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重庆南开中学2015届高三9月月考数学(文)试题含解析


重庆南开中学高 2015 级高三 9 月月考 数学试题(文史类)
【试卷综析】注重基础知识,基本技能的考查,符合新课程标准和命题的意图及宗旨。解答 题中,梯度明显,考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法,在关注学生基本能力的 考查的同时,仍然紧扣双基。总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点,对教师的 教和学生的学检测到位,同时对后续的教与学又起到了良好的导向和

激励.

第 1 卷(选择题共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.设集合 M={1,2,3},N={x| log 2 x ? 1 ) ,则 M ? N =( A.{3} B.{2,3} C.{1,3} 【知识点】解不等式;集合运算. D.{1,2,3} E1 A1 )

【答案解析】A 解析:N={x|x>2},所以 M ? N ={3},故选 A. 【思路点拨】解出集合 N 中的不等式,从而求得 M ? N . 【题文】2.已知等比数列{ a n }满足: a3 ? a 7 ?

?2
9

.等,则 cos a5 =(

)

A. ?

1 2

B.

1 2

C.±

1 2
D3

D.±

3 2

【知识点】等比数列的性质.
2

【答案解析】B 解析: a5 ? a3 ? a7 ?

?2
9

,所以 a5 ? ?

?
3

,所以 cos a5 =

1 ,故选 B. 2

【思路点拨】由等比数列的性质得 a5 ? ? 【题文】3.已知 sin( A.

?
3

,所以 cos a5 =

?

1 . 2

1 3

B. ?

1 3

1 ? a) ? ,则 cos 2a 的值为( ) 2 3 7 7 C. D. ? 9 9
C2 C6

【知识点】诱导公式;二倍角公式. 【答案解析】D 解析:由 sin(
2

?

1 1 ? a) ? 得 cos ? ? ,所以 2 3 3

7 ?1? cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? ? ,故选 D. 9 ? 3?
【思路点拨】由诱导公式得 cos ? ?

1 7 ,再由二倍角公式得 cos 2? ? ? . 3 9
1

【题文】4.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则(
2

)

A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题

B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题 A3

【知识点】基本逻辑连结词及量词.

【答案解析】C 解析:因为命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,所以命题 ? q 是真命题, 所以命题 p ? (?q ) 是真命题,故选 C. 【思路点拨】先判断题干中各命题的真假,再确定正确选项. 【题文】5.若 x>0, y>0 且 2 x ? ( ) 2 y ?1 ,则

1 2

1 1 ? 的最小值为( x y
D.3+ 2 2

)

A.3

B. 2 2 E6

C.2

【知识点】基本不等式求最值.

【答案解析】D 解析:因为 2 x ? ( ) 2 y ?1 ,所以 x=-2y+1,即 x+2y=1,又 x>0, y>0, 所以

1 2

x 2y 1 1 1 1 ( ? )=3+ ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 ? =(x+2y) y x x y x y

?x ? 2 y ? 1 ?x ? 2 ?1 ? ? ? x 2y ? ? 2 ? 2 时等号成立,故选 D. ? y ? ?y ? x ? ? 2
【思路点拨】由已知条件得到 x+2y=1 ,又 x>0, y>0 ,所以

1 1 1 1 ( ? ) ? = ( x+2y ) x y x y

?x ? 2 y ? 1 ?x ? 2 ?1 x 2y ? ? =3+ ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 ? x 2 y ? ? 2 ? 2 时等号成立. y x ?y ? x ?y ? ? ? 2
【题文】6.函数 f ( x) ? 4 ln x ? x 的大致图象是(
2

)

【知识点】导数的应用.

B12
2

2?2 ? x 4 【答案解析】 B 解析: 因为函数的定义域 ? 0, ??? , 所以 f ? ? x ? ? ? 2 x ? x x
x ? 2 ,经检验 f ? x ? 在 0, 2 上递增,在
f

? ?0得

?

?

?

2, ?? 上递减,且最大值

?

? 2 ? ? 2 ? ln 2 ?1? ? 0 ,故选 B.
2

【思路点拨】利用导数确定函数的单调性和最大值,从而求得正确选项. 【题文】7.若 f ( x) 是奇函数,且 x 0 是函数 y ? f ( x) ? e 的一个零点,则 ? x 0 一定是下
x

列哪个函数的零点( A.y ? f ( x)e? x ?1

) B.y ? f ( x)e
?x

?1

C.y ? f ( x)e ? 1
x

D.y ? f ( x)e ? 1
x

【知识点】奇函数定义;函数零点的意义.

B4

B9
x

【答案解析】C 解析:因为 x 0 是函数 y ? f ( x) ? e 的一个零点,所以 f ( x0 ) ? e 0 ,
x

把 ? x0 , f ? ? x0 ? ? ? f ? x0 ? ? ?e 0 代入个选项得,选项 C 中,
x

y ? f ? ?x0 ? e? x0 ?1 ? ?ex0 ? e? x0 ? 1 ? 0 成立,故选 C.
【思路点拨】由已知得 f ( x0 ) ? e 0 ,把 ? x0 , f ? ? x0 ? ? ? f ? x0 ? ? ?e 0 代入个选项得,选
x

x

项 C 正确. 【题文】 8. 在△ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 b ? c ? 则 cosA=( A. ? ) B.

1 2 sin B ? 3 sin C , a, 4

1 4

1 4

C.

7 8
C8

D.

11 16

【知识点】解三角形.

1 ? ?a ? 2c b2 ? c 2 ? a 2 ?b ? c ? a ? cos A ? 【答案解析】A 解析:由已知得 ? ,代入 得 4 ?? 3 2 bc b ? c ? ? ?2b ? 3c ? 2
2 ?3 ? 2 ? c ? ? c ? ? 2c ? 1 2 cos A ? ? ? ? ? ,故选 A. 3 4 2? c?c 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 【思路点拨】根据已知条件可得 a,b 关于 c 的表达式,将其代入 cos A ? 得所求 2bc
结果.

?y2 ? x2 ? 0 【题文】9.已知 P ( x, y ) 为区域 ? 内的任意一点,当该区域的面积为 4 时, ?0 ? x ? a
z ? 2 x ? y 的最大值是(
A.6 B.0 ) C.2 D. 2 2

3

【知识点】线性规划.

E5

【答案解析】A 解析:画出可行域,由可行域面积为 4 得 a=2,平移目标函数为 0 的直线 y=2x,得使目标函数取得最大值的最优解是点(2,-2) ,所以 z ? 2 x ? y 的最大值是 6,故 选 A.

【思路点拨】画出可行域,根据已知得 a=2,平移目标函数为 0 的直线 y=2x,得使目标函数 取得最大值的最优解是点(2,-2) ,所以 z ? 2 x ? y 的最大值是 6. 【 题 文 】 10 . 在 △ ABC 中 , E , F 分 别 在 边 AB,AC 上 , D 为 BC 的 中 点 , 满 足

| AE | | EB |
A.0

?

| CF | | FA |
B.

?
3 2

| AB | | AC |

? 2 , DE ? DF ? 0 ,则 cos A = (
3 4 9 16
F1 F3

)

C.

D.

【知识点】向量的线性运算;向量的数量积.

【答案解析】D 解析:AC=b, ?BAC ? ? ,则 AB=2b,根据题意得:

DE ? AE ? AD ?

2 1 1 1 1 1 AB ? AB ? AC = AB ? AC ,同理 DF ? ? AB ? AC , 3 2 6 2 2 6

?

?

因为 DE ? DF ? 0 ,所以 ?

1 1 ?1 ? ? 1 ? AB ? AC ? ? ? ? AB ? AC ? ? 0 ,整理得 2 6 ?6 ? ? 2 ?

2 2 9 2 8 AB ? AC ? 3 AB ? AC ,即 8 ? 2b ? b cos ? ? 3 ?? 2b ? ? b2 ? ? 9b2 ,所以 cos ? ? , ? ? 16

?

?

故选 D.

4

【思路点拨】把已知中涉及到的线段所对应的向量,都用向量 AB, AC 表示,再用

DE ? DF ? 0 ,得向量 AB, AC 间的等量关系,从而求得 cos A 的值.

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小 l15 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. 【题文】11.已知

a ? 3i ? b ? 2i (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b =____________. i
L4

【知识点】复数的运算. 【答案解析】5 a+b=5. 解析:由

a ? 3i ? b ? 2i (a, b ? R) 得 a ? 3i ? 2 ? bi ,所以 a=2,b=3,所以 i

【思路点拨】利用复数乘法变形已知等式,得 a ? 3i ? 2 ? bi ,所以 a=2,b=3,所以 a+b=5. 【题文】12.已知等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? 8 ? a 6 ,则 S 9 =____________. 【知识点】等差数列的性质及前 n 项和公式. D2

【答案解析】36 解析:由已知得 a4 ? a6 ? 8 ? a1 ? a9 ,所以 S9 ? 【思路点拨】利用等差数列的性质及前 n 项和公式求解.

? a1 ? a9 ? ? 9 ? 36 .
2

【题文】13.已知 a 为单位向量, b ? (3,4), | a ? 2b |? 3 ,则 a ? b ? ____________. 【知识点】向量的坐标运算. F2
2 2

【答案解析】23 解析:设 a ? ? x, y ? ,因为 a 为单位向量,所以 x ? y ? 1①,又

b ? (3,4), | a ? 2b |? 3 ,所以 ? x ? 6 ? ? ? y ? 8 ? ? 9 ②,由①②得 3x+4y=23,所以
2 2

a ? b ? 3x+4y=23.
【思路点拨】设 a ? ? x, y ? ,利用已知得到关于 x,y 的方程组求得 x,y 的值,或 x,y 的关系,

5

代入 a ? b 关于 x,y 的表达式即可. 【题文】14.设 m,n,p∈R,且 m ? n ? 2 ? p , m ? n ? 12 ? p ,则 p 的最大值和最
2 2 2

小值的差为__ __. 【知识点】直线与圆有公共点的条件. 【答案解析】

H4
2 2 2

16 3

解析:把 m,n 看成变量 p 看成字母常数,则方程 m ? n ? 12 ? p 有

解的条件是 12 ? p2 ? 0 ? ?2 3 ? p ? 2 3 ,把直线 m ? n ? 2 ? p 代入圆

m 2 ? n 2 ? 12 ? p 2 消去 n 整理得: m 2 ? ? p ? 2 ? m ? ? p 2 ? 2 p ? 4 ? ? 0 ,由判别式 ? ? 0 得

3 p2 ? 4 p ? 20 ? 0 ,解得 ?2 ? p ?

10 10 16 ? ? ?2 ? ? . ,所以 p 的最大值和最小值的差为 3 3 3

【思路点拨】把 m,n 看成变量 p 看成字母常数,利用直线与圆有公共点的条件得 p 的最大 值与最小值,从而求得 p 的最大值和最小值的差.

? ?log 2015 ( x ? 1), x ? 2 ? ? ?x 【题文】15.函数 f ( x) ? ?sin , 0 ? x ? 2 ,若 a,b,c,d 是互不相等的实数,且 2 ? ? 1 x ( ) ? 1, x?0 ? ? 2
f (a ) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 a+b+c+d 的取值范围为___
【知识点】分段函数. B1 .

【答案解析】(4,2017) 解析:设 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) =m,a<b<c<d,由函数 f ? x ? 的图像可知 m ? ? 0,1? ,平移直线 y=m 可得:当 m 趋向于 0 时,a、b 都趋向于 0,c、d 都 趋向于 2,a+b+c+d 趋向于 0+0+2+2=4;当 m 趋向于 1 时,a 趋向于-1,b、c 都趋向于 1,而 d 趋向于 2016,a+b+c+d 趋向于-1+1+1+2016=2017,所以 a+b+c+d 的取值范围为(4,2017). 【思路点拨】作函数 f ? x ? 的图像,设 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) =m,a<b<c<d,由函数

f ? x ? 的图像可知 m ?? 0,1? ,平移直线 y=m 可得结论.
三.解答题:本大题 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】16. (13 分)等差数列{ a n }满足: a 2 ? a 4 ? 6 , a 6 ? S 3 ,其中 S n 为数列{ a n }前 n 项和.(I)求数列{ a n }通项公式;

6

(II)若 k ? N * ,且 a k , a3k , S 2 k 成等比数列,求 k 值. 【知识点】等差数列;等比数列. 【答案解析】 (Ⅰ) n; (Ⅱ) 4. (Ⅱ) S n ? D2 D3

解析: (Ⅰ) 由条件,

a1 ? d ? a1 ? 3d ? 6? ?a1 ? 1 ? an ? n ; ??? a1 ? 5d ? 3a1 ? 3d ? ?d ? 1

n(n ? 1) , ∵ a3k 2 ? ak ? S2k ? 9k 2 ? k ? k (2k ? 1) ? k ? 4 . 2

【思路点拨】 (Ⅰ)把等差数列的通项公式、前 n 项和公式,代入已知等式得关于 a1 , d 的方 程组, 求得 a1 , d , 进而求 an ; (Ⅱ) 利用等差数列的通项公式、 前 n 项和公式, 求得 a k ,a3k ,

S 2 k ,代入 a3k 2 ? ak ? S2k 得关于 k 的方程解出 k 值.
【题文】17. (13 分)某中学高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学预赛成 绩选出某班的 5 名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取得的成绩 (满分 100 分)的茎叶图如图所示,其中甲班 5 名学生成绩的平均分是 83, 乙班 5 名学生成绩的中位数是 86. 求出 x,y 的值,且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S1 、 S 2 ,
2 2

(I)

并根据结果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛? (II)从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名.求至少有 1 名来自甲班的概率. 【知识点】茎叶图;一组数据的数字特征;古典概型;I2 K2
2 【答案解析】(Ⅰ)x=5,y=6, S12 ? 27.2 , S2 ? 57.2 ,应选甲班参加 ;(Ⅱ) P ?

7 . 10

解析:(Ⅰ)甲班的平均分为 x1 ?

74 ? 82 ? 84 ? (80 ? x) ? 90 ? 83 ? x ? 5 ,易知 y ? 6 . 5

2 S12 ? 27.2 ;又乙班的平均分为 x2 ? 83 , ∴ S2 ? 57.2 ; 2 ∵ x1 ? x2 , S12 ? S2 ,说明甲班同学成绩更加稳定,故应选甲班参加.

(Ⅱ) 85 分及以上甲班有 2 人,设为 a , b ;乙班有 3 人,设为 x, y , z ,从这 5 人中抽取 2 人 的选法有: ab, ax, ay, az, bx, by, bz, xy, xz, yz ,共 10 种,其中甲班至少有 1 名学生的选法 有 7 种,则甲班至少有 1 名学生被抽到的概率为 P ?

7 . 10

【思路点拨】(Ⅰ)根据平均数、中位数、方差的计算公式求得各值,通过比较平均数、方差 得选派参加比赛的班; (Ⅱ) 85 分及以上甲班有 2 人, 乙班有 3 人, 用列举法写出, 从这 5 人 中抽取 2 人的选法共 10 种,其中甲班至少有 1 名学生的选法有 7 种,则甲班至少有1 名学生

7

被抽到的概率为 P ?

7 . 10

【题文】18. (13 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (I)当 a=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1,f(1))处的切线方程; (II)讨论函数 f(x)的单调性与极值. 【知识点】导数的应用. B12 【答案解析】 (Ⅰ) y ? ? x ? 2 ; (Ⅱ)① 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,无极值; ② 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增,

f极小 ? f (a) ? a ? a ln a , 无极大值.
解析: (Ⅰ) a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2ln x , f ?( x) ? 1 ?

2 , ∴ k ? f ?(1) ? ?1 , x

又 f (1) ? 1 ,故切线方程为: y ? 1 ? ?1( x ? 1) 即 y ? ? x ? 2 . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,令 f ?( x) ? 1 ?

a ?0? x?a x

① 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,无极值; ② 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增,

f极小 ? f (a) ? a ? a ln a , 无极大值.
【思路点拨】 (Ⅰ)根据导数的几何意义求得曲线在点 A 处切线的斜率,从而写出切线方程; (Ⅱ)先确定函数 f ( x ) 的定义域 (0, ??) ,再求函数 f ( x ) 的导函数,由导函数大于 0 得

x ? a ,所以,① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,无极值;
② 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增,

f极小 ? f (a) ? a ? a ln a , 无极大值.
【题文】19. (12 分)设函数 f ( x) ? sin(?x ?

?

1 ) ? cos?x ? cos 2 ?x ? (? ? 0) 图像上的 6 4

一个最高点为 A,其相邻的一个最低点为 B,且|AB|= 2 . (I)求? 的值;

8

(II)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b+c=2, A ? 【知识点】函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的图像与性质;解三角形. 【答案解析】(Ⅰ)

?
3

,求 f (a ) 的值域. C8

C4

T ?2?

2? ?? ? . 2? 2

? 1 1 1 ? ;(Ⅱ) [ ? , ) . 解析:(Ⅰ) f ( x) ? sin( 2?x ? ) ,由条件得, 2 4 2 6 2 ?

(Ⅱ)由余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 4 ? 3bc 又 2 ? b ? c ? 2 bc ? 0 ? bc ? 1,故 1 ? a 2 ? 4 ,又 2 ? b ? c ? a ,故 1 ? a ? 2

1 ? 7? ? 13? 1 1 sin(?a ? ) , ? ?a ? ? ,所以 f ( a ) 的值域为 [ ? , ) . 2 6 6 6 6 2 4 1 ? 【思路点拨】(Ⅰ)由二倍角公式、两角和与差的三角函数得 f ( x) ? sin( 2?x ? ) ,再由 2 6
由 f (a) ? 相邻最高点与最低点间距离为 2 得周期 T=2,从而求得? 的值;(Ⅱ)由已知条件及余弦定 理得 a ? 4 ? 3bc ,又 2 ? b ? c ? 2 bc ? 0 ? bc ? 1,故 1 ? a 2 ? 4 ,又 2 ? b ? c ? a ,
2

故 1 ? a ? 2 ,由 f ( a ) ?

1 ? 7? ? 13? sin(?a ? ) , ? ?a ? ? ,所以 f ( a ) 的值域为: 2 6 6 6 6

1 1 [? , ) . 2 4
【题文】20.(12 分)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2a n (n ? N *) . (I)证明:数列 {a n ? 1} 为等比数列,并求数列{ a n }的通项公式; (II)数列{ a n }满足 bn ? a n ? log 2 (a n ? 1)(n ? N *) ,其前 n 项和为 Tn ,试求满足

Tn ?

n2 ? n ? 2015 的最小正整数 n. 2
D5

【知识点】数列综合问题.

【答案解析】 (Ⅰ)证明数列 {a n ? 1} 为等比数列.略, an ? 2n ? 1 ; (Ⅱ)8. 解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 2a1 ? a1 ? 1; 当 n ? 2 时,

Sn ? n ? 2an

? ? ? an ? 1 ? 2an ? 2an?1 ? an ? 2an ?1 ? 1 ; Sn?1 ? (n ? 1) ? 2an?1 ?

即 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ( n ? 2 ) ,且 a1 ? 1 ? 2 ,故 ?an ?1 ? 为等比数列
* an ? 1 ? 2n ? an ? 2n ?1 ( n ? N ).

9

(Ⅱ) bn ? (2n ?1) ? n ? n ? 2n ? n 设 Kn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? …? n ? 2n ??????①

2Kn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? …? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ????②
① ? ②: ? K n ? 2 ? 2 ? 2 ? … ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 1? 2
n(n ? 1) , 2

∴ Kn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ,

n ?1 ∴ Tn ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 ?

Tn ?

n2 ? n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2015 ? n ? 8 ,∴满足条件的最小正整数 n ? 8 2

【思路点拨】 (Ⅰ)利用公式 an ? ?

? S1 , n ? 1 将已知递推公式转化为关于 an , an?1 的递 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

推公式,从而证得数列 {a n ? 1} 为等比数列,由此进一步求得 an ; (Ⅱ)由条件求得

bn ? n ? 2n ? n ,从而求得数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ?
Tn ?

n(n ? 1) ,所以 2

n2 ? n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2015 ? n ? 8 ,∴满足条件的最小正整数 n ? 8 . 2

【题文】21.(12 分)对于函数 y ? f ( x) 与常数 a,b,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 (a,b)为函数 f ( x) 的一个“P 数对” :设函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f(1)=3. (I)若(a,b)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且 f (2) ? 6 , f (4) ? 9 ,求常数 a,b 的值; (Ⅱ)若(1,1)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2 )(n ? N *) ;
n

?

(Ⅲ)若( ? 2,0 )是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ? [1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,求 k 的值 及 f ( x) 在区间 [1,2 )( n ? N*) 上的最大值与最小值.
n

【知识点】函数综合问题. 【答案解析】 (Ⅰ) ?

B14

?a ? 1 ; (Ⅱ) f (2n ) ? n ? 3 ; (Ⅲ)当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大 b ? 3 ?

值为 4 ,最小值为 3;当 n ? 3 且为奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ,最小值为 ?2 n ; 当 n 为偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2 n ?1 .

10

解析: (Ⅰ)由题意知 ?

?af (1) ? b ? f (2) ?3a ? b ? 6 ?a ? 1 ? ,即 6a ? b ? 9 ,解得: ?b ? 3 ?af (2) ? b ? f (4) ? ?

(Ⅱ)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ,又 f (20 ) ? f (1) ? 3 ,故 f (2n ) ? n ? 3 . (Ⅲ)当 x ?[1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 ,解得 k ? 4 , 所以, x ?[1,2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的值域是 [3, 4] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“ P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时,

x 2
k ?1

?[1,2) ,

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n ? 3 且为奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ,最小值为 ?2 n ; 当 n 为偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2 n ?1 . 【思路点拨】 (Ⅰ)根据“P 数对”的定义及已知得,关于 a,b 的方程组,求得 a,b 值; (Ⅱ)因为(1,1)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,所以 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列,因为 f ? 2? ? f ?1? ? 1 ? 4 , 故 f (2n ) ? f ? 2? ? ? n ? 1? ? n ? 3 .(Ⅲ)因为当 x ?[1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,又 f(1)=3, 所以 k ? 4 ,所以, x ?[1,2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | ,故 f ( x) 在 [1, 2) 上的值域是 [3, 4] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“ P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时,

x 2
k ?1

x x x ?[1,2) , f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2

故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n ? 3 且为奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ,最小值为 ?2 n ; 当 n 为偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2 n ?1 .

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