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球的内切与外接问题--等边三角形与正四面体之间的关系


处理球的“内切” “外接”问题
1、已知正三角形 ABC 的边长为 a ,则三角 形 ABC 的高为:
3 a 2

S?ABC ?

3 2 a ;重心 O 分中线 AD 的比为 2 :1 , 4



OD 1 3 3 ? ; AO ? a , OD ? a AO 2 3 6



2、知正四面体 ABCD 的棱长为 a ,则正四面体的 表面积为: 3a 2 , 正四面体的高:h ? 正四面体的体积:
1 1 3 2 6 2 3 V ? S?ABC ? h ? ? a ? a? a ; 3 3 4 3 12 6 a; 3

直线 AB 与 SC 所成的角为: 45? 正四面体的外接球半径: R ?
6 a; 4 6 a; 12

正四面体的内切球半径: r ?

3、已知球的半径 R 为,则球的 表面积 S ? 4? R2 ;
4 体积 V ? ? R 3 ; 3

内接正四面体的棱长为: a ?

2 6 R 3

外切正四面体的棱长为: a ? 2 6R 4、正方体的内切球: 设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径; (2)外接球半径; (3)与棱相切的球半 径。

a ; 2 (2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4

(1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

作截面图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 R ?

2 a。 2

正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面 AA1 作截面图 得,圆 O 为矩形 AAC 1O ? 1 1C 的外接圆,易得 R ? A
3 a。 2

图3

图4

图5

例 1、在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C .如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且

PA ? PB ? PC ? a ,求这个球的表面积是 3? a 2 .

【构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心 及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 】
例 2、已知底面边长为 a 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上,又知球 O2 与此正三棱 柱的 5 个面都相切,求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。 分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。 解:如图 6,由题意得两球心 O1 、 O2 是重合的,过正三棱柱的一条侧棱 AA 1 和它们的球心作 截面,设正三棱柱底面边长为 a ,则 R2 ?

3 a, 6

正三棱柱的高为 h ? 2 R2 ? 中,得

3 a ,由 Rt?A1 D1O 3
图6
2 2

? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5 ? ? R2 2 ? ? ? ?? ? ? a2 R1 ? ? a a a ? 3 ? ? 3 ? ? 6 ? 12 ? ? ? ? ? ?
2

2



? R1 ?

5 a 12

? S1 : S 2 ? R1 : R2 ? 5 : 1 , V1 : V2 ? 5 5 : 1

2

2

例 3、正三棱锥 S ? ABC ,底面边长为 3,侧棱长为 2,则其外接球和内切球的半径是多少?

例 4、正四棱锥 S ? ABCD ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则其外接球和内切球的半径是多少?

练习:
1.(球内接正四面体问题)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球 的表面积为 2. (球内接长方体问题)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的 长分别为 1,2,3,则此球的表面积为。 3.设 P, A, B, C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA ? PB ? PC ? a , 则球心 O 到截面 ABC 的距离是. 4.(球内接正三棱锥问题)在正三棱锥 S ? ABC 中,侧棱 SC ? 侧面SAB ,侧棱 SC ? 2 , 则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.(球内接棱柱问题) 若一个底面边长为

3 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平 2

面上, 则此球的体积为. 6.(正三棱柱内切球、外接球问题)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和 三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比 为。 7.(球内接正四棱锥问题)半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.则四棱锥的体积 为. 8.(正三棱锥球内切问题) 正三棱锥的高为3,底面边长为 8 3 ,正三棱锥内有一个球与其四 个面相切.则球的表面积与体积分别为. 9. 三棱锥 A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为 5 ,求三棱锥的内切球半径. 说明:球与正三棱锥四个面相切,实际上,球是正三棱锥的内切球,球心到正三棱锥的四个面 的距离相等,都为球半径 R .这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离,而点面距离 常可以用等体积法解决. 1

3? ; 2

14? ; 3

3 4 a; 6

12? ; 5

9 ? ; 6 2

1: 5 ; 7

2 3 R ; 8 3

64 256 ?; ? 9 81


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