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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 中档大题规范练2 概率与统计 理


【步步高】 (全国通用)2016 版高考数学复习 考前三个月 中档大题 规范练 2 概率与统计 理
1.某校为了了解学生孝敬父母的情况(选项,A:为父母洗一次脚;B:帮父母做一次家务;

C:给父母买一件礼物;D:其他).在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查,得到如下
图表(部分信息未给出): 学生孝敬父母情况统计表 选项 频数 频率

0.15

A B C D

m
60

p
0.4 0.2

n
48

学生孝敬父母情况条形统计图

根据以上信息解答下列问题: (1)这次被调查的学生有多少人? (2)求表中 m、n、p 的值,并补全条形统计图. (3)该校有 1 600 名学生,估计该校全体学生中选择 B 选项的有多少人?

2.为使学生更好地了解中华民族伟大复兴的历史知识,某校组织了一次以“我的梦,中国

1

梦”为主题的知识竞赛,每班选 25 名同学参加比赛,成绩分为 A,B,C,D 四个等级,其中 相应等级的得分依次记为 100 分、90 分、80 分、70 分,学校将某年级的一班和二班的成绩 整理并绘制成统计图:

请根据以上提供的信息解答下列问题: (1)把一班竞赛成绩统计图补充完整. (2)写出下表中 a,b,c 的值: 平均数(分) 一班 二班 中位数(分) 众数(分) 90

a
87.6

b
80

c

(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析; ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩; ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩; ③从 B 级以上(包括 B 级)的人数方面来比较一班和二班的成绩.

2

2 3 3.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标,相互 3 4 之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则中止其射击,则乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率 是多少?

4.小昆和小明相约玩一种“造数”游戏, 游戏规划如下: 同时抛掷一枚均匀的硬币和一枚均 匀的骰子,硬币的正、反面分别表示“新数”的符号(约定硬币正面向上记为“+”号,反 面上记为“-”号),与骰子投出面朝上的数字组合成一个“新数”;如抛掷结果为硬币反 面向上,骰子面朝上的数字是“4”,记为“-4”. (1)利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果; (2)写出组合成的所有“新数”;

3

(3)若约定投掷一次的结果所组合的“新数”是 3 的倍数, 则小昆获胜; 若是 4 或 5 的倍数, 则小明获胜.你觉得他们的约定公平吗?为什么?

5.2014 年 12 月初,南京查获了一批问题牛肉,滁州市食药监局经民众举报获知某地 6 个储 存牛肉的冷库有 1 个冷库牛肉被病毒感染, 需要通过对库存牛肉抽样化验病毒 DNA 来确定感 染牛肉,以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验样品,直到能确定感染冷库为止. 方案乙:将样品分为两组,每组 3 个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒 DNA,则表明 感染牛肉在这 3 个样品当中, 然后逐个化验, 直到确定感染冷库为止; 若结果不含病毒 DNA, 则在另外一组样品中逐个进行化验. (1)求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率;
4

(2)首次化验化验费 10 元,第二次化验化验费 8 元,第三次及其以后每次化验费都是 6 元, 列出方案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要化验费多少元? (3)试比较两种方案,估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.

6.某次知识竞赛中,从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道,并独立完成所抽取的 3 道题.甲 2 选手能正确完成其中 4 道题;乙选手能正确完成每道题的概率都为 ,且每道题正确完成与 3 否互不影响.规定至少正确答对其中 2 道题目便可过关. (1)求甲选手能晋级的概率; (2)记所抽取的 3 道题中,甲选手答对的题目数为 ξ ,写出 ξ 的分布列,并求 E(ξ ); (3)乙选手能答对的题目数为 η ,求 η 的分布列与 D(η ).

5

7.柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气 的研究也渐渐活跃起来, 某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数 x 与雾霾天数 y 进行统计分 析,得出下表数据.

x y
(1)请画出上表数据的散点图;

4 2

5 3

7 5

8 6

^ ^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为 9 的雾霾天数.(相关公式:
n

∑x y -n x y ^ i=1 i i ^ ^ b= ,a= y -b x ) n 2 2 ∑xi-n x i=1

6

8.我国的高铁技术发展迅速,铁道部门计划在 A,B 两城之间开通高速列车,假设在试运行 期间,每天 8:00-9:00,9:00-10:00 两个时间段内各发一趟由 A 城开往 B 城的列车(两 车发车情况互不影响),A 城发车时间及其概率如表所示: 发车 8:10 时间 概率 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50

若甲、乙两位旅客打算从 A 城到 B 城,假设他们到达 A 城火车站候车的时间分别是周六 8:00 和周日 8:20(只考虑候车时间,不考虑其他因素). (1)求甲、乙二人候车时间相等的概率; (2)设乙候车所需时间为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ).

7

答案精析

中档大题规范练 2 1.解 (1)∵48÷0.2=240, ∴这次被调查的学生有 240 人. (2)m=240×0.15=36,n=240×0.4=96,

p=60÷240=0.25.
补全条形统计图如图.

(3)∵1 600×0.25=400. ∴估计该校全体学生中选择 B 选项的有 400 人. 2.解 (1)25-6-12-5=2(人).

(2)a=87.6,b=90,c=100. (3)①一班和二班平均数相等,一班的中位数大于二班的中位数,故一班的成绩好于二班. ②一班和二班平均数相等,一班的众数小于二班的众数,故二班的成绩好于一班; ③B 级以上(包括 B 级)一班 18 人,二班 12 人,故一班的成绩好于二班. 3.解 (1)甲至少有一次未击中目标的概率为

P1=P1(1)+P1(2)+P1(3)+P1(4)
2 4 1 0 65 =1-P1(0)=1-( ) ( ) = . 3 3 81 (2)甲射击 4 次恰击中 2 次的概率为

P2=C24( )2( )2= ,
乙射击 4 次恰击中 3 次的概率为

2 3

1 3

8 27

8

P3=C34( )3× = ,
由乘法公式,所求概率

3 4

1 27 4 64

P=P2·P3= × = .
(3)乙恰好 5 次停止射击, 则最后两次未击中, 前三次都击中或第一与第二次恰有一次击中, 3 3 1 2 3 2 1 3 45 第三次必击中,故所求概率为 P=( ) ( ) +C12( ) ( ) = . 4 4 4 4 1 024 4.解 (1)根据题意画树状图如下:

8 27 1 27 64 8

(2)组成的新数为 1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,-5,-6. 4 (3)所有的组合成的新数中是 3 的倍数的有 3,6,-3,-6 这四个,因此 P(3 的倍数)= = 12 1 4 1 ,是 4 或 5 的倍数的有 4,5,-4,-5 这四个,因此 P(4 或 5 的倍数)= = ,由于两者 3 12 3 的概率相同,所以他们的约定公平. 5.解 (1)方案乙所需化验次数恰好为 2 次的事件有两种情况:第一种,先化验一组,结果 C5 1 1 不含病毒 DNA,再从另一组中任取一个样品进行化验,则恰含有病毒的概率为 3× 1= .第 C6 C3 6 二种,先化验一组,结果含有病毒 DNA,再从中逐个化验,恰第 1 个样品含有病毒的概率为 C5 1 1 3× 1= . C6 C3 6 1 1 1 所以依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率为 + = . 6 6 3 (2)设方案甲化验的次数为 ξ ,则 ξ 可能的取值为 1,2,3,4,5,对应的化验费用为 η 元, 1 5 1 1 5 则 P(ξ =1)=P(η =10)= ,P(ξ =2)=P(η =18)= × = ,P(ξ =3)=P(η =24)= 6 6 5 6 6 4 1 1 5 4 3 1 1 5 4 3 2 × × = , P(ξ =4)=P(η =30)= × × × = , P(ξ =5)=P(η =36)= × × × = 5 4 6 6 5 4 3 6 6 5 4 3 1 . 3
9
2 3

则其化验费用 η 的分布列为

η

10 1 6

18 1 6

24 1 6

30 1 6

36 1 3

P

1 1 1 1 1 77 所以 E(η )=10× +18× +24× +30× +36× = (元). 6 6 6 6 3 3 所以甲方案平均需要化验费 77 元. 3

(3)由(2)知方案甲平均化验次数为

E(ξ )=1× +2× +3× +4× +5× = .
设方案乙化验的次数为 δ ,则 δ 可能的取值为 2,3, 1 2 所以 P(δ =2)= ,P(δ =3)=1-P(δ =2)= , 3 3 1 2 8 所以 E(δ )=2× +3× = . 3 3 3 则 E(ξ )>E(δ ),所以方案乙化验次数的期望值较小,可以尽快查找到感染冷库. 6.解 (1)记甲选手能晋级为事件 A,则基本事件总数 n=C6=20,事件 A 包含的基本事件 m =C4+C4C2=16,
3 2 1 3

1 6

1 6

1 6

1 6

1 10 3 3

m 4 所以 P(A)= = . n 5
(2)ξ 的所有可能取值为 1,2,3.

P(ξ =1)=

C4C2 1 C4C2 3 3 = ,P(ξ =2)= 3 = , C6 5 C6 5
3

1 2

2 1

C4 1 P(ξ =3)= 3= . C6 5 则 ξ 的分布列为 ξ 1 1 5 2 3 5 3 1 5

P
1 3 1 所以 E(ξ )=1× +2× +3× =2. 5 5 5

? 2? (3)依题意知,η 服从 B?3, ?. ? 3?
k 3-k P(η =k)=Ck ,k=0,1,2,3. 3? ? ?1- ? 3 3

?2? ? ? ??

2?

?

10

1 0?2? 0?1?3 即 P(η =0)=C3? ? ? ? = , ?3? ?3? 27
1 2 P(η =1)=C1 3·? ? ? ? = , ?3? ?3? 9

?2? ?1?

2

2 1 P(η =2)=C2 3? ? ? ? = , ?3? ?3? 9

?2? ?1? ?2? ?1?

4

3 0 P(η =3)=C3 . 3? ? ? ? = 3 3 ? ? ? ? 27

8

则 η 的分布列为 η 0 1 27 1 2 9 2 4 9 3 8 27

P
2 1 2 所以 D(η )=3× × = . 3 3 3 7.解 (1)散点图如图所示.

4

(2)i ∑ xiyi=4×2+5×3+7×5+8×6=106, =1

x=
4 2

4+5+7+8 2+3+5+6 =6, y = =4, 4 4
2 2 2 2

∑xi=4 +5 +7 +8 =154, i=1
4

∑x y -4 x y 106-4×6×4 ^ i=1 i i 则b= = 4 2 =1, 154-4×6 2 2 ∑ x - 4 x i i=1 ^ ^ a= y -b x =4-6=-2, ^ ^ ^ 故线性回归方程为y=bx+a=x-2. (3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为 9 的雾霾天数为 7. 8.解 (1)甲到达火车站的时间为周六 8:00,所以甲的候车时间有三种情况,如表所示. 发车时间 候车时间(分) 8:10 10 8:30 30 8:50 50

乙到达火车站的时间为周日 8:20,所以乙的候车时间有五种情况,如表所示.
11

发车时间 候车时间 (分)

8:30 10

8:50 30

9:10 50

9:30 70

9:50 90

1 1 1 根据表格可知:甲、乙二人候车时间均为 10 分钟的概率为: × = ; 6 3 18 1 1 1 甲、乙二人候车时间圴为 30 分钟的概率为: × = ; 3 2 6 甲、乙二人候车时间均为 50 分钟的概率为: 1 1 1 1 × × = . 2 6 6 72 所以甲、乙二人候车时间相等的概率为: 1 1 1 17 + + = . 18 6 72 72 (2)乙候车所需时间为随机变量 ξ =10,30,50,70,90.

P(ξ =10)= ;P(ξ =30)= ; P(ξ =50)= × = ;P(ξ =70)= × = ; P(ξ =90)= × = .
所以 ξ 的分布列为: ξ 10 1 3 30 1 2 50 1 36 70 1 18 90 1 12 1 6 1 1 2 12 1 6 1 1 6 36 1 1 6 3 1 18

1 3

1 2

P

1 1 1 1 1 280 数学期望 E(ξ )=10× +30× +50× +70× +90× = . 3 2 36 18 12 9

12


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