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【2016年高考数学】广东省广州市荔湾区2016届高三第一学期调研测试(一)数学【理】试题(含答案)


2016 学年第一学期高三调研测试一

数学(理科)
本试卷共 4 页,24 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动

, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)
2 1.已知集合 M ? x x ? 4 , N ? {x| x ? 1} ,则 M ? N ?

?

?

A. {x|?2 ? x ? 1}

B. {x| x ? ?2}

C. {x| x ? 1}

D. ? x x ? 2?

2.设 i 是虚数单位,若复数满足 z ?1 ? i ? ? ?1 ? i ? ,则复数 z 的模 z ? A. ?1 B. 1 C. 2 D. 2

3.在 ?ABC 中, ?A ? 45o , ?C ? 105o , BC ? A. 3 ? 1 B.1 C.2

2 , 则边长 AC 为
D. 3+1

4.椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率等于 焦点,则椭圆 C 的标准方程为

1 , 且它的一个顶点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3 y 的 2

x2 y 2 ? ?1 4 3 5.下列程序框图中,输出的 A 的值是
A. B.

x2 y 2 ? ?1 4 2

C.

x2 y 2 ? ?1 12 9
i ? 10

D.

x2 y2 ? ?1 16 12

开始

A ? 1, i ? 1

A?

A 3A ?1

i ? i ?1



输出A

结束


A.

1 28

B.

1 29

C.

1 31

D.

1 34

? ? 6. 将函数 f ( x) ? sin(2x ? ? )(
? ?? f ( x) 在 ?0, ? 上的最小值为 ? 2?

?
2

) 的图象向左平移

? 个单位后的图形关于原点对称,则函数 6

A.

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

7.函数 y

?

cos 6 x 的图像大致为 2 x ? 2? x
8. 已 知 不 等

? x ? y ?1 ? 式组 ? x ? y ? ?1 所表示的平面区域为 D , 若直线 y ? kx ? 3 与平面区域 ? y?0 ?
D 有公共点,则 k 的取值范围为是
A. [?3,3] C. ( ??, ?3] ? [3, ??) B. ( ??, ? ] ? [ , ?? ) D. [ ? , ]

1 3

1 3

1 1 3 3

9.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几 何体的体积是

A.

20 3

B.

16 3

C .8 ?

? 6

D .8 ?

? 3

10. ( ? x )(1 ? A.1

2 x

x ) 4 的展开式中 x 的系数是
B.2
2

C.3
2

D.12

11.如图, F1 、 F2 是双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦 2 a b

点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A 、 B . 若

?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为
A.4 B. 7 C.

2 3 3

D. 3

?1 ? x ? 1, x ? 1 12.已知函数 f ( x) ? ? 4 ,则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围是 ? ?ln x, x > 1

A. ? 0, ?

? ?

1? e?

B. ? , ?

?1 1 ? ?4 e ?

C. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

D. ?

?1 ? ,e? ?4 ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13--21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22--24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大概题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 ? ? (0, ? ) , cos ? ?

4 ,则 sin(? ? ? ) ? 5



14.在 ?ABC 中, ?B ? 900 , AB ? BC ? 1, .点 M 满足 BM ? 2 AM , 则 CM ? CA ? ______, 15.如图,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点,则该点落在阴影部 分中的概率为 .
0

???? ?

???? ?

???? ? ??? ?

16.已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90 ,侧面 BCC1B1 的面 积为 2 ,则直三棱柱 ABC ? A1B1C1 外接球表面积的最小值 为 .

三、解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足: an ? 0 , a1 ? (1)求证: ?

1 , an ? an ?1 ? 2an ? an ?1 ,( n ? N ? ). 3

?1? ? 是等差数列,并求出 an ; ? an ?
1 . 6

(2)证明: a1a2 ? a2 a3 ? ... ? an an ?1 ?

18.(本小题满分 12 分)如图,矩形 ABEF 所在的平面与等边 ?ABC 所在 的平面垂直, AB ? 2 AF ? 2 , O 为 AB 的中点. (1)求证: OE ? FC ; (2)求二面角 F ? CE ? B 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统 计结果如下: 日销售量(吨) 频数 频率 1 10 0.2 1.5 25 2 15

a

b

(1)求表中的 a , b 的值; (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求: ① 5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ② 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求 ? 的 分布列和期望. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程; (2)设与圆 O : x ? y ?
2 2

x2 y 2 6 6 ,且过点(1, ). ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3 3

3 相切的直线 l 交椭圆 C 与 A,B 两点,求 ?OAB 面积的最大值,及取得 4

最大值时直线 l 的方程.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ? ax ? b? e ( e 为自然对数的底数),曲线 y ? f ? x ? 在点
x

?0, f ?0?? 处的切线方程为 y ? ? x ? 2 .
(1)求 a , b 的值; (2)任意 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? e .

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做的第一个题目计分.做答时请写请题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C 是弧 BD 的中点, CE ? AB ,垂 足为 E , BD 交 CE 于点 F . (1)求证: CF ? BF ; (2)若 AD ? 4 ,⊙ O 的半径为 6,求 BC 的长. 第 22 题图 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? ? ,( ? 为参数),以原点 O 为极点, ? ? y ? sin ?
4

? x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 4 2 .
(1) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2) 设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (1)解不等式: f ( x) ? 0 ; (2)若

f ( x) ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

2015 学年第一学期高三调研测试一 理科数学参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可 根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1 A 二、13. 2 B 3 B 4 D 15. 5 C 16. 4? 6 D 7 A 8 C 9 A 10 C 11 B 12 B

3 5

14.3

1 3

三、17.(1)得出

1 1 ? ? 2 ………………………………………………………………2分 an ?1 an

1 1 { }是以 为首项,2为公差的等差数列……………………………………………3分 an a1

1 1 ? ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 …………………………………………………………5分 an a1
an ? 1 ………………………………………………………………………………6分 2n ? 1

(2) an an ?1 ?

1? 1 1 ? ? ? ? ……………………………………8分 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1

a1a2 ? a2 a3 ? ... ? an an ?1 ?

1 1 1 ? ? ... 3? 5 5? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 3?

1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ?? ? ? ? ………………10分 2?3 5? 2?5 7? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 ? 3 2 n ? 3 ? 1?1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ……………………………………………………………………12分 2 ? 3 2n ? 3 ? 6
18.(本小题满分12分) (I)证明:连接 OC , OF ,因为 AC ? BC , O 是 AB 的中点,故 OC ? AB . ………1分 又因为平面 ABEF ? 平面 ABC ,面 ABEF ? 面 ABC ? AB , OC ? 面 ABC , 故 OC ? 平面 ABEF . 因为 OE ? 面 ABEF ,于是 OC ? OE . 又矩形 ABEF , AB ? 2 AF ? 2 ,所以 OF ? OE . 又因为 OF ? OC ? O ,故 OE ? 平面 OFC , 所以 OE ? FC . …………………2分 ……………………3分 ……………4分 ………………5分 ………………6分

(Ⅱ)由(I)得, AB ? 2 AF ? 2 ,取 EF 的中点 D ,以 O 为原点, OC, OB, OD 所在的直线分别 为 x, y , z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 。 因 为 AB ? AC , 所 以 , OC ? 3 , 于 是 有

F ? 0 ,? 1,?1 E ,? ??? ?

0 ,?1, B 1 ?,

1, ?0 , C ?1

,

3 , 0, 0 ?,

………………7分

从而 CE ? ? 3,1,1 , EF ? (0, ?2,0) ,

?

?

??? ?

? ??? ? ? ? ?n ? CE ? 0 设平面 FCE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,由 ? ? ??? ? ? ?n ? EF ? 0
得?

………………8分

? ?? 3 x ? y ? z ? 0 ? 得 n ? 1, 0, 3 , ? ??2 y ? 0

?

?

………………9分

同理,可求得平面 BCE 的一个法向量 m ? 1, 3, 0 ,

??

?

?

………………10分

???? m?n 1 1 ?? ? ? , 设 m, n 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ?? ? ? m n 2? 2 4
由于二面角 F ? CE ? B 为钝二面角,所以所求余弦值为 ?

………………11分

1 . ………………12分 4

19、(1)由题意知: a ? 0.5,b ? 0.3

-------------2分

(2)①依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率 p ? 0.5 , ----------3分 设5天中该种商品有 X 天的销售量为1.5吨,
2 2 3 则 X ~ B(5,0.5) , P( X ? 2) ? C5 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? 0.3125 ---------4分

②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以 ? 的可能取值为 4,5,6,7,8 ,-----5分 则: P(? ? 4) ? 0.22 ? 0.04, P(? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2

P(? ? 6) ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37, P(? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 P(? ? 8) ? 0.32 ? 0.09 ,
? ? 的分布列为:
?

-------------------------10分

4 0.04

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09 -------------11分

p

∴ E? ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 ------------12分

2 ?1 ? 2 ?1 2 ? ? a 3b 20. 解析:(1)由题意可得: ? ?c ? 6 ? 3 ?a

————————2分

a 2 ? 3, b 2 ? 1, ?

x2 ? y2 ? 1 3

——————————4分

(2)①当 k 不存在时, x ? ?

3 3 , ,? y ? ? 2 2
———5分

1 3 3 ? S?OAB ? ? 3 ? ? 2 2 4
②当 k 存在时,设直线为 y ? kx ? m , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x2 2 ? ? y ?1 , (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6km ? 3m2 ? 3 ? 0 ————6分 ?3 ? y ? kx ? m ?
x1 ? x2 ? ?6km 3m2 ? 3 x x ? ——————————7分 1 2 1 ? 3k 2 , 1 ? 3k 2

d ? r ? 4m2 ? 3(1 ? k 2 )

——————8分

?6km 2 12(m2 ? 1) 1 ? 10k 2 ? 9k 4 4k 2 | AB |? 1 ? k 2 ( ) ? ? 3 ? ? 3 ? 1 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 6k 2 ? 9k 4 1 ? 6k 2 ? 9k 4
———————10分

? 3 ? 1?

4 1 ? 9k 2 ? 6 k2

?2

当且仅当

1 ? 9k 2 , 即 k ? ? 3 时等号成立 k2 3

————————11分

? S?OAB ?

1 1 3 3 , AB ? r ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

∴ ?OAB 面积的最大值为

3 3 ,此时直线方程 y ? ? x ? 1. ———————12分 3 2

21. (本小题满分 12 分) 解:(1) Q f ? x ? ? ? ax ? b? e
x

? f ? 0? ? b

………………1 分 ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分

f ' ? x ? ? aex ? ? ax ? b? ex ,
? f ' ? 0? ? a ? b ,
? a ? b ? ?1

又切线 y ? ? x ? 2 过切点 ? 0, b ? , ? b ? ?2 , 代入 a ? b ? ?1 得 a ? 1 . (2)证明:由(1)知, f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? ( x ? 1)e x . 当 x ? ?0,1? 时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e x ? 0 , f ( x) 在区间 ?0,1? 单调递减;

………………6 分

当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? ( x ?1)e x ? 0 , f ( x) 在区间 ?1, 2? 单调递增. ………………7 分 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?e . 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 , 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最大值为 f (2) ? 0 . ………………10 分 ………………8 分

对于 x1 , x2 ??0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) . 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e . ………………12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (1)证法一:连接CO交BD于点M,如图1 ∵C为弧BD的中点,∴OC⊥BD 又∵OC=OB,∴RtΔ CEO≌RtΔ BMO ∴∠OCE=∠OBM 又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC ∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF 证法二:延长CE 交圆O于点N,连接BN,如图2 ∵AB是直径且CN⊥AB于点E. ∴∠NCB=∠CNB 又∵C为弧BD的中点 ∴∠CBD=∠CNB ∴∠NCB=∠CBD 即∠FCB=∠CBF ∴CF=BF ………………4分 ………………5分 ………………3分 ……………2分 ………………2分 ………………3分 ………………4分 ………………5分 ………………1分 ………………1分

(2)∵O,M分别为AB,BD的中点 ∴OM=2OE ∴EB=4 ………………7分 ………………9分 ………………10分

在Rt△COE中, CE ? OC 2 ? OE 2 ? 4 2 ∴在Rt△CEB中, BC ? CE 2 ? BD2 ? 4 3

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 cos? 解: (1)由曲线 C1 : ? ? y ? sin ?
即:曲线 C1 的普通方程为:

? x ? cos? ? 得? 3 ? ? y ? sin ?
………………2分

x2 ? y2 ? 1 3

由曲线 C 2 : ? sin(? ?

?

) ? 4 2 得: 2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 4 2

………………4分 ………………5分

即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (2) 由(1)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点, 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

………………8分

所以当 sin(? ?

?
3

) ? 1 时, d 的最小值为 3 2

………………10分

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(1)当 x ? 4 时, f ? x ? ? 2x ?1 ? ? x ? 4? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 , 所以 x ? 4 成立. 当? ………………2分

1 ? x ? 4 时, f ? x ? ? 2x ?1? x ? 4 ? 3x ? 3 ? 0 ,得 x ? 1 , 2
………………4分

所以 1 ? x ? 4 成立. 当x ? ?

1 时, f ? x ? ? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 , 2
………………6分

所以 x ? ?5 成立. 综上,原不等式的解集为 x x ? 1, 或x ? ?5

?

?

………………7分 ………………9分 ………………10分

(2) f ? x ? ? 3 x ? 4 ? 2x ?1 ? 2 x ? 4 ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 当?

1 ? x ? 4时等号成立 2

所以 m ? 9

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