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第九章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理


[2017 高考导航] 知识点 两个计数原理 考纲下载 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类” 和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的 实际问题. 2. 理解组合的概念及组合数公式, 并能利用公式解决一些简单的 实际问题. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.了解随机事件发生

的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意 义以及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义. 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分 布列对于刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的离散型 随机变量的分布列. 2.了解超几何分布,并能进行简单的应用. 3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,会求 简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的 均值、方差概念解决一些简单问题. 了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念;理解 n 次 独立重复试验模型及二项分布,并能解决一些简单问题. 借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

排列、组合

二项式定理

随机事件的概率

古典概型、随机数与几何 概型

离散型随机变量及其分 布列、期望与方差

二项分布及其应用 正态分布

,[学生用书 P180])

两个计数原理 分类加法计数原理 条 件 续 表 分类加法计数原理 结 论 完成这件事共有 N=m+n 种不同的 方法 分步乘法计数原理 完成这件事共有 N=mn 种不同的方 法 完成一件事有两类方案.在第 1 类 方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤.做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法

1.辨明两个易误点 (1)切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行. (2)分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即 合理分类,准确分步. 2.两个计数原理应用的步骤 第一步,由于计数问题一般是解决实际问题,故首先要审清题意,弄清完成的事件是怎 样的; 第二步,分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类四类中的哪 一种; 第三步,弄清在每一类或每一步中的方法种数; 第四步,根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.

1.从 3 名女同学 2 名男同学中选一人,主持本班的“感恩老师,感恩父母”主题班会, 则不同的选法种数为( ) A.6 B.5 C.3 D.2 答案:B 2.一个袋子里放有 6 个球,另一个袋子里放有 8 个球,每个球各不相同,从两个袋子 里各取一个球,不同取法的种数为( ) A.182 B.14 C.48 D.91 答案:C 3.所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有( ) A.45 个 B.36 个 C.30 个 D.50 个 解析:选 B.个位数字为 2 的有 1 个,个位数字为 3 的有 2 个,?,个位数字为 9 的有 8 8(1+8) 个,由分类加法计数原理知,共 1+2+3+4+?+8= =36(个). 2 4.(选修 23 P10 练习 T1 改编)乘积(a+b+c)(d+e+f+h)· (i+j+k+l+m)展开后共有 ________项. 解析:3×4×5=60. 答案:60 5.书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书,第 2 层放有 5 本不同的数学书,第 3 层放有 6 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书,不同的取法数为________,从第 1,2,3 层分别 各取 1 本书,不同的取法数为________. 解析:由分类加法计数原理知,从书架上任取 1 本书,不同的取法总数为 4+5+6=15. 由分步乘法计数原理知,从 1,2,3 层分别各取 1 本书,不同的取法总数为 4×5×6=120. 答案:15 120

考点一 分类加法计数原理[学生用书 P181] (2016· 深圳调研考试)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”),则首位为 2 的“六合数”共有( ) A.18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个 [解析] 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4、0、0 组成 3 个 数分别为 400、040、004;由 3、1、0 组成 6 个数分别为 310、301、130、103、013、031; 由 2、2、0 组成 3 个数分别为 220、202、022;由 2、1、1 组成 3 个数分别为 211、121、112.

共计:3+6+3+3=15(个). [答案] B

分类加法计数原理的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类; (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不 同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理. x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3, m n 4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________. 解析:因为焦点在 x 轴上,所以 m>n,以 m 的值为标准分类,分为四类:第一类:m =5 时,使 m>n,n 有 4 种选择;第二类:m=4 时,使 m>n,n 有 3 种选择;第三类:m =3 时,使 m>n,n 有 2 种选择;第四类:m=2 时,使 m>n,n 有 1 种选择.由分类加法 计数原理,符合条件的椭圆共有 10 个. 答案:10

考点二 分步乘法计数原理[学生用书 P181] (1)从-1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)=ax2+bx+c 的 系数,则可组成________个不同的二次函数,其中偶函数有________个(用数字作答). (2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有 ________种不同的报名方法. [解析] (1)一个二次函数对应着 a,b,c(a≠0)的一组取值,a 的取法有 3 种,b 的取法 有 3 种,c 的取法有 2 种,由分步乘法计数原理知共有二次函数 3×3×2=18 个.若二次函 数为偶函数,则 b=0,同上可知偶函数共有 3×2=6 个. (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法, 第二个项目有 5 种选法,第三个项目有 4 种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名 方法共有 6×5×4=120(种). [答案] (1)18 6 (2)120 本例(2)中将条件“每项限报一人, 且每人至多参加一项”改为“每人恰 好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法? 解:每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有 3 种不同的报名方法,根据分步乘 法计数原理,可得不同的报名方法共有 36=729 种. 利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤,且每步都是 独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步

骤都完成了,整个事件才算完成,这是分步的基础,也是关键.从计数上来看,各步的方法 数的积就是完成事件的方法总数. 2.已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面 上的点,则 (1)P 可表示平面上________个不同的点; (2)P 可表示平面上________个第二象限的点. 解析:(1)确定平面上的点 P(a,b)可分两步完成: 第一步确定 a 的值,共有 6 种确定方法; 第二步确定 b 的值,也有 6 种确定方法. 根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是 6×6=36. (2)确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定 a,由于 a<0,所以有 3 种确定方法; 第二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是 3×2=6. 答案:(1)36 (2)6 考点三 两个计数原理的综合应用(高频考点)[学生用书 P182] 两个计数原理在高考中一般是结合在一起出题, 经常是先分类再分步, 以选择题或填空 题的形式出现. 高考对两个计数原理的考查主要有以下三个命题角度: (1)与数字有关的问题; (2)涂色问题; (3)方程解的个数问题. (1)(经典考题)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个 数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 (2)(2016· 大同质检)如图所示,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A,B,C,D 中,要 求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )

A.72 种 C.24 种

B.48 种 D.12 种

扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [解析] (1)由分步乘法计数原理知:用 0,1,?,9 十个数字组成三位数(可有重复数

字)的个数为 9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8=648,则组成 有重复数字的三位数的个数为 900-648=252. (2)法一:首先涂 A 有 4 种涂法,则涂 B 有 3 种涂法,C 与 A,B 相邻,则 C 有 2 种涂 法,D 只与 C 相邻,则 D 有 3 种涂法,所以共有 4×3×2×3=72 种涂法. 法二:按要求涂色至少需要 3 种颜色,故分两类:一是 4 种颜色都用,这时 A 有 4 种 涂法,B 有 3 种涂法,C 有 2 种涂法,D 有 1 种涂法,共有 4×3×2×1=24(种)涂法;二是 用 3 种颜色,这时 A,B,C 的涂法有 4×3×2=24(种),D 只要不与 C 同色即可,故 D 有 2 种涂法,所以不同的涂法共有 24+24×2=72(种). [答案] (1)B (2)A 与两个计数原理有关问题的解题策略 (1)与数字有关的问题:可分类解决,每类中又可分步完成;也可以直接分步解决; (2)涂色问题:可按颜色的种类分类完成;也可以按不同的区域分步完成.

3.(1)(2016· 浙江省名校联考)如果正整数 a 的各位数字之和等于 6, 那么称 a 为“好数”(如:6,24,2 013 等均为“好数”),将所有“好数”从小到大排成一列 a1,a2, a3,?,若 an=2 013,则 n=( ) A.50 B.51 C.52 D.53 (2)(2016· 河北省高阳中学月考)已知 ax2-b=0 是关于 x 的一元二次方程,其中 a,b∈ {1,2,3,4},则解集不同的一元二次方程的个数为________. 解析:(1)本题可以把数归为“四位数”(含 0 006 等),因此比 2 013 小的“好数”为 0×××,1×××,2 004,共三类数,其中第一类可分为:00××,01××,?,0 600, 共 7 类,共有 7+6+?+2+1=28(个)数;第二类可分为 10××,11××,?,1 500,共 6 类,共有 6+5+4+3+2+1=21(个)数,故 2 013 为第 51 个数,故 n=51. (2)从集合{1,2,3,4}中任意取两个不同元素作为 a,b,方程有 A2 4个;当 a,b 取同 2 一个数时方程有 1 个,共有 A4+1=13 个方程.题设中:“求解集不同的一元二次方程的
? ? ?a=1, ? ?a=2, ?a=2, ? 个数”, 所以在上述解法中要去掉同种情况, 由于? 和? 时方程同解, 和 ?b=2 ?b=4 ?b=1 ? ? ? ?a=4, ? ? 时方程同解,故要减去 2 个,所求的方程个数为 13-2=11. ? ?b=2

答案:(1)B (2)11

1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中 虚数的个数是( ) A.30 B.42 C.36 D.35

解析:选 C.因为 a+bi 为虚数,所以 b≠0,即 b 有 6 种取法,a 有 6 种取法,由分步乘 法计数原理知可以组成 6×6=36 个虚数. 2.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中 奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 解析:选 B.三位数可分成两种情况:(1)奇偶奇;(2)偶奇奇.对于(1),个位(3 种选择), 十位(2 种选择),百位(2 种选择),共 12 种;对于(2),个位(3 种选择),十位(2 种选择),百 位(1 种选择),共 6 种,即 12+6=18.故选 B. 3.(2016· 兰州诊断考试)从 6 名男医生、5 名女医生中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 2 解析:选 C.从 6 名男医生中选出 2 名有 C6 =15 种不同的选法,从 5 名女医生中选出 1 1 名有 C5=5 种不同的选法,根据分步乘法计数原理可得,组成的医疗小组共有 15×5=75 种不同的选法,故选 C. 4.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在 一个长方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数 是( ) A.60 B.48 C.36 D.24 解析:选 B.长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36(个),另含 4 个顶点 的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6×2=12(个),共 36+12=48(个). 5.

(2016· 南充模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从 P 点处进,Q 点处出,沿 图中线路游览 A,B,C 三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点 O 外)的不同游览线路有 ( ) A.6 种 B.8 种 C.12 种 D.48 种 解析:选 D.从 P 点处进入结点 O 以后,游览每一个景点所走环形路线都有 2 个入口(或 2 个出口),若先游览完 A 景点,再进入另外两个景点,最后从 Q 点处出有(4+4)×2=16 种 不同的方法;同理,若先游览 B 景点,有 16 种不同的方法;若先游览 C 景点,有 16 种不 同的方法,因而所求的不同游览线路有 3×16=48(种). 6.(经典考题)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的 有序数对(a,b)的个数为( ) A.14 B.13 C.12 D.10 解析:选 B.若 a=0,则 b=-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有 4 个;

若 a≠0,则方程 ax2+2x+b=0 有实根,需 Δ=4-4ab≥0,所以 ab≤1, 此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1, -1),(2,-1),(2,0),共 9 个. 所以(a,b)的个数为 4+9=13. 7.某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有 4 趟,轮船有 3 次,则此人的走法可有________种. 解析:因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有 4 种,坐轮船的走法有 3 种,每一种方 法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有 4+3=7(种). 答案:7 8.从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其 中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种(用数字作答). 解析:第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的 3 人中选 1 人当 文娱委员,有 3 种选法. 第二步,从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有 4 种选法,再选体育委员有 3 种选法.由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有 3×4×3= 36(种). 答案:36 9.(2016· 沈阳模拟)三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数是________. 解析:另两边长用 x,y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须 x+y≥12. 当 y 取 11 时,x 可取 1,2,3,?,11,有 11 个三角形;当 y 取 10 时,x 可取 2,3,?, 10,有 9 个三角形;?;当 y 取 6 时,x 只能取 6,只有 1 个三角形. 所以所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36. 答案:36 10.(2016· 杭州质检)用 1,2,3,4,5 组成不含重复数字的五位数,数字 2 不出现在首 位和末位,数字 1,3,5 中有且仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是 ________.(注:用数字作答) 解析:根据题意,可以分为两步:第一步将 1,3,5 分为两组且同一组的两个数排序, 共有 6 种方法;第二步,将第一步的两组看成两个元素,与 2,4 排列,其中 2 不在两边且 第一步两组(记为 a,b)之间必有元素,即 4,a,2,b;a,2,4,b;a,4,2,b;a,2,b, 4,其中 a,b 可以互换位置,所以共有 8 种,根据分步乘法计数原理知,满足题意的五位数 共有 6×8=48(个). 答案:48 11.有一项活动需在 3 名老师,6 名男同学和 8 名女同学中选人参加, (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同选法? (3)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法? 解:(1)只需一人参加,可按老师、男同学、女同学分三类各自有 3、6、8 种方法,总 方法数为 3+6+8=17(种). (2)分两步,先选老师共 3 种选法,再选学生共 6+8=14 种选法,由分步乘法计数原理 知,总方法数为 3×14=42(种). (3)老师、男、女同学各一人可分三步,每步方法依次为 3,6,8 种,由分步乘法计数 原理知方法数为 3×6×8=144(种). 12.由数字 1,2,3,4, (1)可组成多少个三位数?

(2)可组成多少个没有重复数字的三位数? (3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个 位数字? 解:(1)百位数共有 4 种排法;十位数共有 4 种排法;个位数共有 4 种排法,根据分步 乘法计数原理知共可组成 43=64 个三位数. (2)百位上共有 4 种排法;十位上共有 3 种排法;个位上共有 2 种排法,由分步乘法计 数原理知共可排成没有重复数字的三位数 4×3×2=24(个). (3)排出的三位数分别是 432、431、421、321,共 4 个.


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