文科必选1-1(第2章曲线与方程)

第二章
2.1.1

圆锥曲线与方程
椭圆及其标准方程 （1）

主要内容与思想方法 掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导方法， 会用椭圆的标准方程去解决简单的问题. 一、选择题 1．已知点 M 到两个定点 A（-1，0）和 B（1，0）的距离之和是定值 2，则动点 M 的轨迹 是 （ ） A．一个椭圆 B．线段 AB C．线段 AB 的垂直平分线 D．直线 AB 2． 已知椭圆 A．2

x2 y2 ? ? 1 上的点到它的两个焦点的距离之和是 6， m ? 则 4 m B．3 C．6

（ D．9 （

）

3． 已知方程 ax 2 ? by 2 ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则下列关系正确的是

）

A． a ? b B． a ? b C． a ? b ? 0 D． 0 ? a ? b 4．p：动点 M 到两定点距离的和等于定长，q：动点 M 的轨迹是椭圆，p 是条件 q 的 （ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件 二、填空题 5．已知椭圆

y2 x2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上，则实数 a 的取值范围是_______________． a ?1 2 ? a

6． 过椭圆 4x 2 ? 2 y 2 ? 1 的一个焦点 F1 的弦 AB 与另一个焦点 F2 所构成的三角形 ABF2 的周 长是_____________． 7．已知椭圆过点 A（1，2）和点 B（ ? 2，3 ） ，则椭圆的标准方程是______________． 三、解答题 8．求中心在原点，一个焦点为 (0， 2 ) ，且被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦的中点横坐标为 5 椭圆方程．

1 的 2

9．已知椭圆 mx 2 ? y 2 ? 8 与椭圆 9x 2 ? 25 y 2 ? 100 有相同的焦距，求椭圆 mx 2 ? y 2 ? 8 的 标准方程．

61

（2）
主要内容与思想方法 掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导方法， 会用椭圆的标准方程去解决简单的问题. 一、选择题 1． 动点 P 到两定点(0,－2)， (0,2)距离的和为 8， 则动点 P 的轨迹方程为 （ ） A．

x2 y 2 ? ?1 16 12

B．

x2 y 2 ? ?1 16 4

C．

x2 y 2 ? ?1 12 16

D．

x2 y 2 ? ?1 4 16

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3，则该点到椭圆的另一个 25 16 焦点的距离是 （ ） A．2 B．4 C．5 D．7 3． 以坐标轴为对称轴， 两焦点的距离是 2， 且过点 （0， 的椭圆的标准方程是 2） （ ）
2．已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 B． 5 4 3 4 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1或 ? ?1 ? ?1或 ? ?1 C． D． 5 4 3 4 9 4 3 4 y2 x2 ? ? 1 上的一点 M 到一个焦点 F 的距离为 2，N 是 MF 的中点，则 N 点到椭 4．椭圆 25 9 圆中心 O 的距离是 （ ）
A． A．8 二、填空题 B．4 C．2 D．

3 2

1 1? ? 5．已知 A(? ,0), B 是圆 F： ? x ? ? ? y 2 ? 4( F 为圆心）上一动点，线段 AB 的垂直平 2 2? ?
分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为 ． 2 2 6．椭圆 5x －ky ＝5 的一个焦点是（0，2） ，那么 k＝ ． 2 2 7．椭圆 x ＋4y ＝4 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三 角形，该三角形的面积是 ． 三、解答题 8． 已知椭圆的焦点在坐标轴上， 两焦点的中点为原点， 且椭圆经过两点 ( 6,1),(? 3, ? 2), 求椭圆的方程．

2

9．方程 x ? sin ? ? y ? cos? ? 1? 0 ? ? ? ? ? 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 ? 的取值范围．
2 2

62

2.1.1 椭圆的简单几何性质 （1）
主要内容与思想方法 掌握椭圆的简单几何性质，会用椭圆的简单几何性质去解决一些简单的实际问题. 一、选择题

x y x2 y2 ? 1 与椭圆 C2： 1． 椭圆 C1： ? ? ? 1? k ? 9 且 k ? 0 ? 25 9 25 ? k 9 ? k
A．有相同的长轴 2．已知椭圆 B．有相同的短轴 C．有相同的焦点

2

2

（

）

D．有相等的离心率

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距是 c，A、B 分别是长轴、短轴的一个端点，O a2 b2
（ ）

为原点， ΔABO 的面积是 3c 2 ， 若 则这一椭圆的离心率是 A．

3 2 3 C． D． 2 2 3 3．以椭圆上任意一点与焦点所连结的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是 （ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定的 4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连结这四个点和两 个焦点， 恰好得到一个正六边形， 那么这个椭圆的离心率等于 （ ）
B．

1 2

2 3 B． C． 3 ? 1 D． 2 ? 1 2 3 二、填空题 5． 已知一椭圆的半焦距等于焦点到相应准线的距离， 则这一椭圆的离心率是____________．
A．

x2 y2 2 ? ? 1 的离心率为 ，则它的准线方程是________________． m 4 2 7．直线过椭圆的中心，且与椭圆交于 A、B 两点，若 AB 的最大值是 8，最小值是 2，则焦 点在 x 轴上时，椭圆的标准方程是______________． 三、解答题
6．已知椭圆 8．已知中心在原点的椭圆 E 的两个焦点和椭圆 E1： 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 的两个焦点是一个正方 形的四个顶点，且椭圆 E 过点 A（2，-3） ． （1）求椭圆 E 的方程；

2 （2）若 PQ 是椭圆 E 的弦，O 是坐标原点，且 OP⊥OQ，已知 P 点坐标是（ 2， 3 ） ，
求点 Q 的坐标．

63

（2）
主要内容与思想方法 掌握椭圆的简单几何性质，会用椭圆的简单几何性质去解决一些简单的实际问题. 一、选择题

x2 y2 ? ?1， 则它的准线方程是 （ ） 16 25 25 25 25 25 A． x ? ? B． y ? ? C． x ? ? D． y ? ? 3 4 3 4 25 2．已知中心在坐标原点，一条准线方程是 y ? ? 的椭圆的一个焦点是（0，4） ，则这一椭 4 圆的短轴长是 （ ） A．3 B．4 C．6 D．8 3． 已知椭圆的两个焦点将两条准线间的距离三等分， 则这一椭圆的离心率是 （ ）
1． 已知椭圆方程为

2 3 3 2 B． C． D． 2 3 2 3 4．如果一个椭圆的两个焦点恰好将它的长轴三等分，则这个椭圆的两条准线间的距离是其 焦距的 （ ） A．12 倍 B．4 倍 C．18 倍 D．9 倍 二．填空题 5．已知椭圆的两轴在坐标轴上，一个顶点和一个焦点分别是直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 与两条坐标
A． 轴的交点，则这一椭圆的方程是______________．

x2 ? y 2 ? 1 上的一动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂直长轴于 Q 点，则 4 PQ 中点 M 的轨迹方程是________________．
6．已知 P 是椭圆 7．若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ，则 m 的值为 __________． 2 2 m

三、解答题 8．已知一椭圆的焦点在 x 轴上，长轴端点与相近的焦点的距离是 1，与相近的准线的距离 是

5 ，求这一椭圆的标准方程及它的顶点坐标、焦点坐标和准线方程． 3

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左．右焦点的距离之比为 1 : 3 ，求该点到两准线 100 36 的距离及点 P 的坐标．
9．已知椭圆

64

2.2.1 双曲线及其标准方程 （1）
主要内容与思想方法 掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程的推导方法.会用双曲线的标准方程去解决简单 的问题. 一、选择题 1． 双曲线 A．3

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 16 25
B．6 C． 41

（ D．2 41

）

2． 已知双曲线 A．1

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到左、 右两个焦点的距离的差是-4， 则实数 a ? （ 2a a 2
B．2 C．4 D．8 （

）

3． 已知 ? ? ( ，? ) ， 则方程 x 2 sin? ? y 2 sin? ? cos ? 表示的曲线是

?

2

）

A．焦点在 x 轴上的椭圆 C．焦点在 x 轴上的双曲线 4．已知双曲线 距离为 A．10 二、填空题 5．已知 P 为双曲线

B．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 上点 P 到双曲线的一个焦点的距离是 2，则 P 点到另一个焦点的 16 9
（ D．4 ）

B．8

C．6

x2 y2 ? ? 1 的右支上一点，P 到左焦点距离为 12，则 P 到右准线距离 16 9

为______. 6．双曲线(2k+1)x2+(2k+10)y2=14 的一个焦点为(0,3)，则 k=________． 7．平面内有一条长为 10 的线段 AB，动点 P 满足|PA|-|PB|=6，O 为 AB 的中点，则|OP|的最 小值为_______． 三、解答题 8．已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 P 到双曲线两个焦点的距离分别为 4 和 8，直线 y=x-2 被双曲线截得的弦长为 20 2 ，求双曲线的标准方程．

65

（2）
主要内容与思想方法 掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程的推导方法.会用双曲线的标准方程去解决简单 的问题. 一、选择题 1．设 F1 和 F2 为双曲线 ΔF1PF2 的面积是 A． 1

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且使得∠F1PF2=900，则 4 （ ）
B．

5 2

C． 2

D． 5

2．过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0，b ? 0) 的一个焦点 F 作一条与 x 轴垂直的直线，交双曲线于 a2 b2
（ B． ）
2 2 2

A、 两点， B 则|AB|= A．

b a

2

2b a

C．

a b

D．

2a b

3． P 为双曲线 x ? 设
2

y2 ? 1上的一点， 1 、 2 是该双曲线的两个焦点， PF1 : PF2 ? 3: 2 , 若 F F 12
） C. 12 3 D.24 （ ）

则 ?PF F2 的面积为（ 1 A. 6 3 B.12

4． 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 A． k ? ? 二．填空题 5．若方程

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个交点， k 的值是 则 4 9

10 2

B． k ? ?

3 2

C． k ? ?

3 10 或k ? ? 2 2

D．无解

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线，则实数 k 的取值范围是_______________． 1? k 1? k

6．已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2 2 ，则实数 m ? __________ _____. m m2

y2 x2 ? ? 1( a ? ?4) 的焦点坐标是__________________． a?4 a?4 三、解答题
7．双曲线 8．设双曲线 E 与椭圆 这一双曲线的方程．

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点，且与该椭圆的一个交点的纵坐标是 4，求 27 36

66

2.2.2 双曲线的简单几何性质 （1）
主要内容与思想方法 掌握双曲线的简单几何性质，会用双曲线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题. 一、选择题 1． 下列双曲线中， 以直线 2 y ? x ? 0 为一条渐近线的是 （ ） A．

y2 x2 ? ?1 16 4

B．

x2 y2 ? ?1 16 4

C．

y2 ? x2 ?1 4

D．

x2 ? y2 ?1 2
（ ）

2．mx 2 ? ny 2 ? mn ? 0(m ? n ? 0) 的顶点坐标是 A． (? ? n ，0） B． (? ? m ，0） C． （0， ? ? n ）

D． （0，? ? m ） （ ）

3． 等轴双曲线的两条渐近线所成的角是 A．

? 6

B．

? 4

C．

? 3

D．

? 2

4．已知 P 点是双曲线 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 上的一点，过点 P 作实轴的平行线交它的两条渐 近线于 Q、 两点， PQ ? PR 的值是 R 则 （ C． a 2 D． b 2 ）

a2 ? b2 2 二．填空题
A． 5．已知双曲线

B． ab

x2 y2 2 ? ? 1 的离心率 e ? (1，) ，则 b 的取值范围是_____________． 4 b

6．设连结共轭双曲线的四个顶点所组成的四边形的面积为 S1 ，连结它们四个焦点所得到的 四边形的面积是 S 2 ，则

S1 的最大值是____________． S2

7．双曲线

x2 y2 ? ? 1 的半焦距为 c ，若方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 没有实数根，则这一双曲线的 a2 b2

离心率 e 的取值范围是________________． 三、解答题 8．若双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 都在坐标轴上，离心率为 2 ，且过点（4，? 10 ） ； （1）求该双曲线的方程； （2）若点 M（3， m ）也是双曲线上的点，证明：F1M⊥F2M．

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（2）
主要内容与思想方法 掌握双曲线的简单几何性质，会用双曲线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题. 一、选择题 1．已知双曲线

y2 x2 y2 x2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0，m ? b ? 0) 的离心率互为倒数，那么 a2 b m b

以 a、 b、 m 为三边边长的三角形是 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定的三角形 2． 双曲线的焦距为 6， 两条准线间的距离为 4， 则这一双曲线的离心率是 （ ）

3 6 C． D．2 2 2 3．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲
A． B． 线与它的共轭双曲线的离心率分别是 e1、e2 ，则当它们的实轴、虚轴都在变化时，e1 ? e2
2 2

3 2

的最小值是 A．4 4．已知 P 点是双曲线 B． 4 2 C．2 D． 2

（

）

x2 ? y 2 ? 1 右支上异于顶点的一个点，F1．F2 是它的两个焦点，则Δ 4 F1PF2 的内心必在直线 （ ） A． x ? 1 上 B． y ? x 上 C． x ? 2 上 D． y ? 2 x 上
二、填空题 5．若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条准线恰为圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的一条切线，则实数 16 k k =_______． 3 x， 则它的准线方程是________． 2

6． 已知双曲线 mx 2 ? 4 y 2 ? 4m 的渐近线的方程是 y ? ?

7．设双曲线

x2 y2 ? ? 1(0 ? a ? b) 的半焦距为 c ，直线 l 过点 ( a，) 、 (0，b) 两点，已知原 0 a2 b2
3 c ，则这一双曲线的离心率是________________． 4

点到直线 l 的距离是 三、解答题

y2 x2 ? ? 1 的一支上有三个不同点 A ( x1，y1 ) 、B ( 26， 、C x 2，y 2 ) ，且 A、 6） （ 12 13 B、C 三点与焦点 F 的距离成等差数列．
8．在双曲线 （1）试求 y1 ? y 2 的值； （2）证明线段 AC 的垂直平分线经过某一个定点，并求这一定点的坐标．

68

2.3.1

抛物线及其标准方程 （1）

主要内容与思想方法 掌握抛物线的定义及抛物线的标准方程的推导方法.会用抛物线的标准方程去解决简单 的问题. 一．选择题 1． P 到一个定点 M 与到一条定直线 l 的距离相等， 点 则点 P 的轨迹是 （ ） A．一条抛物线 B．一条射线 C．一条直线 D．一条抛物线或一条直线 2． 已知抛物线 y ? 8 px ? p ? 0? , F 是焦点， p 表示 则
2

（ B．F 到准线的距离的

）

A．F 到准线的距离 C．F 到准线的距离的

1 4

1 8
B． y 2 ? ?

D．F 到 y 轴的距离 （ D． x 2 ? ?4 y （ ） ）

3． 顶点在原点， 焦点在 x 轴上， 且经过点 P -1， 的抛物线的方程是 （ 2） A． y 2 ?

1 x 4

1 x 4

C． y 2 ? ?4 x

4． 抛物线 x 2 ? (2a ? 1) y 的准线方程是 y ? 1 ， 则实数 a ? A．

5 2

B．

3 2

C． ?

1 2

D． ?

3 2

二．填空题 5．若抛物线 y2=x 上一点 P 到 A(3,－1)的距离与到焦点 F 的距离之和最小，则 P 点的坐标为 ____________． 6．已知 A(0,4)，P 是抛物线 y=x2＋1 上任意一点，则|PA|的最小值为_______________． 7．抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 3 ，则焦点到 AB 的距离是_____． 三、解答题 8．在直角坐标平面中有一曲线 y 2 ? 2x 和一个点 A（ a ，0） ．

2 ，求曲线上距点 A 最近的点的坐标和相应的距离 d ； 3 （2）若 a ?R，求曲线上的点 P 到 A 点距离的最小值 d ? f (a) ．
（1）若 a ?

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（2）
主要内容与思想方法 掌握抛物线的定义及抛物线的标准方程的推导方法，会用抛物线的标准方程去解决简单 的问题. 一．选择题 1． 已知抛物线的方程是 y ? 2 px 2 p ? 0) ， （ 则这一抛物线的焦点坐标是 A． ? 0， ? （ ）

?

1 ? ? 8p ?

B． ?

?p ? ，? 0 ?2 ?

C． ? 0， ?

? ?

p? 2?

D． ?

? 1 ? ，? 0 ? 8p ?
）

? 2．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，且其上一点 (m， 2) 到抛物线的焦点的
距离为 4， 则实数 m 的值是 A．4 B．-2 C．4 或-4 （ D．2 或-2

3．已知抛物线 y 2 ? 2 px ，过其焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，设 A、B 在抛物线的 准线上的射影分别是 A1、 1， B 则∠A1FB1= A． 45
?

（ C． 90
?

）

B． 60

?

D． 120

?

4．已知点 A（2，3） 是抛物线 x 2 ? 2 y 的焦点，P 是抛物线上的任意一点，当|PA|+|PF| ，F 取得最小值时， 点的坐标是 P A． （2，2） B． （3，3） C． （3，2） （ D． 6 ，3） （ ）

二．填空题 5．焦点坐标是（4，0） ，准线方程是 x ? ?2 的抛物线方程是________________． 6．一酒杯的轴截面是抛物线的一部分，其方程是 x 2 ? 2 y(0 ? y ? 20) ，在杯中放入一个玻 璃球，要使球能接触到酒杯的底部，则玻璃球的半径 r 的取值范围是______________． 7．若抛物线 y 2 ? 2x 上的两点 A、B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 的中点的横坐标

x ? _______________． 三．解答题
8．动直线 y =a 与抛物线 y ?
2

1 x 相交于 A 点，动点 B 的坐标是 (0,3a) ，求线段 AB 中 2

点 M 的轨迹方程．

9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（－3，m）到焦点的距离等 于 5，求抛物线的方程和 m 的值．

70

2.3.2 抛物线的简单几何性质 （1）
主要内容与思想方法 掌握抛物线的简单几何性质，会用抛物线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题. 一．选择题 2 1． 函数 y＝ax ＋1 的图象与直线 y＝x 相切， a＝ 则 （ ） A．

1 8

B．

1 4

C．

1 2

D．1

2．过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等 于 5， 则这样的直线 A．有且仅有一条 （ D．不存在 （ D．5 （ D．0 ） ）

B．有且仅有两条

C．有无穷多条

3． 抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4， 则点 A 与抛物线焦点的距离为 A．2
2

）

B．3

C．4

4． 抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1， 则点 M 的纵坐标是

17 A． 16
二．填空题

15 B． 16

7 C． 8

5．已知抛物线 y 2 ? 4 x ，过点 P(4, 0) ）的直线与抛物线相交于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 两点，
2 2 则 y1 ? y2 的最小值是

.

6． 已知直线 x－y=2 与抛物线 y2=4x 交于 A、 两点， B 那么线段 AB 的中点坐标是__________． 2 7．已知点（－2，3）与抛物线 y =2px（p＞0）的焦点的距离是 5，则 p=_____． 三．解答题 8．设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2x 上， l 是 AB 的垂直平分线，
2

（1）当且仅当 x1 ? x2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论； （2）当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时，求直线 l 的方程．

71

（2）
主要内容与思想方法 掌握抛物线的简单几何性质，会用抛物线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题. 1．已知双曲线的中心在原点，离心率为 3 ，若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重 合， 则该双曲线与抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是 A．2 3 + 6
2

（ D．21

）

B． 21

C． 18? 12 2

2．已知双曲线 的离心率为 A．2

x ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合，则该双曲线 a2
（ B． ）

3 2

C．

6 2

D．

2 3 3

3． 已知椭圆的焦点是 F1、 2， 是椭圆上的一个动点． F P 如果延长 F1 P 到 Q， 使得|PQ|＝|PF2|， 那么动点 Q 的轨迹是 A．圆 4． P(1,0) 到曲线 ? 点 （ D．抛物线 （ ）

B．椭圆

C．双曲线的一支

?x ? t 2

? y ? 2t

（其中参数 t∈R） 上的点的最短距离是

）

A．0 二．填空题 5．以双曲线

B．1

C．

2

D．2

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是____________. 16 9
_______．

6．抛物线（y－1）2＝4（x－1）的焦点坐标是 7．曲线 ?

?x ? t 2 ? 1 ? y ? 2t ? 1
2

（t 为参数）的焦点坐标是_______________．

三．解答题 8．已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4 且位于 x 轴上方的 点，A 到抛物线准线的距离等于 5．过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M． （1）求抛物线方程； （2）过 M 作 MN ? FA ，垂足为 N，求点 N 的坐标．

72

全 章 检 测 题
一、选择题
2 1． x ? 1 ? 3 y 所表示的曲线是

（ C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分 （ D．

）

A．双曲线

B．椭圆

2．椭圆短轴长是 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆中心到准线距离是 A．

）

8 5 5

B．

4 5

5

C．

8 3 3

4 3 3

3．已知椭圆 为 A．2

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一个焦点的距离 25 16
（ B．3 C．5 D．7 （ ） ）

x2 y2 4．双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 b a
A．2 B． 3 C． 2 D．

3 2
）

5． 动点 P 到直线 x+4=0 的距离减去它到 M 0） （2， 的距离之差等于 2， 则点 P 的轨迹是 （ A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 （

6．抛物线 y =-x2 的焦点坐标为 A．(0, 二、填空题

）

1 ) 4

B． (0, -

1 ) 4

C．(

1 , 0) 4

D． (-

1 , 0) 4

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点坐标是（0，1） 7．椭圆 ，则 m= m 4
8．双曲线 x ?
2

．

y2 ? 1截直线 y =x+1 所得的弦长是 4

． ． ．

9．已知抛物线 y2=2x，则抛物线上的点 P 到直线 l：x-y+4=0 的最小距离是 10． 已知直线 x- y =2 与抛物线交于 A、 两点， B 那么线段 AB 的中点坐标是 三、解答题 11．求两焦点的坐标分别为（-2，0）（2，0） ， ，且经过点 P（2，

5 ）的椭圆方程． 3

73

12．已知抛物线 C 的准线为 x = ?

p （p>0） ，顶点在原点，抛物线 C 与直线 l：y =x-1 相交 4

所得弦的长为 3 2 ，求 p 的值和抛物线方程．

x2 y2 ? ? 1 上的两点 A（0， 3 ）和 B，若以 AB 为边作正△ABC，当 B 13．已知椭圆： 4 3
变动时，计算△ABC 的最大面积及其条件．

y A O

C B x

第 13 题图

14．已知双曲线经过点 M（ 6, 6 ） ，且以直线 x= 1 为右准线． （1）如果 F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程； （2）如果离心率 e=2，求双曲线方程．

74

第三章
2.1.2
一、选择题 1．提示：定值 2 等于|AB|，选 B； 2．提示：即 a ? 3 ，而 m ? a 2 ，选 D；

圆锥曲线与方程

椭圆及其标准方程（1）

1 1 x2 y2 ? ? 1 ，所以 ? ? 0 ，选 C； 1 1 b a a b 4．提示：两定点距离 2c，当 2a＞2c 时，为椭圆． 当 2a=2c 时，为线段．当 2a＜2c 时，无轨迹，选 B． 二、填空题 3 5．答案： {a | ? a ? 2} ，提示：依题意有 a ? 1 ? 2 ? a ? 0 ． 2
3．提示：标准方程即 6．答案：2 2 提示：由于 A、B 两点到两个焦点的距离都为 2 a ，且标准方程是

x2 y2 ? ?1， 1 1 4 2

所以 a 2 ? 7．答案：

1 ， 2a ? 2

2 ，∴ l ? 2 ? 2a ? 2 2 ．

x2 y2 ? ?1， 13 13 3

提示：设方程是 ax 2 ? by 2 ? 1，则 a ? 4b ? 1 ，且 4a ? 3b ? 1 ，解得． 三、解答题 8．解：依题意，设椭圆方程为

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ，则 a 2 ? b 2 ? (5 2 ) 2 ? 50 ， 2 a b

将直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得 (a 2 ? 9b 2 ) x 2 ? 12b 2 x ? 4b 2 ? a 2 b 2 ? 0 ，

设弦的两个端点为 A ( x1，y1 ) ， ( x 2，y 2 ) ，则 B

x1 ? x 2 6b 2 1 ? 2 ? ，即 a 2 ? 3b 2 ， 2 2 2 a ? 9b
y2 x2 ? ? 1 为所求． 75 25

代入 a 2 ? b 2 ? 50 ，解得 a 2 ? 75，b 2 ? 25 ，故方程 9． 解：∵ 9x 2 ? 25 y 2 ? 100 即

y2 x2 ? ? 1， 100 4 9

由于

100 ? 4 ? c 2 ，且有相同的焦距即有相同的 c ， 9
75

x2 y2 ? ?1， 8 8 m 8 100 9 当焦点在 x 轴上时，有 ? 8 ? ? 4 ，∴ m ? ， m 9 17 2 2 y x 此时所求的标准方程是 ? ? 1； 136 8 9 8 100 当焦点在 y 轴上时，有 8 ? ? ? 4 ，解得 m ? 9 ， m 9 y2 x2 x2 y2 此时所求的标准方程是 ? ? 1 ，也即 ? ?1． 8 8 8 8 9 9
化方程 mx 2 ? y 2 ? 8 为标准形式，得

2.1.1
一、选择题

椭圆及其标准方程（2）

1．提示：由焦点在 y 轴上排除 A、B，D 中 a2=16,b2=4,∴c2=12, c ? 2 3 ? 2 ．排除 D，选 C． 2．提示：设所求距离是 d ，则 d ? 3 ? 2a ，选 D． 3．提示：对焦点在 x 轴和焦点在 y 轴上的两种情况进行讨论，用待定系数方法， 或由 a ? 2 或 b ? 2 去考虑，选 C． 4．提示：设另一个焦点是 F1，连结 M．F1，则 NO= 二、填空题
2 5．答案： x ?

1 MF1， ．选 B. 2

4 2 y ?1 3 3 ． 4

提示：依题意点 F 到点 A 与到点 F 的距离之和为圆的半径 2，依椭圆的定义知这样的动 点的轨迹是以 A、F 两点为焦的椭圆，且 2a ? 2 ， 2c ? 1 ，∴ a ? 1 ， b ? 6．答案：－1 提示：椭圆方程化为 x2+

y2 =1，∵焦点（0，2）在 y 轴上， 5 ? k

∴ a2=

5 ，b2=1，又∵c2=a2－b2=4，∴k=－1． ?k 16 25
x2 ＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝ 3 ， 4
76

7．答案：

提示：原方程可化为

当为等腰直角三角形，设交点（x，y） （y＞0）可得 2－x＝y， 代入曲线方程得：y＝

1 4 16 ，∴ S＝ ×2y2＝ ． 2 25 5

三、解答题 8．解：设所求的椭圆方程为 Ax2＋By2=1(A＞0,B＞0,且 A≠B)． ∵ 椭圆经过点 ( 6,1)和(? 3, ? 2),

1 ? A? , ? ?6 A ? B ? 1, ? 9 解得 ? ∴? 3 A ? 2 B ? 1, 1 ? ?B ? , ? 3 ?
故所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 3

由于本题条件中没有指出椭圆的焦点在哪个坐标轴上， 因此设其方程为 Ax2＋By2=1(A ＞0,B＞0,且 A≠B)， 此种设法比设方程为标准形式要好， 其好处在于回避了复杂的讨论， 避免了重复的计算． 9．解：回忆焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程的特点，并将条件方程化为标准形式，将问题 转化为关于角α 的三角函数的不等式组，通过解三角函数不等式组求角α 的取值范 围． ∵x2· sinα－y2cosα=1，∴

x2 y2 ? ?1 1 1 ? sin ? cos ?
1 1 , b2 ? , cos ? sin ?

2 ∵焦点在 y 轴上，∴ a ? ?

? 1 ? sin ? ? 0, ? 1 ? ? 0, ?sin ? ? 0, ? 1 ? ? sin ? ? ? 0, 即 ? ∴ ?? 即? 1 1 ? co s ? ?? 1 ? 1 ?? cos ? ? sin ? ? co s ? sin ? ? 1 1 ? ? ? ? ? co s ? sin ? ?
∵0＜α ＜π ，∴sinα ＞0 成立． ∴由①得 tanα ＜－1，∴ ? ? ?

①

? ? 3? ? , ?. ?2 4 ?

2.1.2

椭圆的简单几何性质（1）

一、选择题 1．提示： 25 ? 9 ? 25 ? k ? (9 ? k ) ，选 C．

77

2．提示：

1 ab ? 3c 2 ，即 a 2 (a 2 ? c 2 ) ? 12c 4 ，所以（ a 2 ? 3c 3 )(a 2 ? 4c 2 ) ? 0 ，选 A． 2

3．提示：设线段是 PF1，O1 是线段 PF1 的中点，连结 O1O，PF2，其中 O 是椭圆的中心，F2 是椭圆的另一个焦点，则在 ΔPF1F2 中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心 线的长是|OO1|=

1 1 1 | PF2 |? (2a? | PF1 |) ? a ? | PF1 |? R ? r ，选 A． 2 2 2
P A B

4．提示：如图所示，设 A、B 是两个焦点，P 是圆与椭圆的一个交点， 则由正六边形的性质，ΔPAB 是一个直角三角形，且∠BAP=300， 所以 AP= 2 a ? PB= 2a ? c ， 又由勾股定理得 (2a ? c) ? c ? (2c) ，
2 2 2

由此解得 C． 二、填空题 5．答案：

2 2 a2 a2 ? c2 ?c? ． c c

提示：即 c ?

6．答案： x ? ?4 或 y ? ?2 2 提示： a 2 ? m ，则

m?4 m

?

4?m 2 2 ? ；或 a 2 ? 4 ，则 ． 2 2 2

x2 ? y2 ?1 16 提示：即已知 2a ? 8 ， 2b ? 2 ． 三、解答题
7．答案： 8．解： （1）椭圆 E1 的焦点坐标是 (? 5， ，所以 E 的焦距是 5 ， 0)

故可设椭圆 E 的方程是

y2 x2 ? 2 ? 1 ，由点 A 在其上，代入解得 a 2 ? 15 ， 2 a a ?5

所以所求方程是

y2 x2 ? ?1； 15 10

（2）由已知 k OP ? 6 ，所以直线 OQ 的方程是 y ? ?

6 x 代入 E 的方程， 6 x2 6 6 ? 3x 2 ? 30 ，即得 x 2 ? 9 ，故 Q 点坐标为 (3， ? ) 或 ( ?3， ) ． 有2? 6 2 2

2.1.2
一、选择题

椭圆的简单几何性质（2）

1．提示：焦点在 y 轴上，且 a 2 ? 25 ， c ? 3 ，选 B． 2．提示：

a 2 25 ? ，且 c ? 4 ，所以 a ? 5，b ? 3 ，选 C． c 4

78

3．提示：已知即有 2c ?

c2 1 1 2a 2 ( ) ，所以 2 ? ，选 B． 3 c 3 a

4．提示： 2c ? 二、填空题 5．答案：

1 a 2a 2 a2 (2a) ? =3， : 2c ? 2 ，选 D． 而 c 3 c c

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ，或 ? ?1 45 9 45 36 提示：分焦点为（6，0）和（0，3） ，对应顶点为（0，3）和（6，0）两种情况考虑．

6． 答案：

x2 y2 ? ?1 1 4 4
2 x0 2 ? y0 ? 1 ， 4

提示：设 P ( x0，y 0 ) ，则 M ( x，y ) 满足条件 x0 ? x，y 0 ? 2 y ，又

∴

x2 ? 4 y 2 ? 1 即为所求的轨迹方程． 4

3 7．答案： m ? 改为 2
三、解答题

8 3
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ，则 a2 b2

8．解：依题意可设方程是

?a ? c ? 1， ? 2 25 5 x2 y2 ?a ? c ? ， 解得 a 2 ? ，b 2 ? 4 ，所以所求的椭圆方程是 ? ?1， ? 25 3 4 4 ?c ?a 2 ? b 2 ? c 2； 4 ?
其顶点坐标是 (? ， 、 ， 2) ，焦点坐标是 (? ， ，准线方程是 x ? ? 0) (0 ? 0) 9．解：设 P ( x，y ) ，椭圆的左．右焦点分别为 F1、F2， P 点到左．右准线的距离分别为 d1、d 2 ， 由已知可得 a ? 10、b ? 6、c ? 8、e ?

5 2

3 2

25 ． 6

c 4 ? ，依题意有 a 5

?| PF1 | ? | PF2 |? 20， 解得|PF1|=5，|PF2|=15， ? ?3 | PF1 |?| PF2 | ；
由椭圆的第二定义得

5 15 4 25 75 ? ? ，所以 d1 ? ，d 2 ? ； d1 d 2 5 4 4
79

a2 25 50 25 ) ? d1 ，即 x1 ? ? ?? ， c 4 4 4 3 39 代回椭圆方程得 y1 ? ? ， 4 25 3 39 25 3 39 （ ? ） 所以所求的 P 点坐标是（ ? ， ）或 ? ， ． 4 4 4 4
设 P ( x1，y1 ) ，则 x1 ? (?

2.2.3
一、选择题

双曲线及其标准方程（1）

1．提示： a 2 ? b 2 ? c 2 =25+16，求的是 2c ，选 D． 2．提示：设实半轴长为 a 1 ，则 2a1 ? 4 ，且 a1 ? 2a ? 4 ，选 B．
2

cos 3．提示：此时 sin ? ? 0， ? ? 0 ，选 D． 4．提示：设所求的距离是 d ，则| d ? 2 |? 2a ? 8 ） ，选 A.

二、填空题

48 16 5．答案： 改为 5 5
6．答案：-4 或 ?

3 2 1 , 2

提示：∵双曲线的焦点在 y 轴上，∴2k+1<0 且 2k+10>0，??5 ? k ? ?

于是双曲线方程化为

y2 x2 ? ? 1, 又焦点为(0,3), 14 14 ? 2k ? 10 2k ? 1

?

14 14 3 ? ? 9, 解得 k=-4 或 k ? ? . 2k ? 10 2k ? 1 2

7．答案：3 提示：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，

x2 y 2 ? ? 1 的右支,画图可知， 9 16 此双曲线右支上的点到原点的最小距离|OP|=3． 三、解答题
则 P 点的轨迹为双曲线 8．解：由 2a=8-4=4，得 a=2，设双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1, 4 b2

? y ? x ? 2, ? 由 ? x2 y2 得(b2-4)x2+16x-16-4b2=0． ? ? 2 ?1 ?4 b

80

?弦长 ? 20 2 ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ?
解得b 2 ? 5或b 2 ?

162 ? 16(b2 ? 4)(b2 ? 4) , | b2 ? 4 |

10 , 3
x2 y 2 x2 3 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 4 5 4 10

∴ 所求的双曲线的标准方程为

2.2.1
一、选择题

双曲线及其标准方程（2）

1．提示：设两直角边长分别为 m、n ，则 m 2 ? n 2 ? (2c) 2 ? 20 ，且 | m ? n |? 4 ，选 A． 2．提示：直线 AB 的横坐标是 x ? ?c ，代入方程由 a 2 ? b 2 ? c 2 ，化简求得 y 2 ? 3．提示：提示：可考虑用定义把三角形的三边都求出，选 B． 4．提示：将直线方程代入双曲线方程，得(9-4k2)x2+8kx-40=0．当 9-4k2=0 即 k ? ? 直线与双曲线只有一个交点：当 9-4k2≠0，△=0， 即k ? ?

b4 ，选 B． a2

3 时， 2

10 时，直线与双曲线也只有一个交点，选 C． 2

二、填空题 5．答案： k ? ?1 ，或 k ? 1 提示： (1 ? k )(1 ? k ) ? 0 ． 6．答案：1 提示： c ? 2 ，所以 m ? m 2 ? 2 ，又 m ? 0 ． 7．答案： (0， ?2a ) ? 提示：标准方程为

y2 x2 ? ? 1 ，则 a12 ? ?a ? 4 ， b1 2 ? 4 ? a ． ?a?4 4?a

三、解答题 8．解：由于椭圆方程已知，与椭圆有相同的焦点，也即双曲线的焦距已知，欲求双曲线的 标准方程，只需再找出一个关于 a、b、c 的独立条件，而椭圆上纵坐标为 4 的点的 横坐标可求，利用这样的点也在双曲线上，问题可以得到解决： 设所求的双曲线方程是

y2 x2 ? ? 1(a ? 0，b ? 0) ， a2 b2

由已知，双曲线的焦点为 F1（0，-3）和 F2（0，3） ，则 a 2 ? b 2 ? 9 ， 又点 P（ 15 ，4）为两条曲线的交点，所以点 P 坐标适合双曲线方程，

81

即

16 15 ? ? 1 ，将 b 2 ? 9 ? a 2 代入得 a 4 ? 40a 2 ? 144 ? 0 ， a2 b2
y2 x2 ? ?1． 4 5

所以 a 2 ? 36 （舍去） ，或 a 2 ? 4 ，故所求双曲线的方程是

2.2.2

双曲线的简单几何性质（1）

一、选择题 1．提示：将各方程中的 1 换为 0，求得渐近线方程比较得 B． 2．提示：化为标准方程

y2 x2 ? ? 1 ，选 A． ?n ?m

3．提示：等轴双曲线的标准方程是 x 2 ? y 2 ? k (k ? 0) 形式，选 D． 4．提示：最简方法为特殊值法，取一个顶点为 P 点，选 C． 二、填空题 5．答案： （-12，0） 提示：由 1 ? 6．答案：

4?b ? 2 解得． 2

1 2
2 2

提示： S1 ? 2ab ， S 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) ，又 a ? b ? 2ab ． 7．答案： 1 ? e ? 2 ? 5 提示：由 b 2 ? 4ac ? 0 得 c 2 ? 4ac ? a 2 ? 0 ． 三、解答题 8．解： （1）∵ e ?

c ? 2 ，∴ c 2 ? 2a 2 ? a 2 ? b 2 ，即有 a ? b ， a

依题意可设方程是 x 2 ? y 2 ? ? ，将所过点的坐标代入得 ? ? 6 ， 则

x2 y2 ? ? 1 为所求方程； 6 6

0 ．F 0 ， （2）求得 F1（ ? 2 3，） 2（ 2 3，）
MF （ ∴ MF1 ? (?2 3 ? 3，m)， 2 ? 2 3 ? 3，m） ，
所以 MF1 ? MF2 ? ?3 ? m 2 ，由点 M 在双曲线上，∴ m 2 ? 3 ， 代入得 MF1 ? MF2 ? 0 ，故证．
?? ?? ?? ?? ?? ??

2.2.4
一、选择题

双曲线的简单几何性质（2）

82

1． 提示：由

a2 ? b2 m 两边平方，整理即得 B． ? a m2 ? b2
2a 2 ? 4 ，两式相除可得 C． c

2．提示： 2c ? 6 ， 3．提示： e1 ?
2

a2 ? b2 a2 ? b2 2 ， e2 ? ，用不等式 a 2 ? b 2 ? 2ab 求最值，选 A． a2 b2

4．提示：设内心在 x 轴上的射影是 D 点，则由切线相等有|PF1|-|PF2|=|F1D|-|DF2|， 也即 2 a ? （ x D ? (?c) ） ? (c ? x D ) = 2 x D ，选 C． 二、填空题 5．答案：48 提示：圆的一条切线是 y 轴，故 x ? ?2 ? ?

a2 ? 16 ． ? c 16 ? k

6．答案： x ? ?

4 7 7 m ，∴ a 2 ? 4 ， b 2 ? 3 ． 2 ab 3 ? c ，∴材 c 4

提示：渐近线方程是 y ? ? 7．答案：2

提示：直线 l 的方程是 bx ? ay ? ab ? 0 ，原点到它的距离是 d ?

3c 4 ? 16a 2 c 2 ? 16a 4 ? 0 ，当 e 2 ?

4 时， b ? a 矛盾，∴ e 2 ? 4 ． 3

三、解答题 8．解：利用双曲线的第二定义，可以将到上焦点的距离式化为仅含有各点的纵坐标的关系 式，再由成等差数列的已知条件，可望求解第一问；第二问的求解工作则应始终围 绕寻找 AC 垂直平分线的方程来展开： （1）在双曲线

y2 x2 5 5 3 ? ? 1 中， a ? 2 3 ， b ? 13 ，∴ c ? 5 ， e ? ， ? 12 13 6 2 3

∴双曲线的上准线方程是 y ?
d ，

12 ，由双曲线的第二定义，设 A 点到上焦点的距离是 5

则

d y1 ? 12 5

?e?

5 3 5 3 y1 ? 2 3 ， ，即 | AF |? 6 6

同理|FB|=

5 3 5 3 ? 6 ? 2 3 ，|FC|= d ? y2 ? 2 3 ， 6 6

又|FA|+|FC|=2|FB|，所以 y1 ? y 2 ? 12 ； （2）∵A．C 都在双曲线上，∴ 13y1 ? 12x1 ? 156 ， 13y 2 ? 12x2 ? 156 ，
2 2 2 2

83

两式相减得 13( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 12( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ， ∴ k AC ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2 x ? x2 ? ，AC 的中点坐标是 ( 1 ，， 6） x1 ? x 2 13 2 x ? x2 13 (x ? 1 )， x1 ? x 2 2

故得 AC 的垂直平分线的方程是 y ? 6 ? ?

也即方程 13x ? ( x1 ? x2 )( y ?

25 25 ． ) ? 0 ，从而必过定点 (0， ） 2 2

2.3.1

抛物线及其标准方程（1）

一、选择题 1．提示：注意点 M 在 l 上时，选 D． 2．提示：方程即 y 2 ? 2(4 p) x ，其中 4 p 即焦点到准线的距离，选 B． 3．提示：设为 y 2 ? 2 px ，点的坐标代入得 2 p ? ?4 ，选 C． 4．提示：准线方程是 y ?

1 ? 2a 1 ? 2a ，∴ ? 1 ，选 D． 4 4

二、填空题 5．答案： (1,－1) 提示：根据抛物线定义,问题转化为在抛物线上找一点 P,使得 P 到 A 的距离与到准线距 离之和最小,过 A 作准线的垂线,则垂线与抛物线交点为所求，即为(1,－1)． 6．答案：

11 2
x 2 ? ( y ? 4) 2 ? y 2 ? 7 y ? 15.

提示：设 P(x,y)为抛物线上任一点，则 | PA |? 当y? 7．答案：2

7 11 时取得最小值，最小值为 . 2 2

提示：由 | AB |? 4 3, 得 A(或 B)的纵坐标为 2 3, 则其横坐标为 3，焦点为(1,0)． 则焦点到 AB 的距离为 2． 三、解答题 8．解：设 P ( x，y ) ，则 y 2 ? 2x ， 所以|PA|= ( x ? a) 2 ? y 2 = x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ，且 x ? 0 ， 故有 | PA | 2 ? [ x ? (a ? 1)] 2 ? 2a ? 1 ， 当 a ? 1 ? 0， a ? 1 时，|PA|2 min ? [0 ? (a ? 1)] 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ，∴ | PA | min ?| a | ， 即
84

当 a ? 1 ? 0 ，即 a ? 1 时，|PA| min ? 2a ? 1 ，

?? a， (a ? 0)， ? (0 ? a ? 1)， 即 d ? f ( a ) ? ? a， ? ? 2a ? 1； (a ? 1).
∴ a?

2 2 0 时， d ? ，对应点 P 的坐标是 (0，) ． 3 3

2.3.1
一、选择题

抛物线及其标准方程（2）
1 y 再求，选 A． 2p

1．提示：化为标准方程 x 2 ?

2．提示：设为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ，则已知点到准线的距离为

p ? 2 ? 4 ，∴ x 2 ? ?8 y ，选 C． 2

3．提示：由定义，Δ A1AF 和Δ B1BF 都是等腰三角形，再由同位角相等可得 C． 4．提示：过 A 作 x 轴的垂线与抛物线的交点即是，选 A． 二、填空题 5．答案： y 2 ? 12( x ? 1) 提示：用定义，采用直接法求轨迹． 6．答案： 0 ? r ? 1

? x 2 ? 2 y， ? 提示：解方程组 ? 2 有且只有一个根为零，另一根小于或等于零． ? x ? ( y ? r ) ? r 2； ?
7．答案：2 提示：中点到准线的距离 d ? 三、解答题 8．解：设 M 的坐标为（x，y） ，A（ 2a ， a ） ，又 B (0,3a) 得 ?
2

| AA ' | ? | BB ' | 5 5 1 ? ，从而横坐标是 ? ? 2 ． 2 2 2 2

?x ? a2 ? y ? 2a

消去 a ，得轨迹方程为 x ?
2

y2 ，即 y 2 ? 4 x ． 4
p ,0 ） ，由题意可得 2

9．解：设抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) ，则焦点 F（ ?
?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ，解之得 ? 或? ， ? 2 p 2 p?4 p?4 ? ? ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?

故所求的抛物线方程为 x ? ?8 y ， m的值为? 2 6 ．
2

85

2.3.2 抛物线的简单几何性质（1）
一、选择题 1．提示：即方程 ax 2 ? 1 ? x 有两个相等的实数根，由判别式等于 0 即得 B． 2． 提示： 焦点坐标为 （1， ， 0） 设这样的直线为 x ? hy ? 1 ， y 2 ? 4hy ? 4 ， y1 ? y2 ? 2h 则 ∴ 而 x1 ? x2 ? h( y1 ? y2 ) ? 2 ，∴ 5 ? 2h2 ? 2 ，由此可得正确选项为 B． 3．提示：抛物线的准线方程是 y ? ?1 ，故点 M 到准线的距离为 | 4 ? (?1) |? 5 ， 由抛物线的定义知此即为点 M 到焦点的距离，选 D． 4．提示：准线方程为 y ? ?

1 1 ，而点 M 到准线的距离为 yM ? (? ) ? 1 ，故得 B． 16 16

二、填空题 5．答案：32 6．答案:（4，2） 提示：将 x－y=2 代入 y2＝4x 得 y2－4y－8＝0，由韦达定理 y1＋y2＝4， AB 中点纵坐标 y ? 7．答案：4 提示：∵ 抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点坐标是（

y1 ? y2 ＝2，横坐标 x＝y＋2＝4．故 AB 中点坐标为（4，2） ． 2

p ，0） ， 2

由两点间距离公式，得 三、解答题

p ( ? 2) 2 ? 32 =5．解得 p=4． 2
y 1 1 ,? p ? ，∴焦点为 F (0, ) 2 4 8

2 2 8．解： （1）∵抛物线 y ? 2x ，即 x ?

① 直线 l 的斜率不存在时，显然有 x1 ? x2 ? 0 ； ② 直线 l 的斜率存在时，设为 k，截距为 b，即直线 l ：y=kx+b，由已知得：
?y ? y ? 2 2 2 ? ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? k ? x 1 x 2 ? b 2 ? 2 2 2 ? ? ?? 2 2 y1 ? y 2 ? ? 1 ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ? ? k x1 ? x 2 x1 ? x 2 k ? ?

? 2 2 x1 ? x 2 ? b 1 1 ? x1 ? x 2 ? k ? 2 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? ， ?? 4 4 1 ? ? x2 ? ? x1 ? 2k ?

即 l 的斜率存在时，不可能经过焦点 F (0, ) ，

1 8

86

所以当且仅当 x1 ? x2 =0 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F； （2）当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时，直线 l 的斜率显然存在，设为 l ：y=kx+b，则由（1）得：
? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ? 2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 ? ? x1 ? x 2 ? b ? 10 ?k ? 4 ， ?k ? ? ? 2 ?? ?? 1 ?b ? 41 ? ? ? ?2 ? ? ? 4 2k ?

所以直线 l 的方程为 y ?

1 41 x? ． 4 4

2.3.2 抛物线的简单几何性质（2）
一、选择题 1．提示：设双曲线的方程为

x2 y 2 c b ? 2 ? 1 ，则 e ? ? 3 ，∴ ? e 2 ? 1 ? 2 ， 2 a a a b 2 a ? ?1 ，由此解得 a ? 3 、 b ? 6 ， 而抛物线的准线方程为 x ? ?1 ，∴ ? c x2 y 2 ? ? 1 ，与 y 2 ? 4 x 联立解得 双曲线方程为 3 6
交点坐标为 (3, ?2 3) ，到原点的距离为 B．

2．提示：双曲线的半焦距 c ? a ?1 ，∴准线方程为 x ? ?
2

a2 a2 ? 1

，

又抛物线的准线方程是 x ?

3 a2 ，令 x ? ? ，解得 a ? 3 ， c ? 2 ， 2 a2 ? 1

∴e ?

c 2 3 ，选 D． ? a 3

3． 提示：由第一定义得，|PF1|+|PF2|为定值，∵|PQ|=|PF2|， ∴|PF1|+|PQ|为定值，即|F1Q|为定值，选 A． 4．提示：方法一：将曲线方程化为一般式：y2=4x，∴点 P（1，0）为该抛物线的焦点， 由定义，得：曲线上到 P 点，距离最小的点为抛物线的顶点． 方法二：设点 P 到曲线上的点的距离为 d，∴由两点间距离公式， 得 d2=（x－1）2+y2=（t2－1）2+4t2=（t2+1）2，∵t∈R ， ∴ dmin2=1 ，∴ dmin=1，选 B． 二、填空题 5．答案：y2=－36(x－4) 提示：由双曲线方程知，其右顶点坐标为(4,0),左焦点坐标为(－5,0).

由?

p ? ?5 ? 4 ? p ? 18, 2

∴ 抛物线方程为 y2=－2·18(x－4)=－36(x－4). 6．答案： （2，1） 提示：抛物线（y－1）2=4（x－1）的图象为抛物线 y2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向

87

上平移 1 个单位得来的．∵ 抛物线 y2=4x 的焦点为（1，0） ， 2 ∴ 抛物线（y－1） =4（x－1）的焦点为（2，1） 7．答案： （0，1） 提示：将参数方程化为普通方程： （y－1）2=4（x+1） ，该曲线为抛物线 y2=4x 分别向左， 向上平移一个单位得来． 三、解答题
2 8．解： （1）抛物线 y ? 2 px的准线为 x ? ?

p p , 于是 4 ? ? 5,? p ? 2. 2 2

∴ 抛物线方程为 y2= 4x； （2）∵点 A 的坐标是（4，4） 由题意得 B（0，4） ， ，M（0，2） ， 又∵F（1，0） ∴ k FA ? ， 则 FA 的方程为 y=

4 3 ; MN ? FA,? k MN ? ? , 3 4

4 3 （x－1） ，MN 的方程为 y ? 2 ? ? x. 3 4

8 4 ? ? ?x ? 5 ? y ? 3 ( x ? 1) ? ? , 得? 解方程组 ? ?y ? 2 ? ? 3 x ?y ? 4 ? ? 5 4 ? ?

8 4 ? N ( , ). 5 5

全 章 检 测 题
一、选择题 DDD 二、填空题 7．3 ； 8． 三、解答题 CDB

8 2； 3

9．

7 2 4

；

10．原题加条件抛物线方程为

． y 2 ? 4 x （4，2）

x2 y 2 2 2 2 11．解：由题意可知，c=2，设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ，则 a ? b ? 2 a b

①

?5? ? ? 2 2 5 ? 3? ?1 又点 P（2， ）在椭圆上，所以 2 ? 3 a b2
2 联立①②解得，b ? 5 或 b ? ?
2

2

②，

20 2 （舍去） a ? 9 ， 9

故所求椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 9 5

12．解：由题意，可设 C 的方程为 y ? px( p ? 0) ，C 与直线 l:y =x-1 相交于 A、B 两点，
2

由此可得 ?

? y 2 ? px ? ( x - 1) 2 ? px ? x 2 ?(2 ? p) x ? 1 ? 0 ， ?y ? x -1

x1 ? x2 ? (2 ? p) ， x1 x2 ? 1
88

2 2 所以， AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) = ( x1 ? x2 ) 2 ? [(x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)]2 2

= 2( x1 ? x2 ) 2 ? 2[(x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ] ? 2(2 ? p)2 ? 8 ? 2 p 2 ? 8 p = (3 2 ) 2 因为 p>0，所以解得 p ? ?2 ? 13 ， 13．解：由题意可设 B（2cosθ ,
2 2

故抛物线方程为 y 2 ? (?2 ? 13) x ．

， 3 sinθ ）
2 2

y A O

C B

则 AB ? 4 cos ? ? 3(1 ? sin ? ) ? ? sin ? ? 6 sin ? ? 7 ．

x

AB 1 2 AB · 60? = 3 · sin 因为 S△ABC= 2 4

2

= 3·

? (sin ? ? 3) 2 ? 16 4

所以当 sin ? =-1 时， B 点移动到 即 （0， 3 ） △ABC 的面积最大， 时， 且最大值为 3 3 ． 14．解： （1）设 P（x，y）为所求曲线上任意一点，由双曲线定义得

e?

PF x ?1

?

MF ( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 ( 6 ? 3) 2 ? ( 6 ? 0) 2 = ? ? x ?1 6 ?1 6 ?1

3．

x2 y2 ? ?1． 化简整理得 3 6
（2）? e ?

c ? 2 ? c ? 2a, 又 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? b ? 3a ， a

因此，不妨设双曲线方程为

x2 y2 ? 2 ? 1， a 2 3a
6 6 ? 2 ? 1 ，得 a 2 ? 4 ， b2 ? 12 ， 2 a 3a

因为点 M（ 6, 6 ）在双曲线上，所以

x2 y2 ? ? 1． 故所求双曲线方程为 4 12

89