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2015全国高中数学联赛预赛模拟题4 (1)


2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 4
1. 如果实数 m, n, x, y 满足 m ? n ? a ,x 2 ? y 2 ? b , 其中 a, b 为常数, 那么 mx+ny 的最大值为_________.
2 2



由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ?

ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ?

a b ,x? y? 时, mx? ny ? ab . 2 2

x2 4 3 ? y 2 ? 1上一点A到左焦点的距离为 3 ,则点A到直线 x ? 2. 已知椭圆 的距 4 3
离为__________. 解: 设左右焦点为 F1 , F2 ,则 AF 1 ? AF 2 ? 4 , AF 1 ? 3, AF2 ? 4 ? 3 。椭圆的 离心率为 e ? 等于

c 3 4 3 4 3 。而 x ? 即为右准线,由定义得,A到直线 x ? 的距离 ? a 2 3 3
2(4 3 ? 3) 3


4? 3 3

?

2 2 3. 若函数 f ? x ? ? lg ax ? 4 x ? a ? 3 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是________.

?

?

2 解: 欲使 f ? x ? 的值域为 R , 当使真数 ax ? 4 x ? a ? 3 可取到一切正数,故或者 a ? 0 ;

2 或者 a ? 0 且 4 ? 4a ? a ? 3? ? 0 ,解得 0 ? a ? 4

4. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 , 其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,
2

?

?

?

?

B ? ____________. 解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 .
则A 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴ x= ? 1 ;
2

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

所以 x ? ?1或 3 . A
2 2

B ? ?1, 3

?

当[x]=1,则 x ? 3 ,∴x ?
2

?

3.
2

5. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切, 且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y ? 8x( x ? 0) 或 y ? 0( x ? 0) . 解:由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的点; 若 切 点 是 原 点 , 则 圆 心 在 x 轴 负 半 轴 上 . 所 以 轨 迹 方 程 为 y ? 8x( x ? 0) , 或
2

y ? 0( x ? 0) .
6. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 , ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:1. A 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同, 高是 5:1. 故面积比是 5:1.
O B
1

C

a2 ? b2 =3. c2 sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? 解 切割化弦,已知等式即 , cos A cos B cos A cos C cos B cos C sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. 亦即 ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2 a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ? 3. 所以, ,故 2c 2 c2
7. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 8. 设 x ? R ,则函数 f ? x ? ?

x2 ? 1 ?

? x ?12?

2

? 16 的最小值为
C P A

.
B

解:如图,取 A 为数轴原点, AB ? 12 , 再作 AB 垂线 AC , BD ,使 AC ? 1, BD ? 4 ,

在数轴上取点 P ,使 AP ? x ,则 f ? x ? ? CP ? DP , 当 C, P, D 共线时, f 值最小,此时 f min ? CD ? AE ? 12 ? 5 ? 13 .
2 2

D E

9. sin 20 ? sin 40 ? sin 80 ?
0 0 0

0 0 0 0 0 0 解: 8sin 20 ? sin 40 ? sin 80 ? 4 cos 20 ? cos 60 sin 80

? 4sin 800 cos 200 ? 2sin 800
0 0 0

? ? 2 ? sin100
3 . 8

.

0

? sin 600

? ? ? 2sin 80

0

? 2sin 600 ? 3 ,

所以 sin 20 ? sin 40 ? sin 80 ?

10. 数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对每个 n ? N , an , an ?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的两
*

根,则

?b
k ?1

20

k

?
*

.

解:对每个 n ? N , an ? an?1 ? ?3n ……○ 1 , an an?1 ? bn ……○ 2, 将○ 1 写作 an?1 ?

3 ? n ? 1? 3 3n 3 ? 3n 3 ? ? ? ? ? ? ? an ? ? ? ,因此 ?an ? ? ? 是一个公比为 ?1 2 4? 2 4 2 4? ? ? 3 ? 2n ? 1? 3n 3 n ?1 7 n ?1 7 ? ? ? ?1? ? ? ?1? ? , 的等比数列,故 an ? ,即 an ? ? 2 4 4 4 4 3 ? 2n ? 1? 9 2 2 9 n 2 1 n 7 n ? ? 1? ? ? ; ? an ?1 ? ? ? ? ?1? ? ; 于 是 bn ? an ?1 an ? 4 8 8 4 4

?b
k ?1

20

k

? 6385 .

2

11. 如图, BD, CE 是△ ABC 的两条高, F 和 G 分别是 DE 和 BC 的中点, O 是△

ABC 的外心。求证: AO ∥ FG 。 证明:如图,连结 GD 和 GE ∵ ?BDC ? ?BEC ? 90? , BG ? BC

D F H A B G C E

1 ∴ DG ? BC ? EG , 2

又∵ DF ? EF ∴ GF ? DE 延长 OA 交 DE 于 H ,连结 OB ∵ ?BDC ? ?BEC ? 90? ∴ B, C , E , D 四点共圆。

O

?DEB ? ?DCB ?
又∵ OA ? OB

1 1 ?AOB ,即 ?AEH ? ?AOB 2 2

1 ?AOB , ?EAH ? ?AEH ? 90? 2 于是, AD ? DE ,即 OA ? DE ∴ AO ∥ FG 。 x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 12. A、B 为双曲线 4 9 1 1 (Ⅰ)求证: 为定值; ? 2 2 OA OB
∴ ?EAH ? ?BAO ? 90? ? (Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证: (Ⅰ) 设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin ? ) , B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin ? ?) , 则 r ? OA ,

? cos2 ? sin 2 ? ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r ? ? 4 ? 9 ? ? ? 1. ? ? 2 2 1 cos ? sin ? ? 所以 2 ? . 4 9 r 2 2 2 2 由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? . 1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? 同理, 2 ? , 4 9 4 9 r? 1 1 1 1 1 1 5 所以 . ? ? 2? 2 ? ? ? 2 2 4 9 36 r r' | OA | | OB |
2

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 | OP | ? | AB |?| OA | ? | OB | ,所以

OP ? AB ?

2

2

O A?

2

O,即 B OP ? OA ? OB

2

2

?

2

2

? ? OA ? OB
2

2

.

3

即 OP ? ?
2

?

1

? OA 2 ?
2

?

? ? ? OP 2 ? ? 1 ? 1 ? ? OP 2 ? ? 5 ? ? 1 . ? ? ? ? 2 ?4 9? ? 36 ? OB ? ?
1

于是, OP

?

36 . 5
6 5 5
为半径的定圆上.

即 P 在以 O 为圆心, 13. 已知 函数 f(x)=

2 1 x+ , h(x)= 3 2

x.

(I)设函数 F(x)=f(x)一 h(x),求 F(x)的单调区间与极值;

3 3 f ( x ? 1) ? ]=1og2 h(a-x)一 log2h (4-x); 2 4 100 1 (Ⅲ)试比较 f (100)h(100) ? ? h(k ) 与 的大小. 6 k ?1
(Ⅱ)设 a∈R,解关于 x 的方程 log4 [ 解析:(1) F ( x) ?

2 1 2 1 ?1 x ? ? x , F ' ( x) ? ? x 2 3 2 3 2 9 9 9 ' ; F ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? , F ' ( x) ? 0 ? x ? 令 F ( x) ? 0 ? x ? 16 16 16

当 ?5 ? ?a ? ?4 ,即 4 ? a ? 5 时,方程 x ? 6 x ? 4 ? a ? 0 在区间 (1, 4) 上有两解
2

1 ? a ? 4时 ,方程 x ? 6x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4上有一个解 , 当 ?4 ? ?a ? ?1,即
2

x ? 3- 5 ? a ; 当 ?a ? ?5 ,即 a ? 5 时,方程有一个解 x ? 3 ; 即a>5或a ? 1时, 当 ?a ? ?5或-a ? ?1 方程无解.
⑶由已知得

? h(k ) ? ? k ,
k ?1 k ?1

100

100

4

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? f ? n ? h ? n ? ? 从而有 a1 ? S1 ? 1. 当 2 ? k ? 100, ak ? S k ? S k ?1 ? 又 ak ? k ?
2

1 ?n ? ?* ? , 6

4k ? 3 4k ? 1 k? k ?1 , 6 6

1? ? 4k ? 3? k ? ? 4k ? 1? k ? 1 ? ? 6?
2

1 ? 4k ? 3? k ? ? 4k ? 1? ? k ? 1? 1 1 = ? ?0 6 ? 4k ? 3? k + ? 4k ? 1? k ? 1 6 ? 4k ? 3? k + ? 4k ? 1? k ? 1
对任意的 2 ? k ? 100, 有 ak ? k , 又因为 a1 ? 1 ? 1 ,所以 故 f ?100 ? h ?100 ? ?
100

? ak ? ? k ,
k ?1 k ?1

100

100

? h(k ) ? 6
k ?1

1

5


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