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高三数学圆锥曲线背景下的最值与定值问题课件


专题八 圆锥曲线背景下

的最值与定值问题

【考点搜索】

【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从
两个途径思考,一是建立函数,用求值

域的方法求范围;二是建立不等式,通
过解不等式求范围. 2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题(如斜率、两点的

距离等).

【课前导引】

【课前导引】
1. 设P(x, y)是曲线C:x2+y2+4x+3=0 x 上任意一点,则 的取值范围是 ( ) y
A. [ ? 3 , 3 ]
B. ( ??,? 3 ) ? [ 3 ,??)

3 3 C. [? , ] 3 3

3 3 D. ( ??,? ]?[ ,??) 3 3

[解析] 注意数形结合,表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.

[解析] 注意数形结合,表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.

[答案]

C

x y 2. 若动点( x , y )在曲线 ? 2 ? 1 4 b 2 (b ? 0)上变化, 则x ? 2 y的最大值为 ) (
? b2 ? b2 ? ? 4 ( 0 ? b ? 4) ? ? 4 ( 0 ? b ? 2) A. ? 4 B. ? 4 ?2b ?2b ( b ? 4) ( b ? 2) ? ?

2

2

b C. ? 4 4

2

D. 2b

x y 2. 若动点( x , y )在曲线 ? 2 ? 1 4 b 2 (b ? 0)上变化, 则x ? 2 y的最大值为 A ) (
? b2 ? b2 ? ? 4 ( 0 ? b ? 4) ? ? 4 ( 0 ? b ? 2) A. ? 4 B. ? 4 ?2b ?2b ( b ? 4) ( b ? 2) ? ?

2

2

b C. ? 4 4

2

D. 2b

【链接高考】

【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线y ? x 2过 一 定 点A( ? a , a 2 )
( a ? 2 ), P ( x , y )是 抛 物 线 上 的 动 点 . (1) 将 AP 表 示 为 关 于 的 函 数f ( x ), 并 x 求 当x为 何 值 时 f ( x )有 极 小 值 , ; ( 2) 设 (1)中 使f ( x )取 极 小 值 的 正 数 为 x x 0 , 求 证 : 物 线 在 点 ( x 0 , y0 )处 的 切 线 与 抛 P 直 线AP0垂 直.
2

[分析] 本题考查向量的运算、函数极值,导 数的应用等知识.

[分析] 本题考查向量的运算、函数极值,导 数的应用等知识. [解析] (1) AP ? ( x ? a , y ? a ) ? ( x ? a , x ? a )
2 2 2

则 f ( x ) ? AP ? ( x ? a ) ? ( x ? a )
2 2 4 2 2

2

2 2 4 2

? x ? (1 ? 2a ) x ? 2ax ? a ? a . ? f ' ( x ) ? 4 x ? 2(1 ? 2a ) x ? 2a .
3 2

令f ' ( x ) ? 0得 : 2 x ? (1 ? 2a ) x ? a ? 0,
3 2



( x ? a )( 2 x 2 ? 2ax ? 1) ? 0.

? a ? 2 ,? 此 方 程有 三 个 根 1 ? ?a , x a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 x2 ? , x3 ? , 2 2 1 当x ? ? a时, f ' ( x ) ? 0; a? a ?2 2 当? a ? x ? 时, f ' ( x ) ? 0; 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 3当 ? x? 时, 2 2 f ' ( x ) ? 0;
2

a? a ?2 4 当x ? 时, f ' ( x ) ? 0. 2 2 a? a ?2 当x ? ?a或x ? 时, 2 f ( x )有极小值 .
2

a? a ?2 4 当x ? 时, f ' ( x ) ? 0. 2 2 a? a ?2 当x ? ?a或x ? 时, 2 f ( x )有极小值 .
2

a? a ?2 ( 2)由(1)知 : x0 ? ,则 2 2 2 x0 ? a 直线AP0的斜率k1 ? ? x0 ? a x0 ? a
2

a ? a2 ? 2 a2 ? 2 ? a ? ?a ? , 2 2 2 又 抛 物 线 ? x 在 点P0 ( x0 , y0 )处 的 y 切 线 的 斜率 2 ? 2 x0 ? a ? a 2 ? 2 , k a ?2 ?a ? k1 k 2 ? ? (a ? a 2 ? a ) 2 2 2 a ?2?a ? ? 1, 2 ? 抛 物 线 在点 0 ( x0 , y0 )处 的 切 线 P 与 直 线AP0垂 直.
2

[例2] (长 郡05届 月 考 题)已 知 双 曲 线 : C
x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), B是 右 顶 点 F是 , 2 a b 右 焦 点, 点A在x轴 正 半 轴 上 且 满 足 OA 、 , OB 、 成 等 比 数 列 过F作 双 曲 线 在 第 OF , C 一 、 三 象 限 的 渐 近线 的 线l , 垂 足 为P . 垂 (1) 求 证 : PA ? OP ? PA ? FP;
2 2

( 2) 若l与双曲线 的左、 C 右两支分别相 交于点D、E , 求双曲线 的离心率 的取值 C e 范围.

( 2) 若l与双曲线 的左、 C 右两支分别相 交于点D、E , 求双曲线 的离心率 的取值 C e 范围.

a [解析] (1) l: ? ? ( x ? c ) y b a ? ? y ? ? b ( x ? c) ? , 解得 : ? ?y ? b x ? a ?

a ab P ( , ). ? OA 、 、 成等比数列 OB OF , c c 2 a ab ? A( ,0). ? PA ? (0,? ). c c

2

a ab OP ? ( , ), c c 2 b ab FP ? ( ? , ), c c

2

ab ab ? PA ? OP ? ? 2 , PA ? FP ? ? 2 . c c ? PA ? OP ? PA ? FP .

ab ab ? PA ? OP ? ? 2 , PA ? FP ? ? 2 . c c ? PA ? OP ? PA ? FP .
a ? ? y ? ? ( x ? c) ( 2) ? b ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ? a4 2 2 2 2 2 ? b x ? 2 ( x ? c) ? a b . b

a a a c 2 2 2 即(b ? 2 ) x ? 2 2 cx ? ( 2 ? a b ) ? 0, b b b 4 2 a c 2 2 ?( 2 ?a b ) b ? x1 ? x 2 ? ? 0, 4 a 2 b ? 2 b 4 4 ?b ? a .
2

4

4

4 2

即b ? a , c ? a ? a .
2 2 2 2 2

? e ? 2. 即e ? 2 .
2

[例3] 已知点H (0,?3), 点P在x轴上, 点Q 在y轴正半轴上 点M在直线PQ上 , 且满足 , 3 HP ? PM ? 0, PM ? ? MQ. 2 (1) 当点P在x轴上移动时 求动点M的 , 轨迹曲线 的方程; C ( 2) 过定点A(a , b )的直线与曲线 相交 C 于两点S、R, 求证:抛物线 、R两点处的 S 切线的交点 恒在一条直线上 B .

[解析] (1) 设P (a ,0), Q(0, B ), 则
HP ? PM ? (a ,3) ? (a ,? b ) ? a ? 3b ? 0,
2

3 ? a ? 3b, 设M ( x , y ),? PM ? ? HQ . 2 3 ? b a 2 ? 3b,? y ? 1 x 2 . ?x ? ? ? 2a , y ? 3 3 4 1? 1? 2 2
2

1 2 1 2 [法一] ( 2) 设A(a , b), S ( x1 , x1 ), R( x 2 , x 2 ) 4 4 1 2 ( x1 ? x 2 ), 则直线SR的方程为: y ? x1 ? 4 1 2 1 2 x 2 ? x1 4 4 ( x ? x ), 即4 y ? ( x ? x ) x ? x x . 1 1 2 1 2 x 2 ? x1 ? A点在SR上 ,? 4b ? ( x1 ? x 2 )a ? x1 x 2 1 1 2 1 对y ? x 求导得: y' ? x . 4 2

? 抛 物线 上 、R处 的切 线方 程为 : S 1 2 1 2 y ? x1 ? x1 ( x ? x1 )即4 y ? 2 x1 x ? x1 2 4 2 1 2 1 2 y ? x 2 ? x 2 ( x ? x 2 )即4 y ? 2 x 2 x ? x 2 3 4 2 x1 ? x 2 ? ?x ? 2 , 联 立 2 3 , 并 解之 得: ? 1 ? y ? x1 x 2 4 ? 代 入 1 得 :ax ? 2 y ? 2b ? 0. 故B点 在直 线 ? 2 y ? 2b ? 0上 . ax

[法二] 设A(a , b ), 当过点A的直线斜率不存
在时l与抛物线有且仅有一个 公共点, 与题 意不符, 可设直线 的方程为: SR 1 2 y ? b ? k ( x ? a ), 与y ? x 联立消去 得 : y 4 x ? 4kx ? 4ak ? 4b ? 0.
2

1 2 1 2 设S ( x1 , x1 ), R( x 2 , x 2 )( x1 ? x 2 ), 4 4

? x1 ? x 2 ? 4k 则由 韦达定 理: ? x x ? 4(ak ? b ), ? 1 2 又过S、R点的 切线方 程分别 为: 2 2 4 y ? 2 x1 x ? x1 ,4 y ? 2 x 2 x ? x 2 , x1 ? x 2 k ? x? ? ? 2 2 ( k为常 数) 联立 并解之 得 ? 1 ? y ? x1 x 2 ? ak ? b 4 ? 消去k , 得 : ax ? 2 y ? 2b ? 0, 故B点在 直线2ax ? y ? b ? 0上 .

y [例4] 设 双 曲 线x ? ? 1上 两 点A、 , AB B 2 中 点M (1,2).
2

2

(1) 求 直 线AB的 方 程; ( 2) 如 果 线 段 的 垂 直 平 分 线 与 双 曲 AB 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ?

y [例4] 设 双 曲 线x ? ? 1上 两 点A、 , AB B 2 中 点M (1,2).
2

2

(1) 求 直 线AB的 方 程; ( 2) 如 果 线 段 的 垂 直 平 分 线 与 双 曲 AB 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ?

[解析] (1) 法一:显然 斜率存在, AB
设AB:y ? 2 ? k ( x ? 1),

? y ? kx ? 2 ? k ? 由? 2 y 得: ?x ? 2 ? 1 ? ( 2 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? k 2 ? 4k ? 6 ? 0 当? ? 0时, 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) x1 ? x 2 k ( 2 ? k ) 则e ? ? 2 2 2?k ? k ? 1满足? ? 0 ? 直线AB:y ? x ? 1.

法 二 : 设 ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), A y ?1 2 , 两 式 相 减 得: 2 y2 ?1 2 1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) 2 y1 ? y 2 2( x1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 , ? ? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? 2 ? x1 ? ? 则? ?x2 ? ? 2 ?
2 1

2?1 ? k AB ? ? 1,? AB : y ? x ? 1. 2 y2 2 代入x ? ? 1得:? ? 0. 2

2?1 ? k AB ? ? 1,? AB : y ? x ? 1. 2 y2 2 代入x ? ? 1得:? ? 0. 2

[解析] 法一为韦达定理法,法二称为点
差法,当涉及到弦的中点时,常用这两 种途径处理. 在利用点差法时,必须检验 条件△>0是否成立.

( 2) 设A、 、 、 共圆于圆 B C D OM , 因AB为弦, 故M在AB垂直平分线即 CD上 , 又CD为弦, 故圆心M为CD中 点. 因此只需证 中点M满足 : CD MA ? MB ? MC ? MD , ?y ? x ?1 ? 由? 2 y 2 得 : A( ?1,0), B( 3,4). ?1 ?x ? 2 ?

又CD方 程 : y ? ? x ? 3, ?y ? ?x ? 3 ? 2 2 由? 2 y 得 :x ? 6 x ? 11 ? 0 ?1 ?x ? 2 ? 设C ( x 3 , y 3 ), D( x4 , y4 ), CD中 点M ( x0 , y0 ) x 3 ? x4 则x0 ? ? ? 3, y 0 ? ? x 0 ? 3 ? 6 2 ? M ( ?3,6),

1 ? MC ? MD ? CD ? 2 10 2 又 MA ? MB ? 10 , ? MA ? MB ? MC ? MD . ? A、B、C、D在以CD中点M ( ?3,6) 为圆心,2 10为半径的圆上 .

1 ? MC ? MD ? CD ? 2 10 2 又 MA ? MB ? 10 , ? MA ? MB ? MC ? MD . ? A、B、C、D在以CD中点M ( ?3,6) 为圆心,2 10为半径的圆上 .

[解析]充分分析平面图形的几何性质可以使解
题思路更清晰,在复习中必须引起足够重视.

x y [例5] 已知A、B为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2 2 x y 和双曲线 2 ? 2 ? 1的公共顶点 P、Q分别为 , a b 双曲线和椭圆上不同于 A、 的动点, 且有 两点 B ( AP ? BP ) ? ? ( AQ ? BQ ) (? ? R, ? ? 1), 设AP、BP、 AQ、BQ的斜率分别为 1 , k k 2 , k 3 , k4 .

2

2

(1) 求证: 1k2 ? ?k3 k4且k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0; k
( 2) 设F2 ' 、F2分别为双曲线和椭圆的 一 个焦点(均为两曲线的右焦点 若PF2 ' // QF2 , ),
2 2 2 求k12 ? k 2 ? k 3 ? k4 的 值.

(1) 求证: 1k2 ? ?k3 k4且k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0; k
( 2) 设F2 ' 、F2分别为双曲线和椭圆的 一 个焦点(均为两曲线的右焦点 若PF2 ' // QF2 , ),
2 2 2 求k12 ? k 2 ? k 3 ? k4 的 值.

[解析] (1) 设点P、Q的坐标分别为x1 , y1 )、 (
x y ( x 2 , y2 ), 则 ? ? 1, a b 2 2 x2 y2 ? 2 ? 1, 2 a b
2 1 2 2 1 2

a 2 2 a 2 2 即x ? a ? 2 y1 , x 2 ? a ? ? 2 y2 . b b y1 y1 k1 ? , k2 ? , x1 ? a x1 ? a 2 2 2 y1 y1 b k1 k 2 ? 2 ? 2 ? 2, 2 a 2 a x1 ? a y1 2 b b2 同理可得: 3 k 4 ? ? 2 , k a
2 1 2

2

2

于是k1 k 2 ? ? k 3 k 4 , y1 y1 2 x1 y1 2b x1 k1 ? k 2 ? ? ? 2 ? 2 , 2 x1 ? a x1 ? a x1 ? a a y1 2b x 2 同利可得: x 3 ? x4 ? ? 2 . a y2 设O为原点, 则 AP ? BP ? 2OP , AQ ? BQ ? 2OQ ,
2 2

由 条件 知: OP ? ? OQ , 故 OP与OQ共 线. x1 x 2 于是 ? , y1 y2 由(1)、 )得 : k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 ? 0. (2

由 条件 知: OP ? ? OQ , 故 OP与OQ共 线. x1 x 2 于是 ? , y1 y2 由(1)、 )得 : k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 ? 0. (2

( 2)? OP ? ? OQ ,? x1 ? ?x 2 , y1 ? ?y2 , x y 又 ? ? 1, a b 2 2 x1 y1 2 ? 2 ? 2 ?? , a b
2 2 2 2 2 2

x y 又点P在双曲线上 有 , ? ? 1, a b ?2 ? 1 2 2 ?2 ? 1 2 2 ? x1 ? a , y1 ? b , 2 2 又PF2 ' // QF2 ' 知:QF2 ' ? ? OF2 . a ?b 故? ? 2 , 所以 2 a ?b 2 2 2 4 x1 ? ? 1 a a ? 2 ? 4. 2 2 y1 ? ? 1 b b
2 2 2

2 1 2

2 1 2

4b x 4b a 由(1)得 : ( k1 ? k 2 ) ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 4, a y a b
2

4

2 1 2 1

4

4

同理可得: ( k 3 ? k 4 ) ? 4,
2

所以k ? k ? k ? k
2 1 2 2 2 3

2 4

? ( k1 ? k 2 ) 2 ? ( k 3 ? k 4 ) 2 ? 2 k1 k 2 ? 2 k 3 k 4 ? 4 ? 4 ? 8.

专题八 圆锥曲线背景下的最值

与定值问题
第二课时

【考点搜索】

【考点搜索】
1. 利用参数求范围、最值问题; 2. 利用数形结合求解范围、最值问题; 3. 利用判别式求出范围; 4. 新课程高考则突出了对向量与解析几 何结合考查,如求轨迹、求角度、研究平行

与垂直关系等. 要注意利用这些知识解题.

【课前导引】

【课前导引】
x y 1. 椭圆 ? ? 1上有n个不 同的点: P1 , 4 3 P2 ,? , Pn , 椭圆 的右焦 点为 , 且数 列{ Pn F }是 F 1 公差 大于 的等 差数列 则n的最 大值是 ) , ( 100
2 2

A. 198

B. 199

C. 200

D. 201

[解析] 由于a=2,c=1,故椭圆上的点
到右焦点的距离的最大值为3,最小值
为1,为使n最大,则3=1+(n?1)d,但d

1 1 ? ,故3 ? 1 ? ( n ? 1) ? ? n ? 201. 100 100

[解析] 由于a=2,c=1,故椭圆上的点
到右焦点的距离的最大值为3,最小值
为1,为使n最大,则3=1+(n?1)d,但d

1 1 ? ,故3 ? 1 ? ( n ? 1) ? ? n ? 201. 100 100

[答案]

C

2. 曲线 y=x4上的点到直线 x?2y?1=0

的距离的最小值是(

)

5 A. 8

5 B. 4

1 C. 2

5 D. 8

2. 曲线 y=x4上的点到直线 x?2y?1=0

的距离的最小值是(

)

5 A. 8

5 B. 4

1 C. 2

5 D. 8

[解析] 设直线L平行于直线x=2y+1,且与
曲线y=x4相切于点P(x0,y0),则所求最小
值d,即点P到直线x=2y+1的距离,

1 y' ? 4 x ? . 2 1 1 ? x0 ? , y0 ? . 2 16
3

1 1 ? ?1 x 0 ? 2 y0 ? 1 5 2 8 ?d ? ? ? . 8 5 5

1 y' ? 4 x ? . 2 1 1 ? x0 ? , y0 ? . 2 16
3

1 1 ? ?1 x 0 ? 2 y0 ? 1 5 2 8 ?d ? ? ? . 8 5 5

[解析] D

【链接高考】

【链接高考】
[例1] 已 知 椭圆 的 中 心为 坐 标 点O , 焦 点 原
在x轴 上, 斜 率 为 且 过 椭圆 右 焦 点 的 直 线 1 F ? 交 椭 圆于 、B两 点, OA ? OB 与 a ? ( 3,?1) A 共 线. (1) 求 椭 圆的 离 心 率; ( 2) 设M为 椭 圆上 任 意 一点且OM ? ,

? OA ? ? OB (? , ? ? R ), 证 明? ? ? 为 定 值.
2 2

x y [解析] 设 椭 圆 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), a b F (c ,0), 则 直 线AB的 方 程 为 ? x ? c , 代 入 y x y ? 2 ? 1, 化 简 得 : 2 a b (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2 b 2 ? 0. 2a 2 c 令A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ? 2 , 2 a ?b 2 2 2 2 a c ?a b x1 x 2 ? . 2 2 a ?b
2 2

2

2

? 由OA ? OB ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y2 ), a ? ( 3,?1), ? OA ? OB与a共线, 得 3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0, 又y1 ? x1 ? c , y2 ? x 2 ? c , ? 3( x1 ? x 2 ? 2c ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0, 3 2a c 3c 2 2 ? x1 ? x 2 ? c , 即 2 ? ,? a ? 3b . 2 2 a ?b 2 6a c 6 ?c ? a ? b ? , 故离心率 ? ? e . 3 a 3
2 2 2

x y ( 2) 证 : (1)知a ? 3b , 所 以 椭 圆 2 ? 2 a b 2 2 2 ? 1可 化 为x ? 3 y ? 3b .设 OM ? ( x , y ), 由 已 知 得 x , y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y2 ), (
2 2

2

2

? x ? ?x1 ? ?x 2 ?? ,? M ( x , y )在 椭 圆 上 , ? y ? ?y1 ? ?y2 2 2 2 ? (?x1 ? ?x 2 ) ? 3(?y1 ? ?y 2 ) ? 3b . 即? ( x ? 3 y ) ? ? ( x ? 3 y ) ? 2?? ( x1 x 2 ?
2

3 y1 y2 ) ? 3b

2 1 2

2 1 2

2

2 2

2 2

1

3c 2 3 2 2 1 2 由(1)知 :x1 ? x 2 ? ,a ? c ,b ? c . 2 2 2 2 2 2 2 a c ?a b 3 2 x1 x 2 ? ? c , 2 2 a ?b 8 x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? c )( x 2 ? c ) ? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 3 2 9 2 2 ? c ? c ? 3c ? 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 又x1 ? 3 y1 ? 3b , x 2 ? 3 y 2 ? 3b , 代 入 1 得 :
2

?2 ? ? 2 ? 1. 故?2 ? ? 2为 定 值, 定 值 为 . 1

[例2] 设有抛物线 y2=2px(p>0), 点F是
其焦点, 点C(a, 0)在正x轴上 (异于F点). 点O 为坐标系原点. (1) 若过点C的直线与抛物线相交于A、 B,且恒有∠AOB=90?, 求a的值; (2) 当a在什么范围时, 对于抛物线上的 任意一点M (M与O不重合), ∠CMF恒为锐 角?

[解析] (1) 设过C的直线为y ? k ( x ? a ),
记A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 将直线方程代入抛物线 方程则有: k x ? 2(ak ? p ) x ? k a ? 0
2 2 2 2 2

2(ak 2 ? p ) 2 x1 x 2 ? a , x1 ? x 2 ? , 2 k

故y1 y2 ? k ( x1 ? a )( x 2 ? a )
2

? k 2 ( x1 x 2 ? ax1 ? ax2 ? a 2 ) ? ?2ap 当?AOB ? 90?时, x1 x 2 ? y1 y2 ? 0, 故a 2 ? ( ?2ap) ? 0,由于a为正数, 故a ? 2 p(当k不存在时也符合 ).

p ( 2)设M ( x , y ),由于F ( ,0), C (a ,0), 2 p 故 MF ? ( ? x ,? y ), MC ? (a ? x ,? y ), 2 但?CMF 恒为锐角 MF ? MC ? 0, , p 2 故( ? x )( a ? x ) ? y ? 0 2 1 p 2 x ? (a ? p ) x ? a ? 2 px ? 0 2 2 3 p 2 x ? ( a ? p ) x ? a ? 0 ( x ? 0) 1 2 2

为使 1 恒成立, 9 2 p ? ? 0时,a ? 3ap ? p ) ? 4 ? a ? 0, ( 4 2 9 2 p 9 2 ? a ? 5 pa ? p ? 0, ? a ? p 4 2 2 ?? ? 0 p ? 3 ? ? 0时,则? 解得: ? a ? , 0 a? p?0 2 ? 2 ? p 但a ? 时, F和C重合, 应舍去, 故知满足 2 p p 9 条件的a的范围是: , ) ? ( , p ) (0 2 2 2
3

x y [例3] 已知椭圆C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、 a b 右焦点为F1、F2 , 离心率为e , 直线l : y ? ex ? a 与x轴、y轴分别交于点 、 , M是直线l与椭圆 A B C的一个公共点 P是点F1关于直线l的对称点, , 设 AM ? ? AB. 2 (1) 证明:? ? 1 ? e ; 3 ( 2) 若? ? , ?PF1 F2的周长为6; 写出椭圆 4 C的方程; ( 3) 确定?的值, 使得?PF1 F2是等腰三角形.

2

2

[解析] (1) 法一 : 因为A、B分别是直线l :

y ? ex ? a与x轴、y轴的交点, 所以A、B的 ? y ? ex ? a , a ? 2 坐标分别是( ? ,0), (0, a ). 由? x y2 e ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? x ? ?c , ? 2 2 2 得? b 这里c ? a ? b . y? . ? a ? 2 b 所以点M的坐标是( ?c , ). a

由 AM ? ? AB得 a b a ( ?c ? , ) ? ? ( , a ). e a e a ?a ?e ? c ? ? e ? 即? 2 ? b ? ?a ?a ?
2

解得 : ? ? 1 ? e

2

证法二 : 因为A、B分别是直线 l : y ? ex ? a与x轴、y轴的交点, 所以 a A、B的坐标分别是 ? ,0), (0, a ). ( e 设M的坐标是( x0 , y0 ), 由 AM ? ? AB得 a ? a a ? x0 ? (? ? 1) ( x0 ? , y0 ) ? ? ( , a ), 所以? e e e ? y ? ?a . ? 0

x0 y0 因为点M在椭圆上, 所以 2 ? 2 ? 1, a b 2 ?a ? (? ? 1)? ?e ( ?a ) 2 ? ? ? 即 ? 1, 2 2 a b (1 ? ? ) 2 ?2 所以 ? ? 1. 2 2 e 1? e 4 2 2 e ? 2(1 ? ? )e ? (1 ? ? ) ? 0, 解得e 2 ? 1 ? ? 即? ? 1 ? e 2 .

2

2

3 1 (2) 当? ? 时, e ? , ? a ? 2c . 4 2 由?MF1 F2的周长为6, 得 2a ? 2c ? 6. 所以a ? 2, c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3. x y 椭圆方程为 ? ? 1. 4 3
2 2

(3) 解法一 : ? PF1 ? l , ? ?PF1 F2 ? 90 ? ?BAF1为钝角,
0

要使?PF1 F2为等腰三角形 , 1 必有 PF1 ? F1 F2 , 即 PF1 ? c . 2 设点F1到l的距离为d ,

e( ?c ) ? 0 ? a a ? ec 1 由 PF1 ? d ? ? ? c, 2 2 2 1? e 1? e 得 1? e
2 2

1? e
2

? e.

1 2 2 所以e ? , 于是? ? 1 ? e ? . 3 3 2 即当? ? 时, ?PF1 F2为等腰三角形 . 3

解法二 : 因为PF1 ? l , 所以?PF1 F2 ? 900 ? ?BAF1为钝角, 要使?PF1 F2为等腰三角形 , 必有 PF1 ? F1 F2 , 设点P的坐标是( x0 , y0 ),
2 y0 ? 0 1 ? ? e ?3 ?? c, ? x0 ? 2 ?x ?c e e ?1 ? 0 ? 则? 解得? 2 2(1 ? e )a x0 ? c ? y0 ? 0 ? ? 2 ? e 2 ? a. ? y0 ? e 2 ? 1 . ? ?

? (e ? 3)c ? ? 2(1 ? e )a ? 由 PF1 ? F1 F2 得 ? 2 ? c? ? ? ? 2 ? e ?1 ? ? e ?1 ?
2 2 2 2 2 2

2

2

(e ? 1) ? 4c , 两边同时除以 a , 化简得 2 4 ? e2 . e ?1 1 2 2 从而e ? . 于是? ? 1 ? e ? . 3 3
2

2 即当? ? 时, ?PF1 F2为等腰三角形 . 3

[例4]

如 图,已 知 在 坐 标 平 面 内M、N是 ,

x 轴 上 关 于 原 点 对 称 的 两 点 P是 上 半 平 O , 3 面 内 一 点 ?PMN的 面 积 为 , 点A坐 标 为 , 2 3 (1 ? 3 , ), MP ? m ? OA 2 ( m 为 常 数) MN ? OP ? MN .

(1) 求以M、N为焦点且过点 的椭圆 P 方程. ( 2) 过点B( ?1,0)的直线l交椭圆于 、 C D 两点, 交直线x ? ?4 于点E , 点B、 分CD E 的比分别为 1、?2 , ? 求证 : ?1 ? ?2 ? 0.

[解答] 本小题主要考查平面向量的概念、

直线与椭圆的方程性质以及综合运用所学
知识分析、解决问题的能力.

(1) 设M ( ?c ,0), N (c ,0)( c ? 0), p( x0 , y0 ), 则 MN ? OP ? ( 2c ,0) ? ( x0 , y0 ) ? 2cx0 , 2cx0 ? 2c , 故x0 ? 1 1

又 ? S ?PMN

1 3 3 ? ( 2c ) y 0 ? , y 0 ? 2 2 2c

2

? MP ? ( x0 ? c , y0 ), 3 OA ? (1 ? 3 , ), 2 由已知( x0 ? c , y0 ) 3 ? m (1 ? 3 , ) 2

3 即 ?m? ,故 ( x0 ? c ) ? (1 ? 3 ) y0 3 2 1? 3 3 2

x0 ? c

y0

3 3 将 1 2 代入 3 : (1 ? c ) ? (1 ? 3 ) ? , 2 2c

c ? c ? ( 3 ? 3 ) ? 0,
2

(c ? 3 )( c ? 3 ? 1) ? 0, 3 ? c ? 3 , y0 ? . 2

x y 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b 3 ? a ? b ? 3, P (1, )在椭圆上, 2
2 2

2

2

3 1 4 ? 1, 故b 2 ? 1, a 2 ? 4, ? 2 ? 2 b ?3 b x2 ? 椭圆方程为: ? y 2 ? 1. 4

(2) ①当l的斜率不存在时,l与x =?4无交点, 不合题意. ②当l的斜率存在时,设l方程为y=k(x+1),
x 2 代入椭圆方程 ? y ? 1 4 化简得 : (4k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0. 设点C ( x1 , y1 )、D( x 2 , y2 ), 得 :
2

? ? ? ? 0, ? ? ? 8k 2 , ? x1 ? x 2 ? 2 4k ? 1 ? 2 ? 4k ? 4 ? x1 ? x 2 ? . 2 4k ? 1 ? x1 ? ?1 x 2 x1 ? ? 2 x 2 ? ?1 ? , ?4? , 1 ? ?1 1 ? ?2 ? 1 ? x1 ? 4 ? x1 ? ?1 ? , ?2 ? x2 ? 1 x2 ? 4

x1 ? 1 x1 ? 4 ?1 ? ?2 ? ?( ? ) x2 ? 1 x2 ? 4 ?1 ? [2 x1 x 2 ? 5( x1 ? x 2 ) ? 8] ( x 2 ? 1)( x 2 ? 4)

4k ? 4 ? 8k 而 2 x1 x 2 ? 5( x1 ? x 2 ) ? 8 ? 2 ? 2 ? 5? 2 ?8 4k ? 1 4k ? 1 1 2 2 2 ? 2 (8k ? 8 ? 40k ? 32k ? 8) ? 0, 4k ? 1 ? ?1 ? ?2 ? 0.
2 2


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