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2004年全国高中数学联赛模拟试卷3


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文学竞赛之育  

中学生数学 

2 0 0 4 年7 月上 

2 0 0 4 年全国高中数学联赛模拟试卷 
华南师大附中( 5 1 0 6 3 0 )   李兴怀 
出贡献奖” . 他所指导的学生在数学高考、 数学竞赛等 

方面都取得 了优异成绩, 其中方家聪同学连续两次夺  得全国中学生数 学冬令营个人第一名, 黄潇、 黄景炽   同学分别取得 2 0 0 0 年和 2 0 0 3 年广东省高考数学单科  状元, 李鑫、 朱琪慧、 方家聪等同学在 国际数 学奥林 匹   克竞赛中共获得 四枚金牌, 一枚银牌 , 有 多项科研项  
目获省市优 秀教学成果奖.  

数学奥林匹克在华南师大附中  
华南师大附中是广东省教育厅直属中学. 1 9 5 2 年   华南师大附中由原中山大学附中、 岭 南大学附中、 华   南联大附中和广东文理学院附中四所 中学合并组建   而成. 1 9 7 8年恢复为广东塔重点中学, 1 9 8 6 年被评为  
首批广东省一级学校, 2 0 0 2 年华南师大附中由一所完  

全中学发展成以校本部( 独立高中和广东奥林 匹克学   校) 为核心, 有两所 民办完全 中学和一所民办公助独  
立高中的教育集 团, 成为一所在 国内备 受关注、 在国  


第一试 


选择题( 满分 3 6 分, 每小题 6 分)  

外有一定影响的现代化 中学. 据不完全统计, 校友 中   有中国科学院院士 4名, 中国工程院院士 3名, 第三  
世界国家科学院院士 1 名。   1 9 9 3 年华南师大附中承办 了由广东省教 育厅直  

1 .二次函数 厂 ( z ) 一z   一2 a x +2 a +4的值域为 

[ 1 , +o 。 ) , 则实数 a的取值范围是(  
( C )( 一1 , 3 }   ( D )以上都不对 

) .  

( A) [ 一1 , 3 1   ( B ) ( 一o 。 , 一1 ) U( 3 , +o 。 )  
2 .一个正   棱锥的侧棱长等于底面边长, 则  的 
最大值为(   ) .  

接领导的广东奥林匹克学校. 奥校每年面向全省招收  两个初 中班和一个高中班 , 对各科学习成绩优秀且理  

科特长明显的学生加强培养教育, 努力发展他们已经  
显露 出来的才华和优势, 为他们将来成为高层次的拔  尖人才打下坚实的基础, 并力争在国内、 国际学科奥   林匹克竞赛中取得优异成绩.  

( A) 4  ( B ) 5  ( c ) 6  ( D ) 无最大值 
3 .设 a   , a z , …, a  为分母为 6 O的所有既约真分 

数, 则奎(   o s 竺  ) z 等于 (   ) .  
( A)0   ( B )8   ( C )1 6   ( D)3 0  

近十年来 , 学生 中有 4 O多人次入选数、 理、 化等  学科的国家集训队, 先后获得 国际数学奥林匹克竞赛 


4 .椭圆的长轴长为 6 , 左顶点在 圆( z 一3 )   +(   2 )   一4 上, 左准线为 Y轴, 则该椭 圆的离心率 e 的 
) .   取值范围是(  

金牌 5 枚, 银牌 1 枚, 铜牌 1 枚; 获国际物理、 化学奥林  匹克竞赛金牌各 1 枚; 获国际环境科研项 目奥林匹克   竞赛金牌 1 枚; 获亚洲物理奥林 匹克竞赛金牌 1 枚.  

以华南师大附中学生为主组成 的广 东代表队连  
续三年( 2 0 0 2 年, 2 0 0 3 年, 2 0 0 4 年) 取得 中国数学奥林 

( A ) [ - 蔷 - , 导 ]   ( B ) [ ÷ , ÷ ]   ( c ) [ ÷ , 詈 ]   ( D ) [ 导 , 1 ]  
5 .对于任意的整数 (   ≥2 ) , 满足 a   一a +1 , b  


匹克团体总分 第一名, 三次夺得“ 陈省身杯” , 并且先  后于2 0 0 0 年和 2 0 0 4 年两次代表中国参加了俄罗斯国   家数学奥林匹克竞赛, 共取得 了4 枚金牌、 7 枚银牌的  
显著成绩.  

6 +3 n的正数  与b的大小关系是 (  
( A)a >6 >1   ( B )6 >a >1  

) .  

( C)a > 1且 O <6 <1  

作者简介 
李兴怀, 1 9 5 8 年2 月生, 陕西岐山人, 现为华南师  
大附中高级教 师, 广东省特级教师, 中国数学奥林 匹  

( D)0 <n <1 且6 >1  

6 .已知存在整数 z   , z 2 , …, z   满足z { +z ; +…  

+z : 一1 5 9 9 , 则正整数  的最小值为(  

) .  

( A)1 5 9 9   ( B )1 6   ( C )1 4   ( D)1 5  

克高级教练, 教学和科研成绩突出. 1 9 8 9 年 9月被评 
为“ 全国优 秀教师” , 2 0 0 0年 1 2月获广东省教育厅和  

£  

二、 填空题( 满分 5 4 分, 每小题 9 分)  

广东省科协颁发的“ 为我国数 学奥林 匹克竞赛做出突  

7 ? 若 函 数 f   ) =   V  } 1   而 i   V  1   ,  ( 1 )  

圈 

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2 0 0 4 年7 月上 
+/ ‘ ( 2 ) +… +f ( 2 0 0 4 ) 一

中学生数学 

. 




8 .已 知实数a , J 9 满足a   一 3 a   +5 a 一1 ,   一3 卢 2 +  
5 J 9 —5 , 贝 0   t ; t +J 9 一   .  

答案或提示 
第一试 
1 .( C ) . 因为 厂 ( z ) =( z —n )   一n 。 +2 a +4的最  小值为一口   +2 a +4 , 依题意, 应有一n 。 +2 n +4 —1 , 所  以n 一一1 或3 , 故选( C ) .   2 .( B ) . 设正  棱锥的顶点 S到底 面A。 A z …A  

9 .函数 s 一,  ̄ — x 4 -5 x 2 - — 8 x - ' F 2 5 -~  
的最大值为  .  

可 

1 0 .复数 z满足 条件 a r g ( z+3 ) 一   , 设 “ 一  

Z + 可 6   l +l   Z 一  } 3 i, ’   当   “取 最 大 值 时, Z的值为  

的投影为0, 则当  ≥6 时, 有S A   >O A , ≥A。 A   , 故符  合题意的  ≤5 . 在 一5 时, 当侧棱与底面所成的角为 

1 1 . 若z ≥   ≥   ≥  , 且z +   + z 一 号 , 则  
c o s x s i n y c o s z的最大值与最小值的和为
能够被 3 整除的个数是  .  
.  
— —

a r c c o s — 
2 s i n  

时, 侧棱长等于底面边长. 故选( B ) .  

1 2 .只由 1 , 2 , 3 组成的不大于 1 亿的正整数中,  

3 .( B ) . 由于对任意口 , ∈( n 。 , n   , …, 口   } , 均有 1 一  

n , ∈( n l , n 2 , … , n   } , 所以妻 ( c o s   4 a - ) 。一  
l— l  

三、 解答题( 满分 6 O 分, 每小题 2 O 分)  
1 3 .设数列( n   } 满足 n l ≥3 , n   + l —n : 一   n   +1 ,   一1 , 2 , 3 , …. 证明对所有的正整数 , 有 
( 1 )n   ≥ +2 ;  

(   。  

‘ 

)  一妻 (   i   警)   , 于是我们有  
i— l   ‘ 

2 妻 ( c 。   警) z 一 妻 ( ( c 。   警) z + (   i   警) z ) 一   . 而1 ,  
i —l   i =l   ‘  ‘ 

+   + . . . +  ≤ ÷ .  
1 4 .已知双曲线  一百 y 一1 ( n >6 >o ) 的离心率 
n  o一  


2 , …, 6 O中与 6 O 互质的数的个数 一∞ ( 6 0 ) 一6 0 ( 1 一  
1) ( 1


寺 ) ( 1 一 了 1 ) 一 1 6 , 故   誊 ( c 。 s 警 )   一 8 , 故 选  

( B ) .  

2 +  一  一  , 过其右焦点 F 。 且与 z轴垂直的直 
A F 。 F z 的大小.  
一  

4 .( A ) . 设椭圆的左顶点的坐标为( 3 +2 c o s O , 2 +   2 s i n O ) , 由椭圆的定义, 可知 3 —3 e —e ( 3 +2 c o s O ) , 故e  


线 L 交双 曲线 于 A、 B 两点 , 左焦点记为 F 。 , 求  1 5 .设 是给定的自然数,   ≥3 , 对于   个给定的   实数n   , n z , …, n   , 记  —n   l ( 1 ≤i <j ≤  ) 的最小值 
为m . 求在 n } +n ; +…+n : 一1 的条件下 , 上述 m的最  大值.  

于 是 詈 ≤   ≤ 导 . 故 选 ( A ) .  

5 .( A ) . 首先 , n >1 , 6 >1 . 否则 , 若O <a <l , 则n   一n +1 >1 , 从而 n >1 , 矛盾; 若0 <6 <1 , 则b  一b +  
3 a >3 a >3 , 从而 6 >1 , 矛盾. 故n 、 b 均大于 1 . 一方面  
n  一b   一( n +1 )   一( 6 +3 a ) 一n   一n 一6 +1 ; 另 一 方  面, n  —b  一 ( n 一6 ) ( n   +n   b + … +b   一   ) , 故  

加试题 




( 本题满分 5 O 分) 边长分别为 n 、 6 、 c 、 d的凸四  

n   一n 一6 +1 一( n 一6 ) ( n   一   +n  一   6 +… +b   一   ) , 即 
az
— — -

边形 A B C D外切于oO, 求证 : O A? O C+O B? O D =  


a -  b +1




一a 2 n - I +a 2 n - 2   b + … +b 。 一 一 ? >1 , 所 以 

/   ,  

二、 ( 本题满分 5 O分) 设n , b , c , d为正实数, 满足  n 6 +c d =1 , 点P 。 ( z , , Y , ) ( i 一1 , 2 , 3 , 4 ) 是以原点为圆   心的单位圆周上的四个点. 求证 :  
( a y l +b y 2 +c y 3 +d y 4 )  + ( a x 4 +b x 3 +c   z +d x 1 )  

n— o  

>o , 即  n —

D  

>o , 故n >6 .  

综上所述, 有n >6 >1 . 故选( A ) .  

6 .( D ) . 注意到, 当 z为偶数时, z   ;0 ( m o d 1 6 ) ,  
而 z为 奇 数 时, z   1 ( m o d l 6 ) , 所以 z   1 ( m o d 8 ) , 依次可 知   0或 1 ( m o d 1 6 ) , 而 1 5 9 9 ; 

≤2 (  

+  

) .  

三、 ( 本题满分 5 O 分) 某俱乐部有 3   +1 个人, 每  两个人可一起玩下面三种游戏中的某一种: 象棋 、 围   棋、 跳棋. 已知每个人都与   个人下象棋, 与   个人下  围棋, 与 个人下跳棋. 证明: 这3   +1 个人中必有这  样三个人 , 他们之间有下象棋的, 有下围棋的, 有下跳 
棋的.  

1 5 ( m o d l 6 ) , 所以  ≥1 5 . 又由于 1 5 9 9 —5   +1 2   X   3   +   2 X1   , 故1 5 9 9 可以表示为 1 5个整数的 4 次方之和.   从而所求的   的最小值为 1 5 .  
7 . 、   丽  一1
.  

因为 f ( x ) 一  

■ 

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,  

所以 , ( 1 ) +f ( 2 ) +…+f ( 2 0 0 4 )  

吉 + 吉 ( 2 +   ) 一 吉 ( 3 +   ) .  
1 2 .3 2 8 0 . 只由 1 , 2 , 3 组成的几位数有 3   个, 其  中不大于 1 亿的正整数的个数是 3   +3   +3 。 +…+3 。   一   = = 9 8 4 0 . 将这 9 8 4 o个数从小到大 ,  ̄ t -4 --  

一( 、  F = _ 『 一1 ) +(  ̄ /   = 可一、   = - 『 )  
+…+( ~  面 万 = T一~  面   二 T )  
一 、  

丽『 二  一1
.  

8 .2 . 由口 。 一3 口   +5 a 一1 —0 得( 口 一1 ) 。 +2 ( 口 一1 )  

分成一组: { 1 , 2 , 3 } , { l 1 , 1 2 , 1 3 } , { 2 1 , 2 2 , 2 3 } , …,   { 3 3 3 3 3 3 3 1 , 3 3 3 3 3 3 3 2 , 3 3 3 3 3 3 3 3 } . 显然, 每组中有且只 

+2 =0 ; 又由   一3  +5   一5 一。 得( 1 一   ) 。 +2 ( 1 一   )   +2 —0 , 设, ( . z ) 一. z 。 +2 x +2 , 则, ( . z ) 为 R上的单调  

有一个数能被 3 整除, 所以满足条件的正整数的个数  是÷ ×9 8 4 0 —3 2 8 0 .  
1 3 .( 1 )用数学归纳法证之.  

增函数, 由上述结论知, , ( a 一1 ) =, ( 1 一   ) , 所以 a 一1   —1 一J 9 , 故口 +J 9 —2 .  

9 .   _.因 为 S一  ̄ / ,  = 
干 

一  

1 。 )当  =1 时, a   ≥3 —1 +2 , 不等式成立.   2 。 ) 假设 n =k ( k ≥1 ) 时, 不等式成立, 即a   ≥  +2 . 则 
a   +   一  ( n   -k ) +1 ≥(   +2 ) (   +2 一  ) +1 =2 k +5 >k + 

, 其几何意义是抛物线 一. z  上的动  

点 M( x ,   ) 到定点 A ( 4 , 3 ) , B ( O , 2 ) 的距离之差的最大 

3 , 也就是说, 当  一   +1 时, a   ≥(   +1 ) +2 .  
根据 r) 和2 。 ) , 对 所有 的  ≥1 , 有a   ≥  +2 .  

值. 易知 s —I MA   l —I   MBI ≤l   A B   l 一 ̄ / 1 7 , 等号可以   取到, 所 以s的最大值为  ̄ / 1 7 .  
1 0 .   +   . 满足条件 a r g ( z +3 )  

( 2 ) 由a   +   一d   ( d   一   ) +1 及( 1 ) , 对 ≥2 , 有 
a  一 a   一 l ( n  1 一k +1 ) 4 - 1  

≥n  1 (  一1 +2 一k +1 ) -1 4  
—2 a } 1 +1 ,  

一' 5   - 的复数 Z在以( 一3 , O ) 为起点, 且与 . z 轴正向成 

故a   ≥2 a   一 1 +1 ≥2 ( 2 a  2 +1 ) +1  

角的射线上 , 此射线与过( 一6 , o ) 、 ( o , 3 ) 两点的直 
线交 于点 P(   6 (   一5 )3 ( 6 +  )   )


:2   a  2 +2 +1 ≥ … 
≥2   a 1 +2   +…+2 +1  

因而 复数 Z一  

=2   ( n 1 +1 ) 一1 ≥2   ( 3 +1 ) 一1  
=2   一1 .  

旦+   1 1 1   l   1   £ ,  : 使得 取最大值.  “ ‘   /   ‘  


故  故 

≤  +  

(  

) ,  

1 1 ? 专 ( 3 +   ) . 由 条 件 知  
. z一

+. . 斗 

 ̄ - . ( y - 4 z ) ≤ 号 一 ( 蠢 + 蠢 ) 一 号 ,  
≤  +. .   =  

s i n ( x -y ) /0 > , s i n ( y -z ) ≥O , 于是  
c o s xs i n yc o s z  


÷ c 。 s . z [ s i n ( y - 4 z ) + s i n ( y - z ) ]  
,  



÷ 一 c ÷  < ÷ .  

≥  1   c 。 s . z s i n (  + z ) 一  1   c 。s2. z   ≥  1   c o s   了 7 C 一百 1

结论成立.   1 4 . 设 AF l F 2 一口 ,  F l A F 2 一   ,   则口 +   一9 O 。 . 由正弦定理得  l A F     l l A F     l I   F   F     l 一五   一—   ’   由分比定理得 
2 c s i n B  


在 . z 一 号 ,   — z 一 蠢 时 取 等 号 . 又 因 为  
C O S   ‘ z s   l n y c o s z  
. z   i n   ;  1  

c o s = z E L   s i‘+ i n ( x  y 十  ) 一   s i( i n ( X x  y - ) ] j  

l A F   l —l A F   {


s i n 9 0 。 一s i m

2 d   一1 一s i m‘  
 

≤  1   c 。 s z s i n ( . z + ) 一   1   c。s 2z 

所以   即  

一   一   ,   一   .  

≤ ÷ c 。 s   蠢 一 吉 ( 2 +   ) ,  
在 z 一 蠢 , . z —   一  时 取 等 号 . 故 所 求 的 和 为  
■ 

故 

1  

一e ,  

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a m 一百 e 2 -1 一  
2 一√ 3 ,  

两式相乘即得 
O E 2   C E ,   B C. — DA—O — B —,1  


C E  C D  O — B —一A — —, B  



所以 口 一1 5 。 , 即  A F 。 F 2 —1 5 。 .   1 5 .不妨设
l ≤l <J ≤ 

因此 AB 2 ? O E 2 =A B 。?  

-A B?  

a 1 ≤n 2 ≤ …≤n   ,  
l ≤t <J ≤ 

B C? C D? D A=a b c d . 再由②即得所证.   二、 令M —a y l +b y z ,   一f 弘+d y 4 , U l =a x 4 +b x 3 ,   l —f z 2 +d x 1 . 则 
U 。 ≤( a y l +b y 2 ) 。 +( a x l —b x 2 ) 。  
一a 。 +6 。 +2 a b ( y l Y 2 一z l  2 ) ,  

∑  ( n   一n , ) 。一  一1 —2  ∑  a   a ,  

一   一 ( 奎 n   ) 。 ≤   .  
另一方面, a … 一a   ≥m, a i + 2 一a i + l ≥m, …, a J —   a  - ≥m, 把这些不等式相加, 得a , 一n   ≥(   —   ) m . 于 
是  ∑
l ≤l <J ≤ 

即 … :  
( n   —  ) 。 ≥m。 ∑ (   —  ) 。  
l ≤l <J ≤ 

: ≤ 

① 

d l ≤( c x 2 +d x 1 ) 。 +( c y 2 一d y 1 ) 。  
一f 。 +d 。 +2 c d(  1 z 2 一Y l Y 2 ) ,  
0  

一m z  ( 1   z + 2   z +…+矗 z ) 一 m z ’  丛 鱼 ±  
^一 l   2   n
一  

t— l  

∑ - I [ 2   (   +1 ) (   +2 ) 一3   (   +1 ) ]  
. 


即   。   : ~  

② 




1 F   6 2

Z  

①+②得 


1 )   (   +1 ) (   +2 ) 一(   一1 )   (   +1 ) ]  

0 ≤ 

+  

,  



篙  + 1 ) ( r t - 1 ) ’   所 以   ≥ 篙   。 (   + 1 ) (   一 1 ) ,  
m ≤ √   , 等 号 当 且 仅 当 善 n t 一 0 , 且 { n t )  
, _ ——  — 一  


即笔 + 墨 ≤   + !  .   同 理芝 + 笔 ≤   +   .  
由柯西不等式, 有 
(  + ) 0 +(   l +  】 ) 0  

成等差数列时成立.  

所 以 m 的 最 大 值 为 √  兰   ?  
加试题答案 


( 何‘ 去+ 0 a b    ‘ 寺 ( c a   何。  b 、 , n   +  
? 

) z   √f d  

由 于 — L  B A D +  


+( n 6 +  ) (   +  )   ≤( n 6 +  ) (   +  )
ao c a at ) c a

ADC .  
—   。 —

DCB
 

  .
  。



笔 + 芝 + 笔 + 墨 ≤ z   c   +   .  
三、 3   +1 个人用 3   +1 个点表示, 两人之间下像 

L  C B A




1 8 0 。 , 故 有 
C 0D 一 

棋、 下围棋 、 下跳棋, 则对应的两点分别用红线、 蓝线、   黑线联结. 于是, 得到一个 3 色完全图 K   + 。 . 本题即   是证明: 在这个 3 色完全图 K   + 。 中, 必存在一个三边  
不同色的异色三角形.  
图2  

A0B + 

1 8 0 。 , 于是在四边形的  

形 外 作 △D C E,使 
△D C E ∽△AB O, 连结 

由一顶点引出的两条边如图不同色, 则称此两条  边的夹角为异色角. 一个三角形是异色三角形当且仅 

0 E ( 如图 2 ) , 则四边形 D o c E内接于圆, 由托勒密定 
理有 D E? 0 C +C E? o D—C D? O E  


①  

当它的三个内角都是异色角. 每一个顶点引出的 3   条边, 其中红边、 蓝边 、 黑边各有 7 " / 条. 因此, 由任一顶  点引出的异色角有 c j   7 / " 。 一3 n 。 个, 从而这个 3色完全 
图K 。   + 。 中共有 3 n 。 ( 3 n +1 ) 个异色角. 另一方面, 完全 



 

DE  CE  CD  O — A —一O — B   AB,  

因此由①即得 O A? 0 C +O B? O D —A B? O E②  
又  D0 E一   DC E一   AB 0一  0B C,  
0 ED一  0C D一   BC 0,  

图K 3   + 。 中共有 C 3     + l 一÷  ( 3 n +1 ) ( 3 n 一1 ) 个 三角  
形. 把这些三角形看作“ 抽屉” , 异色角看作“ 球” . 因为  3 n 。 ( 3 n +1 ) >  ( 3 n +1 ) ( 3 n 一1 ) , 由抽屉原理, 必有某 
个三角形, 它有三个异色角 , 这个三角形即是异色三  角形. 从而问题得证.   口 

所以   △D O E ∽ △0 B C ,  

同理有△0 C E o v △A 0 D, 于是有 
OE   OD   OE   C E   B C   OB ’ DA   OD ’  

圈 


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2015全国高中数学联赛预赛模拟题3_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 3 2 1.若函数 y ? log a x ? ax ? 1 有最小值,则 a ...


全国高中数学联赛模拟训练题

全国高中数学联赛模拟训练题_学科竞赛_高中教育_教育专区。全国高中数学联赛模拟...2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2004 3、在 Rt△ABC 中,AB=AC,...


全国高中数学联赛模拟试题(03)

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历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)

设有三个函数,第一个是 y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数...2004 年全国高中数学联赛模拟试卷试题 第一试一、选择题(满分 36 分,每小题 ...


2010年全国高中数学联赛模拟题四

问: (06 上海竞赛) 2010 年全国高中数学联赛模拟题 4 参考答案 一试 1、 ( ?3. ? 1) 33, a1 = 2, 4、 2、 17 9 an +1 an ? = 1(n ∈...

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