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选修4-1 几何证明选讲

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第二节 直线与圆的位置关系

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考纲解读 1.会证明并应用圆周角定理,圆的切线判定定理与性质定理 . 2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定 理、切割线定理. 3.了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系了解平行投 影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆?特殊情形是圆

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考情剖析 本节内容在高考题中主要以圆的切割线定理为主,考查圆的切割 线定理的应用,以圆与三角形相结合,考查圆与三角形的性质即运算 能力,以及圆周角定理、圆的切线判定定理与性质、圆的内接四边形 的性质.题型有选择题、填空题和解答题,难度不大.

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1.圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

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2.圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1:同弧或等弧所对的 圆周角 相等;同圆或等圆 中,相等的圆周角所对的 弧 也相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90° 的圆周 角所对的弦是直径 .

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3.圆内接四边形的性质与判定 (1)性质定理1:圆的内接四边形的对角 互补. (2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (3)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边 形的四个顶点 共圆 . (4)判定定理的推论:如果四边形的一个外角等于它的内角 的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.

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4.圆的切线的性质与判定 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的 半径 . (2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . (3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心. (4)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.

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5.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

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6.与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理

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圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的

积相等 .如上图,弦AB与CD相交于P点, PD . 则PA· PB= PC·

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(2)割线定理 ①文字叙述 从圆外一点引圆的两条 割线 ,这一点到每条割线与圆 的 交点 的 两条线段长 的积相等.

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②图形表示

PA· PB=PC· PD . 如图,⊙O的割线PAB与PCD,则有:

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(3)切割线定理 ①文字叙述 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长 是这点到割线 与圆交点的两条线段长 的比例中项.

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②图形表示

如图,⊙O的切线PA,切点为A,割线PBC,则有

PA2=PB· PC .

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(4)切线长定理

切线长相等,圆心 从圆外一点引圆的两条切线,它们的
和这一点的连线平分两条切线的 夹角.

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1.如下图,在⊙O 中,弦 AB 的长等于半径,∠DAE =80° ,则∠ACD=( )

A.30° C.50°

B.45° D.60°
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解析:∵四边形 ABCD 内接于圆 O, ∴∠DAE=∠BCD=80° , ∵弦 AB 的长等于半径, ∴弦 AB 所对圆心角为 60° , 1 ∴∠ACB=2×60° =30° , ∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80° -30° =50° .
答案:C

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2.如图所示,AB、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别 为 B、 C, D 是优弧 =________. 上的点, 已知∠BAC=80° , 那么∠BDC

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解析: 连接 OB、 OC, 则 OB⊥AB, OC⊥AC, ∴∠BOC 1 =180° -∠BAC=100° ,∴∠BDC=2∠BOC=50° .
答案:50°

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3.如图所示,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 A、B 在 圆 O 上 , BC = 1 , ∠BCD = 30° ,则 圆 O 的 面积为 __________.

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解析: 连接 OC , OB ,依题意得 ∠COB = 2∠CAB = 2∠BCD=60° ,又 OB=OC,因此△BOC 是等边三角形, OB=OC=BC=1,即圆 O 的半径为 1, 所以圆 O 的面积为 π×12=π.
答案:π

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4.如图所示,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F, E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= 2, 4:2:1.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为________. =

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解析:设 BE=x,则 FB=2x,AF=4x,由相交弦定理 1 得 DF· FC=AF· FB,即 2=8x ,解得 x=2,再由切割线定理
2

1 7 7 7 得 CE =EB· EA= × = ,所以 CE= . 2 2 4 2
2

7 答案: 2

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5.如图所示,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是弦 AC 上的点,∠PBA =∠DBA. 若 AD = m , AC = n ,则 AB = ________.

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解析:∵PB 切⊙O 于点 B,∴∠PBA=∠ACB. 又∠PBA=∠DBA,∴∠DBA=∠ACB, 又∵∠BAD=∠BAD,∴△ABD∽△ACB. AB AD ∴AC=AB , ∴AB2=AD· AC=mn,∴AB= mn.
答案: mn

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圆周角与弦切角的性质

【例 1】

如下图,已知圆上的弧

,过 C 点

的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点.

求证:(1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD.
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【解析】

(1)因为

,所以∠BCD=∠ABC.又

因为 EC 与圆相切于点 C ,根据弦切角定理知 ∠ACE = ∠ABC,所以∠ACE=∠BCD.

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弦切角定理的应用 弦切角定理经常作为工具,进行三角形相似的证明, 然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系,在圆 中证明比例式或等积式,常常需要借助于三角形相似处理 .

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如图,已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C, ∠CAB=28° .

(1)求∠ACM的度数; (2)在MN上是否存在一点D,使AB· CD=AC· BC?为什 么?
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解:(1)∵AB是直径,∴∠ACB=90° , 又∵∠CAB=28° ,∴∠CBA=62° . ∵MN是切线,C为切点,∴∠ACM=62° . (2)在MN上存在符合条件的点D. 证明如下: 过点A作AD⊥MN,垂足为D,如图,在Rt△ABC和 Rt△ACD中,

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∵MN切半圆于点C,∴∠ABC=∠ACD. ∴△ABC∽△ACD. AB BC ∴AC=CD.∴AB· CD=AC· BC. 同理,过B点向MN作垂线,垂足D′同样符合条件.
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圆的切线的判定与性质

【例2】

如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与

⊙O相切于点C,AC平分∠DAB,AD⊥CD.

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(1)求证:OC∥AD; (2)若AD=2,AC= 5,求AB的长. 观察图形可知,点C是切点,CD是圆的切 线,而OC是圆的半径,所以OC⊥CD,可得OC∥AD.又 因为AC平分∠DAB,得到∠DAC=∠CAB,可以得到 △ADC∽△ACB,利用相似三角形的性质,计算出结 果.

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【解析】

(1)证明:如图,连接BC,

∵CD为⊙O的切线. ∴OC⊥CD. 又AD⊥CD,∴OC∥AD.

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(2)∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB. ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90° . 又AD⊥CD,∴∠ADC=90° , AD AC ∴△ADC∽△ACB,∴ AC =AB, ∴AC2=AD· AB. ∵AD=2,AC= 5, 5 ∴AB=2.
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利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算,有时需添 加辅助线,其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线,从 而可以构造直角三角形,利用直角三角形边角关系求解, 或利用勾股定理求解,或利用三角形相似求解等 .

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如下图,已知AB是半圆的直径,D是AB上的一点, CD⊥AB,CD交半圆于点E,CT是半圆的切线,T是切点, CB交半圆于F,求证:BE2+CT2=BC2.

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解:连接AE,AF,∵AB是直径, ∴∠AEB=∠AFB=90° , 由∠CDB=90° ,∠ABC=∠DBF, ∴△DBC∽△FBA. AB BF ∴ CB=BD,即AB· BD=BC· BF, ∵∠AEB=90° ,CD⊥AB, ∴BE2=BD· AB(射影定理). ∵CT是切线,CB是割线,

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∴CT2=CF· CB. ∴BC2-CT2=BC2-CF· CB=BC(BC-CF)=BC· BF, ∴BE2=BC2-CT2,即BE2+CT2=BC2.

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圆内接四边形的性质与判定定理

【例3】

(2013· 全国卷Ⅱ)如图,CD为△ABC外接

圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为 弦AB与弦AC上的点,且BC· AE=DC· AF,B、E、F、C 四点共圆.

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(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径; (2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积 与△ABC外接圆面积的比值. (1)由△CDB∽△AEF可得∠DBC=∠EFA,再 由四点共圆可得∠CBA=90° ,进而得出结论;(2)由条件射 影定理可求出AC与DC即AC与CE的关系,而AC与CE恰为 两圆的直径,从而得出结论.

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【解析】

(1)证明:∵CD为△ABC外接圆的切线,

BC DC ∴∠DCB=∠A,由题设知 FA =EA , 故△CDB∽△AEF,∴∠DBC=∠EFA. ∵B,E,F,C四点共圆,∴∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90° , ∴∠CBA=90° ,因此CA是△ABC外接圆的直径.

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(2)连接CE,∵∠CBE=90° ,∴过B,E,F,C四点的 圆的直径为CE,由DB=BE,∴CE=DC,又BC2=DB· BA =2DB2,

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∴CA2=4DB2+BC2=6DB2. 又CE2=DC2=DB· DA=3DB2, 故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积 1 的比值为2.

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判断四点共圆的步骤 (1)观察几何图形,找到一定点、一对对角或一外角与 其内对角; (2)判断四点与这一定点的关系; (3)判断四边形的一对对角的和是否为180° ;

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(4)判断四边形一外角与其内对角是否相等; (5)下结论.

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如图,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的 垂线,垂足为H,点E为内切圆I与边CA的切点.

(1)求证:四点A,I,H,E共圆; (2)若∠C=50° ,求∠IEH的度数.

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解:(1)由圆I与边AC相切于点E,得IE⊥AE, 结合IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90° . 所以,四点A,I,H,E共圆. (2)由(1)知四点A,I,H,E共圆,则∠IEH=∠HAI. 在△HIA中,∠HIA=∠ABI+∠BAI 1 1 1 =2∠ABC+2∠BAC=2(∠ABC+∠BAC) 1 1 =2(180° -∠C)=90° -2∠C.

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1 结合IH⊥AH,得∠HAI=90° -∠HIA=2∠C, 1 所以∠IEH=2∠C. 由∠C=50° 得∠IEH=25° .

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与圆有关的比例线段

【例4】

如下图,PA切⊙O于点A,割线PBC交

⊙O于点B,C,∠APC的角平分线分别与AB、AC相交 于点D、E,求证:

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(1)AD=AE; (2)AD2=DB· EC. (1)要证AD=AE,只需证明∠ADE=∠AED, 而∠AED是△EPC的外角,∠ADE是△APD的外角,因此 可利用此两条件结合EP是∠APC的平分线证明. (2)证明AD2=DB· EC,应将等积式转化为比例式,由 AD DB 于题中含条件AD=AE,因此可将待证式转化为 EC = AE , 利用已知图形中三角形相似的条件证明.

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【证明】

(1)∠AED=∠EPC+∠C,∠ADE=

∠APD+∠PAB.因PE是∠APC的角平分线, 故∠EPC=∠APD.又PA是⊙O的切线,故∠C= ∠PAB. 所以∠AED=∠ADE.故AD=AE. ∠PCE=∠PAD ? ? EC PC ? (2) ?△PCE∽△PAD?AD=PA; ∠CPE=∠APD? ? ∠PEA=∠PDB? ? AE PA ??△PAE∽△PBD? = . DB PB ? ∠APE=∠BPD?
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PA PC 又PA是切线,PBC是割线?PA =PB· PC? = . PB PA
2

EC AE 故 = ,又AD=AE,故AD2=DB· EC. AD DB

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涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用圆周角 或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线 段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比 例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相交 弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割 线时要注意应用切割线定理 .

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(1)(2013· 湖南卷)如图,在半径为 7 的⊙O中,弦AB, CD相交于点P, PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距 离为________.

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(2)(2013· 北京卷)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的 切线,PB与圆O相交于D.若PA=3,PD∶DB=9∶16,则 PD=________;AB=________.

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解析: (1)由相交弦定理 PA· PB=PC· PD, 代入数据得 PC = 4 , 所 以 CD = 5 , 从 而 圆 心 O 到 弦 CD 的 距 离 为 52 3 ? 7? -? ? = . 2 2
2

(2)由 PD:DB=9:16,设 PD=9a,DB=16a,根据切 1 9 割线定理 PA =PD· PB 得 a=5,所以 PD=5,PB=5,在直
2

角△PBA 中,由勾股定理得 AB=4.
答案:(1) 3 9 (2) 4 2 5
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1.证明直线是圆的切线的方法:若已知直线经过圆上 某点(或已知直线与圆有公共点),则连接圆心和这个公共 点,设法证明直线垂直于这条半径;如果已知条件中直线 与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的 垂线,得到垂线段,设法证明这条垂线段的长等于圆半 径.

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2.(1)与切线有关的角度问题,应考虑应用弦切角的性 质定理求解;(2)涉及与切线有关的比例式问题,应注意利 用弦切角,确定三角形相似的条件,若条件不明显需添加 辅助线. 3.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用 圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比 例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成 比例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相 交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和 割线时要注意应用切割线定理.
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