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创新设计2013-2014学年高中数学人教B版必修2配套课件:1231《直线与平面垂直》 (7125212)


1.2.3

空间中的垂直关系

1 直线与平面垂直
【课标要求】 1.了解直线与平面垂直的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理. 3.掌握一些求点到平面距离的常用方法.

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【核心扫描】 1.掌握直线与平面垂直的判定和性质定

理.(重点) 2.理解应用线线垂直与线面垂直的定义、判定及性质定理. (难点)

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自学导引 1.直线与直线垂直 如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点,并且 交角为 直角 ,则称这两条直线互相垂直. 2.直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交于点 O,并且和这个平面内过 交点 O 的 任何 直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互 相 垂直 , 这条直线叫做 平面的垂线 , 这个平面叫做直线的垂面, 交点叫做 垂足 .垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点 到这个平面的 垂线段 .垂线段的长度叫做这个点到平面的 距离 .
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想一想: 如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂

直,那么这条直线和这个平面垂直吗?
提示 不一定.如果一条直线与一个平面内的无数条平行

直线都垂直,这条直线与平面的位置关系不确定,可能直线在 平面内,也可能直线与平面平行或相交.

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3.直线与平面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的 任意 一 条直线 垂直 . 4.直线与平面垂直的判定定理及其推论 定理:如果一条直线与平面内的 两条相交 直线垂直,则这 条直线与这个平面垂直. 推论 1:如果在两条 平行直线 中,有一条垂直于平面,那 么另一条直线也垂直于这个平面. 推论 2:如果两条直线 垂直于同一个平面 ,那么这两条直 线平行.
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想一想: 垂直于同一条直线的两个平面是否平行?为什

么?
提示 平行.如图所示,已知平面 α、β,直线 a ⊥α,a⊥β, 求证:α∥β.

证明:设 a∩α=A,m、n 是过点 A 的两条相交直线.设过 a、 m 的平面与平面 β 相交于直线 b,过 a,n 的平面与平面 β 相交于 直线 c. 因为 a⊥α,所以 a⊥m,又 a⊥β,所以 a⊥b.又 a、b、m 在同一平 面内,所以 b∥m.故 m∥β.同理 n∥β.又 m∩n=A,所以 α∥β.
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名师点睛

1.关于直线与平面垂直的判定定理的理解必须注意以下几
点 (1)判定定理的条件中“平面内的两条相交直线”是关键性 词语,一定要抓牢. 命题1:如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条 直线垂直于这个平面. 命题2:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这

条直线垂直于这个平面.

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以上两个命题都是错误的,因为对于这两个命题,都没有

体现出两直线相交这一特性,无数条直线可以是一组平行线,
并不一定具备有“两条相交直线与已知直线垂直”这一条件, 因此,也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论. (2)要判定一条已知直线与一个平面是否垂直,取决于在这 个平面内能否找出两条相交直线与已知直线垂直,至于这两条 相交直线是否与已知直线有公共点,这是无关紧要的. (3)结论:直线与平面垂直,则直线垂直于平面内的任意一

条直线.

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2.对直线与平面垂直的性质定理的几点认识

(1)直线与平面垂直的性质定理阐明了在直线与平面垂直的
条件下,可得出直线与直线平行的结论. (2)该定理可用来判定两直线平行,揭示了“平行”与“垂 直”这两种特殊位置关系之间的转化. 3.点面距的理解 (1) 注意定义中“点到平面的垂线段”与“点到平面的距 离”的区别,垂线段是图形,而距离是数,即垂线段的长度.

(2)求点到平面的距离时,可先作出该点到平面的垂线段,
再求出该线段的长度即可.

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4.直线与平面垂直的其他性质 l⊥α? ? ??α∥β. (1)垂直于同一条直线的两个平面平行即 l⊥β ? ? (2)两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这 l∥m? ? ??m⊥α. 个平面,即 l⊥α ? ? (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直 l⊥α ? ? ??l⊥β. 于另一个平面.即 α∥β? ?

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题型一 直线与平面垂直的判定

【例1】 如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆 O所在
平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,点N为垂足. 求证:AN⊥平面PBM.

[思路探索] 利用线面垂直的判定定理证明.

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证明 连结AM.

因为AB是圆O的直径,
所以AM⊥BM. 因为PA⊥平面ABM,BM?平面ABM. 所以PA⊥BM. 因为PA∩AM=A,

所以BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM, 所以BM⊥AN. 又AN⊥PM, 且BM∩PM=M,

所以AN⊥平面PBM.

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规律方法

应用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直

是证明直线与平面垂直的最主要方法.充分利用条件寻找平面
中的两条相交直线与已知直线垂直是问题得到解决的关键.在 题目中若没有现成的垂线,则作相应的辅助线来帮助解决.

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【变式1】 如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,

∠BAC=90°,AB=a,AA1=2a,D为棱B1B的中点.
求证:A1D⊥平面ADC.
证明 由题意可知,A1A⊥平面 ABC,

又 AC?平面 ABC,∴A1A⊥AC, 又∠BAC=90° ,∴AC⊥AB, 又 AB∩A1A=A, ∴AC⊥平面 A1ABB1, A1D?平面 A1ABB1,∴AC⊥A1D.

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∵D 为 B1B 的中点, B1B=2a,AB=A1B1=a, 在△A1DA 中,A1D= 2a, AD= 2a,A1A=2a, ∴A1D2+AD2=A1A2, ∴∠A1DA=90° ,即 A1D⊥AD, 而 AC∩AD=A,故有 A1D⊥平面 ADC.

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题型二 线面垂直性质定理的应用

【例 2】 如图,正方体 A1B1C1D1ABCD 中, EF 与异面直线
AC、A1D都垂直相交. 求证:EF∥BD1.

[思路探索] 可以利用线面垂直的性质定理证明线线平行,为 此需作出辅助平面.

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证明 如图所示,连接AB1、B1D1、B1C、BD,
∵DD1⊥平面ABCD, AC?平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D.

∴AC⊥平面BDD1B1,
又BD1?平面BDD1B1, ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D,

又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
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规律方法

线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方

法,在有线面垂直的条件下,要得平行线,就应考虑线面垂直
的性质.

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【变式2】 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB

上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:(1)MN∥AD1; (2)M是AB的中点 .

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证明 (1)∵ADD1A1 为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1, ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D, ∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1.

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(2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC, 1 1 ∴ON 綉2CD 綉2AB, ∴ON∥AM, 又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形, ∴ON=AM. 1 ∵ON=2AB, 1 ∴AM=2AB,∴M 是 AB 的中点.
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题型三 线面垂直的综合应用

【例3】 如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,
再过A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.

审题指导 利用线面垂直性质证明垂直问题.
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[规范解答] (1)∵SA⊥平面 AC, BC?平面 AC,∴SA⊥BC. ∵ABCD 为矩形,∴AB⊥BC,又 SA∩AB=A. ∴BC⊥平面 SAB,∴BC⊥AE.又 SB⊥AE,SB∩BC=C ∴AE⊥平面 SBC,∴AE⊥SC. (4 分) (2 分)

又 EF⊥SC,AE∩EF=E.∴SC⊥平面 AEF,∴AF⊥SC.(6 分) (2)∵SA⊥平面 AC,∴SA⊥DC, 又 AD⊥DC,∴DC⊥平面 SAD.∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG?平面 AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面 SDC,∴AG⊥SD.
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(8 分)

(12 分)
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【题后反思】 空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、

平面与平面垂直三者之间可以相互转化,每一种垂直的判定都
是从某种垂直开始转向另一种垂直,最终达到目的.

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【变式 3】 在四棱锥 P ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别为 AB、PB 的中点,如图 所示. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的 结论.

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(1)证明

如图所示,因为AE=EB,PF=FB,所以EF∥AP.
因为底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC. 因为PD⊥底面ABCD,又CD?平面ABCD 所以PD⊥CD.又AD∩PD=D 所以CD⊥平面PAD, 所以PA⊥CD, 所以EF⊥CD.

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(2)解 G 是 AD 的中点, 取 PC 的中点 H,连接 DH. 因为 PD⊥底面 ABCD, 所以 PD⊥DC. 又因为 PD=DC,所以 DH⊥PC. 因为 BC⊥平面 PDC,所以 BC⊥DH,又 PC∩BC=C 所以 DH⊥平面 PCB. 取 DA 的中点 G,连接 GF、FH.

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1 因为 HF 綉 BC 綉 DG, 2 所以四边形 DGFH 为平行四边形, 所以 DH∥GF, 所以 GF⊥平面 PCB.

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方法技巧 分类讨论思想的应用

分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以
解决的数学问题,运用分类讨论来解决问题时,必须遵循不重 不漏和最简的原则,直线与平面垂直、平面与平面垂直的有关 问题需要用到分类讨论来解决.

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【 示 例 】 如 图 所 示 , 矩 形 ABCD 中 , AB = 1 , BC =

a(a>0) , PA⊥ 平面 AC ,且 PA = 1 ,问 BC 边上是否存在点 Q ,使
得PQ⊥QD,并说明理由.

[思路分析] 先证 AQ⊥QD,由于 BC 边的长度是不确定的, 在 BC 边上是否存在点 Q,使 AQ⊥QD 与 a 有关,应对 a 进行分 类讨论.
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法一

连接 AQ,因为 PA⊥平面 AC,QD?平面 AC,所

以 PA⊥QD.又因为 PQ⊥QD,PA∩ PQ=P,所以 QD⊥平面 PAQ. 所以 AQ⊥QD. (1)当 0<a<2 时,由四边形 ABCD 是矩形且 AB=1 知,以 AD 为直径的圆与 BC 无交点, 即对 BC 上任一点 Q, 都有∠AQD<90° , 此时 BC 边上不存在点 Q,使 PQ⊥QD. (2)当 a=2 时,以 AD 为直径的圆与 BC 相切于 BC 的中点 Q, 此时∠AQD=90° ,所以 BC 边上存在一点 Q,使 PQ⊥QD. (3)当 a>2 时,以 AD 为直径的圆与 BC 相交于点 Q1、Q2,此 时∠AQ1D=∠AQ2D=90° ,故 BC 边上存在两点满足题意.
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法二 如图所示,假如存在点 Q, 使 PQ⊥QD. 连接 AQ,PA⊥平面 AC, ∴PA⊥QD, 又 QD⊥PQ,PQ∩PA=P, ∴QD⊥平面 PAQ,∴QD⊥AQ. 不妨设 AQ=x(x>0), 则 AQ2=x2,QD2=QC2+CD2=(a- x2-1)2+1,AD2=a2, 在 Rt△AQD 中,由勾股定理得 x2+(a- x2-1)2+1=a2. 即 x4-a2x2+a2=0. 令 t=x2,则 t2-a2t+a2=0(*) ∵a>0,∴t1t2=a2>0,t1+t2=a2>0.
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(*)的判别式 Δ=a2(a2-4). ①当 0<a<2 时,Δ<0,方程(*)无正实根. ②当 a>2 时,Δ>0,方程(*)有两个相异正实根. ③当 a=2 时,Δ=0,方程(*)有两个相等的正实根. 故当 0<a<2 时,BC 边上不存在点 Q,使 PQ⊥QD; 当 a=2 时, BC 边上存在一点 Q(即 BC 的中点), 使 PQ⊥QD; 当 a>2 时,BC 边上存在两个点满足题意.

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方法点评 本题用到了分类讨论思想,借助以 AD 为直径的圆 与 BC 的交点的个数推断点 Q 的存在.方法二则是从代数的角度 来解决立体几何问题,是较好的题材.

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