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江苏省苏州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷


苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试 高二数学
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,将答案填在答题纸上)
1.若直线 l 经过两点 ? ?1, 2 ? , ? ?3,4? ,则 l 的倾斜角为 2.抛物线 y ? . . .

1 2 x 的焦点到其准线的距离为 2

3.已知两条直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,l2 : 8x ? 6 y ? 9 ? 0 , 则 l1 与 l2 的距离是 4.函数 y ? sin x 的图象在点 ?? ,0? 处的切线方程为 .

2 5.一质点的运动方程为 S ? t ? 10(位移单位: m ;时间单位: s ) ,则该质点在 t ? 3 时的

瞬时速度为

m/s.
6.若函数 f ? x ? ? x ? 3x ? a 在区间 ??1,1? 上的最大值是 2 ,则实数 a 的值
3 2





7.将一个圆锥沿母线剪开,其侧面展开图是半径为 2 的半圆,则原来圆锥的高 为 .
?

8.设 ??? C 是等腰三角形, ???C ? 120 ,则以 ? , ? 为焦点且过点 C 的双曲线的离心 率是 .

9.关于异面直线 a , b ,有下列四个命题: ①过直线 a 有且只有一个平面 ? , 使得 b //? ; ②过直线 a 有且只有一个平面 ? , 使得 b ? ? ; ③在空间存在平面 ? ,使得 a //? , b //? ;④在空间不存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? . 其中,正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上) .

10.在平面直角坐标系 x?y 中,已知点 ? ? 0,2? ,直线 l : x ? y ? 4 ? 0 .点 ? ? x, y ? 是圆

C : x2 ? y 2 ? 2 x ?1 ? 0 上的动点, ?D ? l , ?? ? l ,垂足分别为 D , ? ,则线段 D ? 的
最大值是 .

11.已知三棱锥 S ? ?? C 的各个顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 ? 在 ?? 上, S ? ? 底面 ?? C , ?C ?

2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是



12.如图,在平面直角坐标系 x?y 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、 a 2 b2

右焦点, ? , C 分别为椭圆的上、下顶点,直线 ?F2 与椭圆的另一个交点为 D ,若

tan ?F1?? ?

3 ,则直线 CD 的斜率为 4



13.如图,一根长为 2 米的竹竿 ?? 斜靠在直角墙壁上,假设竹竿在同一平面内移动,当竹 竿的下端点 ? 从距离墙角 ? 点 1 米的地方移动到 3 米的地方, 则 ?? 的中点 D 经过的路程 为 米.

14.已知函数 f ? x ? ? a ? x ln a( 0 ? a ? 1 ) ,若对于任意 x ?? ?1,1? ,不等式 f ? x ? ? e ?1
x

(其中 e 是自然对数的底)恒成立,则实数 a 的取值范围是



二、解答题 (本大题共 6 小题,满分 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)
15.(本题满分 14 分) 已知 ??? C 的顶点 ? ? 5,1? , 边 ?? 上的中线 C? 所在直线的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , 边 ?C 上的高 ?? 所在直线的方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 . (1)求顶点 C 的坐标; (2)求直线 ? C 的方程. 16.(本题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 ? ? ?? C 中,D ,? ,F 分别是棱 ? C ,? C ,?? 的中点. 已知 ?? ? ?C ,

?? ? 6 , ? C ? 8 , DF ? 5 .

(1)求证:直线 ?? // 平面 D ?F ; (2)求证:平面 ?D? ? 平面 ?? C .

17.(本题满分 14 分) 某景点为了提高门票收入,需要进一步改造升级,经过市场调查,门票新增额 s (万元)与 改造投入资金 x (万元)之间满足: s ?

51 2 1 3 x ? x ? x ? x ln ? ax ? ( 1 ? x ? 60 ) .当 50 100 x ? 10 时, s ? 102 .景点新增毛收入 f ? x ? (万元)为门票新增额扣除改造投入资金.

(1)求 y ? f ? x ? 的解析式; (2)若将

f ? x? 定义为投入改造资金的收益率,试确定投入资金 x (万元)的大小,使得 x 改造资金的收益率最高,并求出最高收益率. (参考数据: ln 5 ? 1.61 )
18.(本小题满分 16 分) 如图,圆 ? : x2 ? y 2 ? 8 内有一点 ? ? ?1, 2? , ?? 是过点 ? 且倾斜角为 135 的弦.
?

(1)求弦 ?? 的长; (2)若圆 C 与圆 ? 内切且与弦 ?? 相切于点 ? ,求圆 C 的方程.

19.(本小题满分 16 分) 已知 ? ? ?2,0 ? ,? ? 2,0? 是椭圆 C 的左、 右顶点,F 是其右焦点,? 是椭圆 C 上异于 ? ,? 的动点,且 ???? 面积的最大值为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2) 直线 ?? 与过点 ? 关于 x 轴的垂直交于点 D , 当直线 ?? 绕点 ? 转动时, 试判断以 ?D 为直径的圆与直线 ? F 的位置关系,并加以证明.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a , g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? 6ln x ,其中 a ? R 为常数. x

(1)当 a ? 1 时,试判断 f ? x ? 的单调性; (2)若 g ? x ? 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 h ? x ? ? x2 ? mx ? 4 ,当 a ? 2 时,若存在 x1 ? ? 0,1? ,对任意的 x2 ??1,2? ,总 有 g ? x1 ? ? h ? x2 ? 成立,求实数 m 的取值范围.

苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试 高二数学(附加题)
21.(本小题满分 10 分) 求函数 f ? x ? ? ln

1 ? x 的最小值. 2x ?1

22.(本小题满分 10 分) 求与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心 ? 的轨迹方程. 23.(本小题满分 10 分) 如图, 四棱锥 ? ? ??CD 的底面为正方形, 侧棱 ?? ? 底面 ?? CD , 且 ?? ? ?D ? 2 ,? ,

F , ? 分别是线段 ?? , ? D , ?? 的中点.
(1)求直线 ?? 与平面 ? F? 所成角的大小; (2)求二面角 ? ? ?F ? ? 的大小.

24.(本小题满分 10 分)
2 已知抛物线 y ? ax ( a ? 0 )的准线方程为 y ? ?1 .

(1)求抛物线的方程; (2) 设 F 是抛物线的焦点, 直线 l : y ? kx ? b( k ? 0 ) 与抛物线相交于 ? , 记 ?F , ? 两点,

? F 的斜率之和为 m .求常数 m ,使得对于任意的实数 k ( k ? 0 ) ,直线 l 恒过定点,并求
出该定点的坐标.

苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试 高二数学答案


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