③ D.①②③

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据面面垂直的性质及线面垂直的性质,可判断①;根据线面垂直和面面垂直的几 何特征,可判断②④;根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理,可判断③; 解答: 解:若 α∥β,l⊥平面 α,可得 l⊥β,又由 m?平面 β,故 l⊥m,故①正确; 若 α⊥β,l⊥平面 α,可得 l∥β 或 l?β,又由 m?平面 β,此时 l 与 m 的关系不确定,故②错 误; 若 l∥m,l⊥平面 α,可得 m⊥平面 α,又由 m?平面 β,可得 α⊥β,故③正确; 若 l⊥m,l⊥平面 α,则 m∥平面 α,或 m?平面 α,又由 m?平面 β,此时 α 与 β 的关系不确 定,故④错误; 故四个命题中,①③正确; 故选:C 点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,以及面面垂直的判定等有关知 识,同时考查了分析问题解决问题的能力,属于基础题. 8. (5 分)圆 A.两圆相交 B.两圆相外切 与圆 C.两圆相内切 的位置关系为() D.两圆相离

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出两个圆的圆心与半径,从而得到它们的圆心间的距离与半径和与差的关系,即 可判断两个圆的位置关系. 解答: 解: ∵圆 O) , (﹣2,﹣1) ;半径分 别为 r1=2,r2= ∴两圆的圆心间的距离等于 d= .半径和为:2+ . 与圆 , ,而半径之差的绝对值|r1﹣r2|=2﹣ 的圆心分别为 (1,

∵ , ∴可得两圆相交. 故选:A. 点评: 本题给出两圆的方程,判断它们的位置关系.着重考查了圆的标准方程、圆与圆的 位置关系等知识,属于基础题. 9. (5 分)有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为()

A.4+

B.4+

C.4+

D.4+π

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题. 由三视图可知:该几何体是如图所示的几何体,据此可求出体积. 解:由三视图可知:该几何体是如图所示的几何体,
2

∴V=π×1 ×2+ 故选 A.

+2×2×1=4+



点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 10. (5 分)如图,ABCD 为正四面体,AD⊥面 α 于点 A,点 B、C、D 均在平面 α 外,且在 平面 α 的同一侧,线段 BC 的中点为 E,则直线 AE 与平面 α 所成角的正弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 数形结合;转化思想;空间位置关系与距离. 分析: 设出正四面体 ABCD 的棱长,由 AD⊥平面 α 于 A,点 B、C、D 均在平面 α 外,且 在平面 α 同一侧,若取 AD 的中点 M,易证 AD⊥平面 BCM,故平面 BCM∥平面 α,将求点 E 到平面 α 距离的问题转化为两平面间距离的问题求解, 则直线 AE 与平面 α 所成角的正弦值 为 E 到平面 α 距离除以 AE. 解答: 解:如图,

∵四面体 ABCD 为正四面体,设正四面体 ABCD 的棱长为 a, 则△ ABC 为边长为 a 的正三角形,又 E 为 BC 边的中点,∴AE⊥BC, 在 Rt△ AEB 中, 取 AD 的中点 M,连接 BM、CM, ∵四面体 ABCD 为正四面体,∴BM⊥AD,CM⊥AD, .

又 BM∩CM=M, 由线面垂直的判定定理知,AD⊥平面 BCM, 故平面 BCM∥平面 α, ∴平面 BCM 到平面 α 的距离为 , ∴E 到平面 α 的距离为 .

则直线 AE 与平面 α 所成角的正弦值



故选:A. 点评: 本题考查了直线与平面所成的角,考查了数学转化思想方法,在解答此题的过程中, 将点到面的距离转化为面面间的距离,是中档题. 11. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则下列结论中错误的是()

A.AC⊥BE B. A1C⊥平面 AEF C. 三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE、BF 所成的角为定值 考点: 棱柱的结构特征;异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 通过直线 AC 垂直平面平面 BB1D1D,判断 A 是正确的;通过直线 EF 垂直于直线 AB1,AD1,判断 A1C⊥平面 AEF 是正确的;计算三角形 BEF 的面积和 A 到平面 BEF 的距 离是定值,说明 C 是正确的;只需找出两个特殊位置,即可判断 D 是不正确的;综合可得答 案. 解答: 解:∵AC⊥平面 BB1D1D,又 BE?平面 BB1D1D, ∴AC⊥BE.故 A 正确. ∵EF 垂直于直 线 AB1,AD1, ∴A1C⊥平面 AEF.故 B 正确. C 中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变,故△ BEF 的面积为定值. 又点 A 到平面 BEF 的距离为 ,故 VA﹣BEF 为定值.C 正确

当点 E 在 D1 处,F 为 D1B1 的中点时,异面直线 AE,BF 所成的角是∠OEB, 当 E 在上底面的中心时,F 在 C1 的位置, 异面直线 AE,BF 所成的角是∠OE1B 显然两个角不相等,D 不正确. 故选 D. 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的 角,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题. 12. (5 分)已知 P 是直线 l:3x﹣4y+11=0 上的动点,PA、PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两 条切线,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是() A. B. 2 C. D.2 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 2 2 分析: 把圆的方程化为标准方程为(x﹣1) +(y﹣1) =1,则可知直线与圆相离.S 四边 形 PACB=S△ PAC+S△ PBC,当|PC|取最小值时,|PA|=|PB|取最小值,即 S△ PAC=S△ PBC 取最小值, 由此能够求出四边形 PACB 面积的最小值. 解答: 解:把圆的方程化为标准方程为(x﹣1) +(y﹣1) =1,则可知直线 与圆相离. 如图,S 四边形 PACB=S△ PAC+S△ PBC 而 S△ PAC= |PA|?|CA|= |PA|, S△ PBC= |PB|?|CB|= |PB|, 又|PA|= ,|PB|= ,
2 2 2 2

∴当|PC|取最小值时,|PA|=|PB|取最小值, 即 S△ PAC=S△ PBC 取最小值,此时,CP⊥l,|CP|= =2,

则 S△ PAC=S△ PBC= × 故选 C.

=

,即四边形 PACB 面积的最小值是



点评: 本题考查直线和圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的 隐含条件,在解答过程中要合理地运用数形结合思想. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. (5 分) 如图所示, Rt△ A′B′C′为水平放置的△ ABC 的直观图, 其中 A′C′⊥B′C′, B′O′=O′C′=1, 则△ ABC 的面积为 2 .

考点: 平面图形的直观图. 专题: 图表型. 分析: 由直观图和原图的之间的关系,由直观图画法规则将△ A′B′C′还原为△ ABC,如图所 示,△ ABC 是一个等腰三角形,直接求解其面积即可. 解答: 解:由直观图画法规则将△ A′B′C′还原为△ ABC, 如图所示, 则有 BO=OC=1,AO=2 . ∴S△ ABC= BC?AO= ×2×2 故答案为:2 . =2 .

点评: 本题考查斜二测画法中原图和直观图之间的关系,属基本概念、基本运算的考查. 14. (5 分)两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 间的距离是 考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据两条平行线之间的距离公式直接计算,即可得到直线 l1 与直线 l2 的距离. 解答: 解:∵直线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 互相平行 ∴直线 l1 与直线 l2 的距离等于 d= = .

故答案为: 点评: 本题给出两条直线互相平行,求它们之间的距离,着重考查了平行线间的距离公式 的知识,属于基础题. 15. (5 分)过点(1,1)的直线 l 与圆 x + y =4 交于 A,B 两点,若|AB|= 方程为 x+y﹣2=0.
2 2

,则直线 l 的

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 分两种情况考虑:①直线 l 垂直于 x 轴时,可得出直线 l 为 x=1,此时不满足题意; ②当直线 l 不垂直 x 轴时,设直线 l 的方程,利用点到直线的距离公式,结合弦长,即可得到 结论. 解答: 解:①当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1, 则 l 与圆的两个交点坐标为(1, )和(1,﹣ ) ,其距离为 2 ,不满足题意; ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y﹣1=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k+1=0, 设圆心到此直线的距离为 d,则 ∴k=﹣1 ∴直线 l 的方程为 x+y﹣2=0 故答案为:x+y﹣2=0. =

点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力, 属于中档题. 16. (5 分)已知点 A(﹣2,﹣2) ,B(﹣2,6) ,C(4,﹣2) ,点 P 在圆 x +y =4 上运动, 2 2 2 则|PA| +|PB| +|PC| 的最大值与最小值之和为 160. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 2 2 2 2 分析: 由点 A (﹣2, ﹣2) , B (﹣2, 6) , C (4, ﹣2) , 设P (a, b) , 则|PA| +|PB| +|PC| =3a +3b 2 2 2 2 2 2 ﹣4b+68, 由点 P 在圆 x +y =4 上运动, 知﹣2≤b≤2. 把 a =4﹣b 代入 3a +3b ﹣4b+68=﹣4b+80, 2 2 2 由此能求出|PA| +|PB| +|PC| 的最大值与最小值之和. 解答: 解:∵点 A(﹣2,﹣2) ,B(﹣2,6) ,C(4,﹣2) , ∴设 P(a,b) , 2 2 2 则|PA| +|PB| +|PC| 2 2 2 2 2 2 =(a+2) +(b+2) +(a+2) +(b﹣6) +(a﹣4) +(b+2) 2 2 =3a +3b ﹣4b+68, 2 2 ∵点 P 在圆 x +y =4 上运动, 2 2 ∴a +b =4, 2 2 a =4﹣b ≥0, 2 所以 b ≤4, ∴﹣2≤b≤2. 2 2 2 2 把 a =4﹣b 代入 3a +3b ﹣4b+ 68 2 2 =12﹣3b +3b ﹣4b+68 =﹣4b+80, ∵﹣2≤b≤2, 所以﹣8≤﹣4b≤8 80﹣8≤80﹣4b≤80+8, 72≤﹣4b+80≤88 ∴最大值是 88,最小值是 72, 2 2 2 ∴|PA| +|PB| +|PC| 的最大值与最小值之和 88+72=160. 故答案为:160. 点评: 本题考查直线的一般式方程与两点间距离公式的应用,具体涉及到直线方程与圆的 简单性质,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (10 分)如图一线段 AB 所在直线方程为 y=﹣1,线段 AD 所在直线方程为 4x﹣3y+13=0, 线段 CD 所在直线方程为 x+y=2, 求四边形 ABCD 绕 CB 所在直线旋转一周所围成的几何体的 表面积和体积.
2 2

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥,根据题目所给数据,求出圆台的侧面 积、圆锥的侧面积、圆台的底面积,即可求出几何体的表面积.求出圆台体积减去圆锥体积, 即可得到几何体的体积. 解答: 解:四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成的几何体,如右图: ∵4x﹣3y+13=0 与 x+y=2 交于(﹣1,3)点 故圆台的上底面(圆锥的底面)半径 r1=1,圆锥的高为 h1=1,圆锥的母线 l1= ∵4x﹣3y+13=0 与 y=﹣1 交于(﹣4,﹣1)点 故圆台的下底面半径 r2=4,圆台的高为 h2=2,圆台的母线 l2=5 S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面 2 =πr2 +π(r1+r2)l2+πr1l1 =(41+ )π 体积 V=V 圆台﹣V 圆锥 = π

点评: 旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥,根据题目所给数据,求出圆台的侧面 积、圆锥的侧面积、圆台的底面积,即可求出几何体的表面积.求出圆台体积减去圆锥体积, 即可得到几何体的体积. 18. (12 分)已知△ ABC 的顶点 C 在直线 3x﹣y=0 上,顶点 A、B 的坐标分别为(4,2) , (0, 5) . (Ⅰ)求过点 A 且在 x,y 轴上的截距相等的直线方程;

(Ⅱ)若△ ABC 的面积为 10,求顶点 C 的坐标. 考点: 待定系数法求直线方程;正弦定理. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)分点 A 且在 x,y 轴上的截距等于零和不等于零两种情况,分别用点斜式求得 所求直线的直线方程. (Ⅱ)设 C(x0,3x0) ,先求出 AB 所在的直线方程,再顶点 C 到直线 AB 的距离 d,由 S△ ABC= |AB|?d=10,求得 x0 的值,可得顶点 C 的坐标. 解答: 解: (Ⅰ)当所求直线过原点时,k= ,∴y= x,即 x﹣2y=0; 当截距不为 0 时,k=﹣1,∴y﹣2=﹣(x﹣4) ,即 x+y﹣6=0. ∴所求直线方程为 x﹣2y=0 或 x+y﹣6=0. (Ⅱ)由顶点 C 在直线 3x﹣y=0 上,可设 C(x0,3x0) , 可求直线 AB 的方程为 3x+4y﹣20=0, 则顶点 C 到直线 AB 的距离 d= =|3x0﹣4|,且|AB|= =5,

∴S△ ABC= |AB|?d=10,即|3x0﹣4|=4,∴x0=0 或 x0= , 故顶点 C 的坐标为(0,0)或( ,8) . 点评: 本题主要考查用待定系数法求直线的方程,点到直线的距离公式的应用,体现了分 类讨论的数学思想,属于基础题. 19. (12 分)如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4, AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1 (3)求三棱锥 A1﹣B1CD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由勾股定理得 AC⊥BC,由 CC1⊥面 ABC 得到 CC1⊥AC,从而得到 AC⊥面 BCC1,故 AC⊥BC1.

(2)连接 B1C 交 BC1 于点 E,则 DE 为△ ABC1 的中位线,得到 DE∥AC1,从而得到 AC1∥ 面 B1CD. (3)过 C 作 CF⊥AB 垂足为 F,CF⊥面 ABB1A1,面积法求 CF,求出三角形 DB1A1 的面积, 代入体积公式进行运算. 解答: (1)证明:在△ ABC 中,∵AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC 为直角三角形,∴AC⊥BC…(2 分) 又∵CC1⊥平面 ABC,∴CC1⊥AC,CC1∩BC=C, ∴AC⊥平面 BCC1,∴AC⊥BC1. …(5 分) (2) 证明: 设 B1C 与 BC1 交于点 E, 则 E 为 BC1 的中点, 连结 DE, 则在△ ABC1 中, DE∥AC1, 又 DE?面 CDB1,AC1?面 CDB1,∴AC1∥平面 B1CD. …(10 分) (3)解:在△ ABC 中,过 C 作 CF⊥AB,F 为垂足, ∵平面 ABB1A1⊥平面 ABC,且平面 ABB1A1∩平面 ABC=AB,∴CF⊥平面 ABB1A1, 而 ∵ ∴ (14 分) 点评: 本题考查证明线线垂直、线面平行的方法,求三棱锥的体积,求点 C 到面 A1B1D 的 距离是解题的难点. 20. (12 分)已知 A(0,1) ,B(2,1) ,C(3,4) ,D(﹣1,2) ,问这四点能否在同一个圆 上?若能在同一个圆上,求出圆的方程,若不能在同一圆上,说明理由. 考点: 专题: 分析: 解答: 圆的一般方程. 计算题;直线与圆. 利用待定系数法,即可求出圆的方程. 2 2 2 解:设经过 A,B,C 三点的圆的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r .则…(2 分) , ,而 . , …

…(6 分)

解此方程组,得 a=1,b=3,r= …(9 分) 2 2 所以,经过 A、B、C 三点的圆的标准方程是(x﹣1) +(y﹣3) =5.…(10 分) 2 2 把点 D 的坐标(﹣1,2)代入上面方程的左边,得(﹣1﹣1) +(2﹣3) =5. 所以,点 D 在经过 A,B,C 三点的圆上, 2 2 所以 A,B,C,D 四点在同一个圆上,圆的方程为(x﹣1) +(y﹣3) =5.…(12 分) 点评: 本题考查圆的一般方程,考查学生的计算能力,比较基础. 21. (12 分)如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C11 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; ,

(2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离; (3)此问仅理科学生做(文科学生不做)求:二面角 B C1﹣E 的正弦值.

考点: 点、线、面间的距离计算;用空间向量求平面间的夹角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)运用勾股定理判断 BE⊥BC,由 BB1⊥平面 ABCD,得 BE⊥BB1,BE⊥平面 BB1C1, (2)运用等体积的方法求解,三棱锥 E﹣A1B1C1 的体积= V= S = d,从而求解出. × = ,

(3)确定∠B1HO 为所求二面角的平面角.在直角梯形 A1B1C1D1 中. 解答: (1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F, 则 BF=AD= ,EF=AB﹣DE=1,FC=2 在 Rt△ BFE 中,BE= ,在 Rt△ BFC 中,BC= 2 2 2 在△ BCE 中因为,BE +BC =9=EC ,故 BE⊥BC 由 BB1⊥平面 ABCD,得 BE⊥BB1,BE⊥平面 BB1C1, (2)三棱锥 E﹣A1B1C1 的体积= 在 Rt△ A1D1C1 中,A1C1= 同理,EC1= 因此 S =3 . = ,EA= × = , = =

设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱 B1﹣EA1C1 锥的体积, V= S = d,从而 d= ,d= ,

(3)过 B1 作 B1O⊥平面 A1C1E 于 O,则 B1O⊥A1C1, 作 OH⊥A1C1 于 H,连结 B1H,∴A1C1⊥平面 B1OH, ∴A1C1⊥B1H ∴∠B1HO 为所求二面角的平面角.直角梯形 A1B1C1D1 中, A1C1= S = = , C1?B1H,

A1B1×A1D1=

∴B1H= 所以 sin∠B1HO= = =

即二面角 B1﹣A1C1﹣E1 的正弦值为 点评: 本题考查了空间点线面的求解,空间角的求解,属于难题. 22. (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的半 径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

考点: 圆的切线方程;点到直线的距离公式;圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: (1)联立直线 l 与直线 y=x﹣1 解析式,求出方程组的解得到圆心 C 坐标,根据 A 坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于 k 的方程,求出方程的 解得到 k 的值,确定出切线方程即可; (2)设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点 M 的 轨迹为以(0,﹣ 1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不等 式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围. 解答: 解: (1)联立得: ,

解得:



∴圆心 C(3,2) . 若 k 不存在,不合题意; 若 k 存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离 d=r,即 =1,

解得:k=0 或 k=﹣ ,

则所求切线为 y=3 或 y=﹣ x+3; (2)设点 M(x,y) ,由 MA=2MO,知:
2 2

=2



化简得:x +(y+1) =4, ∴点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上,C(a,2a﹣4) , ∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切, ∴1≤|CD|≤3,其中|CD|= ∴1≤ 解得:0≤a≤ . ≤3, ,

点评: 此题考查了圆的切线方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关系的判定, 涉及的知识有:两直线的交点坐标,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,圆的标准方程, 是一道综合性较强的试题.


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