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高三第一轮复习-(七) 等差和等比数列


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09 年高考第一轮总复习

一.等差和等比数列
授课人:张胜利

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一.巩固双基
1.等差数列 (1)定义:an+1-an=d(常数 d 为公差);推广:an=am+(n-m)d (2)通项公式:an=a1+(n-1)d; 前 n

项和公式:Sn= (3)等差数列{an}的一些性质:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 对于任意正整数 n>1,有 2an=an-1+an+1 对于任意正整数 p、q、r、s,如果 p+q=r+s,则有 ap+aq=ar+as {a2n},{a2n-1},{a3n},{a3n-1},{a3n-2}等都是等差数列 S3m=3(S2m-Sm) 若 Sn=Sm(m≠n),则 Sm+n=0 若 Sp=q,Sq=p,则 Sp+q=-(p+q)(p≠q) Sn=an2+bn,反之亦成立
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) =na1+ d 2 2

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2. 等比数列 (1)定义:
a n ?1 =q(常数 q 为公比) ;推广:an=am·qn-m an
?na1 Sn= ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(2)通项公式:an=a1q ;前 n 项和公式

n-1

q ?1 q ?1

(3)等比数列{an}的一些性质: 1) 对任意正整数 n>1,有 an2=an-1·an+1 2) 对于任意正整数 p、q、r、s,只要满足 p+q=r+s,则 ap·aq=ar·as 3) {a2n},{a2n-1},{a3n-1},{a3n-2},{a3n}等都是等比数列 4) 已知{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列 5) 如果 an>0,则{logaan}是等差数列;反之 logaan 成等比数列,则 an 成等比 数列

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1 例 1. (1 ) “公差为 0 的等差数列是等比数列” ; “公比为 的等比数列一定是递减 2

数列” ; “a、b、c 三数成等比数列的充要条件是 b2=ac” ; “a、b、c 三数成等差数列 的充要条件是 2b=a+c” ,以上四个命题中,正确的有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

(3)设{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 A.1 B.2 C.4 D.6

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解答: (1)A; (2)B

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例 2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比
数列并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的 和是 12,求这四个数。

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? (a ? d )2 ?d ? 4 ?d ? ?6 ? 16 (a ? d ) 2 ?a ? d ?  解得 ? 或? 解 1:设四个数依次为 a-d,a,a+d, ;由条件有 ? a a ?a ? 4 ?a ? 9 ?a ? a ? d ? 12 ?

∴当 a=4,d=4 时,所求四个数为 0,4,8,16;当 a=9,d=-6 时,所求四个数 15,9,3,1
? 2a 1 ? ? q ? a ? aq ? 16 ?q ? 2 ?q ? 2a a ?   解得 ? 或? 解 2:设四个数依次为 -a, ,a,aq(a≠0);由条件有 ? 3 q q ?a ? 8 ?a ? 3 ? a ? a ? 12 ? ? ?q

1 ∴当 q=2,a=8 时,所求四个数为 0,4,8,16;当 q= ,a=3 时,所求四个数为 15,9,3,1 3
?2 y ? x ? (12 ? y ) ? x ? 0 ? x ? 15    解得? 或? 解 3:设四个数依次为 x,y,12-y,16-x;由条件有 ? 2 ?y ? 4 ?y ? 9 ?(12 ? y ) ? y ? (16 ? x)

故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1

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例 3.数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N*都有 an>0,且
(n+1)an2+an·an+1-nan+12=0,求 an 及其前 n 项和 Sn

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an ?1 n ? 1 解:可解得 a ? n ,从而 an=2n,有 Sn=n2+n, n

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例 4.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn;

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解:(1)由 an+2=2an+1-an ? an+2-an+1=an+1-an 可知{an}成等差数列, ? d=
a4 ? a1 =-2,∴an=10-2n. 4 ?1

(2)由 an=10-2n≥0 可得 n≤5,当 n≤5 时,Sn=-n2+9n,当 n>5 时,
? ? n 2 ? 9n ? Sn=n2-9n+40,故 Sn= ? 2 ? ?n ? 9n ? 40 1? n ? 5 n?5

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练习 1. (1)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,
则公比 q 为( A.2 ) B.3 C.4 D.8

( 2) 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 ,
S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? (

A.63

B.45

) C.36

D.27

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答案: (1)A (2)B

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练习 2. 已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中
a k1 ,a k 2

, ?,a k 恰为等比数列, 若 k1=1, k2=5, k3=17,
n

求 k1+k2+?+kn。

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解:∵

a1,a5,a17 成等比数列
2

∴ a5 =a1a17

2

∴(a1+4d) =a1(a1+16d)

∴ a1=2d
a a n ? 4d ?3 a1

5 设等比数列公比为 q,则 q ? a ? 1

对 a k 项来说,
n

在等差数列中: a k n ? a 1 ? (k n ? 1)d ?

kn ?1 a1 2

n ?1 n ?1 在等比数列中: a k n ? a 1q ? a 1 3

n ?1 ∴ kn ? 2 ? 3 ?1

0 1 n ?1 n ?1 ∴ k1 ? k 2 ? ? k n ? (2 ? 3 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1) ? ? ? (2 ? 3 ? 1) ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3 ) ? n

? 3n ? n ? 1

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3.数列的前 n 项和 Sn
n ?1 ?S1 a ? ? ( 1) n ?S n ? S n ?1 n ? 2
(2)数列求和 倒序相加法——数列项之和有一定的对称性。 错位相减法——由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成的数列。 并项求和法——把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。 裂 项 求 和 法 — — an=f(n+1)-f(n) , 然 后 累 加 时 抵 消 中 间 的 许 多 项 ; 如 :
1 1 1 = ,n·n!=(n+1)!-n!, n( n ? 1) n n ? 1 n 1 1 = 等。 ( n ? 1)! n! ( n ? 1)!

公式法求和——12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1);13+23+?+n3= n2(n+1)2

1 6

1 4

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例 5.设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等
比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21, a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;
? an ? (Ⅱ)求数列 ? bn ? 的前 ? ?

n 项和 S n .

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解: (Ⅰ)设 ?a ? 的公差为 d , ?b ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且
n
n

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? ? 解得 d ? 2 , q ? 2 . 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

所以 an ? 2n ? 1, bn ? q n?1 ? 2n?1 . (Ⅱ) a
n

bn

?

2n ? 1 3 2n ? 1 . Sn ? 1 ? 31 ? 52 ? ? ? 2nn? ? n ?1 ,① n ?1 ?2 2 2 2 2 2

5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ?2 ,② 2 2 2 1 ②-①得 Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n2?2 ? 2nn? , ?1 2 2 2 2

1 ? n ?1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 1 ? 6 ? 2n ? 3 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2nn? . 1 2 ? 2 2n ?1 2 ?1 ? 2 2 1? 2

1

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例 6. 求和:1+
1 + 1 + 1? 2 1? 2 ? 3

?+

1 =__________ 1? 2 ? 3 ??? n

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答案:裂项, n ? 1

2n

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二.训练提升

例 7. 设{an}是公差为 1 的等差数列, 若 a1+a2+a3+…+a30=600,
则 a3+a6+a9+…+a30= .

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答案:210

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例 8.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所
有的自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式.

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解:(1)

由题意有

an ? 2 ? 2Sn ,可解得前 3 项为 2,6,10. 2

(2)解法一:由已知得,Sn= 1 (an+2)2,Sn+1= 1 (an+1+2)2,∴an+1=Sn+1-Sn= 1 8 8 8
[(an+1+2)2-(an+2)2] , (an+1+an)(an+1-an-4)=0,∴an+1-an=4,故 an=4n-2. 解法二:由已知得 2
2
S n?1

an?1 ? 2 ? 2S n?1 2

,得

S n?1 ? S n ? 2 ? 2S n?1 2

, 整 理 得 Sn+1 -

+2-Sn=0,解得
?2, (n ? 1)

S n?1 ? 2 ? S n

,所以

Sn

=

2 n,Sn=2n

2



故 an= ?S ? S ? 4n ? 2, (n ? 2) ,即 an=4n-2 . n ?1 ? n

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练习 3.

一个含有 7 项的数列,它的奇数位置的项顺次成等

差数列,偶数位置的项顺次成等比数列,所有奇数位置的项之和 减去第 2 项与第 6 项之积所得的差是 42,又首项、末项、中间项 之和为 27,求第 4 项。

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解:设这 7 个数为:a1、a2、a3、?、a7,则 a1 、a3、a5、
a7 成等差数列,a2、a4、a6 成等比数列,依题意有:
?a1 ? a3 ? a5 ? a 7 ? a 2 a 6 ? 42 ? ?a1 ? a 4 ? a 7 ? 27

① ②

解①、②得:a4=-4 或 a4=2。

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例 9.已知 an= n

2

n (n∈N),求数列{an}的最大项。 ? 156

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答案:由单调性,最大项为 a12= a13=

1 。 25

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例 10.已知 a>0 且 a≠1,数列{an}是首项、公比都为 a 的等
比数列,令 bn=anlgan(n∈N)。 (1)当 a=2 时,求数列{bn}的前 n 项之和; (2)当 a= 6 时,数列{bn}中从第几项开始每一项总小于它后面
7

的项。

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解: (1)依题有 an=an,∴bn=nanlga。
∴Sn=(1+2a+3a2+?+nan-1)·alga, 可求得 Sn= (1 ? a ) 2 [1-(1+n-na)·an] 当 a=2 时,Sn=2[1+(n-1)·2n]lg2。 (2)令 bk+1>bk,(k∈N) ,则 bk+1-bk=(k+1)· ( 6 )k-1·lg 6 -k·( 6 )k·lg 6 =( 6 )k·( 6 - 1 k)·lg 6 ,
7 7 7 7 7 7 7 7

a lg a

∵( 6 )k>0,lg 6 <0,而 bk+1>bk,∴ 6 - 1 k<0。∴k>6,故从第
7 7 7 7

七项开始第一项总比它后面项小。

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高考数学三轮复习法——
第一轮总复习:章节复习
指导思想:依纲靠本,归纳总结 战略方针:归纳总结,学会练熟 具体措施:分章节,归纳总结; 抓中下,勤练双基。


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哈三中高三数学第一轮复习等比数列

a n ? bn A.等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 B.等比数列 D.既非等差又非等比数列 ? ? 2 ? 1? 是 ? ( ? ) 7.设{an}是有正数组成的等比数列...

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