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江苏省扬州中学教育集团树人学校2014-2015学年高一上学期第一次学情检测数学试卷


江苏省扬州中学教育集团树人学校 2014-2015 学年高一上学期第 一次学情检测数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. ) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4},则 A∩?UB=. 2. (5 分)若集合 A?{1,2,3},且 A≠φ,则满足条件的集合 A 的个数为个.

r />
3. (5 分)函数

的定义域为.

4. (5 分)若集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为. 5. (5 分)函数 的单调增区间为.

6. (5 分)已知函数 g(x+1)=2x﹣3,则函数 g(x)=.

7. (5 分)已知函数 f(x)=

若 f(f(0) )=3a,则实数 a=.

8. (5 分)若 f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且在(﹣1,1)上是增函数,则不等 式 f(1﹣x)+f(1﹣2x)<0 的解集为. 9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间 取值范围是. 10. (5 分)函数 f(x)=(|x|﹣1) (x+a)为奇函数,则 a=.
2

上的单调函数,则实数 a 的

11. (5 分)若函数 y=

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是.

12. (5 分)函数

满足对任意 x1≠x2 都有

成立,则 a 的取值范围是.

13. (5 分)某同学为了研究函数 f(x)=

+

(0≤x≤1)的性质,构造

了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC, 点 P 是边 BC 上的一个动点, 设 CP=x, 则 f(x)=AP+PF. (1)fmin(x)=; (2)函数 f(x)= 的零点个数是.

14. (5 分)已知函数 f(x)=﹣

+x 在区间上的值域是,则 m﹣n=.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字步骤. ) 15. (14 分)已知集合 A={x|1≤x<6},B={x|2<x<9}. (1)分别求:A∩B, (?RB)∪A; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值集合. 16. (14 分)已知函数 f(x)= .

(1)用定义证明函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为单调递减函数; (2)若 g(x)=a﹣f(x) ,且当 x∈时 g(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 17. (15 分)已知定义域为 x∈R|x≠0 的函数 f(x)满足; ①对于 f(x)定义域内的任意实数 x,都有 f(﹣x)+f(x)=0; 2 ②当 x>0 时,f(x)=x ﹣2. (Ⅰ)求 f(x)定义域上的解析式; (Ⅱ)解不等式:f(x)<x. 18. (15 分)已知函数 f(x)=﹣x +2ax+1,x∈上的最大值为 4,求实数 a. 19. (16 分)已知 f(x)是定义在集合 M 上的函数,若区间 D?M,且对任意 x0∈D,均有 f(x0)∈D,则称函数 f(x)在区间 D 上封闭. (1)判断函数 f(x)=x+ (2)若函数 g(x)= 在定义域上是否封闭,并说明理由; 在区间上封闭,求实数 a 的取值范围.
2

20. (16 分)已知函数

,x∈(0,+∞)

(1)画出 y=f(x)的大致图象,并根据图象写出函数 y=f(x)的单调区间; (2)设 试比较 f(a) ,f(b)的大小.

(3)是否存在实数 a,b,使得函数 y=f(x)在上的值域也是?若存在,求出 a,b 的值, 若不存在,说明理由.

三、附加题 21.下列说法中: ①若 f(x)=ax +(2a+b)x+2(其中 x∈)是偶函数,则实数 b=2; ②f(x)= 既是奇函数又是偶函数;
2

③已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈ ④已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意的 x,y∈R 都满足 f(x?y)=x?f (y)+y?f(x) ,则 f(x)是奇函数. 其中正确说法的序号是. 22.已知函数 f(x)=|x|(x﹣a) ,a 为实数. (1)若 g(x)为定义在 R 的奇函数,当 x>0 时,g(x)=f(x) ,求 g(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)+1=0 有 3 个实数解,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a,使得 f(x)在闭区间上的最大值为﹣4,若存在,求出 a 的值;若不 存在,请说明理由.

江苏省扬州中学教育集团树人学校 2014-2015 学年高一 上学期第一次学情检测数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. ) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4},则 A∩?UB={1,2}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用补集的定义求出 CUB,再利用交集的定义求出 A∩CUB. 解答: 解:∵CUB={1,2,5},∴A∩CUB={1,2,3}∩{1,2,5}={1,2}, 故答案为:{1,2}. 点评: 本题考查集合的表示方法、 集合的补集, 两个集合的交集的定义和求法, 求出 CUB 是解题的关键.

2. (5 分)若集合 A?{1,2,3},且 A≠φ,则满足条件的集合 A 的个数为 7 个. 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用. 计算题;集合. 根据题意,集合 A?{1,2,3},且 A≠φ,即求{1,2,3}非空子集的个数. 解:根据题意,集合 A?{1,2,3},且 A≠φ,即求{1,2,3}非空子集的个数,
3

而{1,2,3}中有 3 个元素,非空子集共有 2 ﹣1=7 个; 故答案为:7. n 点评: 本题考查集合子集的数目,需要牢记若集合中有 n 个元素,则有 2 个子集.

3. (5 分)函数

的定义域为(1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数大于等于 0,及分母 不等于 0,解不等式求 x 的范围. 2 解答: 解:根据题意得:x﹣1≥0,且 x ﹣1≠0, 解得 x>1. 故答案为: (1,+∞) 点评: 函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 4. (5 分)若集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为 1 或﹣1 或 0. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 分类讨论. 分析: 由已知中集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,我们易得到集合 A 是集合 B 的子集,结合子集的定义,我们分 A=?与 A≠?两种情况讨论,即可求出满足条件的 m 的 值. 解答: 解:∵A∪B=A, ∴B?A 当 m=0 时,B=?满足条件 当 m≠?时,B={1},或 B={﹣1} 即 m=1,或 m=﹣1 故 m 的值为:1 或﹣1 或 0 故答案:1 或﹣1 或 0 点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,其中当 B?A,容易忽略 B=?的 情况. 5. (5 分)函数 的单调增区间为.

考点: 函数的单调性及单调区间. 专题: 计算题. 分析: 将原函数分解成两个简单函数 y= 性质即可求出. 解答: 解:∵f(x) 的定义域为:
2

,z=﹣x ﹣2x+3,再根据复合函数同增异减的

2

令 z=﹣x ﹣2x+3,则原函数可以写为 y= , ∵y= 为增函数 2 ∴原函数的增区间即是函数 z=3﹣2x﹣x 在上的增区间. ∴x∈ 故答案为: . 点评: 本题主要考查复合函数求单调区间的问题. 复合函数求单调性时注意同增异减的性 质,切忌莫忘求函数定义域.是中档题. 6. (5 分)已知函数 g(x+1)=2x﹣3,则函数 g(x)=2x﹣5. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 令 x+1= t,则 x=t﹣1,可得 g(t)=2(t﹣1)﹣3=2t﹣5,可得 g(x)=2x﹣5. 解答: 解:令 x+1=t,则 x=t﹣1, 可得 g(t)=2(t﹣1)﹣3=2t﹣5, 所以 g(x)=2x﹣5, 故答案为:2x﹣5. 点评: 本题为函数解析式的求解,利用换元法可解,属基础题.

7. (5 分)已知函数 f(x)=

若 f(f(0) )=3a,则实数 a=4.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 f(0)=2,则 f(f(0) )=f(2)=4+2a,结合已知可求 a 解答: 解:由题意可得 f(0)=2 ∴f(f(0) )=f(2)=4+2a=3a ∴a=4 故答案为: 点评: 本题主要考查了 分段函数的函数值的求解的简单应用,属于基础试题 8. (5 分)若 f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且在(﹣1,1)上是增函数,则不等 式 f(1﹣x)+f(1﹣2x)<0 的解集为( ) .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用.

分析: 利用函数为奇函数,f(1﹣x)+f(1﹣2x)<0 等价于 f(1﹣x)<f(﹣1+2x) ,根 据 f(x)在(﹣1,1)上是增函数,可得不等式组,由此即可求得结论. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,∴﹣f(x)=f(﹣x) ∴f(1﹣x)+f(1﹣2x)<0 等价于 f(1﹣x)<f(﹣1+2x) ∵f(x)在(﹣1,1)上是增函数,



∴ ∴不等式 f(1﹣x)+f(1﹣2x)<0 的解集为( 故答案为( ) . )

点评: 本题考查函数奇偶性与单调性的结合,考查学生的计算能力,属于中档题.
2

9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间 取值范围是. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函 数的性质及应用. 分析: 由题意可得 ≤ ,或
2

上的单调函数,则实数 a 的

≤ ,由此求得实数 a 的取值范围. 上的单调函数,二次函数

解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间 的对称轴为 x= ∴故有 ≤ ,或 , ≤ .

解得 a≥4,或 a≤2,故实数 a 的取值范围是, 故答案为 . 点评: 本题主要考查二次函数的性质的应用,属于基础题. 10. (5 分)函数 f(x)=(|x|﹣1) (x+a)为奇函数,则 a=0. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据定义在 R 上的奇函数的特性:f(0)=0,解出 a,再用奇函数的定义加以验 证,即可得到符合题意的 a 值. 解答: 解:∵函数 f(x)=(|x|﹣1) (x+a)为 R 上的奇函数 ∴f(0)=﹣(0+a)=0,解得 a=0 检验:当 a=0 时,f(x)=(|x|﹣1)x,而 f(﹣x)=(|﹣x|﹣1) (﹣x)=﹣(|x|﹣1)x,

∴f(﹣x)=﹣f(x) ,函数 f(x)为奇函数 故答案为:0 点评: 本题给出函数为奇函数,求参数 a 的值,着重考查了函数奇偶性的定义,属于基础 题.利用 f(x)=0 是解决本题的技巧,但要注意 f(x )=0 不是函数为奇函数的充要条件, 因此需要检验.

11. (5 分)若函数 y= ﹣n=﹣4.

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是上的值域是,则 m

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对 m 和 n 的范围进行分类讨论,并根据函数的单调性表示出函数的最大值和最小 值建立等式求得 m 和 n. 解答: 解:①当 m<n≤1 时,函数在区间上单调增,



,求得 m=﹣4,n=0.

②当 1<m<n 时, f(x)在上递减,且 f(x)< 值域为, 3n< ,矛盾 ③m≤1<n 时, f(x)max= , 若值域为, 则 3n= ,n= 与 n>1 矛盾 综上,符合条件的 m,n 的值为 m=﹣4,n=0, ∴m﹣n=﹣4, 故答案为:﹣4 点评: 本题主要考查了二次函数的性质和分类讨论思想的运用. 应能熟练掌握二次函数求 最值的方法. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字步骤. ) 15. (14 分)已知集合 A={x|1≤x<6},B={x|2<x<9}. (1)分别求:A∩B, (?RB)∪A; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值集合.

考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)由集合 A={x|1≤x<6},B={x|2<x<9},进而结合集合交集,并集,补集的 定义,可得答案. (2)由 C={x|a<x<a+1},若 C?B,则 a≥2 且 a+1≤9,解不等式组可得答案. 解答: 解: (1)∵集合 A={x|1≤x<6},B={x|2<x<9}. ∴A∩B={x|2<x<6}, ?RB={x|x≤2,或 x≥9}, ∴(?RB)∪A={x|x<6,或 x≥9}, (2)∵C={x|a<x<a+1},C?B, ∴a≥2 且 a+1≤9, ∴2≤a≤8, 故实数 a 的取值集合为{a|2≤a≤8} 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题.

16. (14 分)已知函数 f(x)=



(1)用定义证明函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为单调递减函数; (2)若 g(x)=a﹣f(x) ,且当 x∈时 g(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数的单调性及单调区间. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)在(﹣1,+∞)内任取 x1,x2,令 x1<x2,由 f(x1)﹣f(x2)=(﹣ )

﹣(﹣

)=

>0,得到函数 f(x)=

在(﹣1,+∞)上为

单调递减函数. (2)由(1)知,g(x)=a﹣f(x)在 x∈上是增函数,故 g(x)=a﹣f(x)在 x∈上的最小 值 g(x)min=g(1)=a﹣f(1)=a+1.由当 x∈时 g(x)≥0 恒成立,知 g(x)min=a+1≥0, 由此能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)在(﹣1,+∞)内任取 x1,x2,令 x1<x2, ∵f(x)= ,

∴f(x1)﹣f(x2)=(﹣

)﹣(﹣

)=



∵x1,x2∈(﹣1,+∞) ,x1<x2, ∴(x2+1) (x1+1)>0,2(x2﹣x1)>0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0, ∴函数 f(x)= 在(﹣1,+∞)上为单调递减函数.

(2)由(1)知,g(x)=a﹣f(x)在 x∈上是增函数, ∴g(x)=a﹣f(x)在 x∈上的最小值: g(x)min=g(1)=a﹣f(1)=a+ =a+1.

∵当 x∈时 g(x)≥0 恒成立, ∴g(x)min=a+1≥0, 解得 a≥﹣1, ∴实数 a 的取值范围是 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (I)根据条件①变形,得到 f(x)在定义域内是奇函数,设 x 小于 0,得到﹣x 大于 0,代入②中 f(x)的解析式中化简后即可得到 x 小于 0 时 f(x)的解析式,综上, 得到 f(x)在 x 大于 0 和小于 0 上的分段函数解析式; (II)当 x 大于 0 时和小于 0 时,把(I)得到的相应的解析式代入不等式中,分别求出相应 的解集,然后求出两解集的并集即为原不等式的解集. 解答: 解: (I)∵对于 f(x)定义域内的任意实数 x,都有 f(﹣x)+f(x)=0, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 故 f(x)在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数(2 分) ∵当 x>0 时,f(x)=x ﹣2, 设 x<0,所以﹣x>0, 2 2 ∴f(﹣x)=﹣f(x)=x ﹣2,即 f(x)=2﹣x , 则
2 2

; (6 分)

(II)∵当 x>0 时,x ﹣2<x, 化简得(x﹣2) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<2, 所以不等式的解集为 0<x<2; 当 x<0 时,2﹣x <x, 化简得: (x﹣1) (x+2)>0, 解得:x>1 或 x<﹣2, 所以不等式的解集为 x<﹣2, 综上,不等式 f(x)<x 的解集为{x|0<x<2 或 x<﹣2}. (10 分) 点评: 此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法, 考查了一元二次不等式的解法, 考查 了分类讨论的数学思想,是一道中档题. 18. (15 分)已知函数 f(x)=﹣x +2ax+1,x∈上的最大值为 4,求实数 a. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: 函数对称轴为 x=a, 函数的图象开口向下, 根据对称轴与区间的位置关系分类讨论, 即可求得结论. 解答: 解:函数对称轴为 x=a,函数的图象开口向下 当 a≤﹣1 时,函数在上单调减,此时 x=﹣1,函数取到最大值,即﹣1﹣2a+1=4,∴a=﹣2, 符合题意;
2 2

当﹣1<a<2 时,此时 x=a,函数取到最大值,即﹣a +2a +1=4,∴a=

2

2

(负值舍去)

当 a≥2 时,函 数在上单调增,此时 x=2,函数取到最大值,即﹣4+4a+1=4,∴a= ,不符合 题意; 综上,a=﹣2 或 . 点评: 本题考查二次函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,属于 中档题. 19. (16 分)已知 f(x)是定义在集合 M 上的函数,若区间 D?M,且对任意 x0∈D,均有 f(x0)∈D,则称函数 f(x)在区间 D 上封闭. (1)判断函数 f(x)=x+ (2)若函数 g(x)= 在定义域上是否封闭,并说明理由; 在区间上封闭,求实数 a 的取值范围.

考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先求出函数的定义域,再求出函数的值域,从而得出函数是否封闭; (2)由 题意得不等式组,解出即可. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域是:{x|x≥ }, 令 ∴f(x)= =t,∴x= , (t≥0) ,
2

+t= (t+1) ≥ , 在定义域上封闭; , ≤10,

∴函数 f(x)=x+ (2)g(x)=3+ 由题意得:3≤3+



,解得:3≤a≤31.

点评: 本题考查了函数的定义域,值域问题,考查了新定义问题,是一道中档题. ,x∈(0,+∞)

20. (16 分)已知函数

(1)画出 y=f(x)的大致图象,并根据图象写出函数 y=f(x)的单调区间; (2)设 试比较 f(a) ,f(b)的大小.

(3)是否存在实数 a,b,使得函数 y=f(x)在上的值域也是?若存在,求出 a,b 的值, 若不存在,说明理由.

考点: 函数图象的作法;函数单调性的性质;不等关系与不等式. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 ,x∈(0,+∞)的图象向下平移 3 个单位,再把 x 轴下方的翻折到 x

轴上方,可得 y=f(x)的大致图象,从而可得函数 y=f(x)的单调区间; (2)分别表示出 f(a) ,f(b) ,确定其范围,即可比较 f(a) ,f(b)的大小; (3)可假设存在实数 a,b,使得 y=f(x)的定义域和值域都是,由此出发探究 a,b 的可 能取值,可分三类:a,b∈(0, )时,a,b∈( ,+∞)时,a∈(0, ) ,b∈( ,+∞) , 分别建立方程,寻求 a,b 的可能取值,若能求出这样的实数,则说明存在,否则说明不存 在. 解答: 解: (1)由 ,x∈(0,+∞)的图象向下平移 3 个单位,再把 x 轴下方的翻折到

x 轴上方,可得 y=f(x)的大致图象 如图所示 函数 y=f(x)的单调减区间为(0, ) ,单调增区间 为( ,+∞) ; (2)由题意,f(a)= ∵ ∴ , ,f(b)=

∴f(a)>6,0<f(b)<3 ∴f(a)>f(b) ; (3)不存在实数 a,b 满足条件. 假设存在实数 a,b,使得 y=f(x)的定义域和值域都是,而 y≥0,x≠0,所以应有 a>0

又 f(x)=

①当 a,b∈(0, )时,函数在(0, )上为减函数,

故有

,即

,由此可得 a=b,此时实数 a,b 的值不存在.

②当 a,b∈( ,+∞)时,函数在( ,+∞)上为增函数,

故有

, 即

, 由此可得 a, b 是方程 x +3x﹣1=0 的根, 所以

2



不合题意,故此时实数 a,b 也不存在.

③当 a∈(0, ) ,b∈( ,+∞)时,显然 ∈,而 f( )=0∈不可能,此时 a,b 也不存在 综上可知,适合条件的实数 a,b 不存在.

点评: 本题考查函数的图象,考查函数与方程的综合应用,考查绝对值函数,二次方程根 与系数的关系等,解题的关键是理解题意,将问题正确转化,进 行分类讨论探究,是一道 综合性较强的题,思维难度大. 三、附加题 21.下列说法中: ①若 f(x)=ax +(2a+b)x+2(其中 x∈)是偶函数,则实数 b=2; ②f(x)= 既是奇函数又是偶函数;
2

③已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈=x(1﹣x)=x(1+|x|) ,由此判断命题的真 假; ④构造 f(﹣x)和 f(x)之间的关系式,看符合奇函数还是偶函数,先赋值求出 f(﹣1) , 再令 a=﹣1,b=x 即可说明结论正确. 解答: 解:对于①,由 f(x)=ax +(2a+b)x+2(其中 x∈)是偶函数, 2 则 a+4=﹣2a+1,解得 a=﹣1,f(x)=﹣x +(b﹣2)x+2,且 b﹣2=0,则 b=2,命题①正确; 对于②,由 ,得 ,且 f(x)= =0,
2

∴f(x)=

既是奇函数又是偶函数,命题②正确;

对于③,已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈=x(1﹣x) . ∴当 x∈R 时,f(x)=x(1+|x|) ,命题③正确; 对于④,已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意的 x,y∈R 都满足 f(x?y)=x?f(y)+y?f(x) , ∵f(1)=f=﹣f(﹣1)﹣f(﹣1)=0,∴f(﹣1)=0. 令 x=﹣1,y=x,则 f(﹣x)=f(﹣1?x)=﹣f(x)+xf(﹣1)=﹣f(x) , 因此 f(x)是奇函数,命题④正确. 故答案为:①②③④. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数奇偶性的性质,是中档题.

22.已知函数 f(x)=|x|(x﹣a) ,a 为实数. (1)若 g(x)为定义在 R 的奇函数,当 x>0 时,g(x)=f(x) ,求 g(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)+1=0 有 3 个实数解,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a,使得 f(x)在闭区间上的最大值为﹣4,若存在,求出 a 的值;若不 存在,请说明理由 . 考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数零点的判定定理;根的存 在性及根的个数判断. 专题: 综合题;方程思想;函数的性质及应用. 分析: (1)g(x)为定义在 R 的奇函数,g(﹣x)=﹣g(x) ,运用 x>0 时,g(x)=f (x)=x(x﹣a) ,求得 g(x)= ,

(2)函数 f(x)=|x|(x﹣a)=

,分类讨论解决.

(3)转化为二次函数闭区间上的最值讨论. 解答: 解: (1)∵g(x)为定义在 R 的奇函数,∴g(﹣x)=﹣g(x) , 当 x>0 时,g(x)=f(x)=x(x﹣a) , 当 x=0 时,g(0)=0 设 x<0 时,则﹣x>0, ∴g(x)=﹣g(﹣x)=﹣=﹣x(x+a) , (x<0) , 即 g(x)= ,

(2)函数 f(x)=|x|(x﹣a)=



当 a≤0 时,两段的对称轴为 x= ,x=﹣ , 可判断在(﹣∞,+∞)单调递增,不可能有 3 个交点; 当 a> 0 时,若 x≥0,对称轴 x= ,最小值为﹣ 若 x<0 时,对称轴 x=﹣ ,最大值为 所以:﹣ <﹣1< , ,

,即 a>2,a<﹣2,

综上:实数 a 的取值范围: (﹣∞,﹣2) (3)当 a≤0 时判断在(﹣∞,+∞)单调递增,f(0)=0,在闭区间上的最大值为﹣4,不 可能; 当 a>0 时,若 x≥0,对称轴 x= ,最小值为﹣ ,





解得 a=5 所以存在实数 a,使得 f(x)在闭区间上的最大值为﹣4 点评: 本题综合考查了函数的性质,方程思想的运用,不等式的结合,难度较大,做题仔 细认真些.


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