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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 第一章 立体几何初步(A)]


第一章

立体几何初步 (A)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列推理错误的是( ) A.A ∈l,A ∈α,B ∈l,B ∈α?l α B.A ∈α,A ∈β,B ∈α,B ∈β?α∩β=AB C.l ? α,A ∈l?A ?α D.A ∈l,l α?A

∈α 2.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 3.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形,原三角形的面积为( ) 6 3 3 6 A. B. C. D. 4 4 2 2 4. 如图, 若 Ω 是长方体 ABCD-A 1 B1 C1 D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB 1 C1 后得到的 几何体,其中 E 为线段 A 1 B 1 上异于 B 1 的点,F 为线段 BB 1 上异于 B 1 的点,且 EH∥A 1 D1 ,则 下列结论中不正确的是( )

A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 5.某人用如图所示的纸片,沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底, 且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①、 ②、③处应依次写上( )

A.快、新、乐 B.乐、新、快 C.新、乐、快 D.乐、快、新 6. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4, 体积为 16, 则这个球的表面积是( A.16π B.20π C.24π D.32π 7.圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240° 8.已知 m,n 是不同的直线,α,β 是不重合的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α,m∥n,则 n∥α B.若 m⊥α,n⊥ α,则 n⊥m C.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β

)

D.若 α⊥β,m α,则 m⊥β 9.把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱,则圆柱的高为( A.R B.2R C.3R D.4R 10.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为( )

)

A.48+12 2 B.48+24 2 C.36+12 2 D.36+24 2 11.如图所示,在正方体 ABCD—A 1 B 1 C1 D1 中,M、N 分别是 BB1 、BC 的中点.则图中 阴影部分在平面 ADD1 A 1 上的正射影为( )

12. 如图所示, 在正方体 ABCD—A 1B 1 C1 D1 中, 若 E 是 A1 C1 的中点, 则直线 CE 垂直于(

)

A.AC

B.BD

C.A 1 D

D.A 1 D1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.等边三角形的边长为 a ,它绕其一边所在的直线旋转一周,则所得旋转体的体积为 ________. 14.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这 个多面体最长的一条棱的长为________.

15.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________. 16. 如图所示, 在直四棱柱 ABCD—A 1B 1 C1 D1 中, 当底面四边形 A 1B 1 C1 D1 满足条件________ 时,有 A 1 C⊥B1 D1 (注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)某个几何体的三视图如图所示(单位:m),

(1)求该几何体的表面积(结果保留 π); (2)求该几何体的体积(结果保留 π).

18. (12 分)如图是一个空间几何体的三视图, 其中主视图和左视图都是边长为 2 的正三角 形,左视图是一个正方形.

(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法);

(2)求这个几何体的体积.

19.(12 分) 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E ,F ,G,H 分别是 AB ,BC,CD,DA AE AH 1 CF CG 上的点,且满足 = = , = =2. EB HD 2 FB GD (1)求证:四边形 EFGH 是梯形; (2)若 BD=a,求梯形 EFGH 的中位线的长.

20.(12 分) 如图所示,长方体 ABCD-A 1B 1 C1 D1 中,M、N 分别为 AB 、A 1 D1 的中点,判 断 MN 与平面 A 1BC1 的位置关系,并证明你的结论.

21.(12 分) 如图,在四面体 ABCD 中,CB =CD,AD⊥BD,且 E 、F 分别是 AB 、BD 的 中点. 求证:(1)EF ∥面 ACD; (2)面 EFC⊥面 BCD.

22.(12 分) 如图,已知矩形 ABCD,过 A 作 SA ⊥平面 AC,再过 A 作 AE ⊥SB 于点 E , 过 E 作 EF ⊥SC 于点 F . (1)求证:AF ⊥SC; (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G,求证:AG⊥SD.

第一章

立体几何初步 (A) 答案

1.C [若直线 l∩α= A,显然有 l ? α, A∈ l,但 A∈ α.] 2.D [当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;

由平面与平面垂直的判定可知 ②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以 异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个 平面垂直,故④正确.] 3.D [原图与其直观图的面积比为 4∶ 2, 3 4 2 6 所以 = ,所以 S 原 = .] S原 4 2 4.D [∵EH∥ A1 D1 ,∴ EH∥ B1 C1 , ∴EH∥平面 BB1 C1 C.由线面平行性质, EH∥FG. 同理 EF∥GH.且 B1 C1 ⊥面 EB1 F. 由直棱柱定义知几何体 B1 EF-C1 HG 为直三棱柱, ∴四边形 EFGH 为矩形, Ω 为五棱柱. 故 选 D.] 5.A 6.C [

如图所示,由 V=Sh 得, S=4,即正四棱柱底面边长为 2. ∴A1 O1 = 2,A1 O=R= 6. ∴S 球 =4πR2 =24π.] 7.C [S 底 +S 侧 =3S 底 , 2S 底 =S 侧 ,即:2πr2 =πrl,得 2r=l. 设侧面展开图的圆心角为 θ, θ πl 则 =2πr,∴θ=180° .] 180° 8.C [A 中还有可能 n α;B 中 n∥m;D 中还有可能 m∥β 或 m β 或相交不垂直; C 中,由于 m∥β,设过 m 的平面 γ 与 β 交于 b,则 m∥b,又 m⊥α,则 b⊥α,又 b β,则 α⊥β,所以 C 正确.] 9.D 10.A [

棱锥的直观图如图,则有 PO=4,OD=3,由勾股定理,得 PD=5, AB=6 2,全面积 1 1 1 为 ×6×6+2× ×6×5+ ×6 2×4=48+12 2,故选 A .] 2 2 2 11.A 12.B [证 BD⊥面 CC1 E,则 BD⊥CE.] 1 3 13. πa 4 解析

如图,正三角形 ABC 中, AB= a,高 AD= 1 1 ? 3 ?2 1 3 2 ∴V= πAD · CB= π· a · a= πa . 3 3 ?2 ? 4 14.2 3

3 a, 2

解析 由主视图和左视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥 C1 -ABCD), 还原 在正方体中,如图所示. 多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线, 由正方体棱长 AB=2 知最长棱的长为 2 3. 15.27π 解析 若正方体的顶点都在同一球面上,则球的直径 d 等于正方体的体对角线的长. 3 3 2 ∵棱长为 3,∴d= 3· 3 =3 3?R= . 2 ∴S=4πR2 =27π. 16.B1 D1 ⊥ A1 C1 (答案不唯一) 解析 由直四棱柱可知 CC1 ⊥面 A1 B1 C1 D1 , 所以 CC1 ⊥B1 D1 ,要使 B1 D1 ⊥A1 C, 只要 B1 D1 ⊥平面 A1 CC1 , 所以只要 B1 D1 ⊥A1 C1 , 还可以填写四边形 A1 B1 C1 D1 是菱形,正方形等条件. 17.解 由三视图可知: 该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体,上半部分是半径为 1 m 的半球. (1)几何体的表面积为 1 S= ×4π×12 +6×22 -π×12 =(24+π)(m2). 2 (2)几何体的体积为 1 4 2π V=23 + × ×π×13 =(8+ ) (m3). 2 3 3 18.解 (1)直观图如图.

(2)这个几何体是一个四棱锥.它的底面边长为 2,高为 2, 1 4 2 所以体积 V= ×22 × 2= . 3 3 AE AH 1 19.解 (1)因为 = = , EB HD 2

1 所以 EH∥ BD,且 EH= BD. 3 CF CG 因为 = =2, FB GD 2 所以 FG∥BD,且 FG= BD. 3 1 因而 EH∥FG,且 EH= FG, 2 故四边形 EFGH 是梯形. 1 2 (2)因为 BD=a,所以 EH= a,FG= a,所以梯形 EFGH 的中位线的长为 3 3 1 1 (EH+FG)= a. 2 2 20.解 直线 MN∥平面 A1 BC1 , 证明如下: ∵M ? 平面 A1 BC1 ,N ? 平面 A1 BC1 .

∴MN ? 平面 A1 BC1 . 如图,取 A1 C1 的中点 O1 , 连接 NO1 、BO1 . 1 ∵NO1 綊 D1 C1 , 2 1 MB 綊 D1 C1 ,∴NO1 綊 MB. 2 ∴四边形 NO1 BM 为平行四边形. ∴MN∥ BO1 .又∵ BO1 平面 A1 BC1 , ∴MN∥平面 A1 BC1 . 21.解 (1)∵E,F 分别是 AB, BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴ EF∥AD, ∵EF? 面 ACD, AD 面 ACD,∴ EF∥面 ACD. (2)∵AD⊥ BD, EF∥ AD,∴EF⊥ BD. ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥ BD. 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC. ∵BD 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD. 22.证明 (1)∵SA⊥平面 AC, BC 平面 AC, ∴SA⊥ BC, ∵四边形 ABCD 为矩形,∴ AB⊥ BC. ∴BC⊥平面 SAB,∴ BC⊥ AE. 又 SB⊥ AE,∴ AE⊥平面 SBC. ∴AE⊥SC.又 EF⊥SC,∴SC⊥平面 AEF. ∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC,∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC,∴DC⊥平面 SAD. ∴DC⊥ AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG 面 AEF, ∴SC⊥AG,∴ AG⊥平面 SDC,∴ AG⊥SD.


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