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高考数学试卷纵向分类汇总2008-2013


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2012-2013 务实考前数学自由复习内部讲义

2013-5-30

自由复习看什么?
看考点; 每个知识点都要看到。 对照高考原题, 明白考过什么题,思考会如何再考? 应注意什么!
内 容 集合及其表示 1.集合 子集 交集、并集、补集 函数的概念 函数的基本性质 指数与对数

2.函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 三角函数的概念 同角三角函数的基本关系式 正弦函数、余弦函数的诱导公式 3.基本初等 函数Ⅱ(三角函数) 、三角恒等变换 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与 性质 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质 两角和(差)的正弦、余弦及正切 二倍角的正弦、余弦及正切 4.解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 平面向量的概念 平面向量的加法、减法及数乘运算 5.平面向量 平面向量的坐标表示 平面向量的数量积 平面向量的平行与垂直 平面向量的应用 数列的概念 6.数列 等差数列 等比数列 基本不等式 7.不等式 一元二次不等式 线性规划
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要 A √

求 B √ √ √ √ √ √ √

C

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

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复数的概念 8.复数 复数的四则运算 复数的几何意义 导数的概念 导数的几何意义 9.导数及其应用 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值 导数在实际问题中的应用 算法的含义 10.算法初步( “概念”改为“含义” ) 流程图 基本算法语句 命题的四种形式 11.常用逻辑用语 充分条件、必要条件、充分必要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 合情推理与演绎推理 12.推理与证明 分析法与综合法 反证法 抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计 13.概率、统计 随机事件与概率 古典概型 几何概型 互斥事件及其发生的概率 14.空间几何体 (删去 A 级考点:三视图与 直观图) 15.点、线、面之间的位置关系 柱、锥、台、球及其简单组合体 柱、锥、台、球的表面积和体积 平面及其基本性质 直线与平面平行、垂直的判定及性质 两平面平行、垂直的判定及性质 直线的斜率和倾斜角 直线方程 直线的平行关系与垂直关系 16.平面解析几何初步 两条直线的交点 两点间的距离、点到直线的距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何 性质 17.圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几 何性质 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几 何性质
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√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

√ √ √

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江苏高考数学试卷纵向分类汇总(2008—2013)
一、集合与简易逻辑 2 1、 (2008 江苏卷 4)A= ? x ? x ? 1? ? 3x ? 7? ,则 A
Z 的元素的个数 .

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.6 个 2、 (2009 江苏卷 11) 已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) , 若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (c, ??) , 其中 c = . 【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 a>4,c=4 3、 (2010 江苏卷 1)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=___________. 【解析】考查集合的运算推理。3 ? B, a+2=3, a=1. 4、 (2011 苏卷 1)已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2}, 则 A ? B ? _______, 【解析】 考查集合的交集运算,答案: ?-, 1 2?

?

?

2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A 5. (2012 江苏卷 1)已知集合 A ? {1,
【答案】 ?1,2,4,6? 。 6. (2013 江苏卷 4)集合 ?? 1,0,1?共有 解析: 2 ? 8 (个)
3

B?

▲ .



个子集.

二、函数
1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b= . 2 1 1 1 ' 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法. y ? ,令 ? 得 x ? 2 ,故切点(2,ln2) ,代 x x 2
1、 (2008 江苏卷 8)直线 y ? 入直线方程,得,所以 b=ln2-1.
3

2、 (2008 江苏卷 14) f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =



【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成立;当 x>0 即

x ???1,1? 时, f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
设 g ? x? ?

3 ?1 ?2 x ? 3 1 ? 1? ?1 ? ? 3 ,则 g ' ? x ? ? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? ,1? 上单调 2 4 x x x ? 2? ?2 ? ?1? 递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2? 3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ' 3 ?0 当 x<0 即 ? ?1,0? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ? 2 ? 3 , g ? x ? ? x x x4 g ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
3、 (2009 江苏卷 3)函数 f ( x) ? x ?15x ? 33x ? 6 的单调减区间为 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
3 2

3 1 ? x 2 x3

.

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) , 由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
4、 (2009 江苏卷 9)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x ?10x ? 3 上,且在第二象限内,已 知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
3

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y? ? 3x2 ?10 ? 2 ? x ? ?2 ,又点 P 在第二象限内,? x ? ?2 点 P 的坐标为(-2,15)
5、 (2009 江苏卷 10)已知 a ?

5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的 2

大小关系为 . 【答案】 m<n 6 、 (2010 江苏卷 5)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x ? R)是偶函数,则实数 a=________________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 ? 2 7、 (2010 江苏卷 11)已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的范围是_____。 x?0 ?1,
?1 ? x 2 ? 2 x 【解析】考查分段函数的单调性。 ? ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2 ? ?1 ? x ? 0

8、 (2010 江苏卷)14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形, 记S ?
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是________。 梯形的面积

32 3 。 3 9、 (2011 江苏卷 2) .函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 1 【解析】 y ? log5 u 在 (0, ??) 上增, u ? 2 x ? 1 在 x ? ( ? , ?? ), 大于零,且增. 2
【答案】S 的最小值是 10、 (2011 江苏卷 8) .在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________.
2 2 【解析】设经过原点的直线与函数的交点为 ( x, ) , ( ? x, ? ) ,则 PQ ? (2 x) ? ( ) ? 4 .

2 的图象交于 P、 x

2 x

2 x

4 x

本题主要考查幂函数, 函数图象与性质, 函数与方程, 函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式, 中档题. 11、 (2011 江苏卷 11) .已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? 值为________ a?0. 【解析】

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的 ?? x ? 2a, x ? 1

3 3 a ? 0, 2 ? 2a ? a ? ?1 ? a ? 2a, a ? ? ,不符合; a ? 0, ?1 ? a ? 2a ? 2 ? 2a ? a, a ? ? . 2 4
本题主要考查函数概念,函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论,中档题. 12、 (2011 江苏卷 12) .在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象上的动点, 该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t, 则 t 的最大值是_____________
x

【答案】 tmax ?

1 1 (e ? ) . 2 e

本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数, 导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系,运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题. 13. (2012 江苏卷 5)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为 ▲ . 【答案】 0, 6 ? ?。 1] 上, 14. (2012 江苏卷 10)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

?

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

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则 a ? 3b 的值为 ▲ . 【答案】 ?10 。 【考点】周期函数的性质。

? ?) ,若关于 x 的不等式 15. (2012 年江苏卷 13)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , b ? R) 的值域为 [0 , f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ . 【答案】9。 【考点】函数的值域,不等式的解集。
16. (2013 年江苏卷 9)抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部
2

和边界).若点 P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 1 【答案】[—2,2 ]



.

1 z 【解析】抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线易得为 y=2x—1,令 z= x ? 2 y ,y=—2 x+2 . 1 1 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(2 ,0)时,zmax=2 . y y=2x—1 O x 1 y=—2 x 17. (2013 年江苏卷 11) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 4 x , 则不等式 f ( x) ? x
2

的解集用区间表示为



.

【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)
2 【解析】做出 f ( x) ? x ? 4 x ( x ? 0 )的图像,如下图所示。由于 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,利用奇

函数图像关于原点对称做出 x<0 的图像。不等式 f ( x) ? x ,表示函数 y= f ( x) 的图像在 y=x 的上方,观 察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。 y P(5,5) y=x y=x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5)

18. (2013 年江苏卷 13) 平面直角坐标系 xOy 中, 设定点 A(a, a ) ,P 是函数 y ? 若点 P, A 之间最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为
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1 ( x ? 0) 图像上一动点, x



.

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三角函数
? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6? 2? ? ? ? ? ? 10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. T ? ? 5 ? x ? ? )( A, ? , ? 为常数, 2、 ( 2009 江苏卷 4 )函数 y ? Asin( A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .
1、 (2008 江苏卷 1) f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??



【解析】 考查三角函数的周期知识。

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 2 3
3、 (2010 江苏卷 10)定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 2?

y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的 长为____________。 【解析】考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3 b a ? ? 6 cos C ,则 a b

4、 ( 2010 江苏卷 13 )在锐角三角形 ABC , A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

tanC tanC ? =_________。 tan A tanB tan C tan C ? 【答案】 = 4。 tan A tan B
5、 (2011 江苏卷 7)已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________. tan 2 x
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【解析】

? 1 ? tan x 1 tan x tan x ( 1- tan 2 x) 4 tan( x ? ) ? ? 2,? tan x ? ,? = = ? . 2 tan x 4 1 ? tan x 3 tan 2 x 2 9 2 1- tan x

本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式,正弦余弦函数的诱导公式,两角和与差的正 弦余弦正切,二倍角的正弦余弦正切及其运用,中档题. 6、 (2011 江苏卷 9)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?),( A, ?, ? 是常数, A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则

f (0) ? ____
【答案】

f(0) ?

本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质, y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质以及诱导公式,数形结合 思想,中档题.

6 2

? ?? 4 ? 7. (2012 年江苏卷 11)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 2。 50

8. (2013 年江苏卷 1)函数 y ? 3 sin( 2 x ? 【答案】π 2π 2π 【解析】T=| ω |=| 2 |=π.

?

4

) 的最小正周期为



.

(二)解答题

1、 (2008 江苏卷 15)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分 别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

(Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值. 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.

2 2 5 . , 10 5

2 2 5 7 2 5 ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = ,cos ? ? ,sin ? ? 10 5 10 5 1 tan ? ? tan ? ? ?3 因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )= 2 1 ? tan ? tan ? 2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 (Ⅱ) tan 2 ? ? 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2? 3? 3? ∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4
由条件的 cos ? ? 2、 (2009 江苏卷 15) (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角 和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

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3、 (2010 江苏卷 17) (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? , ∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? 【解析】 本题主要考查解三角形的知识、 两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H H h ? tan ? ? AD ? , 同理:AB ? ,BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ? H H h ? ? AD — AB=DB , 故 得 , 解 得 : tan ? tan ? tan ? ht a ? n ? 4 1 . 2 4 H? ? ? 124 。 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan(? ? ? ) ? ? ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号) d

故当 d ? 55 5 时,tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?

2

, 则0 ?? ? ? ?

?

2

, 所以当 d ? 55 5 时, ? -?

最大。故所求的 d 是 55 5 m。 5、 (2011 江苏卷 15) .在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

?

1 ) ? 2 cos A, 求 A 的值; (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 6 3

【解析】本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能力。 解: (1)由题设知 sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0 ,

tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?
(2)由 cos A ?

?
3

.

1 , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 ? 1 故△ ABC 是直角三角形,且 B ? , 所以 sin C ? cos A ? . 2 3
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6. (2012 江苏卷 15)在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC .

5 ,求 A 的值. 5 【答案】解: (1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B ,即 AC cos A=3 BC cos B 。 由 AC BC 正弦定理,得 ,∴ sin B cos A=3sin A cos B 。 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3 cos B cos A
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 5 ? ? tan A ? tan B ∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ 1 ? tan A tan B ? ?2 。 1 4tan A ? 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A= 。 2 3 1 ? 3tan A 4 【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
(2013 江苏卷 15)15.(本小题满分 14 分) 已知 a ? ? cos?,sin? ? , b ? ? cos?,sin? ? , 0 ? (1) 若 a ? b ?

2

? ?? ?? .

2 ,求证: a ? b ;

(2) 设 c ? ? 0,1? ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

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(2013 江苏卷 18)18. (本小题满分 16 分) 如图, 游客从某旅游景区的景点处下山至 C 处有两种路径. 一种是从沿 A 直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆 车到 B , 在 B 处停留 1min 后, 再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min, 山路 AC 长为 1260m,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5
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(1) 求索道 AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处相互等待的时间不超过 3 分钟, 乙 行的速度应控制在什么范围内? 步

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四、平面向量
(一)填空题
1、 (2008 江苏卷 5) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 【答案】 5a ? b ? 7 2、 (2008 江苏卷 13)若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S?ABC 的最大值 【答案】 , S?ABC 最大值 2 2 . .

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o

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3、 (2009 江苏卷 2) 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , 则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b = | a |? 2,| b |? 3 ,



3 ? 3 2 ? ? 2 4、 ( 2011 江 苏 卷 10 ) . 已 知 e1 , e 2 是 夹 角 为 ? 的 两 个 单 位 向 量 , 3
【解析】 考查数量积的运算。

a ? b ? 2 ? 3?

?

a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为
? ? ? ? ? ? ?2 ? ?

?

? ?

?

?

? ?

.
?2

【解析】 因为 a? b ? (e1 ? 2 e2 ) ? (k e1 ? e2 ) ? k e1 ? (1 ? 2k ) e1? e2 ? 2 e2
? ? ? ? 1 1 5 且 | e1 |?| e2 |? 1 , e1 ? e2 =- ,所以 2k- -2=0,即 k= . 2 2 4

5. (2012 江苏卷 9)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的 中点,点 F 在边 CD 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 ▲ . 【答案】 2 。 【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。 6. ( 2013 江 苏 卷 10 ) 设 D, E 分 别 是 ?ABC 的 边 AB, BC 上 的 点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 , ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为



.

1 【答案】2 【解析】 DE ? DB ? BE ?

1 2 1 2 AB ? BC ? AB ? ( BA ? AC ) 2 3 2 3 1 2 ? ? AB ? AC ? ?1 AB ? ?2 AC 6 3

所以, ?1 ? ?

1 1 2 , ?2 ? , ?1 ? ?2 ? 2 6 3

(二)解答题
1、 (2010 江苏卷 15) (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。 (1) (方法一)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则 AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4). 所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1)又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 ,
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2 11 11 。或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? AB ? OC ?? 2 5 5 | OC |

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从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

五、数列
1、 (2008 江苏卷 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 . 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前 n-1 行共有正整数 1 2 4 7

1 3 5 6 8 9 10 . . . . . . .

n2 ? n +2+?+(n-1)个,即 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中 2 n2 ? n n2 ? n ? 6 第 +3 个,即为 . 2 2 2、 (2009 江苏卷 14)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1( n ?1,2, ) ,若数列 ?bn ? 有
连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q = 【答案】 q ? ? .

3 , 6q = -9 2

3、 (2010 江苏卷 8) 函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数, a1=16, 则 a1+a3+a5=_________ 【答案】21 4、 (2011 江苏卷 13)设 1 ? a1 ? a2 ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公 差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 【解析】由题意: 1 ? a1 ? a2 ? q ? a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2 ? q3 ,?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2

q3 ? a2 ? 2 ? 3 ,而 a2 ? 1, a1 ? 1,? a2 , a2 ? 1, a2 ? 2 的最小值分别为 1,2,3;?qmin ? 3 3 .
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和 推理能力,本题属难题. 5. (2012 江苏卷 6)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中 随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 【答案】

3 。 【考点】等比数列,概率。 5

a5 ? 6( .2013 江苏卷 14) 在正项等比数列 ?a n ?中,
的最大正整数 n 的值为 【答案】12 ▲ . 【答案】

1 , a6 ? a7 ? 3 .则满足 a1 ? a2 ? a3 ? ...? an ? a1a2a3...an 2

【解析】设正项等比数列 {an } 首项为 a1,公比为 q,则: ?

? ?

1 2 ? ?a1 q 5 (1 ? q ) ? 3 a1 q 4 ?
( n ?1) n 2

1 ,得:a1=32 ,q=2,an

=26 n.记 Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?


2n ? 1 , ? n ? a1a2 ?an ? 2 25

. Tn ? ? n ,则

2n ? 1 ?2 25

( n ?1) n 2



化简得: 2 ? 1 ? 2
n

1 2 11 n ? n ?5 2 2

,当 n ?

1 2 11 13 ? 121 n ? n ? 5 时, n ? ? 12 .当 n=12 时, T12 ? ?12 , 2 2 2

当 n=13 时, T13 ? ?13 ,故 nmax=12.

六、不等式
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y2 的最小值 . xz x ? 3z y2 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由 x ? 2 y ? 3z ? 0 得 y ? ,代入 得 2 xz x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz ? ? 3 ,当且仅当 x =3 z 时取“=” . 4 xz 4 xz x2 x3 2 2、 (2010 江苏卷 12)设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤ ≤9,则 4 的最大值是 。 y y
1、 (2008 江苏卷 11)已知 x, y, z ? R ? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则


【解析】考查不等式的基本性质,等价转化思想。

(

1 1 1 x2 2 x3 x2 1 x3 ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] , 4 ? ( )2 ? 2 ? [2, 27] , 4 的最大值是 27。 xy 8 3 y y y y xy
b 的取值范围是 a

c ln b ≥ a ? c ln c ,则 b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , 3. (2012 年江苏省 14)已知正数 a ,
▲ . 【答案】 ? e, 【考点】可行域。 7? 。

七、立体几何
(一)填空题
1、 (2009 江苏卷 8)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地, 在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 . 【解析】 考查类比的方法。体积比为 1:8 2、 (2009 江苏卷 12)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题 的序号 (写出所有真命题的序号). ... 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命 .. 题 的序号是(1)(2) .
AB ? AD ? 3cm ,AA1 ? 2cm , 3. (2012 年江苏卷 7) 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 则四棱锥 A ? BB1D1D 3 的体积为 ▲ cm . 【答案】6。 【考点】正方形的性质,棱锥的体积。

4. ( 2013 年江苏卷 8 )如图,在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, D, E , F 分别是

AB, AC, AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的
体积为 V 2 ,则 V1 : V2 ? 【答案】1:24 【解析】 三棱锥 F ? ADE 与三棱锥 A1 ? ABC 的相似比为 1: 2, 故体积之比为 1: 8. 又因三棱锥 A1 ? ABC 与三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积之比为 1:3.所以,三棱锥 F ? ADE 与三棱柱 ▲ .

A1 B1C1 ? ABC 的体积之比为 1:24.
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八、直线与圆
1、 (2008 江苏卷 9)在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点 P (0,p)在线段 AO 上(异于端点) ,设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点 E ,F , 一 同 学 已 正 确 算 的 OE 的 方 程 : ?

?1 1 ? ? 1 ?1 ? ? x ? ? ? ? y ? 0 , 请 你 求 OF 的 方 程 : ?b c? ? p a?

? ? ?

? ? 1 1? ?x ? ? ? ? y ? 0 ? ? p a?

【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填

1 1 ? . c b 2、 (2010 江苏卷 9)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0

的距离为 1,则实数 c 的取值范围是___________ 【答案】 c 的取值范围是(-13,13) 。 3. (2012 江苏卷 12)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ . 【答案】

4 。 【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 3

九、圆锥曲线
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为 a 2 b2 ? a2 ? c 2 半径的圆,过点 ? . 【答案】 e ? ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = a 2 ? c ?
1、 (2008 江苏卷 12)在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四 a 2 b2 个顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中
2、 (2009 江苏卷 13)如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆 点,则该椭圆的离心率为 【答案】 e ? 2 7 ? 5 3.(2010 江苏卷 6)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 .

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 4 12

到双曲线右焦点的距离是__________ MF 4 [解析]考查双曲线的定义。 ? e ? ? 2 , d 为点 M 到右准线 x ? 1 的距离, d =2,MF=4。 d 2 4. (2012 江苏卷 8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 ▲ . 【 答案】2。 【考点】双曲线的性质。

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 m m ?4

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x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 5. (2013 江苏卷 3)双曲线 16 9
【答案】 y ? ?



.

3 x 4

【解析】令:

x2 y2 9x 2 3 ? ? 0 ,得 y ? ? ?? x 16 9 16 4
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点 a 2 b2

6. (2013 江苏卷 12)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

为 F ,右准线为 l , 短轴的一个端点为 B , 设原点到直线 BF 的距离为 d 1 , F 到 l 的距离为 d 2 .若 d2 ? 6d1 , 则椭圆的离心率为 【答案】 ▲ . y B b O c F x a l

3 3

a2 a2 b2 bc 【解析】如图,l:x= , d2 = -c= ,由等面积得: d1 = 。 a c c c b2 bc 2 2 若 d 2 ? 6d1 ,则 = 6 ,整理得: 6a ? ab ? 6b ? 0 ,两 a c
a , 边同除以: 得: 6 ? ? ? ? ? ? 6 ? 0 , 解之得: =
2

?b? ?a?

2

?b? ?a?

b a

3 6 ?b? e ? 1? ? ? ? , 所以, 离心率为: . 3 3 ?a?

2

十、概率与统计
1、 (2008 江苏卷 2)一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 . 【解析】本小题考查古典概型.基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个,故

P?

3 1 ? 6 ? 6 12

2、 (2008 江苏卷 6)在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区 域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率 . 【解析】本小题考查古典概型.如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界) ,区域 E 表示单位 圆及其内部,因此. P ?

? ?12
4? 4

?

?
16

3、 (2009 江苏卷 5)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一 次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10,它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2, 分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 4、 (2009 江苏卷 6)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表:
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学生 甲班 乙班

1号 6 6

2号 7 7
2

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小,数据的平均值为 7, 故方差 s ?
2

(6 ? 7)2 ? 02 ? 02 ? (8 ? 7) 2 ? 02 2 ? 5 5

5、 (2010 江苏卷 3)盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不 同的概率是_ __. [解析]考查古典概型知识。 p ? 3 ? 1
6 2

6、 (2010 江苏卷 4)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根 棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间 [5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有____根在棉花纤 维的长度小于 20mm。 [解析]考查频率分布直方图的知识。 100×(0.001+0.001+0.004)×5=30 7、 (2011 江苏卷 5)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一 个的两倍的概率是______ 【答案】

开始 S ?0 i?1 输入 Gi,Fi i? i+1 N S? S+Gi·Fi i≥5 Y 输出 S 结束

1 3

本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算,互斥事件及其发生的概率.容易题. 8、 (2011 江苏卷 6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该 组数据的方差 s 2 ? ___ . 【答案】

16 . 5

9. (2012 江苏卷 2)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样 的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 【答案】15。 【考点】分层抽样。

10. (2012 年江苏省 6)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个 数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 【答案】

3 。 5

【考点】等比数列,概率。

11. (2013 江苏卷 6)抽样统计甲,乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 ▲ . 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 【答案】2

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【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为: x ? 方差为: S ?
2

89 ? 90 ? 91 ? 88 ? 92 ? 90 . 5

(89 ? 90) 2 ? (90 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (88 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ?2 5

12. (2013 江苏卷 7)现有某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m, n(m ? 7, n ? 9) 可以任意选取,则 m, n 都 取到奇数的概率为 【答案】 ▲ .

20 63 4 ? 5 20 ? . 7 ? 9 63

【解析】m 取到奇数的有 1,3,5,7 共 4 种情况;n 取到奇数的有 1,3,5,7,9 共 5 种情况,则 m,n 都取到奇数的概率为

十一、算法初步
1、 (2008 江苏卷 7)某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,现随机地选择 50 位老人 做调查,下表是 50 位老人日睡眠时间频率分布表: 序号 分 组 睡 眠 组中值(Gi) 频数(人 频率 (i) 时间 数) (Fi) 1 4.5 6 0.12 [4, 5) 2 5.5 10 0.20 [5, 6) 3 6.5 20 0.40 [6, 7) 4 7.5 10 0.20 [7, 8) 5 8.5 4 0.08 [8,9] 在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的 S 的值为 . 【解析】算法与统计的题目,答案:6.42 2、 (2009 江苏卷 7)右图是一个算法的流程图,最后输出的 W ? . 【解析】 考查读懂算法的流程图的能力。22 3、 (2010 江苏卷 7)下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是________ Read a,b If a>b Then m ?a Else m ?b 2 4 【解析】考查流程图理解。 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 31 ? 33, 输出 End If 2 5 Print m S ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 63 。 4、 (2011 江苏卷 4)根据如图所示的伪代码,当输入 a , b 分别为 2,3 时, 最后输出的 m 的值是________【解析】 a ? 2, b ? 3 , a ? b, m ? b ? 3 . 本题主要考查考查算法的含义,基本算法语句,选择结构和伪代码,容易题. 5. (2012 江苏卷 4)下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 【答案】5。
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开始 6. (2013 江苏卷 5)右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 ▲
n ? 1,a ? 2

【答案】3 【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.
a ? 20

n ? n ?1
Y
a ? 3a ? 2

N

十二、复数
1、 (2008 江苏卷 3)

输出 n

1? i 表示为 a ? bi (a, b ? R) 的形式,则 a ? b = 1? i
2

结束 (第 5 题)

1 ? i ?1 ? i ? 【解析】本小题考查复数的除法运算.∵ ? ? i ,∴ a =0, b =1,因此 a ? b ? 1 1? i 2 2、 ( 2009 江 苏 卷 1 ) 若 复 数 z1 ? 4 ? 29i, z2 ? 6 ? 9i, 其 中 i 是 虚 数 单 位 , 则 复 数 ( z1 ? z2 )i 的 实 部
为 。 【解析】考查复数的减法、乘法运算,以及实部的概念。 -20 3、 (2010 江苏卷 2)设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为______ _____. 【解析】考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等,z 的模为 2。 4、 (2011 江苏卷 3)设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的实部是_________ 【解析】由 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i 得到 z ?

?3 ? 2i ? 1 ? 2 ? 3i ? 1 ? 1 ? 3i ,答案:1 i
11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 ▲ . 1 ? 2i
▲ .

本题主要考查考查复数的概念,四则运算,容易题.

b ? R , a ? bi ? 5. (2012 江苏卷 3)设 a ,

【答案】8。 【考点】复数的运算和复数的概念。 6. (2013 江苏卷 2)设 z ? (2 ? i) (i 为虚数单位),则复数 z 的模为
2

【答案】5 【解析】z=3-4i,i2=-1,| z |= =5.

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