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有穷无穷递增递减数列知识点+练习题


数列的分类
(1)按项数分:可以分为有穷数列和无穷数列,即如果项数是有限的那么就是有穷数列, 如果项数是无限的那么就是无穷数列: (2)按增减分:可以分为递增数列和递减数列,即如果数列的项是随着项数的增加而增加 的就是递增数列,如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列; (3)按项的特点分:可以分为摇摆数列和常数列,即如果数列的项是在某个或某几个数之 间来回摇摆就是摇摆数列,如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。

有穷数列的定义:

项数有限的数列叫做有穷数列;

无穷数列的定义:

项数无限的数列叫做无穷数列;

递增数列的定义:

一般地,一个数列{an},如果从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。

递减数列的定义:

如果从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。

单调数列:

递增数列和递减数列通称为单调数列.

数列的单调性:

1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列 不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定; 2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较 an 与 an+1 的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。

摆动数列的定义:

从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。

巧用(-1)n 求摆动数列的通项:

在数列中,我们经常会碰到求形如:1,-1,1,-1,…,或-1,1,-1,1,…,等数列的通项, 很显然,我们只要利用(-1)n 进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们在其它 摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n 求出通项公式。

例题 1.有穷数列 1,23,26,29,…,23n+6 的项数是(



A.3n+7 B.3n+6 C.n+3 D.n+2

答案:C

例题 2.已知{an}是递增的数列,且对于任意 n∈N*,都有 an=n2+λ n 成立,求实数λ 的取值 范围

解:∵{an}是递增的数列, ∴an≤an+1 对任意的 n∈N*恒成立, 即 n2+λ n≤(n+1)2+λ (n+1),解得λ ≥-2n-1, ∵-2n-1≤-3, ∴λ ≥-3

例题 3.共有 10 项的数列{an}的通项 an= ( )

,则该数列中最大项、最小项的情况是

A.最大项为 a1,最小项为 a10 B.最大项为 a10,最小项为 a1 C.最大项为 a6,最小项为 a5 D.最大项为 a4,最小项为 a3

答案:D

例题 4*.在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n 对任意 n∈N*都成立, (Ⅰ)求 a2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列{an}能否为等比数列?说明理由;

(Ⅲ) 设

, 求证: 对任意的 n∈N*,

(Ⅰ)解:因为{an}是单调递增数列,所以 令 n=1, ,所以 。



(Ⅱ)证明:数列{an}不能为等比数列。 用反证法证明:假设数列{an}是公比为 q 的等比数列, 因为{an}单调递增,所以 q>1, 因为 n∈N*,(n+1)an≥na2n 都成立, ,

所以 n∈N*, 因为 q>1,所以

, ① ,使得当 时, ,

因为

(n∈N*),

所以

,当

时,

,与①矛盾,故假设不成立。

(Ⅲ)证明:观察: 猜想: ;



,…,

用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时, (2)假设当 n=k 时, 当 n=k+1 时, 成立; 成立;

, 所以 ,

根据(1)(2)可知,对任意 n∈N*,都有

,即



由已知得



所以



所以当 n≥2 时, 因为 , , , ,



所以对任意 n∈N*,

对任意 n∈N*,存在 m∈N*,使得 因为数列{an}单调递增,所以 因为 ,



所以



例题 5.已知下列数列: (1)2 000,2 004,2 008,2 012;

(2)0,



(3)1,



(4)1,



(5)1,0, -1,…,sin (6)3,3,3,3,3,3

,…;

其中,有穷数列是( 常数列是(

),无穷数列是(

),递增数列是(

),递减数列是(

),

),摆动数列是(

),周期数列是(

)。(将合理的序号填在横线上)

答案:(1)(6);(2)(3)(4)(5);(1)(2);(3);(6);(4)(5);(5)

例题 6.下列叙述中正确的个数为 ( ①数列{an},an=2 是常数列;



②数列

是摆动数列;

③数列

是递增数列;

④若数列{an}是递增数列,则数列{an·an+1}也是递增数列;

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

例题 7.已知 Sk 表示数列{ak}的前 k 项和,且 Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*),那么此数列是(



A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列

例题 8.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和(n=1,2,3,……)。按如下方式定义数列 {an}:a1=m (m∈N*),对任意 k∈N*,k>1,设 ak 为满足 0≤ak≤k-1 的整数,且 k 整除 Sk, (Ⅰ)当 m=9 时,试给出{an}的前 6 项;

(Ⅱ)证明:k∈N*,有



(Ⅲ)证明:对任意的 m,数列{an} 必从某项起成为常数列。

解:(Ⅰ)m=9 时,数列为 9,1,2,0,3,3,3,3, 即前六项为 9,1,2,0,3,3。

(Ⅱ) (Ⅲ)? ?k ? N 有
?



Sk ?N?, k


由(Ⅱ)可得

为定值且

单调不增,

∴数列

必将从某项起变为常数,

不妨设从 l 项起

为常数,则



于是



所以 所以{an}当 n≥l+1 时成为常数列。



例题 9*.数列{an}满足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,…。 (Ⅰ)若数列{an}为常数列,求 a1 的值;

(Ⅱ)若 a1=

,求证:



(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:数列{a2n}单调递减。

(Ⅰ)解:因为数列

为常数列,

所以







由 n 的任意性知,





(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明



①当 n=1 时,

,符合上式;

②假设当 n=k(k≥1)时,



因为

, 所以

,即



从而

,即



因为



所以,当 n=k+1 时,

成立,

由①,②知,



(Ⅲ)证明:因为 (n≥2), 所以只要证明 由(Ⅱ)知, 所以只要证明 即证明 令 , , 所以函数 f(x)在 R 上单调递增; , , , ,

因为



所以, 故 ,所以数列

,即 单调递减。

成立,

例题 10*.已知 An(an,bn)(n∈N*)是曲线 y=ex 上的点,a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足: ,n=2,3,4,…

(Ⅰ)证明数列

是常数数列;

(Ⅱ)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是单调递增数列; (Ⅲ)证明当 a∈M 时,弦 AnAn+1(n∈N*)的斜率随 n 单调递增。

解:(Ⅰ)当 n≥2 时,由已知得 因为

, , …………①

于是 由②-①得 于是 由④-③得

, …………② , …………③ , …………④ , …………⑤

所以 (Ⅱ)由①有 由③有 而⑤表明:数列 所以 数列 是单调递增数列 ,

(n≥2)是常数列。

, 分别是以 a2、a3 为首项,6 为公差的等差数列, , 对任意的 k∈N*成立



即所求 a 的取值集合是



(Ⅲ)弦



任取 x0,设函数 记 当 当 所以 所以 f(x)在 上为增函数, 上为减函数, ,从而 f′(x)>0, 上都是增函数;

, ,

由(Ⅱ)知,当 a∈M 时,数列

单调递增,





取 所以 的斜率随 n 单调递增。



.


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