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A2-3高阶导数


§2-3高阶导数

P97

?高阶导数的定义 ?高阶导数求法举例

一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s ? f (t ), 则瞬时速度为v( t ) ? f ?( t )

? 加速度a是速度v对时间t的变化率
? a( t ) ? v ?( t

) ? [ f ?( t )]? .

定义 如果函数f ( x )的导数f ?( x )在点x处可导, 即 f ?( x ? ? x ) ? f ?( x ) ( f ?( x ))? ? lim ?x ? 0 ?x 存在, 则称( f ?( x ))?为函数f ( x )在点x处的二阶导数.

d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ???( x ), y???, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx

d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ??( x ), y ??, 2 或 2 dx dx

一般地, 函数f ( x )的n ? 1阶导数的导数称为

函数f ( x )的n阶导数, 记作
d n y d n f ( x) f ( n ) ( x ), y ( n ) , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

相应地, f ( x )称为零阶导数 f ?( x )称为一阶导数 ; .

二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y ? arctan x , 求f ??(0), f ???(0).



y? ?

1 1? x2

y ?? ? (

1 ? 2x ? ? ) 2 1? x (1 ? x 2 ) 2

? 2x 2( 3 x 2 ? 1) y ??? ? ( )? ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 3 ? 2x ??(0) ? ?f (1 ? x 2 ) 2
x?0

2( 3 x 2 ? 1) ? 0; f ???(0) ? (1 ? x 2 ) 3

x?0

? ?2.

例2

设 y ? x ? (? ? R), 求y (n) .
y?? ? (?x ? ?1 )? ? ?(? ? 1) x ? ? 2 y??? ? (?(? ? 1) x ? ? 2 )? ? ?(? ? 1)(? ? 2) x ? ? 3

解 y? ? ?x ? ?1

??
y ( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n (n ? 1)

若 ? 为自然数n, 则

y

( n)

? ( x ) ? n! ,
n ( n)

y ( n ?1) ? ( n! )? ? 0.

注意:求n阶导数时,分析结果的规律性,写出n阶导 数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ? ln(1 ? x ), 求y (n) . 1 1 ?? ?? ? ? y 解 y 1? x (1 ? x ) 2
2! y ??? ? (1 ? x ) 3 ?? y
(4)

3! ?? (1 ? x ) 4

y

(n)

? ( ?1)

n ?1

( n ? 1)! (1 ? x ) n

( n ? 1, 0! ? 1)

例4

设 y ? sin x, 求y (n) . ? ? cos x ? sin( x ? ? ) 解 y 2 ? ? ? ? y ?? ? cos( x ? ) ? sin( x ? ? ) ? sin( x ? 2 ? ) 2 2 2 2 ? y ??? ? cos( x ? 2 ? ) ? sin( x ? 3 ? ? ) 2 2 ?? ? (n) y ? sin( x ? n ? ) 2 ? (n) 同理可得 (cos x ) ? cos( x ? n ? ) 2

例5 设 y ? e ax sin bx (a, b为常数), 求y (n ) . 解
y? ? ae ax sin bx ? be ax cos bx ? e ax (a sin bx ? b cos bx)
b ? e ? a ? b sin(bx ? ? ) (? ? arctan ) a
ax 2 2

y ?? ? a 2 ? b 2 ? [ae ax sin( bx ? ? ) ? be ax cos( bx ? ? )] ? a 2 ? b 2 ? e ax ? a 2 ? b 2 sin( bx ? 2? )

??
y
( n) 2

? (a ? b ) ? e sin(bx ? n? )
ax

n 2 2

b (? ? arctan ) a

2. n阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u ? v )
( n)

?u

( n)

?v

( n)

(2) (Cu)( n) ? Cu( n)

( 3) ( u ? v )

(n)

? u v ? nu
(n)

( n ?1 )

n( n ? 1) ( n? 2 ) v? ? u v ?? 2!

n( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) ( n? k ) ( k ) (n) ? u v ? ? ? uv k! ? ?C u
k ?0 k n n ( n? k )

v

(k )

莱布尼兹公式

例6

设 y ? x e , 求y
2 2x

( 20 )

.

解 设u ? e 2 x , v ? x 2 , 则由莱布尼兹公式知

y ( 20 ) ? (e 2 x )( 20 ) ? x 2 ? 20(e 2 x )(19 ) ? ( x 2 )? 20( 20 ? 1) 2 x (18 ) ? (e ) ? ( x 2 )?? ? 0 2! 20 2 x 2 19 2 x ? 2 e ? x ? 20 ? 2 e ? 2 x 20 ? 19 18 2 x ? 2 e ?2 2! ? 220 e 2 x ( x 2 ? 20 x ? 95)

3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式

(1) (a x )( n ) ? a x ? ln n a (a ? 0) ? ( n) n ( 2) (sin kx ) ? k sin(kx ? n ? ) 2 ? ( n) n ( 3) (cos kx ) ? k cos(kx ? n ? ) 2
(4) ( x ? )( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n
(n)

(e x ) ( n ) ? e x

(5) (ln x )

? ( ?1)

n ?1

( n ? 1)! n x

1 (n) n n! ( ) ? ( ?1) n ? 1 x x

例7 1) 设 y ?

1 (5) , 求y . 2 x ?1 1 1 1 1 解?y? 2 ? ( ? ) x ?1 2 x ?1 x ?1
?y
(5)

1 ? 5! ? 5! ? [ ? ] 6 6 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 1 1 ? 60[ ? ] 6 6 ( x ? 1) ( x ? 1)

2)

y?

1 x2 ? x ? 2
3 x ?1

, 求y ( n) .

解 ? y ? 1( 1 ? 1 )
x?2

?y

( n)

1 1 1 ( n?1) ? (?1) (n ? 1)![ ? ] n n 3 ( x ? 1) ( x ? 2)

例8 1)

y ? cos2 x, 求y ( n) .

解 ? y? ? ?2 cos x ? sinx ? ? sin2 x
?y
( n)

? ?2

n?1

? si n ( x ? ( n ? 1) ) 2 2

2)

设 y ? sin x ? cos x, 求y .
6 6 ( n)
2 2 4 2 2 4

2 3 2 3 解 y ? (sin x ) ? (cos x )

? (sin x ? cos x )(sin x ? sin x cos x ? cos x ) ? (sin2 x ? cos2 x )2 ? 3 sin2 x cos2 x
3 2 3 1 ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x? 1 ? ? 4 4 2 5 3 ? ? cos 4 x 8 8 3 n ? ( n) ? y ? ? 4 ? cos(4 x ? n ? ). 8 2

? 思考
f ?( x ) ? ? f ( x ) ? 2 , 1、已知函数 f ( x ) 具有任意阶导数,且

f 则当n 为大于 2 的正整数时, ( x ) 的 n 阶导数f ( n ) ( x ) 是: (A)n![ f ( x )]n?1 ; (B) n[ f ( x )]n?1 ; (C) [ f ( x )]2 n ; (D)n![ f ( x )]2 n .
2 2、设 g?( x ) 连续,且 f ( x ) ? ( x ? a ) g( x ) ,

求 f ??(a ) .
x2 x2 3、求y ? 2 , y? , y? 的n阶导数. 1? x 1? x x ? 3x ? 2 x3

解答
? g( x ) 可导
? f ?( x ) ? 2( x ? a ) g ( x ) ? ( x ? a )2 g?( x )

? g??( x ) 不一定存在

故用定义求 f ??(a )

f ?( x ) ? f ?(a ) f ??(a ) ? lim f ?( a ) ? 0 x ?a x?a f ?( x ) ? lim ? lim[2 g( x ) ? ( x ? a ) g?( x )] ? 2 g(a ) x ?a x ? a x ?a


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