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3高中数学(必修5)数列的概念与通项公式


数列的概念与通项公式

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知识体系

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1.了解数列的概念和几种简单的表 示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一 类函数. 3.会用观察法、递推法等求数列的 通项公式.

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1.以下关于数列的叙述: ①数列是以正整数集为定义域的函数; ②数列都有通项,且是惟一的; ③数列只能用通项公式的方法来表示; ④既不是递增也不是递减的数列,则为常数列; ⑤数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列; ⑥对所有的n∈N*,都有an+3=an,则数列{an} 是以3为周期的周期数列. 其中正确的结论有( )
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本题是考查数列及相关概念的题, 在解题过程中,每一个叙述都有可能判断错 误,故需一一给予剖析:命题①,数列可以 看作是一个定义域为正整数集 N + (或它的 有限子集 {1 , 2 , 3 , … , n }) 的函数;命题 ②,不是每一个数列都有通项,有的数列不 存在通项;另外,有通项公式的数列,通项 公式也不一定惟一;命题③,数列除了用通 项公式表示外还可以用列表法和图象法表示; 命题④,数列存在递增数列、递减数列、常 数数列,还有摆动数列;命题⑤,数列是有 序的;⑥正确. qq:361850914 5
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2.数列-1,7,-13,19,…的一个通项公式 n(6n-5) (-1) 是 a n= . 符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示, 其各项的绝对值的排列规律为:后面的 数的绝对值总比它前面数的绝对值大 6 , 故通项公式为an=(-1)n(6n-5).

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3.如果数列{an}的前n项的和Sn=n2,那么 这个数列的通项公式是 an=2n-1 . a1=S1=1,所以a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.

经检验,a1符合上式,所以an=2n-1.

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an 4.在数列{an}中,若an+1= ,a1=1, 2 an ? 1 1

则a6=

1 1 1 5 a 3= = ,a4= = , 2 2 5 7 ?1 ?1 3 5 1 1 1 1 7 9 a 5= = ,a6= = . 2 2 9 ?1 ? 1 11 qq:361850914 7 9

1 3

a1 an 1 因为an+1= a2= 2 a ? 1 = , ? 2 an ? 1 3 1

11

.

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5.已知数列{an}(n∈N*)满足 an+1= (an<t),

an-t (an≥t) t+2-an

且t<a1<t+1,其中t>2,若an+k=an(k∈N*),则实 数k的最小值是 . 因为t<a1<t+1,所以a2=a1-t<1<t,

故a3=t+2-a2=2t+2-a1>t,
a4=a3-t=t+2-a1<t,a5=t+2-a4=a1,

所以最小正周期为4,故k的最小值为4.
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1.数列的概念

(1)数列是按一定① 顺序 排列的一列 数,记作a1,a2,a3,…,an,…,简记{an}. (2)数列{an}的第n项an与项数n的关系 若能用一个公式 a n = f ( n ) 给出,则这个公 式叫做这个数列的② 通项公式 .
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(3)数列可以看做定义域为N*(或其子 集)的函数,当自变量由小到大依次取 值时,对应的一列函数值,它的图象是 一群③ 孤立的点 . 2.数列的表示方法 数列的表示方法有:列举法、图示 法、解析法(用通项公式表示)和递推 法(用递推关系表示).
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3.数列分类 ( 1 ) 按 照 数 列 的 项 数 分 ④ 有穷数列 、 无穷数列 . (2)按照任何一项的绝对值是否超过某 一正常数分:⑤ 有界数列 、 无界数列 . (3)从函数单调性角度考虑分:递增数 列、⑥ 递减数列、常数列、⑦ 摆动数列 . 4.数列通项an与前n项和Sn的关系 (1)Sn=a1+a2+a3+…+an; S1(n=1) (2)an=⑧ . Sn-Sn-1(n≥2)

典例精讲
题型一 观察法写数列的通项公式 例1 求下列数列的一个通项公式:
(1)1,-1,1,-1,…;

(2)3,5,9,17,33,…; 1 25 9 (3) 2 ,2, ,8, ,…; 2 2 (4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….
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(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π. (2)an=2n+1. 2 n (3)an= . 2 n? (4)an=sin . 2

点评 已知数列的前 n 项,写出数列的通
项公式,主要从以下几个方面来考虑: (1)符号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来 调节,这是因为n和n+1奇偶交错.
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(2) 分式形式的数列,分子找通项, 分母找通项,要充分借助分子、分母的 关系. (3) 对于比较复杂的通项公式,要借 助等差数列、等比数列(后面将学到) 和其他方法来解决.

(4) 此类问题虽无固定模式,但也有 其规律可循,主要靠观察(观察规律)、 比较(比较已知的数列)、归纳、转化 (转化为等差或等比数列)等方法.
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题型二 利用数列前n项和公式求通项 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,分
别求其通项公式. (1)Sn=3n-2;
1 (2)Sn= (an+2)2(an>0). 8
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(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2) =2· 3n-1. 由于a1=1不适合上式,因此数列{an}的通 项公式为 a n= 1 2· 3n-1 (n=1) (n∈N*,且n≥2).
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1 (2)当n=1时,a1=S1= (a1+2)2,解得a1=2. 8 1 1 2 当n≥2时,Sn=Sn-Sn-1= (an+2) - (an-1+2)2, 8 8

所以(an-2)2-(an-1+2)2=0,

所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0,
又an>0,所以an-an-1=4,

可知{an}为等差数列,公差为4,
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)· 4=4n-2,

a1=2也适合上式,故an=4n-2.
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点评

Sn-Sn-1 (n≥2)求 数列的通项,特别要注意验证 a 1 的值是 否满足“ n ≥ 2 ”的通项公式;同时认清 “ a n +1 - a n = d (常数) ( n ≥ 2) ”与“ a n - a n 1=d(d为常数,n≥2)”的细微差别.

本例的关键是应用an=

S1

(n=1)

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题型三 利用递推公式求数列的通项
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式:
(1)a1=2,an+1=an+n;
(2)a1=1,an-1=2n-1an. ( 1 )将递推关系写成 n -1 个等式累 分析 加,即“累加法”.

(2)将递推关系写成n-1个等式相乘,即 “累积法”或用逐项迭代法 . qq:361850914
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(1)(方法一)an+1=an+n,

所以a2=a1+1,a3=a2+2,a4=a3+3,…,
an=an-1+(n-1),

所以a2+a3+…+an
=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)],
n2 ? n ? 4 (n ? 1)n 所以an= +2= . 2 2
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(方法二)因为an+1-an=n,

所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…
+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=(n-1)+(n-2)+…+1+2
(n ? 1)n = +2 2 n2 ? n ? 4 = . 2
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an ?1 (2)(方法一)因为an= n ?1 , 2 an ?1 a1 a3 a2 所a2= 1 ,a3= 2 ,a4= 3 ,…,an= n ?1 , 2 2 2 2 an ?1 a1 a2 相乘得a2· a3·…·an= 1 · 2 ·…· n ?1 2 2 2 n ( n ?1) a1 ? ? an= 1?2????( n?1) = 2 2 .
2 an 1 (方法二)因为 = n ?1 , an ?1 2 an an ?1 a3 a2 所以an= · ·…· · · a1 an ?1 an ? 2 a2 a1 n ( n ?1) 1 1 1 1 ? = n ?1 · n ? 2 ·…· 2 × 1 ×1= 2 2 . 2 2 2 2 qq:361850914

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点评 已知数列的递推关系,求数
列的通项公式的方法大致分为两类: 一是根据前几项的特点归纳猜想出 a n 的通项公式,然后用数学归纳法 证明;二是将已知递推关系整理, 变形为可用“累加法”“累乘法” 或新的等差数列、等比数列等,再 求其通项.
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方法提炼
数列通项公式的求法:

①观察分析法;
②公式法:an= S1 (n=1)

Sn-Sn-1

(n≥2);

③转化成等差、等比数列;

④迭加、累乘法.
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课后再做好复习巩固.
谢谢!

再见!
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· 2007·

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