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曲线和方程(第一课时)


曲线和方程

画出方程 x–y = 0 表示的直线
Y

· · O
X

1、直线上的点的坐标都是方程的解;
2、以这外方程的解为坐标的点都在直线上。

即:直线上所有点的集合与方程的解的 集合之间建立了一一对应的关系 也即:
Y

直线

O

X

方程 x ? y ? 0

类比:
抛物线

? ?

方程:y = x2

推广:
任意曲线C
方程:F(x,y)=0

也即:方程F(x,y)=0的解与曲线C上的点 即:任意的曲线和二元方程是否能都建立这 的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x,y)=0 种对应关系呢? 表示曲线C,同时曲线C也表示着方程F(x,y) =0?为什么要具备这些条件?

用下列方程表示如图所示的曲线C,对吗? 为什么?

(1)
(2)

x? y ?0
x ?y ?0
2 2

(3)

x ?y?0

(1)

(2)

(3)

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上 的点与一个二元方程 f ( x, y ) ? 0 的实数 建立了如下的关系:
⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解;

⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点, 那么,这个方程叫做曲线的方程;
这条曲线叫做方程的曲线

这样用集合相等的概念定义“曲线的方程” 与“方程的曲线”为:

(1)
(2)

C?F
F ?C

C?F

下列各题中,图所示的曲线C的方程为所列方程, 对吗?如果不对,是不符合关系⑴还是关系⑵?

曲线C是到坐标轴 曲线C△ABC 为中线AD方程: 距离相等的点组成的 直线方程:x-y=0 x=0

1 方程:y ? x
【3】

曲线C是过点 (1,1)的反比 例曲线图像

【1】

【2】

解答下列问题,且说出各依据了“曲线的方 程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系?

(1)点A( 3,? 4)、B( x ? y ? 25的圆上?
2 2

? 2 5, ) 是否在方程 2

(2)已知方程为x ? y ? 25的圆过
2 2

点C(

7,m) , 求m的值。

本节课我们通过实例的研究,掌握了“曲线 的方程”和“方程的曲线”的定义,在领会定义 时,要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可,它们都是 “曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件, 两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线” 才具备充分性。 曲线和方程之间一一对应的确立,进一步 把“曲线”与“方程”统一了起来,在此基 础上,我们就可以更多地用代数的方法研究 几何问题。


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