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第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直


第二节 一、空间向量及其数量积

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

1、 在空间,既有大小又有方向的量称为空间向量。用 AB 或 a 表示,其中向量的大小称为向量的长度或 模,记为 AB 或 a 。正如平面向量 a 可用坐标(x,y.)表示,空间向量 a 也可用坐标(x,y,z)表示。若已 知点 A 坐标为(x1,y1,z1),点 B 坐标为(x2,y2,z2) 则向量 AB =(x2 -x1,y2- y1,z2 -z1)即是终点坐标减起点坐标。
2 2 2 在空间,知道向量 a =(x,y,z)则, a = x ? y ? z

?

2、 空间向量数量积 ① 已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取一点 O,作 OA = a , OB = b ,则角∠AOB 叫向量 a 与 b 的 夹角,记作< a , b >规定,若 0≤< a , b >≤ ? ,若< a , b >= ⊥b 。 ② 已知空间两个向量 a 、 b ,则 a b COS< a , b >叫向量 a 、 b 的数量积,记作 a ? b = a b COS < a , b >若 a ⊥ b ? a ? b =0 ③ 若已知空间向量 a =(x1,y1,z1) , 则 a ? b =x1x2+y1y2+z1z2 COS< a , b >= ,

? ,称 a 与 b 垂直,记作 a 2

?

?

b =(x2,y2,z2)

a.b a .b

?

x1 x2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y 2 ? z 2
2 2 2 2 2 2

例1 如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=900,D1、E1 分别为 A1B1、A1C1 中点,若 BC=CA=CC 1 , 求向量 BD1 与 AE1 所成角的余弦值。 B1 C1 D1 E1 A1

B C



6

练习:已知正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中, B1 E1 = D1 F1 =

A1 B1 ,求向量 BE1 与 DF1 所成角的余弦值。 4

D1 A1

F
1

C1 E
1

B1 C B

D A

二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 例 2 在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,求证 A 1 C⊥平面 AB 1 D 1 D A
1 1

C B
1 1

D A B

C

练习:在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 为 DD 1 的中点, 求证:B 1 O⊥平面 PAC。 D1 A1 P D A O B B1 C1

C

例 3 如图,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M, N 分别是 AB ,PC 中点 (1)求证:MN⊥CD (2)若∠PDA=45 ,求证:MN⊥平面 PCD
0

P N D A M B C

6

练习:正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,M 是棱 D 1 D 中点,N 是 AD 中点, P 为棱 A 1 B 1 上任一点。求证:NP⊥AM

D1 A1 M D N A B P

C1 B1

C

作业: 1.如图,正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E 是 BB 1 中点,O 是底面 ABCD 中心, 求证:OE⊥平面 D 1 AC. A1 D O A B D1 B1 E C C1

2.如图,正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,O ,M 分别是 BD 1 , AA 1 中点,求证:OM 是异面直线 AA 1 和 BD 1 的 公垂线. A1 O M D B D1 C1

B1

C

A

0 3、如图,直三棱柱 ABC-—A 1 B 1 C 1 中,∠ACB=90 ,AC=1,CB= 2 ,侧棱 AA 1 =1, ,侧面 AA 1 B 1 B 的两

条对角线交点为 D,B 1 C 1 的中点为 M。求证:CD⊥平面 BDM A

A1

C

D C1 M

B
6

B1

4 在棱长为 a 的正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E, F 分别为棱 AB 和 BC 的中点,M 为棱 B 1 B D1 C
1

BM 上任一点,当 1 值为多少时能使 D 1 M⊥平面 EFB 1 MB

A
1

B
1

M D F A E B C

5、如图, ? ABC 为正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2a, CD=a,F 为 BE 中点,求证: AF⊥BD E D

F

C A B

6、如图,已知直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 B 1 C 1 =A 1 C 1 ,A 1 B⊥AC 1 。 求证:A 1 B⊥B1C A B C

A1 B1

C1

6


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