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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(94)


加试模拟训练题(94) 1.设 H 为Δ ABC 的垂心,P 为Δ ABC 的外接圆上一点,则从点 P 引出的三角形的西姆 松线平分 PH. 分析: 考虑能否用中位线性质证明本题: 找到一条平行于 Simson 线的线段,从 PX∥AH 入手.连 PE,得∠1=∠2,但∠2=∠3,再由 四点共圆得∠3=∠4,于是得∠6=∠7.可证平行. Y 证明 连 AH 并延长交⊙O 于点 E

,则 DE=DH,连 PE 交 BC 于 P A 点 F,交 XY 于点 K,连 FH、PB. M 1 ∵ PX∥AE,∴ ∠1=∠2,又∠2=∠3, Z ∵ P、Z、X、B 四点共圆, H K ∴∠3=∠4,∴ ∠1=∠4. 5 3 4 ∴ K 为 PF 中点. 6 7 B ∵ DE=DH,BD⊥EH,∴ ∠2=∠5. C X F D 2 ∴ FH∥XY. ∴ XY 平分 PH. E 又证:延长高 CF,交圆于 N,则 F 是 HN 的中点,若 K 为 PH 中点,则应有 FK∥PN.再证明 K 在 ZX 上.即证明∠KZF=∠XZB. N Y 设过 P 作三边的垂线交 BC、CA、AB 于点 X、Y、Z.连 KZ、KF、 P ZX,延长 CF 交⊙O 于点 N,连 PN. A 由 PZ⊥AB,CF⊥AB,K 为 PH 中点知,KZ=KF. F K ∴ ?KZF=?KFZ. Z 易证 HF=FN,故 KF∥PN.∴ ?PNC=?KFH. O H 但?PNC+?PBC=180?, B X ∴ ?KFZ+?ZFH+?PBC=180?. C 即?KFZ+?PBC=90?. 又 PX⊥BC,PZ⊥BZ?P、Z、X、B 共圆. ∴ ?XZB=?XPB,而?XPB+?PBC=90?. ∴ ?KZF=?KFZ=?XZB. ∴ ZK 与 ZX 共线. 即点 K 在⊿ABC 的与点 P 对应的 Simson line 上.) 2. 设正实数 a>1,自然数 n≥2,且方程[ax]=x 恰有 n 个不同的解.试求 a 的取值 范围.([x]表示不超过 x 的最大整数) 【题说】1992 年四川省赛决赛题 3. 【解】由题设可知,x 必为整数. 在 x<0 时,[ax]<ax<x.所以 x≥0 令{a}=a-[a],则原方程变为 x=[ax]=[a]x+[{a}x] 因为[a]≥1,所以(1)式成立的充分必要条件是 (1) [a]=1 且{a}x<1 又因 x=0 显然满足方程, (2) 3. 平面上 任给 五个 相异的 点, 它们 之间 的最 大距 离与 最小 距离 之比 记为 λ 求 证 λ ≥ 2sin54°,并讨论等号成立的充要条件. 【题说】 1985 年全国联赛二试题 4. 【解】 设已给五点 A、B、C、D、E 的凸包为 M. 1.M 是凸五边形 ABCDE. 因为凸五边形内角之和为 540°,所以至少有一内角≥108°,不妨设∠BAC≥108°.又设 △ABC 中∠C≤∠B,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.则 2.M 为三角形或凸四边形,这时必有一已知点,设为 E 在△ABC 内部.连 EA、EB、EC,则 ∠AEB、∠BEC、∠CEA 中,至少有一个不小于 120°,由情况 1 的证法可得λ ≥2sin60°> 2sin54°,命题成立. 3.M 为线段 AB,此时显然有λ ≥2>2sin54°. 由上面的证明可以知道,当且仅当已知点组成凸五边形 ABCDE,每个角都等于 108°,并且 每两条邻边均相等时,λ =2sin54°,即λ =2sin54°的充要

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