对数运算讲义

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指数、对数运算
一、知识要点：
（1）n 次方根的定义： 一般地，若 x n ? a(n ? 1, n ? N*) 则 x 叫做 a 的 n 次方根。 n a 叫做根式，n 叫做根指 数，a 叫做被开方数。 （2）方根的性质： ①当 n 为奇数时：正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数，记作： x ? ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个（互为相反数） ，记作： x ? ? n a 。 ③负数没有偶次方根。 ④ 0 的任何次方根为 0。 （3）根据 n 次方根的定义，易得到以下常用公式： ①当 n 为任意正整数时，( n a ) =a. ②当 n 为奇数时， n a n =a；当 n 为偶数时， n a n =|a|= ? （4）正数的正分数指数幂的意义 ①a ②a
m n
? m n
n

n

a 。

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

? n a m (a＞0,m,n∈N*,且 n＞1)
? 1 a
m n

王新敞
奎屯

新疆

?

1
n

a

m

(a＞0，m,n∈N ,且 n＞1)

*

王新敞
奎屯

新疆

（5）指数幂的运算性质:

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R ) (a m ) n ? a mn (m, n ? R) (ab) ? a ? b (n ? R)
n n n
王新敞
奎屯 新疆

（6）对数的定义：如果 作 loga N ? b 。 （7）对数恒等式 a
loga N

a b ? N ?a ? 0, a ? 1? ，那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数，记

?N。

（8）对数运算法则：如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
（9）对数换底公式：
1

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loga N ? logm N logm a
( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0) 。

（10）两个常用的推论: ① loga b ? logb a ? 1 ， ② log a m b ?
n

loga b ? logb c ? logc a ? 1

王新敞
奎屯

新疆

n log a b （ a, b > 0 且均不为 1） ． m

二、例题选讲
例 1、画出函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 1 ? 3 x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 的图象．

变式：化简下列各式
5 4 4 4 4 4 （1） 5 (?2) ； （2） 4 (? ? 4) ； （3） 4 ( x ? y ) ； （4） x ? 4 y ．

例 2、计算 （1）

1 2 ?1

?

1 2 ?1

； （2） 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 ； （3）

3

3 ? 6 6 9 ? 6 2 ? 6 18
6

2 ?1

。

2

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例 3、化简下列各式（结果用有理数指数幂表示） ： （1）

a2
4

a3 a

； （2） a 2 ? a ?3 ?

3

9 3

（3） a ?7 ? 3 a13 (a ? 0) ；

3 6

xy 2

x5 ? 4 y3

．

例 4、化简下列各式（结果用有理数指数幂表示） ： （1） (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) ； （2） ( x y z ) ? ( x y z )
3 1 2 3 1 4 ?1 ?1 3 4 ? 1 3 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

；
1

（3） [(e x ? e ? x ) 2 ? 4] 2 ? [(e x ? e ? x ) 2 ? 4] 2 ； （4）

a ?2 ? b ?2 a ?1 ? b ?1 ? ?1 ?1 ． a ?1 ? b ?1 a b

例 5、已知 a ? a
1 2

?1

? 7 ，求下列各式的值：
1 2

（1） a ? a

?

； （2） a ? a ； （3） a ? a
2 3

?2

?3

； （4）

a ?a a ?a
1 2

3 2

? ?

3 2 1 2

。

3

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例 6、已知 f ( x) ?
x

2x 2 ?2
1 2

.

（1） 求 f (a) ? f (1 ? a) 的值； （2） 求 f (

1 2 3 1000 )? f( )? f( ) ??? f ( ) 的值。 1001 1001 1001 1001

8? r 例 7、已知 a ? 0 ，对于 0 ? r ? 8, r ? Z ，式子 ( a ) (

1
4

a

) r 能化成关于 a 的整数指数幂

的可能情形有几种？

例 8、设 xyz ? 0 ， a , b 为不等于 1 的正数，且 a ? b ? (ab) ，求证：
x y z

1 1 1 ? ? . x y z

4

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例 9、计算： （1） 2(lg 2 ) ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ；
2 2

（2） 2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 3 2? log3 5 ； 9

（3） lg 2 2 ? lg 250? lg 2 5 ? lg 40 ； （4） log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 ； 25 8 27

（5） (log2 3 ? log8 9)(log3 4 ? log9 8).

例 10、 （1）已知 a ? log3 2 ， 3 ? 5 ，用 a , b 表示 log3 30 ；
b

（2）设 lg 2 ? a, lg 3 ? b ，用 a , b 表示 log5 12 ； （3）已知 log2 9 ? a, log2 5 ? b ，用 a , b 表示 log2 75．

5

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例 11、设 x ? 1 ， y ? 1 ，且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ，求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最小值。

例 1２、 （1）已知 3

x

? 4 y ? 36 ，求

x ? 2y 的值。 xy
y z

（ 2 ）已知正实数 x, y , z 满足 3 ? 4 ? 6 ，①求
x

? 2 xy ? 2 yz ? xz 的值；②试比较 xyz

3x,4 y,6 z 的大小。

变式：设 3 ? 0.03 ? 10 ，则
x y

?2

1 1 ? 的值为 x y

.

6

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例 1３、若 lg( x ? y) ? lg( x ? 2 y) ? lg 2 ? lg x ? lg y ，求

x 的值。 y

例 1４、若 a ? 1, b ? 1, a ? 0, b ? 0 ，且满足关系式 loga 2 ? log a 4 ? logb 3 ，求 a , b 的值。
2

例 1５、 （1）计算 7

lg 20

1 ? ( ) lg 0.7 的值； 2
logb c

（2）已知 a, b, c ? 0 且 a, b, c ? 1 ，求 a

? b logc a ? c loga b ? a logc b ? b loga c ? c logb a 的值。

分析：由于指数较为复杂，考虑取对数，从而使幂运算转化为乘法运算，降底难度．

7

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三、巩固练习：
1．下列各式中成立的一项是（ A． ( ）
4 B． 12 ( ?3) ? 3 ? 3

n 7 ) ? n7 m 7 m
3

1

C． 4 x 3 ? y 3 ? ( x ? y ) 4
2 3 1 2 1 2 1 3 1 5

D．

3

9 ?3 3
）

1 2．化简 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果是（ 3
A． 6 a 3． log
n?1? n

B． ? a

C． ? 9a ）

D． 9 a

2

（ n＋ 1－ n ）等于（ B．－1

A．1
3

C．2

D．－2 .

４．计算

3

? b? 3 ?= ?? 1 ? 2 ? a? a 2 ? 23 ab ? 43 b 2 ? ? a 4 ? 83 ab3

5．若 logax＝logby＝－ 则 xy＝________．

1 logc2，a，b，c 均为不等于 1 的正数，且 x＞0，y＞0，c＝ ab ， 2

６． lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) ＝
2

．２
x ?1

７．已知关于 x 的方程 2a ８．已知 x 2 ? x
1 ? 1 2

2 x?2

－7a

+3=0 有一个根是 2, 求 a 的值和方程其余的根 的值。

? 3 ，求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

?3 y ９．若 2 lg （x－2y）＝ lg x＋ lg y，求 的值。 x
10．已知函数 f ( x ) ? 2 ，x1 ，x 2 是任意实数且 x1 ? x 2 ，
x

证明： [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (

1 2

x1 ? x 2 ). 2

8

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参考答案： 例 1、分析：根据方根的性质，将函数进行化简,再作图． 解： y ?
y

( x ? 1) ? 3 ( x ? 1) ?| x ? 1 | ?( x ? 1)
2 3

2 ?1 0 1 ?2
x

? 2 x( x ? ?1) ?? ?? 2( x ? ?1)
它的图象是两条射线． 变式 1：解： （1）原式= ? 2 .(2)原式= | ? ? 4 |? 4 ? ? . (3)原式＝ | x ? y |? ?

? x ? y( x ? y) . (4)原式＝ | x | ? | y | ． ? y ? x( x ? y )

例 2、解： （１）原式＝ ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ?2 ． （２）原式＝ ( 3 ? 2 ) ? ( 3 ?
2

2)2 ? ( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ? 2 3 ．
6? 3

2 6 （３）? 9 ? 6 2 ? ( 6 ? 3 ) ? 9 ? 6 2 ? 3

3

原式＝

3 ? 6 ?3
6

6 ? 3 ? 6 18 2 ?1

?

3

3 ? 6 9 ?6 2
6

2 ?1

?

3

3 (1 ? 6 2 )
6

2 ?1

? ?3 3 ．

例 3、解：先将根式化为分数指数幂，多重根式先内后外；除法先化简分子分母，然后再进 行指数的加减；注意带括号运算． （１）原式＝ a ? a
2 ? 3 4

?a
1

?

1 2

?a
? 7

3 1 2? ? 4 2

3

? a4 ．
3? 1 3

9

（２）原式＝ (a 2 a
1 3 2 3

?

3 2

13

1

) 3 ? (a 3 a 3 ) 2 ? a
5 6 3 4 1 5 ? 3 6

?a
?

2?

1 2

? a ? a ? 1．
1 ? 12

（３）原式＝ x y ? ( x y ) ? x

y

2 3 ? 3 4

?x y b
1 1 5 ? ? 2 3 6

1 2

．

例 4、解： （１）原式＝ [2 ? (?6) ? (?3)]a （２）原式＝ ( x y z ) ? ( x y
2 3 1 4 ?1 1 3 ? 1 4

2 1 1 ? ? 3 2 6

? 4ab0 ? 4a ．

z ?1 ) ? xz ?2 ．
1 1

（３）原式＝ [e 2 x ? 2e x e ? x ? e ?2 x ? 4] 2 ? [e 2 x ? 2e x e ? x ? e ?2 x ? 4] 2
1 1

＝ [e 2 x ? 2 ? e ?2 x ] 2 ? [e 2 x ? 2 ? e ?2 x ] 2
1 1

＝ [(e x ? e ? x ) 2 ] 2 ? [(e x ? e ? x ) 2 ] 2 ＝| e ? e
x ?x

| ?(e x ? e ? x )
9

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当 x ? 0 时， | e x ? e ? x |? e x ? e ? x ；当 x ? 0 时， | e x ? e ? x |? e ? x ? e x ．

? 2e x ( x ? 0) 所以原式＝ ? ? x ． ?2e ( x ? 0)
（４）原式＝

a ?2 ? b ?2 a ?1b ?1 (a ?2 ? b ?2 )a ?1b ?1 ? ? ? a ?1b ?1 ． a ?1 ? b ?1 a ?1 ? b ?1 a ?2 ? b ?2

例 5、分析：从已知条件中解出 a 的值，然后代入求值，这种方法可行但太繁琐．如果注意 所求式子与已知条件的关系，整体代入求值，则计算简便．
1

解： （１）因为 (a 2 ? a

?

1 2 2
1 2

1

) ? a ? a ?1 ? 2 ? 9 且 a 2 ? a
? 3．

?

1 2

? 0，

?a ? a

1 2

?

（２） a 2 ? a ?2 ? (a ? a ?1 ) 2 ? 2 ? 49 ? 2 ? 47 ． （３） a 3 ? a ?3 ? (a ? a ?1 )(a 2 ? a ? a ?1 ? a ?2 ) ? 7 ? (47 ? 1) ? 322． 或者：? (a ? a ?1 ) 3 ? a 3 ? a ?3 ? 3a ? a ?1 (a ? a ?1 )

? a 3 ? a ?3 ? 7 3 ? 3 ? 7 ? 322 ．
3

（４）

a2 ? a a ?a
1 2

?

3 2

1

1 ? 2

?

(a 2 ? a 2 )(a ? a 2 a a ?a
1 2 1 ? 2

?

1

1

?

1 2

? a ?1 )

1

? a ? a2a

?

1 2

? a ?1 ? 7 ? 1 ? 8 ．

例 6、解： （１） f (a) ? f (1 ? a) ?

2a 2a ? 2

?

2 ? 2 ?a 2 ? 2 ?a ? 2

?

2a 2a ? 2

?

2 2 ? 2a 2

?

2a 2 ? 2
a

?

2 2 ? 2a

? 1．

（２）由（１）可知

1 2 3 1000 2[ f ( )? f( )? f( ) ??? f ( )] 1001 1001 1001 1001 1 1000 2 999 1000 1 ?[f ( )? f( )] ? [ f ( )? f( )] ? ?[ f ( )? f( )] 1001 1001 1001 1001 1001 1001 ? 1000 1 2 3 1000 )? f( )? f( ) ??? f ( ) ? 500 ． 所以 f ( 1001 1001 1001 1001 例 7、分析：先将原式化简，写成关于 a 的指数幂的形式，然后再分析指数的可能情形．

10

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解： ( a )
8? r

(4

1 a

) ?a
r

8? r 2

a

?

r 4

?a

16 ?3r 4

．

? 0 ? r ? 8, r ? Z ，? 当且仅当 r ? 0,4,8 时，
故式子 ( a )
8? r

16 ? 3r ? 4,1,?2 为整数． 4

(4

1 a

) r 能化成关于 a 的整数指数幂的可能情形有３种．

例 8、证：? a x ? (ab) z ,? a xy ? (ab) yz

? b y ? (ab) z ,?b xy ? (ab) xz
从而 a b
xy xy

? (ab) yz? xz ，? xy ? yz ? xz ，?

1 1 1 ? ? ． z x y
2

例 9、 解： （１） 原式＝ lg 2 (2 lg 2 ? lg 5) ? (lg 2 ? 1) ? lg 2 (lg 2 ? lg 5) ? 1 ? lg 2

? lg 2 ? 1 ? lg 2 ? 1．
（２）原式＝ 2 log3 2 ? (5 log3 2 ? 2 log3 3) ? 3 log3 2 ? 9 ? 3 ＝ 2 ? 9 ? 5 ? ?43 ． （３）原式＝ lg 2 2(2 lg 5 ? 1) ? lg 2 5(2 lg 2 ? 1) ? 2 lg 2 lg 5(lg 2 ? lg 5) ? lg 2 2 ? lg 2 5 ＝ 2 lg 2 lg 5 ? lg 2 2 ? lg 2 5 ? (lg 2 ? lg 5) 2 ? 1 ． （４）原式＝ (?2 log2 5) ? (?3 log3 2) ? (?3 log5 3) ? ?18 ? （５）原式＝ (log 2 3 ?
log3 5

lg 5 lg 2 lg 3 ? ? ? ?18 ． lg 2 lg 3 lg 5

2 3 5 5 25 log 2 3)(log 3 4 ? log 3 2) ? log 2 3 ? log 3 2 ? ． 3 2 3 2 6

例 10、解： （１） a ? log3 2, b ? log3 5 ，

? log 3 30 ?

1 1 1 (log 3 3 ? log 3 10) ? (1 ? log 3 2 ? log 3 5) ? (1 ? a ? b) ． 2 2 2

（２） log5 12 ?

lg12 2 lg 2 ? lg 3 2a ? b ? ? ． lg 5 1 ? lg 2 1? a
a ， 2 a ? 2b ． 2

（３） 2 log 2 3 ? a,? log 2 3 ?

? log 2 75 ? log 2 (3 ? 5 2 ) ? log 2 3 ? 2 log 2 5 ?
11

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例 11、解：令 t ? log x y ， ∵ x ? 1 ， y ? 1 ，∴ t ? 0 ． 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ?

2 ? 3 ? 0 ，∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 ， t

1 1 1 ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ，∵ t ? 0 ，∴ t ? ，即 log x y ? ，∴ y ? x 2 ， 2 2

∴ T ? x2 ? 4 y 2 ? x2 ? 4x ? ( x ? 2)2 ? 4 ， ∵ x ? 1 ，∴当 x ? 2 时， Tmin ? ?4 ． 例 1２、解： （１）? 3x ? 4 y ? 36,? x ? log3 36, y ? log4 36

?

x ? 2y 2 1 ? ? ? 2 log36 3 ? log36 4 ? log36 36 ? 1 ． xy x y
x y z

（２）设 3 ? 4 ? 6 ? m ? 1 ，则 x ? log3 m, y ? log4 m, z ? log6 m ①

? 2 xy ? 2 yz ? xz ? 2 2 1 36 ? ? ? ? ?2 logm 6 ? 2 logm 3 ? logm 4 ? logm ?0． xyz z x y 36

②? m ? 1,? lg m ? 0

? 3x ? 4 y ?

3 lg m 4 lg m lg m(3 lg 4 ? 4 lg 3) lg m 64 ? 3x ? 4 y ． ? ? ? ? lg ? 0， lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 81

4 y ? 6z ?

4 lg m 6 lg m 2 lg m(2 lg 6 ? 3 lg 4) 2 lg m 36 ? ? ? ? lg ? 0 ，? 4 y ? 6 z lg 4 lg 6 lg 4 lg 6 lg 4 lg 6 64

从而 3x ? 4 y ? 6 z ． 变式：解： x lg 3 ? y lg 0.03 ? ?2 ，?

1 1 lg 3 lg 3 ? 2 ? ?? ? ? ?1 ． x y 2 2

例 1３、分析：在求解过程中，要注意真数要大于０的限制条件． 解：? lg( x ? y) ? lg( x ? 2 y) ? lg 2 ? lg x ? lg y ，

? lg[(x ? y)(x ? 2 y)] ? lg(2 xy),? ( x ? y)(x ? 2 y) ? 2 xy,

? x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 0,? ( x ? 2 y)(x ? y) ? 0 ，
12

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? x x x x ? 2 或 ? ?1 ，由题意知 x ? 0, y ? 0 ，所以 ? 0 ，? ? 2 ． y y y y

例 1４、解法一（对数转化为指数） ：设 loga 2 ? log a 4 ? logb 3 ? m ，则
2

a 1 am a m ? 2, ( ) m ? 4 ，? 2 ? a m ? m ，? a m ? 0 ，? 2 ? m ， m ? ?1 ． 2 2 2

? loga 2 ? logb 3 ? ?1 ，? a ?

1 1 ,b ? ． 2 3

解法二（利用换底公式） ： loga 2 ? log a 4 ?
2

lg 2 2 lg 2 1 ? ? lg a ? ? lg 2 ? a ? ， lg a lg a ? lg 2 2

? loga 2 ? logb 3 ? ?1 ，? b ?

1 ． 3

例 1５、分析：由于指数较为复杂，考虑取对数，从而使幂运算转化为乘法运算，降底难度．

1 ? ( ) lg 0.7 ? x ，则 2 1 1 lg x ? lg[7 lg 20 ? ( ) lg 0.7 ] ? lg 20 ? lg 7 ? lg 0.7 ? lg ? (lg 2 ? 1) lg 7 ? (lg 7 ? 1) lg 2 ? lg14 2 2 ? x ? 14 ．
解： （１）设 7
lg 20

（２）设 x ? a

logb c

, y ? c logb a ，则
lg a ? lg c lg a ? lg c , lg y ? logb a ? lg c ? ， lg b lg b

lg x ? logb c ? lg a ?

log a log b log b log c 所以 x ? y ，同理， b c ? a c , c a ? b a ，

所以原式＝０． 三、巩固练习： 1． D； 2． C； 3． B；４． a ；5． ７．解: 2a －7a+3=0, ? a=
2

2 3

1 ；６．２； 2

1 或 a=3. 2 1 1 2x 1 x a= 时, 方程为: 8· ( ) －14· ( ) +3=0 ? x=2 或 x=1－log 2 3 2 2 2 1 2x 7 x a=2 时, 方程为: · 2 － · 2 +3=0 ? x=2 或 x=－1－log 3 2 2 2
1 ? 1 2

８．解：∵ x 2 ? x

? 3 ，∴ ( x 2 ? x 2 )2 ? 9 ，∴ x ? 2 ? x ?1 ? 9 ，∴ x ? x ?1 ? 7 ，

1

?

1

13

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∴ ( x ? x ?1 )2 ? 49 ，∴ x ? x
2 ?2

? 47 ，

又∵ x ? x ∴

3 2

?

3 2

? ( x ? x ) ? ( x ? 1 ? x ?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ，
? 47 ? 2 ? 3。 18 ? 3

1 2

?

1 2

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

?3

９．解：由 2 lg （x－2y）＝ lg x＋ lg y，得（x－2y）2＝xy， 解得 x＝4y 或 x＝y，则有

y 1 x ＝ 或 ＝1． x 4 y

又 x－2y＞0，所以 x＞2y．所以 x＝y 舍掉．只有 x＝4y． 所以

y 1 ＝ ． x 4

10．证： [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (
x1 ? x2 2

1 2

x1 ? x 2 x ? x2 1 )] ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( 1 2 2 2
x x x x

1 ? [2 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 2 2
x x x

1 2 1 2 1 ] ? [2 x1 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 x2 ] 2

2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? [2 2 (2 2 ? 2 2 ) ? 2 2 (2 2 ? 2 2 )] ? (2 2 ? 2 2 )(2 2 ? 2 2 ) ? (2 2 ? 2 2 ) 2 2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2 1 2 1 1 ? x1 ? x 2 ， 2 2 ? 2 2 ? ( 2 2 ? 2 2 ) 2 ? 0 2

x

x

x

x

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