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对数运算讲义


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指数、对数运算
一、知识要点:
(1)n 次方根的定义: 一般地,若 x n ? a(n ? 1, n ? N*) 则 x 叫做 a 的 n 次方根。 n a 叫做根式,n 叫做根指 数,a 叫做被开方数。 (2)方根的性质: ①当 n 为奇数时:正数的 n 次方根为正数,负数的 n 次方根为

负数,记作: x ? ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个(互为相反数) ,记作: x ? ? n a 。 ③负数没有偶次方根。 ④ 0 的任何次方根为 0。 (3)根据 n 次方根的定义,易得到以下常用公式: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ? (4)正数的正分数指数幂的意义 ①a ②a
m n
? m n
n

n

a 。

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

? n a m (a>0,m,n∈N*,且 n>1)
? 1 a
m n

王新敞
奎屯

新疆

?

1
n

a

m

(a>0,m,n∈N ,且 n>1)

*

王新敞
奎屯

新疆

(5)指数幂的运算性质:

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R ) (a m ) n ? a mn (m, n ? R) (ab) ? a ? b (n ? R)
n n n
王新敞
奎屯 新疆

(6)对数的定义:如果 作 loga N ? b 。 (7)对数恒等式 a
loga N

a b ? N ?a ? 0, a ? 1? ,那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数,记

?N。

(8)对数运算法则:如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
(9)对数换底公式:
1

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loga N ? logm N logm a
( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0) 。

(10)两个常用的推论: ① loga b ? logb a ? 1 , ② log a m b ?
n

loga b ? logb c ? logc a ? 1

王新敞
奎屯

新疆

n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) . m

二、例题选讲
例 1、画出函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 1 ? 3 x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 的图象.

变式:化简下列各式
5 4 4 4 4 4 (1) 5 (?2) ; (2) 4 (? ? 4) ; (3) 4 ( x ? y ) ; (4) x ? 4 y .

例 2、计算 (1)

1 2 ?1

?

1 2 ?1

; (2) 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 ; (3)

3

3 ? 6 6 9 ? 6 2 ? 6 18
6

2 ?1



2

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例 3、化简下列各式(结果用有理数指数幂表示) : (1)

a2
4

a3 a

; (2) a 2 ? a ?3 ?

3

9 3

(3) a ?7 ? 3 a13 (a ? 0) ;

3 6

xy 2

x5 ? 4 y3



例 4、化简下列各式(结果用有理数指数幂表示) : (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) ; (2) ( x y z ) ? ( x y z )
3 1 2 3 1 4 ?1 ?1 3 4 ? 1 3 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6


1

(3) [(e x ? e ? x ) 2 ? 4] 2 ? [(e x ? e ? x ) 2 ? 4] 2 ; (4)

a ?2 ? b ?2 a ?1 ? b ?1 ? ?1 ?1 . a ?1 ? b ?1 a b

例 5、已知 a ? a
1 2

?1

? 7 ,求下列各式的值:
1 2

(1) a ? a

?

; (2) a ? a ; (3) a ? a
2 3

?2

?3

; (4)

a ?a a ?a
1 2

3 2

? ?

3 2 1 2



3

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例 6、已知 f ( x) ?
x

2x 2 ?2
1 2

.

(1) 求 f (a) ? f (1 ? a) 的值; (2) 求 f (

1 2 3 1000 )? f( )? f( ) ??? f ( ) 的值。 1001 1001 1001 1001

8? r 例 7、已知 a ? 0 ,对于 0 ? r ? 8, r ? Z ,式子 ( a ) (

1
4

a

) r 能化成关于 a 的整数指数幂

的可能情形有几种?

例 8、设 xyz ? 0 , a , b 为不等于 1 的正数,且 a ? b ? (ab) ,求证:
x y z

1 1 1 ? ? . x y z

4

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例 9、计算: (1) 2(lg 2 ) ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ;
2 2

(2) 2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 3 2? log3 5 ; 9

(3) lg 2 2 ? lg 250? lg 2 5 ? lg 40 ; (4) log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 ; 25 8 27

(5) (log2 3 ? log8 9)(log3 4 ? log9 8).

例 10、 (1)已知 a ? log3 2 , 3 ? 5 ,用 a , b 表示 log3 30 ;
b

(2)设 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,用 a , b 表示 log5 12 ; (3)已知 log2 9 ? a, log2 5 ? b ,用 a , b 表示 log2 75.

5

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例 11、设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最小值。

例 12、 (1)已知 3

x

? 4 y ? 36 ,求

x ? 2y 的值。 xy
y z

( 2 )已知正实数 x, y , z 满足 3 ? 4 ? 6 ,①求
x

? 2 xy ? 2 yz ? xz 的值;②试比较 xyz

3x,4 y,6 z 的大小。

变式:设 3 ? 0.03 ? 10 ,则
x y

?2

1 1 ? 的值为 x y

.

6

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例 13、若 lg( x ? y) ? lg( x ? 2 y) ? lg 2 ? lg x ? lg y ,求

x 的值。 y

例 14、若 a ? 1, b ? 1, a ? 0, b ? 0 ,且满足关系式 loga 2 ? log a 4 ? logb 3 ,求 a , b 的值。
2

例 15、 (1)计算 7

lg 20

1 ? ( ) lg 0.7 的值; 2
logb c

(2)已知 a, b, c ? 0 且 a, b, c ? 1 ,求 a

? b logc a ? c loga b ? a logc b ? b loga c ? c logb a 的值。

分析:由于指数较为复杂,考虑取对数,从而使幂运算转化为乘法运算,降底难度.

7

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三、巩固练习:
1.下列各式中成立的一项是( A. ( )
4 B. 12 ( ?3) ? 3 ? 3

n 7 ) ? n7 m 7 m
3

1

C. 4 x 3 ? y 3 ? ( x ? y ) 4
2 3 1 2 1 2 1 3 1 5

D.

3

9 ?3 3


1 2.化简 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果是( 3
A. 6 a 3. log
n?1? n

B. ? a

C. ? 9a )

D. 9 a

2

( n+ 1- n )等于( B.-1

A.1
3

C.2

D.-2 .

4.计算

3

? b? 3 ?= ?? 1 ? 2 ? a? a 2 ? 23 ab ? 43 b 2 ? ? a 4 ? 83 ab3

5.若 logax=logby=- 则 xy=________.

1 logc2,a,b,c 均为不等于 1 的正数,且 x>0,y>0,c= ab , 2

6. lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) =
2

.2
x ?1

7.已知关于 x 的方程 2a 8.已知 x 2 ? x
1 ? 1 2

2 x?2

-7a

+3=0 有一个根是 2, 求 a 的值和方程其余的根 的值。

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

?3 y 9.若 2 lg (x-2y)= lg x+ lg y,求 的值。 x
10.已知函数 f ( x ) ? 2 ,x1 ,x 2 是任意实数且 x1 ? x 2 ,
x

证明: [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (

1 2

x1 ? x 2 ). 2

8

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参考答案: 例 1、分析:根据方根的性质,将函数进行化简,再作图. 解: y ?
y

( x ? 1) ? 3 ( x ? 1) ?| x ? 1 | ?( x ? 1)
2 3

2 ?1 0 1 ?2
x

? 2 x( x ? ?1) ?? ?? 2( x ? ?1)
它的图象是两条射线. 变式 1:解: (1)原式= ? 2 .(2)原式= | ? ? 4 |? 4 ? ? . (3)原式= | x ? y |? ?

? x ? y( x ? y) . (4)原式= | x | ? | y | . ? y ? x( x ? y )

例 2、解: (1)原式= ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ?2 . (2)原式= ( 3 ? 2 ) ? ( 3 ?
2

2)2 ? ( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ? 2 3 .
6? 3

2 6 (3)? 9 ? 6 2 ? ( 6 ? 3 ) ? 9 ? 6 2 ? 3

3

原式=

3 ? 6 ?3
6

6 ? 3 ? 6 18 2 ?1

?

3

3 ? 6 9 ?6 2
6

2 ?1

?

3

3 (1 ? 6 2 )
6

2 ?1

? ?3 3 .

例 3、解:先将根式化为分数指数幂,多重根式先内后外;除法先化简分子分母,然后再进 行指数的加减;注意带括号运算. (1)原式= a ? a
2 ? 3 4

?a
1

?

1 2

?a
? 7

3 1 2? ? 4 2

3

? a4 .
3? 1 3

9

(2)原式= (a 2 a
1 3 2 3

?

3 2

13

1

) 3 ? (a 3 a 3 ) 2 ? a
5 6 3 4 1 5 ? 3 6

?a
?

2?

1 2

? a ? a ? 1.
1 ? 12

(3)原式= x y ? ( x y ) ? x

y

2 3 ? 3 4

?x y b
1 1 5 ? ? 2 3 6

1 2



例 4、解: (1)原式= [2 ? (?6) ? (?3)]a (2)原式= ( x y z ) ? ( x y
2 3 1 4 ?1 1 3 ? 1 4

2 1 1 ? ? 3 2 6

? 4ab0 ? 4a .

z ?1 ) ? xz ?2 .
1 1

(3)原式= [e 2 x ? 2e x e ? x ? e ?2 x ? 4] 2 ? [e 2 x ? 2e x e ? x ? e ?2 x ? 4] 2
1 1

= [e 2 x ? 2 ? e ?2 x ] 2 ? [e 2 x ? 2 ? e ?2 x ] 2
1 1

= [(e x ? e ? x ) 2 ] 2 ? [(e x ? e ? x ) 2 ] 2 =| e ? e
x ?x

| ?(e x ? e ? x )
9

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当 x ? 0 时, | e x ? e ? x |? e x ? e ? x ;当 x ? 0 时, | e x ? e ? x |? e ? x ? e x .

? 2e x ( x ? 0) 所以原式= ? ? x . ?2e ( x ? 0)
(4)原式=

a ?2 ? b ?2 a ?1b ?1 (a ?2 ? b ?2 )a ?1b ?1 ? ? ? a ?1b ?1 . a ?1 ? b ?1 a ?1 ? b ?1 a ?2 ? b ?2

例 5、分析:从已知条件中解出 a 的值,然后代入求值,这种方法可行但太繁琐.如果注意 所求式子与已知条件的关系,整体代入求值,则计算简便.
1

解: (1)因为 (a 2 ? a

?

1 2 2
1 2

1

) ? a ? a ?1 ? 2 ? 9 且 a 2 ? a
? 3.

?

1 2

? 0,

?a ? a

1 2

?

(2) a 2 ? a ?2 ? (a ? a ?1 ) 2 ? 2 ? 49 ? 2 ? 47 . (3) a 3 ? a ?3 ? (a ? a ?1 )(a 2 ? a ? a ?1 ? a ?2 ) ? 7 ? (47 ? 1) ? 322. 或者:? (a ? a ?1 ) 3 ? a 3 ? a ?3 ? 3a ? a ?1 (a ? a ?1 )

? a 3 ? a ?3 ? 7 3 ? 3 ? 7 ? 322 .
3

(4)

a2 ? a a ?a
1 2

?

3 2

1

1 ? 2

?

(a 2 ? a 2 )(a ? a 2 a a ?a
1 2 1 ? 2

?

1

1

?

1 2

? a ?1 )

1

? a ? a2a

?

1 2

? a ?1 ? 7 ? 1 ? 8 .

例 6、解: (1) f (a) ? f (1 ? a) ?

2a 2a ? 2

?

2 ? 2 ?a 2 ? 2 ?a ? 2

?

2a 2a ? 2

?

2 2 ? 2a 2

?

2a 2 ? 2
a

?

2 2 ? 2a

? 1.

(2)由(1)可知

1 2 3 1000 2[ f ( )? f( )? f( ) ??? f ( )] 1001 1001 1001 1001 1 1000 2 999 1000 1 ?[f ( )? f( )] ? [ f ( )? f( )] ? ?[ f ( )? f( )] 1001 1001 1001 1001 1001 1001 ? 1000 1 2 3 1000 )? f( )? f( ) ??? f ( ) ? 500 . 所以 f ( 1001 1001 1001 1001 例 7、分析:先将原式化简,写成关于 a 的指数幂的形式,然后再分析指数的可能情形.

10

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解: ( a )
8? r

(4

1 a

) ?a
r

8? r 2

a

?

r 4

?a

16 ?3r 4



? 0 ? r ? 8, r ? Z ,? 当且仅当 r ? 0,4,8 时,
故式子 ( a )
8? r

16 ? 3r ? 4,1,?2 为整数. 4

(4

1 a

) r 能化成关于 a 的整数指数幂的可能情形有3种.

例 8、证:? a x ? (ab) z ,? a xy ? (ab) yz

? b y ? (ab) z ,?b xy ? (ab) xz
从而 a b
xy xy

? (ab) yz? xz ,? xy ? yz ? xz ,?

1 1 1 ? ? . z x y
2

例 9、 解: (1) 原式= lg 2 (2 lg 2 ? lg 5) ? (lg 2 ? 1) ? lg 2 (lg 2 ? lg 5) ? 1 ? lg 2

? lg 2 ? 1 ? lg 2 ? 1.
(2)原式= 2 log3 2 ? (5 log3 2 ? 2 log3 3) ? 3 log3 2 ? 9 ? 3 = 2 ? 9 ? 5 ? ?43 . (3)原式= lg 2 2(2 lg 5 ? 1) ? lg 2 5(2 lg 2 ? 1) ? 2 lg 2 lg 5(lg 2 ? lg 5) ? lg 2 2 ? lg 2 5 = 2 lg 2 lg 5 ? lg 2 2 ? lg 2 5 ? (lg 2 ? lg 5) 2 ? 1 . (4)原式= (?2 log2 5) ? (?3 log3 2) ? (?3 log5 3) ? ?18 ? (5)原式= (log 2 3 ?
log3 5

lg 5 lg 2 lg 3 ? ? ? ?18 . lg 2 lg 3 lg 5

2 3 5 5 25 log 2 3)(log 3 4 ? log 3 2) ? log 2 3 ? log 3 2 ? . 3 2 3 2 6

例 10、解: (1) a ? log3 2, b ? log3 5 ,

? log 3 30 ?

1 1 1 (log 3 3 ? log 3 10) ? (1 ? log 3 2 ? log 3 5) ? (1 ? a ? b) . 2 2 2

(2) log5 12 ?

lg12 2 lg 2 ? lg 3 2a ? b ? ? . lg 5 1 ? lg 2 1? a
a , 2 a ? 2b . 2

(3) 2 log 2 3 ? a,? log 2 3 ?

? log 2 75 ? log 2 (3 ? 5 2 ) ? log 2 3 ? 2 log 2 5 ?
11

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例 11、解:令 t ? log x y , ∵ x ? 1 , y ? 1 ,∴ t ? 0 . 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ?

2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t

1 1 1 ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ? ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

∴ T ? x2 ? 4 y 2 ? x2 ? 4x ? ( x ? 2)2 ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 . 例 12、解: (1)? 3x ? 4 y ? 36,? x ? log3 36, y ? log4 36

?

x ? 2y 2 1 ? ? ? 2 log36 3 ? log36 4 ? log36 36 ? 1 . xy x y
x y z

(2)设 3 ? 4 ? 6 ? m ? 1 ,则 x ? log3 m, y ? log4 m, z ? log6 m ①

? 2 xy ? 2 yz ? xz ? 2 2 1 36 ? ? ? ? ?2 logm 6 ? 2 logm 3 ? logm 4 ? logm ?0. xyz z x y 36

②? m ? 1,? lg m ? 0

? 3x ? 4 y ?

3 lg m 4 lg m lg m(3 lg 4 ? 4 lg 3) lg m 64 ? 3x ? 4 y . ? ? ? ? lg ? 0, lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 81

4 y ? 6z ?

4 lg m 6 lg m 2 lg m(2 lg 6 ? 3 lg 4) 2 lg m 36 ? ? ? ? lg ? 0 ,? 4 y ? 6 z lg 4 lg 6 lg 4 lg 6 lg 4 lg 6 64

从而 3x ? 4 y ? 6 z . 变式:解: x lg 3 ? y lg 0.03 ? ?2 ,?

1 1 lg 3 lg 3 ? 2 ? ?? ? ? ?1 . x y 2 2

例 13、分析:在求解过程中,要注意真数要大于0的限制条件. 解:? lg( x ? y) ? lg( x ? 2 y) ? lg 2 ? lg x ? lg y ,

? lg[(x ? y)(x ? 2 y)] ? lg(2 xy),? ( x ? y)(x ? 2 y) ? 2 xy,

? x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 0,? ( x ? 2 y)(x ? y) ? 0 ,
12

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? x x x x ? 2 或 ? ?1 ,由题意知 x ? 0, y ? 0 ,所以 ? 0 ,? ? 2 . y y y y

例 14、解法一(对数转化为指数) :设 loga 2 ? log a 4 ? logb 3 ? m ,则
2

a 1 am a m ? 2, ( ) m ? 4 ,? 2 ? a m ? m ,? a m ? 0 ,? 2 ? m , m ? ?1 . 2 2 2

? loga 2 ? logb 3 ? ?1 ,? a ?

1 1 ,b ? . 2 3

解法二(利用换底公式) : loga 2 ? log a 4 ?
2

lg 2 2 lg 2 1 ? ? lg a ? ? lg 2 ? a ? , lg a lg a ? lg 2 2

? loga 2 ? logb 3 ? ?1 ,? b ?

1 . 3

例 15、分析:由于指数较为复杂,考虑取对数,从而使幂运算转化为乘法运算,降底难度.

1 ? ( ) lg 0.7 ? x ,则 2 1 1 lg x ? lg[7 lg 20 ? ( ) lg 0.7 ] ? lg 20 ? lg 7 ? lg 0.7 ? lg ? (lg 2 ? 1) lg 7 ? (lg 7 ? 1) lg 2 ? lg14 2 2 ? x ? 14 .
解: (1)设 7
lg 20

(2)设 x ? a

logb c

, y ? c logb a ,则
lg a ? lg c lg a ? lg c , lg y ? logb a ? lg c ? , lg b lg b

lg x ? logb c ? lg a ?

log a log b log b log c 所以 x ? y ,同理, b c ? a c , c a ? b a ,

所以原式=0. 三、巩固练习: 1. D; 2. C; 3. B;4. a ;5. 7.解: 2a -7a+3=0, ? a=
2

2 3

1 ;6.2; 2

1 或 a=3. 2 1 1 2x 1 x a= 时, 方程为: 8· ( ) -14· ( ) +3=0 ? x=2 或 x=1-log 2 3 2 2 2 1 2x 7 x a=2 时, 方程为: · 2 - · 2 +3=0 ? x=2 或 x=-1-log 3 2 2 2
1 ? 1 2

8.解:∵ x 2 ? x

? 3 ,∴ ( x 2 ? x 2 )2 ? 9 ,∴ x ? 2 ? x ?1 ? 9 ,∴ x ? x ?1 ? 7 ,

1

?

1

13

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∴ ( x ? x ?1 )2 ? 49 ,∴ x ? x
2 ?2

? 47 ,

又∵ x ? x ∴

3 2

?

3 2

? ( x ? x ) ? ( x ? 1 ? x ?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ,
? 47 ? 2 ? 3。 18 ? 3

1 2

?

1 2

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

?3

9.解:由 2 lg (x-2y)= lg x+ lg y,得(x-2y)2=xy, 解得 x=4y 或 x=y,则有

y 1 x = 或 =1. x 4 y

又 x-2y>0,所以 x>2y.所以 x=y 舍掉.只有 x=4y. 所以

y 1 = . x 4

10.证: [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (
x1 ? x2 2

1 2

x1 ? x 2 x ? x2 1 )] ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( 1 2 2 2
x x x x

1 ? [2 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 2 2
x x x

1 2 1 2 1 ] ? [2 x1 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 x2 ] 2

2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? [2 2 (2 2 ? 2 2 ) ? 2 2 (2 2 ? 2 2 )] ? (2 2 ? 2 2 )(2 2 ? 2 2 ) ? (2 2 ? 2 2 ) 2 2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2 1 2 1 1 ? x1 ? x 2 , 2 2 ? 2 2 ? ( 2 2 ? 2 2 ) 2 ? 0 2

x

x

x

x

即 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (

1 2

x1 ? x 2 x ? x2 1 ) ? 0 ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 ). 2 2 2

14


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