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第三章 任意角的三角函数


第三章 任意角的三角函数 反三角 函数 解三角形

一. 教学目的和要求
? 1.理解任意角和弧度制的概念,能熟练的进行度 与弧度的换算,并会求圆弧长. ? 2.理解任意角三角函数的定义、定义域和值域.熟 练掌握任意角三角函数值的符号以及特殊角的三 角函数值. ? 3.理解同角三角函数间的关系,并能熟练地运用 这些关系式进行同角三角函数的恒等变换,

以培 养学生逻辑推理能力和计算能力.

? 4.理解三角函数在单位圆上的表示法和三角函数的周期性. ? 5.掌握三角函数的简化公式,并能熟练运用简化公式求任 意角的三角函数值,化简三角函数式以及证明有关的三角 恒等式. ? 6.掌握正弦、余弦、正切、余切函数的图象和性质.并能 熟练运用“五点法”做正弦、余弦函数的图象. ? 7.能由函数的图象讨论函数的性质. ? 8.掌握正弦、余弦、正切的加法定理以及二倍角、半角、 和差化积、积化和差等公式,并能正确地运用这些公式进 行三角函数式的恒等变换和有关计算. ? 9.掌握本章各公式的内在联系,培养学生逻辑推理与综合 分析的能力.

10、理解反余弦函数、反正切函数和反余切函数的概念, 掌握它们的定义域和值域,了解它们的图象. 11、掌握反三角函数的基本公式,并能进行有关运算.

二. 教学重点和难点
? 1.重点
(1)弧度制.
(2)任意角三角函数的定义、定义域、值域,三角 函数值的符号及三角函数在单位圆上的表示法. (3)同角三角函数间的关系. (4)三角函数的简化公式.

(5)正弦函数和正切函数的图象及其性质.

? 2.难点
(1)弧度制的概念. (2)灵活自如地运用三角函数间的关系进行三角恒 等变换, 正确地运用简化公式进行各种运算.

? 正切(坡比):Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边 的比,记做tan A; ? 正弦:∠A的对边与斜边的比记做sin A; ? 余弦:∠A的邻边与斜边的比记做cos A; ? 锐角A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数 ? 仰角:当从低处观测高处目标时,视线与水平 线所成的锐角 ? 俯角:当从高处观测低处目标时 ?

一、任意角的三角函数
P ( x , y ) r ? x2 ? y2 , 在角 ? 的终边上任取 一点 ,记: ..
y 正弦: sin ? ? r
y tan ? ? 正切: x

余弦: cos ? ?

x r

余切: cot? ? 余割: csc? ?
r y

x y

r 正割: sec ? ? x

特殊三角函数值表
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当a=n时 n=0度 sina=0,cosa=1,tana=0 n=30度 sina=1/2,cosa=√3/2,tana=√3/3 n=45度 sina=√2/2,cosa=√2/2,tana=1 n=60度 sina=√3/2,cosa=1/2,tana=√3 n=90度 sina=1,cosa=0,tana不存在 n=120度 sina=√3/2,cosa=-1/2,tana=-√3 n=150度 sina=1/2,cosa=-√3/2,tana=-√3/3 n=180度 sina=0,cosa=-1,tana=0 n=270度 sina=-1,cosa=0,tana不存在 n=360度 sina=0,cosa=1,tana=0

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 。 商数关系: tan ? ?
sin ? cos ? , cot ? ? 。 cos ? sin ?

平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot2 ? ? csc2 ? 。

三、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

四、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? (?)

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2
2

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

1 ? cos 2? 1 ? sin 2? 1 ? cos 2? sin 2? 2 cos ? ? ? , sin ? ? , tan ? ? 。 2 2 sin 2? 1 ? cos 2?

五、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
1 ? tan2 ? 2 tan ? 2 tan ? sin 2? ? , cos2? ? , tan 2? ? 。 2 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示。 ..

六、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

cos sin

???
2

?⑴ ?⑵ ?⑶ ?⑷

???
2 2 2

???
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

???

cos

???
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???

sin

???
2

和差化积公式的推导:
??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? ? sin cos ? cos sin ? 2 2 2 2 2 2 ? ?
??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。

七、积化和差公式
1 sin ? ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2 1 sin ? ? sin ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、正弦定理
a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

十、余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

十二、三角形的面积公式
S ?ABC ? S ?ABC ? S ?ABC ? S ?ABC ? 1 ? 底?高 2 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2 abc ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 4R a?b?c ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2 a?b?c ) 2

S?ABC ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ?海仑公式(其中 p ?
y

sin ? ? cos ?

y

sin ? ? cos ? ? 0 sin ? ? cos ? ? 0

sin ? ? cos ?

o
x? y ?0

x
sin ? ? cos ? A(?2,2)

sin ? ? cos ? ? 0

o
A(?2,2)
x? y ? 0

x

十二、诱导公式
sin( 2kπ+α) =sinα 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的 值 k 是整数 cos ( 2kπ+α) =cosα tan( 2kπ+α) =tanα cot( 2kπ+α) =cotα sec( 2kπ+α) =secα csc( 2kπ+α) =cscα sin( π+α) =-sinα 公式二: 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函 数值之间的关系 cos (π+α) =- cosα tan(π+α) =tanα cot( π+α) =cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα

公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间 的关系

sin(- α) =- sinα cos (- α) =cosα tan(-α) =-tanα cot(- α) =- cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα sin( π- α) =sinα

公式四: 利用公式二 和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之 间的关系

cos (π- α) =-cosα tan(π- α) =- tanα cot( π-α) =- cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα sin( α-π) =- sinα cos ( α-π) =- cosα tan(α-π) =tanα cot( α-π) =cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=- cscα

公式五: 利用公式四 和 三角函 数的奇偶 性 可以得到 α-π 与 α 的三 角函数值之间的关系

公式六: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三 角函数值之间的关系

sin( 2π- α)=- sinα cos ( 2π- α) =cosα tan( 2π- α)=- tanα cot( 2π- α)=- cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα

sin( π/2+α) =cosα

cos( π/2+α) =- sinα

an( π/2+α) =- cotα cot( π/2+α) =-tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα sin( π/2- α) =cosα cos( π/2-α)=sinα tan(π/2- α) =cotα cot(π/2- α) =tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα sin( 3π/2+α) =- cosα cos( 3π/2+α) =sinα tan( 3π/2+α) =- cotα cot( 3π/2+α) =- tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα sin ( 3π/2- α)=- cosα tan( 3π/2- α) =cotα sec(3π/2-α)=-cscα cos ( 3π/2- α)=- sinα cot( 3π/2- α) =tanα

公式七: π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数 值之间的关系

csc(3π/2-α)=-secα

五. 基本题型选解及分析
例1: 已知 ? 是第Ⅱ象限角,化简 1 ? 2 sin ? cos?

解 :

1 ? 2 sin ? cos?

= sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos?
=

(sin ? ? cos ? )

2

=

| sin ? ? cos? | .

当 ? 是第Ⅱ象限角时,

? sin ? ? 0, cos? ? 0,

?


sin ? ? cos ? ? 0

1 ? 2 sin ? cos? = sin ? ? cos ?

例2: 证明恒等式:

cos4 ? ? sin 4 ? ? cos2 ? (1 ? tan? )(1 ? tan? ). 2 2 2 2 (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ?) 证 : ?左边=
= cos
2

? ? sin ? ;
2

sin ? 右边= cos ? (1 ? tan ? ) ? cos ? ? cos ? 2 cos ? 2 2 = cos ? ? sin ? .
2 2 2 2 2

? 左边=右边

.

例3: 求函数 y ? sin x ? cos x 的周期和振幅. x 为何值时, y有最大值和最小值?最大值和最小 值各是多少?

解:

? y ? sin x ? cos x
1 1 ? 2( sin x ? cos x ) 2 2 ? ? 2 sin(x ? ). 4

? 函数的周期为 2? ,振幅为
(?

,0) , 4 ? 1 ? 当 x ? ? ? ? 2? ? 时,y有最大值 2 ; 4 4 4 ? 3 5? 时,y有最小值 ? 2 . 当 x ? ? ? ? 2? ? 4 4 4

?

2 ,起点为

一般地,当 x ? 值

?

4

? 2k? ( k ? Z ) 时,y有最大

2,

5? y有最小值? ? 2k? ( k ? Z ) 时, 当x ? 4

2

例4: 已知 b ? 60, c ? 34, ?A ? 410,求 a、?B及?C

(边长保留两个有效数字).
解: (1)由 得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cosA A
.

a 2 ? 602 ? 342 ? 2 ? 60 ? 34cos410
? 3600? 1156? 4080? 0.7547 ? 1677

所以

a ? 40.95 ? 41


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