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1.1.2 充分条件与必要条件(1)


课题:§1.1.2

充分条件和必要条件(1)

教学目标: 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义; 2.结合具体命题,学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法; 3.培养学生的辩证思维能力. 教学重点及难点: 1.充分条件、必要条件的判断; 2.理解充分条件、必要条件的判断方法. 讲授新课: 一、复习引入 同学们, 当某一天你和你

的妈妈在街上遇到老师的时候, 你向老师介绍你的妈妈说: “这是我的妈妈. ” 那么,大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说: “你是她的孩子”呢?不会了!为什么呢?因为前 面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么,这在数学中是一层什么样的关系呢?今天我 们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件. 二、复习回顾 1.命题:可以判断真假的语句,可写成:若 p 则 q. 2.四种命题及相互关系:

3.前面讨论了“若 p 则 q”形式的命题的真假判断,请判断下列命题的真假: ⑴若 a ? b ,则 ac ? bc ; ⑵若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; ⑶若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ; ⑷若两三角形全等,则两三角形的面积相等. 三、讲授新课 1.推断符号“ ? ”的含义: 例如命题⑵、 ⑶、 ⑷为真, 是由 p 经过推理可以得出 q, 即如果 p 成立, 那么 q 一定成立. 此时可记作 “p?q” . q 又例如命题⑴为假,是由 p 经过推理得不出 q,即如果 p 成立,推不出 q 成立,此时可记作“ p ? ” . ? 用推断符号“ ? ”写出下列命题: ⑴若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; ⑵若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ; ⑶若两三角形全等,则两三角形的面积相等. 2.充分条件与必要条件 一般地,如果已知 p ? q ,那么就说:p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件. 由上述定义中, “ p ? q ”即如果具备了条件 p,就足以保证 q 成立,所以 p 是 q 的充分条件,这点容易理 解.但同时说 q 是 p 的必要条件是为什么呢? 应注意条件和结论是相对而言的,由“ p ? q ”等价命题是“ ? q ? ? p ” ,即若 q 不成立,则 p 就不 成立,故 q 就是 p 成立的必要条件了.但还必须注意,q 成立时,p 可能成立,也可能不成立,即 q 成立 学会学习,学会思考
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不保证 p 一定成立. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢? 充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.它符合上述的“若 p 则 q”为真(即 p ? q )的形式. “有之必成立,无之未必不成立” . 必要性:必要就是必须,必不可少.它满足上述的“若非 q 则非 p”为真(即 ? q ? ? p )的形式. “有之 未必成立,无之必不成立” . 回答下列问题中的条件与结论之间的关系: ⑴若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; ⑵若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ; ⑶若两三角形全等,则两三角形的面积相等. 3.从集合角度理解: 探究问题: P 表示某元素属于集合 p,q 表示该元素属于集合 q,如何用集合间的关系理解“ p ? q ”的含义? 探究结论: “ p ? q ”就是“ x ? p ? x ? q ”即“ p ? q ” . 例 1:指出下列命题中,p 是 q 的什么条件. ⑴p: x ? 1 ? 0 ,q: ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ; ⑵p:两直线平行,q:内错角相等; ⑶p: a ? b ,q: a 2 ? b 2 ; ⑷p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形. 由上述命题的充分条件、 必要条件的判断过程, 可确定: 命题按条件和结论的充分性、 必要性可分为几类? 可分为四类: ⑴充分不必要条件,即 p ? q ,而 q ? ? p; ⑵必要不充分条件,即 p ? q ,而 p ? ? q; ⑶既充分又必要条件,既 p ? q ,又有 q ? p ; ⑷既不充分也不必要条件,即 p ? ? q ,又有 q ? ? p. 4.练习 课本 P8 练习 1、2、3 四、课堂小结 1.充分条件的意义; 2.必要条件的意义. 五、课后作业: 课本 P8 习题 1.1 4

学会学习,学会思考

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