tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第61课 椭圆的几何性质 文


第 61 课 椭圆的几何性质
(本课时对应学生用书第 页)

自主学习 回归教材

x2 y2 1.(选修1-2-1P30例1改编)椭圆 25 + 9 =1的长轴长为
坐标为 .

,离心率为

,右焦点

【答案】10

4 5


(4,0)

x2 y2 2.( 选修 1-1P35 习题 4 改编 ) 若方程 |m|-1 + 2-m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围
为 .

? 3? ?1, ? 【答案】(-∞,-1)∪ ? 2 ?
3 【解析】由题意有2-m>|m|-1>0,解得1<m< 2 或m<-1.

x2 y2 2 2 3.(选修1-1P60复习题7改编)若以椭圆 a . + b =1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)为圆心、c为半
径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 .

? 2 ? 1? ? ? 2 , ? ? 【答案】 ?

? a a2 ?c c 【解析】由条件得椭圆的左准线方程为x=,从而由-c- ?
? 2 ? 1? ? ? 2 , ? ? ?. e∈

2

? ? ? <c,得a2<2c2,所以

1

x2 y2 4.(选修1-1P35习题9改编)椭圆C: 45 + 20 =1上与两个焦点的连线互相垂直的点的坐标是
【答案】(-3,-4),(-3,4),(3,-4),(3,4) 【解析】由题知椭圆C的两个焦点的坐标分别是(5,0),(-5,0),所以所求的点即为以原点为

.

? x2 y 2 ? 1, ? ? ? x ? 3, ? x ? -3, ? 45 20 ? x 2 ? y 2 ? 25, ? y ? 4 ? y ? 4 圆心,半焦距为半径的圆与椭圆的交点,联立方程组 ? 解得 ? 或? 或

? x ? 3, ? x ? -3, ? ? ? y ? -4 或 ? y ? -4.

1.椭圆的标准方程及简单的几何性质 条件 2a>2c,a =b +c ,a>0,b>0,c>0
2 2 2

标准方 程 及图形

x 2 y2 a 2 + b 2 =1(a>b>0)

y2 x 2 a 2 + b 2 =1(a>b>0)

范围 对称性 顶点 焦点 长、短 轴

|x|≤a,|y|≤b

|y|≤a,|x|≤b

曲线关于原点、x轴、y轴对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b) (±c,0) 长轴长2a,短轴长2b 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0) (0,±c)

2

的长度 焦距 准线方 程 离心率 F1F2=2c(c =a -b )
2 2 2

a2 x=± c

a2 y=± c

c e= a ∈(0,1),e越大,椭圆越扁,e越小,椭圆越圆

x2 y 2 2 2 2.点P(x0,y0)和椭圆 a + b =1(a>b>0)的关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆外 ? (2)点P(x0,y0)在椭圆上 ? (3)点P(x0,y0)在椭圆内 ?
2 2 x0 y0 a 2 + b 2 >1. 2 2 x0 y0 a 2 + b 2 =1. 2 2 x0 y0 a 2 + b 2 <1.

【要点导学】 要点导学 各个击破

求椭圆离心率的值

x2 y 2 2 2 例1 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 a + b =1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为
F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,求椭圆的离心率. 【思维引导】根据所给的几何条件,建立关于a,b,c的方程. 【解答】方法一:因为∠BAO+∠BFO=90°, 所以sin∠BFO=cos ∠BAO=cos ∠BAF.

3

BF AB AB AB 在△ABF中,由正弦定理得 sin? BAF = sin? AFB = sin? BFO = cos? BAF ,

BF sin? BAF 即 AB = cos? BAF , b 2 2 2 所以 a ? b = a ,所以a =b a ? b ,
2 2

a

即a =(a -c )(2a -c ),化简得e -3e +1=0,

4

2

2

2

2

4

2

解得e =

2

? 3- 5 ? 2 3 ? 5 e ? ? 1 ,舍去 ? ? ? 2 ? 2 ? ?



5-1 故e= 2 (负值舍去).
方法二:易知∠BAF=∠FBO,

FO BO 所以Rt△BFO∽Rt△ABO,则 BO = AO ,

c b 2 2 2 2 2 即 b = a ,所以ac=b =a -c ,所以c +ac-a =0,

5-1 即e +e-1=0,解得e= 2 (负值舍去).
2

方法三:设椭圆右顶点为C,连接BC, 则∠BCO=∠BAF,所以∠BCO+∠BFC=90°, 则BF +BC =CF ,即a +a +b =(a+c) , 所以2a -c =2ac+c ,即c +ac-a =0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5-1 所以e +e-1=0,解得e= 2 (负值舍去).
2

【精要点评】椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化,建立关于a,b,c的齐 次方程.本题对于所给条件∠BAO+∠BFO=90°采取了三种转化,分别是正弦定理、余弦定理以 及相似三角形、直角三角形(勾股定理),但目的都是一致的.

【高频考点?题组强化】

x2 y 2 1.椭圆 16 + 25 =1的离心率为

.

4

3 【答案】 5

2.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的离心率等于

.

3 【答案】 2

3 c 【解析】因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍,所以a=2b,则有椭圆的离心率e= a = 2 .

x2 y 2 2 2 3.(2015?苏北四市期末)已知椭圆 a + b =1(a>b>0),点A,B1,B2,F依次为其左顶点、下顶
点、上顶点和右焦点,若直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率 为 .

1 【答案】 2

(第3题)

? a2 ? ,yM c 【解析】如图,A(-a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F(c,0),设点M ?

? ? ?.

yM


kAB2

b a ?a =kAM,得 a = c ,

2

?a ? ? ? 1? ?. 所以yM=b ? c

yM 2 b a -c k 由 FB1 =kFM,得 c = c ,

5

所以yM=

b ? a2 ? ? -c ? c? c ?



2 ? a ? b ? a -c ? ? ? 1? c ? c ? ?, ?= ? 从而b ? c

1 2 整理得2e +e-1=0,解得e= 2 或e=1(舍去).

4. 如图,已知 F1 为椭圆的左焦点, A , B 分别为椭圆的右顶点和上顶点, P 为椭圆上的点 . 若 PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心),求椭圆的离心率.

(第4题)

? b2 ? x2 y 2 ? -c, ? 2 2 a? 2 2 2 a b 【解答】设椭圆方程为 + =1(a>b>0),F1(-c,0),c =a -b ,则P ? .
b -b 因为AB∥PO,所以kAB=kOP,即- a = ac ,
所以b=c.又因为a=
2

b2 ? c2 = 2 b,

b 2 c 所以e= a = 2b = 2 .

求椭圆离心率的取值范围 微课13 ● 典型示例

6

x2 y 2 2 2 例2 若椭圆 a + b =1(a>b>0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存
在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 .

【思维导图】

【答案】

?1 ? , 1? ? ?2 ?

【规范解答】由题意知,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 F,即点F到点P 与点A的距离相等.

a2 b2 而FA= c -c= c ,PF∈[a-c,a+c], b2 2 2 2 于是 c ∈[a-c,a+c],即ac-c ≤b ≤ac+c ,
?c ? 1, ? ?a ? ?ac-c2 ? a 2 -c2, ? c ? -1或 c ? 1 , ? 2 2 2 a -c ? ac ? c , ? a 2 所以 ? 解得 ? a

?1 ? c 1? ? , 又因为e= a ,e∈(0,1),故e∈ ? 2 ? .
【精要点评】(1)一般地,求解离心率的值或取值范围的问题,关键是将几何条件转化为

a,b,c的方程或不等式,然后再解方程或不等式,要注意的是建立的方程或不等式应该是齐
次式.(2)对于椭圆上或直线上的点,应该利用该点建立方程,转化为与该点相关的变量的方程 的有解问题,这里要注意椭圆等图形本身的范围限制.

● 总结归纳

7

1.存在性问题可转化为方程有解; 2.求离心率范围可转化为求不等式(组)的解集或方程有解等问题; 3.若点P在椭圆上,F为椭圆的一个焦点,则PF∈[a-c,a+c].

● 题组强化

y2 x2 2 1.(2014?合肥三检)椭圆 a + (a ? 1) =1的离心率e的取值范围是
? 3 ? 1? ? , 2 ? ? ? 【答案】
a (a ? 1) -a 1(a ? 1) 2 2 a ?1 【解析】由题知(a+1) >a>0,所以e= = =
2

.

1-

1 1 3 a? ?2 a ≥ 2 ,

? 3 ? 1? ? , 2 ? ? ?. 故e∈

x2 y 2 2 2 2.在平面直角坐标系 xOy中,椭圆 a + b =1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P是椭圆上一
点,l为左准线,PQ⊥l,垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形,则椭圆的离心率 e的取值范围 是 .

【答案】( 2 -1,1)

a2 a2 a2 【 解 析 】 由 题 意 知 AF=PQ , 即 a+c=xP+ c , 则 xP=a+c- c , 所 以 有 -a<a+c- c <a , 即 a2 c< c <2a+c,左侧不等式显然成立,所以a2<2ac+c2,即e2+2e-1>0.又0<e<1,所以 2 -1<e<1.

x2 y 2 2 2 3.已知点M是椭圆 a + b =1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与
y轴相交于P,Q两点.若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是
.

8

? 6- 2 ? 0 , ? ? ? 2 ? ? 【答案】 ?

b2 【解析】由题意可知圆M的半径为 a ,点M到y轴的距离为c,由于△PQM是等腰三角形,故只能 b2 2 2 2 2 是 ∠PMQ 为 钝 角 , 从 而 只 需 a > 2 c 即 可 , 即 2 ac<b =a -c , 两 边 同 除 以 a 并 整 理 得
? 6- 2 ? - 2- 6 - 2? 6 0 , ? ? ? 2 ? ?. 2 2 e2+ 2 e-1<0,解得 <e< . 又因为0<e<1,所以e∈ ?

x2 y 2 2 2 4.已知椭圆 a + b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).若椭圆上存在点P,
a c sin? PF1F2 = sin? PF2 F1 ,则该椭圆的离心率的取值范围为 使得
【答案】( 2 -1,1)

.

sin? PF1F2 PF2 a c sin? PF2 F1 = PF1 ,因为 sin? PF1F2 = sin? PF2 F1 , 【解析】在△PF1F2 中,由正弦定理知
PF2 a 1 PF1 = c = e ,即PF1=ePF2. ① 所以
又因为点P在椭圆上,所以PF1+PF2=2a,

2a 2 将①代入得PF2= e ? 1 ∈(a-c,a+c),同除以a得1-e< e ? 1 <1+e,
解得 2 -1<e<1.

椭圆几何性质的综合应用 例3 (2015?南通、扬州、淮安、连云港二调)如图,在平面直角坐标系 xOy中,椭圆

x2 y 2 a 2 + b 2 =1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),P(x0,y0)为椭圆上一点,且PA⊥PF.

9

(例3) (1)若a=3,b= 5 ,求x0的值; (2)若x0=0,求椭圆的离心率;

a2 (3)求证:以F为圆心,FP为半径的圆与椭圆的右准线x= c 相切.
【解答】(1)因为a=3,b= 5 , 所以c =a -b =4,即c=2.
2 2 2

y0 y0 x ? 3 ? x0 -2 =-1, 由PA⊥PF,得 0

2 y0 x2 =- 0 -x0+6.

2 2 x0 y0 x2 又 9 + 5 =1,所以4 0 +9x0-9=0,

3 解得x0= 4 或x0=-3(舍去).
(2)当x0=0时,
2 y0 2 =b ,

y0 y0 由PA⊥PF,得 a ? -c =-1,
即b =ac,所以a -c =ac, 所以e +e-1=0,
2 2 2 2

5-1 解得e= 2 (负值舍去).
2 2 x0 y0 a2 a2 2 2 (3)依题意,椭圆右焦点到直线x= c 的距离为 c -c,且 a + b =1, ①

y0 y0 x ? a ? x0 -c =-1, 由PA⊥PF,得 0

10



2 y0 x2 =- 0 +(c-a)x0+ca, ②

a (b 2 -ac ) a (a 2 -ac-c 2 ) c2 c2 由①②整理得(x0+a)(x0+ )=0,解得x0=或x0=-a(舍去).

所以PF=

? a2 ?c ? -x0 ? ? c ?a

a (a 2 -ac-c 2 ) a 2 c c2 =a+ a ? = c -c,

a2 所以以F为圆心、FP为半径的圆与右准线x= c 相切.
【精要点评】关于椭圆性质的综合应用的题目都有一定的难度,充分利用或挖掘各种条 件是解决问题的关键.但是,基本量的求解与基本关系的处理是解决问题的必要途径.

x2 y 2 2 2 变式 (2015?福建卷改编)已知椭圆E: a + b =1(a>b>0)过点(0, 2 ),且离心率为

2 2 .
(1)求椭圆E的方程;

? 9 ? 0? ?- , (2)设直线x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G ? 4 ? 与以线段AB为直径的圆的
位置关系,并说明理由.

?b ? 2, ? ? a ? 2, 2 ?c , ? ? ? ?b ? 2, ? a2 22 2 ?a ? b ? c , ?c ? 2, 【解答】(1)由已知得 ? 解得 ?

x2 y 2 所以椭圆E的方程为 4 + 2 =1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).

? x ? my -1, ? 2 ?x y2 ? ? 1, ? 2 2 2 由? 4 消去x,得(m +2)y -2my-3=0,
2m 3 2 2 所以y1+y2= m ? 2 ,y1y2=- m ? 2 ,

11

m 从而y0= m ? 2 .
2

9? ? 5 5 25 x0 ? ? 2 2 2 ? y y y 2 ? 2 2 4 ? + 0 =(my0+ 4 ) + 0 =(m +1) 0 + 2 my0+ 16 . 所以GH =

2

AB 2 (x1 -x2 )2 ? (y1 -y2 )2 (m2 ? 1)(y1 -y2 )2 (m2 ? 1)[(y1 ? y2 )2 -4 y1 y2 ] y2 2 4 = 4 4 4 = = =(m +1)( 0 y1y2).

5m2 AB 2 5 3(m 2 ? 1) 25 17m2 ? 2 25 2 2 2 2 2 故GH - 4 = 2 my0+(m +1)y1y2+ 16 = 2(m ? 2) - m ? 2 + 16 = 16(m ? 2) >0,

? 9 ? AB 0? ?- , 4 ? ? 在以AB为直径的圆外. 2 所以GH> ,故点G

x2 y2 1.已知椭圆 25 + 9 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则点P到右准线
的距离是 .

15 【答案】 2
6 15 【解析】由PF1=4,知PF2=6,所以点P到右准线的距离d= e = 2 .

2. 设 F1 , F2 为两定点, F1F2=8 ,动点 P 满足 PF1⊥PF2 ,且 PF1+PF2=10 ,满足条件的点 P 的个数 为 【答案】4 .

x2 y2 【解析】由PF1+PF2=10,可知点P(x,y)在曲线 25 + 9 =1上.又因为PF1⊥PF2,根据对称性可
知点P的个数为4.

12

x2 y 2 1 2 2 3.若过椭圆 a + b =1(a>b>0)的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为 2 a,则该椭
圆的离心率是 .

3 【答案】 2

(第3题)

? b2 ? ? c, ? a? 2 2 2 【解析】如图,设椭圆焦点为(c,0),a =b +c ,点P的坐标为(c,0),点M的坐标为 ? ,

b2 1 a b2 1 a 2 -c 2 1 ,2 2 则 a = 2 ? 2 a = 4 ,即 a = 4 , c2 3 3 c 2 即 a = 4 ,所以e= a = 2 .

???? ? ????? MF 1 ? MF2 =0 ,则椭圆离心率的 4.已知F ,F 为椭圆的两个焦点,若椭圆上总存在点 M,使得
1 2

取值范围为

.

? 2 ? , 1? ? ? 2 ? 【答案】 ?

???? ? ????? MF 1 ? MF2 =0 ,且动点 M 位于椭圆上顶点时,∠F MF 最 【解析】因为椭圆上总存在点 M,使得
1 2

大 , 所 以 90°≤∠F1MF2<180° , 此 时 MF1=MF2=a , F1F2=2c. 在 △F1MF2 中 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? a 2 -(2c)2 ?c? ? ? 2 2 2a cos∠F1MF2= =1-2 ? a ? =1-2e ∈(-1,0],
2

? 2 ? , 1? ? ? 2 ? ? 故e∈ .

13

【融会贯通】 融会贯通 能力提升

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证:△PF1F2的面积与椭圆短轴长有关.

【思维引导】 方法一:

方法二:

x2 y 2 2 2 【规范解答】方法一:设椭圆方程为 a + b =1(a>b>0),P(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,
0),c>0,

由第二定义易知PF1=a+ex1,PF2=a-ex1.

14

(a ? ex1 ) ? (a-ex1 ) -4c 1 2(a ? ex1 )(a-ex1 ) 在 △PF1F2 中 , 由 余 弦 定 理 得 cos60°= 2 =
2 2

2

, 解 得

4c 2 -a 2 x12 = 3e 2 ……4分 4c 2 -a 2 2 x2 2 2 2 2 (1)因为 1 ∈[0,a ),所以0≤ 3e <a ,即4c -a ≥0…………6分
?1 ? c 1 , 1? ? 2 ? ? ……………………8分 a 2 所以e= ≥ .故椭圆离心率的取值范围是

(2)将

x

2 1 =

b2 4c 2 -a 2 x2 y 2 b4 2 3e 2 代入 a 2 + b 2 =1,得 y1 = 3c 2 ,即|y1|= 3c …………………11分
2

b 3 1 1 S? PF1F2 2 2 所以 = F1F2?|y|= 2 ?2c? 3c = 3 b .
即△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关………………………16分 方法二:设PF1=m,PF2=n,∠PF2F1=α ,∠PF1F2=β ,则α +β =120°. (1)在△PF1F2中,设PF1=m,PF2=n,∠PF2F1=α ,∠PF1F2=β ,由正弦定理得

2c 2c m 0 0 sin? = sin? = sin60 ,所以 sin? ? sin? = sin60 ……………………2分

n

m?n

2a 2c 0 sin ? ? sin ? 因为m+n=2a,所以 = sin60 ,…………………4分
所 以
0

sin600 1 sin60 ? ?? ? -? ? -? c 1 2cos 2sin cos sin ? ? sin ? 2 2 2 e= a = = = ≥2 .
当且仅当α =β 时等号成立…………………………………………6分

?1 ? , 1? ? 2 ? ? ………………………………8分 故椭圆离心率的取值范围是
(2)在△PF1F2中,由余弦定理得(2c) =m +n -2mncos 60°=m +n -mn=(m+n) -3mn………10分
2 2 2 2 2 2

4 4 2 2 2 因为m+n=2a,所以4c =4a -3mn,即mn= 3 (a -c )= 3 b ……………………………12分
2 2

15

所以

S? PF1F2

3 1 2 = 2 mnsin 60°= 3 b .

即△PF1F2的面积与椭圆短轴长有关……………………………16分 【精要点评】椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及 有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题时通过变形,使之出现PF1+PF2的 结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a,c的关系式,使问题找到解决思路.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第121~122页.

【检测与评估】 第61课 椭圆的几何性质 一、 填空题

x2 y 2 1.已知椭圆 4 + 8 =1,那么该椭圆的准线方程为

.

1 2. 已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为 2 ,焦距为 8 ,则该椭圆的方程
是 .

x2 y 2 3 3.若椭圆 4 + m =1的离心率为 2 ,则实数m的值为

.

x2 y 2 3a 2 2 4.已知F1,F2分别是椭圆E: a + b =1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x= 2 上一点,△F2PF1
是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为 .

16

x2 y 2 2 2 5.在平面直角坐标系中,椭圆 a + b =1(a>b>0)的焦距为2c,以原点O为圆心,a为半径作圆

? a2 ? 0? ? , c ? ? O,过点 作圆O的两条切线互相垂直,则离心率e=

.

6.已知F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,点P在椭圆上,且满足PF1=2PF2,∠PF1F2=30°,则椭 圆的离心率为 .

x2 y 2 ??? ? ??? ? 7.若点O和点F分别为椭圆 4 + 3 =1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 OP ? FP
的最大值为 .

x2 y 2 8.已知椭圆 9 + 4 =1的左、右焦点分别为 F1,F2,点P(x0,y0)为椭圆上的动点,当∠F1PF2为
钝角时,点P的横坐标x0的取值范围为 .

二、 解答题

x2 y 2 2 2 9.(2015?扬州期末)如图,A,B,C是椭圆M: a + b =1(a>b>0)上的三点,其中点 A是椭圆
的右顶点,BC过椭圆M的中心,且满足AC⊥BC,BC=2AC. (1)求椭圆M的离心率; (2)若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9,求椭圆M的方程.

(第9题)

17

10.已知椭圆的右焦点F(m,0),左、右准线分别为l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且l1,l2分别与直 线y=x相交于A,B两点.

2 (1)若离心率为 2 ,求椭圆的方程; ??? ? ??? ? (2)当 AF ? FB <7时,求椭圆离心率的取值范围.

x2 y 2 2 2 11.(2014?江苏卷 ) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆 a + b =1(a>b>0) 的
左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点 A,过点A作x轴的垂线交椭圆 于另一点C,连接F1C.

? 4 1? ? ,? (1)若点C的坐标为 ? 3 3 ? ,且BF2= 2 ,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆的离心率e.

(第11题)

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12. 在△ABC 中,∠ACB=60°, sin A∶sin B=8∶5,则以 A , B 为焦点且过点 C 的椭圆的离心率 为 .

x2 y 2 a2 2 2 13.设F1,F2分别是椭圆 a + b =1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= c 上存在点P,使线段
PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是 .

18

【检测与评估答案】 第61课 椭圆的几何性质

8 1. y=±4 【解析】因为c =a -b =8-4=4,所以准线方程为y=± 2 =±4.
2 2 2

y2 x2 c 4 1 2 2 2 2. 64 + 48 =1 【解析】因为2c=8,所以c=4,所以e= a = a = 2 ,故a=8.又因为b =a -c =48, y2 x2 所以椭圆的方程为 64 + 48 =1.
2 2 2 2 2 【 解 析 】 若 焦 点 在 x 轴 上 , 则 m<4 , 即 a =4 , b =m ? c =a -b =4-m , 得 到

3. 1 或 16

c2 3 c2 3 a 2 = 4 ?m=1;若焦点在y轴上,则m>4,即a2=m,b2=4 ? c2=a2-b2=m-4,得到 a 2 = 4 ? m=16.

3 4. 4

?3 ? 3 ? a-c ? ? =2c,所以3a=4c,所以e= 4 . 【解析】由题意可得PF2=F1F2,所以2 ? 2

2 5. 2

a2 【 解 析 】 如图,四边 形 OAPB 为 正方形 ,所以 OP= 2 OA , 所以 c = 2 a ,解 得

c 2 2 a = 2 ,即离心率e= 2 .

(第5题)

19

3 6. 3

【 解 析】 在△PF1F2 中 ,由正 弦定理得 sin∠PF2F1=1 ,即 ∠PF2F1=90°. 设 PF2=1 , 则

2c 3 PF1=2,F2F1= 3 ,所以离心率e= 2a = 3 .
??? ? ??? ? OP 【 解 析 】 由 椭 圆 方 程 得 F(-1 , 0) , 设 P(x0 , y0) , 则 ? FP =(x0 , y0)?(x0+1 ,
2 x0 y2 +x0+ 0
2 x0 . 因 为 P 为 圆 上 一 点 , 所 以 4 2 y0 3

7.6

y0)=

+

=1. 所 以

2 ? x0 ? x2 1 ??? ? ??? ??? ? ??? ?1- ? 0 ? 2 ? 4 x ? = 4 +x0+3= 4 (x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2,所以 OP ? FP 的最大值 OP ? FP = 0 +x0+3 ?

在x0=2时取得,且最大值等于6.

? 3 5 3 5? ? ? - 5 ,5 ? ? ? 8. ?
5 -x0 , -y0) ,

???? PF1 5 5 【解析】由题意知 F1(, 0) , F2( , 0) ,由 P(x0 , y0) ,知 =(=( 5 -x0 , -y0) ,所以

???? ? PF2

???? PF1

2 2 x0 y0 ???? ? 2 2 PF2 x0 y ? = -5+ 0 <0 ①. 又因为 9 + 4 =1

? 3 5 3 5? 9 3 5 3 5 ? 2 ? - 5 ,5 ? ? x ?. ②,由①②得 0 < 5 ,所以- 5 <x0< 5 .则点P的横坐标x0的取值范围为 ?
9. (1) 因为BC过椭圆M的中心, 所以BC=2OC=2OB. 又AC⊥BC,BC=2AC,所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形,

?a? ? a? ? ? ?- ? ?a a? ? a a? 10 ?2? ? 2? - ? ? , ?? ,? 2 2 则 A(a , 0) , C ? 2 2 ? , B ? 2 2 ? , AB= 2 a ,所以 a + b =1 ,则 a2=3b2 ,所以

2

2

6 6 c2=2b2,e= 3 .所以椭圆M的离心率为 3 . ?a a? 10 ? ,? (2) △ABC的外接圆圆心为AB的中点P ? 4 4 ? ,半径为 4 a,

20

? a? ? a? 5 ? x- ? ? y - ? 2 则△ABC的外接圆为 ? 4 ? + ? 4 ? = 8 a .

2

2

a 令x=0,得y=a或y=- 2 ,
? a? ?- ? 所以a- ? 2 ? =9,解得a=6.

( 也可以由垂径定理得

? 10 ? ? a ?2 ? ? 9 ? 4 a? ? -? 4 ? ? 2 ? ? = ,从而解得 a=6) ,所以所求的椭圆方程为

2

x2 y 2 36 + 12 =1.

x2 y 2 2 2 10.(1)设椭圆的方程为 a + b =1(a>b>0). a2 由已知得c=m, c =m+1,
从而a =m(m+1),b =m.
2 2

2 由e= 2 ,得b=c,从而得m=1,
故a= 2 ,b=1,

x2 2 故椭圆的方程为 2 +y =1.
(2) 易 得 A(-m-1 , -m-1) , B(m+1 , m+1) , 从 而 AF =(2m+1 , m+1) , FB =(1 , m+1) , 故

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AF ? FB =2m+1+(m+1)2=m2+4m+2<7,得0<m<1.
1 ? 2? m 1 c 0 , ? ? 1? ? ? m(m ? 1) = m ,故所求离心率的取值范围为 ? 2 ? . 所以离心率e= a =
11.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).

21

(1)因为B(0,b),所以BF2= b ? c =a.又BF2= 2 ,故a= 2 .
2 2

16 1 ? 4 1? 9 9 ? ,? 3 3 ? 在椭圆上,所以 a 2 + b 2 =1,解得b2=1. 因为点C ?
x2 2 故椭圆的方程为 2 +y =1.

x y (2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为 c + b =1.
? 2a 2 c ?x y ? ? 1 , x ? , ? ? ?c b ? 1 a2 ? c2 ? 2 ? 2 2 2 ? x ? y ? 1, ? y ? b(c -a ) , ? 2 b2 ? 1 a2 ? c2 解方程组 ? a 得?

? 2a2c b(c2 -a 2 ) ? ? x2 ? 0, ? ? 2 2,2 2 ? a ?c a ?c ? ? y2 ? b, 所以点A的坐标为 ? . ? 2a 2c b(a 2 -c 2 ) ? ? 2 2,2 2 ? a ?c a ?c ? 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为 ? ,
b (a 2 -c 2 ) -0 a2 ? c2 b(a 2 -c 2 ) b 2a 2 c -(c ) 2 3 2 2 所 以 直 线 F1C 的 斜 率 为 a ? c = 3a c ? c , 直 线 AB 的 斜 率 为 - c . 又 F1C⊥AB , 所 以

b(a 2 -c 2 ) ? - b ? ? ? 3a 2c ? c3 ? ? c ? =-1,由b2=a2-c2,整理得a2=5c2,

1 5 故e = 5 ,因此e= 5 .
2

7 12. 13

c 2c AB 【解析】由题意知 e= a = 2a = AC ? BC .因为 sin A∶sin B=8∶5,所以由正弦定
2 2 2

理得 a∶b=8∶5. 设 a=8k , b=5k ,所以由余弦定理可得 c =a +b -2abcos C ,所以 c=7k ,所以

7k 7 e= 8k ? 5k = 13 .

22

? 3 ? 1? ? , ? 3 ? 13. ?

? a2 ? ? b2 y ? , y ? ? ? ,? c ? ,线段F1P的中点Q的坐标为 ? 2c 2 ? ,则直线F1P的斜率 【解析】设P ?

cy cy kF1P a 2 ? c 2 kQF2 b2 -2c 2 2 2 = ,当直线 QF2 的斜率存在时,设直线 QF2 的斜率为 = (b -2c ≠0),由
(a 2 ? c 2 )(2c 2 -b 2 ) kF1P kQF2 2 2 2 2 2 2 c2 ? =-1 , 得 y2= ≥0 , 又 b -2c ≠0 , 故 2c -b >0 , 即 3c -a >0 , 即 a2 1 3 e2> 3 ,故 3 <e<1. 当直线 QF2 的斜率不存在时, y=0 , F2 为线段 PF1 的中点 . 由 c -c=2c ,得

3 3 e= 3 ,综上,得 3 ≤e<1.

23


推荐相关:

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程单元小练 文

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程...2 ? 【解析】由题知6个不同的点有两个为短轴的两个端点,另外4个分别 在...


【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第63课 抛物线 文

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第...2a -1 =a; ②当a≥1时,1-a≤0, 6 此时有x0=a-1,dmin= 2a-1 . ...


【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第60课 椭圆的方程 文

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第...已知某椭圆焦距是 4,焦点在x轴上,且经过点 M(3,-2 6 ),则该 椭圆的...


【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第62课 双曲线 文

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第...x2 y 2 3.( 选修 2-1P48 习题 6 改编 ) 以椭圆 8 + 5 =1 的焦点...


【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第61课 椭圆的几何性质 文

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第...6- 2 ? - 2- 6 - 2? 6 0 , ? ? ? 2 ? ?. 2 2 e2+ 2 e-...


【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第54课 直线的基本量与方程 文

【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第54课 直线的基本量与方程 文...(第6题) 7.(1,-2) 【解析】因为k,-1,b成...


【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习回归训练 第一部分 微专题训练-第6练 圆锥曲线

【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习回归训练 第一部分 微专题训练-第6圆锥曲线_数学_高中教育_教育专区。【回归训练】 一、 填空题 x2 y2 1. ...


【南方凤凰台】2016数学(文,江苏专用)二轮:专题五 解析几何第2讲 圆锥曲线[来源:学优高考网988672]

【南方凤凰台】2016数学(文,江苏专用)二轮:专题五 ...第2讲 圆锥曲线[来源:学优高考网988672]_数学_...解得a2=10,b2=6,所以 x2 y 2 所求方程为 10...


【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习专题检测评估 专题六 第2讲 圆锥曲线

【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习专题检测评估 专题六 第2讲 圆锥曲线...(1,0) 2. 4 3 2 2 圆锥曲线 3. 4. 4 5. 120° x2 y 2 6. 5...


2015届高考数学 江苏专用 【解析几何中的瓶颈题】

2015届高考数学 江苏专用 【解析几何中的瓶颈题】_...(第6题) 第2讲 解析几何中的“瓶颈题” 分类...(目标)点M的轨迹Q的方程?(方法)归结 为圆锥曲线...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com