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【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习第八章不等式第46课简单的线性规划文(新)


第 46 课 简单的线性规划
(本课时对应学生用书第 页)

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1.(必修5P95习题11改编)若实数x,y满足不等式组

? x ? 1, ? ? x-y ? 1 ? 0, ?2 x-y -2 ? 0, ?

则z=x +y 的最小值是

2

/>
2

.

(第1题) 【答案】5 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,z=x +y 的最小值表示阴影部分(包含边界)中的点到 原点的距离的最小值的平方,由图可知直线 x-y+1=0 与直线 x=1 的交点 (1, 2)到原点的距离最 近,故z=x +y 的最小值为1 +2 =5.
2 2 2 2 2 2

2.( 必 修 5P94 习 题 8 改 编 ) 若 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 为 【答案】3 .

? x ? -1, ? ? y ? x, ?3 x ? 2 y ? 5, ?

则 z=2x+y 的 最 大 值

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,可得直线 y=x与直线3x+2y=5的交点A(1,1)为最优 解点,所以当x=1,y=1时,zmax=3.

1

(第2题)

3.(必修5P90习题6改编)若变量x,y满足约束条件

? 2 x ? y ? 4, ? ? x-y ? 1, ? x-2 y ? 2, ?

则z=x+y的最小值是

.

(第3题) 【答案】2 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 .由z=x+y,得 y=-x+z.令z=0,画 出y=-x的图象,当它的平行线经过A(2,0)时,z取得最小值,最小值为zmax=2.

4.(必修5P90习题6改编)若变量x,y满足约束条件 【答案】3

? y ? 1, ? ? x ? y ? 0, ? x-y -2 ? 0, ?

则z=x-2y的最大值为

.

1 1 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示,由z=x-2y,得y= 2 x- 2 z,由图可知,当直线经过
点A(1,-1)时,z最大,且最大值为zmax=1-2×(-1)=3.

2

(第4题)

1.线性规划及其相关概念 (1)目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式称为目标函数.关于x,y的一 次目标函数称为线性目标函数. (2)约束条件:由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x,y的约束条件.关于x,y的一次 不等式或方程组成的不等式组称为x,y的线性约束条件. (3)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解. (4)可行域:所有可行解组成的集合称为可行域. (5)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解. (6)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题.

2.解线性规划问题的步骤 (1)画,即画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移,即在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且 纵截距最大或最小的直线; (3)求,即通过解方程组求最优解; (4)答,即给出答案.

【要点导学】

3

要点导学 各个击破

简单的线性规划问题

例1 大值为

(2015·天津卷)设变量x,y满足约束条件 .

? x-2 ? 0, ? ? x-2 y ? 0, ? x ? 2 y -8 ? 0, ?

则目标函数z=3x+y的最

【思维引导】先根据约束条件画出可行域,将 z=3x+y转化成直线y=-3x+z,得到z的几何 意义是纵截距.通过平移直线来求出z的最大值.

(例1) 【答案】9 【解析】方法一:作出约束条件表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数 的几何意义可知,目标函数在点A(2,3)处取得最大值,且zmax=9.

5 1 方法二:z=3x+y= 2 (x-2)+ 2 (x+2y-8)+9≤9,当x=2,y=3时取得最大值.
【精要点评】(1)线性规划是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是 给出约束条件求目标函数的最值. (2)解决此类问题常利用数形结合, 根据约束条件画可行域时,准确作出图形是解决问 题的关键. (3)要弄清与z有关的量的几何意义.常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、 点到直线的距离. (4)在直线平移过程中要注意目标直线的斜率与可行域中各直线斜率的比较.

4

变式 为 .

(2015·全 国 卷 ) 若 变 量 x , y 满 足 约 束 条件

? x ? y -2 ? 0, ? ? x-2 y ? 1 ? 0, ?2 x-y ? 2 ? 0, ?

则 z=3x+y 的 最大 值

(变式) 【答案】4 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,当目标函数线平移至经过可 行域的顶点A(1,1)时,目标函数z取得最大值,故zmax=3×1+1=4.

非线性目标函数的最值问题

例2 已知变量x,y满足约束条件 (1)z=

? x -4 y ? -3, ? ?3 x ? 5 y ? 25, ? x ? 1, ?

试求解下列问题.

x2 ? y 2

的最大值和最小值;

y (2)z= x ? 2 的最大值和最小值;
(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值. 【思维引导】(1)z的几何意义是区域中的点 (x,y)到原点(0,0)的距离;(2)z的几何意

z 义是指区域中的点(x,y)与点(-2,0)连线的斜率;(3) 5 的几何意义是表示区域中的点(x,y)
到直线3x+4y+3=0的距离.

5

(例2) 【解答】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,易得 A(1 , 1) , B(5 , 2) ,

? 22 ? ?1, ? C? 5 ? .
(1)z=

x2 ? y 2

表示的几何意义是可行域中的点 (x , y) 到原点 (0 , 0) 的距离,如图所

示,zmax= 29 ,zmin= 2 .

y 22 (2)z= x ? 2 表示区域中的点(x, y) 与点 M(-2 , 0) 连线的斜率,如图所示 .zmax=kMC= 15 , 2 zmin=kMB= 7 . |3x ? 4 y ? 3| | 3x ? 4 y ? 3| 5 5 (3)z=|3x+4y+3|=5· ,而 表 示 区 域 中 的 点 (x , y) 到 直 线
3x+4y+3=0的距离,如图所示,zmax=26,zmin=10. 【精要点评】(1)此题中与z有关量的几何意义不再是纵截距,而是与点到点的距离、斜

z 率、点到直线的距离.(2)在第(3)问中 5 才是点到直线的距离.
? 2 x ? y ? 10, ? ? x ? 2 y ? 14, ? x ? y ? 6, ?

变式

(2015·四川卷)设实数x,y满足约束条件

则xy的最大值为

.

25 【答案】 2

6

(变式) 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,在△ABC区域中结合图象可知当动点在线段AC

1 ? 2 x ? y ? 25 1 5 ? ? 上时xy取得最大,此时2x+y=10.xy= 2 (2x·y)≤ 2 ? 2 ? = 2 ,当且仅当x= 2 ,y=5时取

2

?5 ? 25 5? ? , 等号,对应点 ? 2 ? 落在线段AC上,故最大值为 2 .

可转化为线性规划的问题

?5c-3a ? b ? 4c-a, b ? clnb ? a ? clnc, 则 a 的取值范围是 例3 已知正数a,b,c满足 ?
【答案】[e,7]

.

? a b ?3 ? c ? c ? 5, ? ?a b ? ? ? 4, ?c c a ?5c-3a ? b ? 4c-a, ?b c ? ? e , ? c ln b ? a ? c ln c c ? 【解析】条件 ? 可化为

a b 设 c =x, c =y,则题目转化为:
?3 x ? y ? 5, ? x ? y ? 4, ? ? x y ?y ? e , ? x ? 0,y ? 0, 已知变量x,y满足 ? 求 x 的取值范围.

7

(例3) 作出(x,y)所在的平面区域如图中阴影部分所示.

y x 假设在y=e 上一点P(x0,y0)处 x 取得最小值.
y 0 e x0 y0 ex (x -1)e x 2 x x x 则 0 = 0 ,设g(x)= x ,g'(x)= x ,易知x=1时,g(x)取得最小值,故此时 0 =e.

y y b 当(x,y)对应点C时, x 取得最大值7.所以 x 的取值范围为[e,7],即 a 的取值范围是[e,7].
? a ? 1, ? 3 ? ab ? 81, ? a 3b ? 81, ?

变式 若变量a,b满足约束条件

a2 求u= b 的最大值.
?log 3 a ? 0, ? ?log 3 a ? 3log 3b ? 4, ?3log a ? log b ? 4, 3 3 ?

【解答】将不等式组两边同时取以 3 为底的对数得

再令 x=log3a ,

y=log3b,得

? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? 4, ?3 x ? y ? 4, ?

同时令z=log3u=2log3a-log3b=2x-y,题目就转化为:若x,y满足约束

条件

? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? 4, ?3 x ? y ? 4, ?

求z=2x-y的最大值.

8

(变式) 作出可行域如图中阴影部分所示,将z=2x-y化为y=2x-z,平移直线y=2x-z,当直线过点A

? x ? 3 y ? 4, ? 3x ? y ? 4, 时,z取得最大值,联立 ? 解得A(1,1),此时zmax=2×1-1=1,umax=3.

线性规划的实际应用问题 例4 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B两种原料,已知生产 1 t

每种产品需原料及每天原料的可用限额如下表所示,如果生产1 t甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4万元,求该企业每天可获得最大利润. 甲 A(t) B(t) 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8

【思维引导】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x t,y t,表示利润为z=3x+4y,

列出约束条件为

? x ? 0,y ? 0, ? ?3 x ? 2 y ? 12, ? x ? 2 y ? 8, ?

将语言文字通过建模转化为线性规划问题.

9

(例4) 【解答】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x t,y t,则利润z=3x+4y,

由题意可列不等式组

? x ? 0,y ? 0, ? ?3 x ? 2 y ? 12, ? x ? 2 y ? 8, ?

其表示的可行域如图中阴影部分所示.

当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时,z取得最大值zmax=3×2+4×3=18, 所以该企业每天可获得最大利润为18万元. 【精要点评】(1)应用题建模是难点,线性规划类型题往往容易多了不等式或者漏了不等 式. (2)在线性规划建模过程中,要注意实际应用问题对定义域的要求.

1.若实数x,y满足(x+y-1)(x-y+1)≥0且x∈[-1,1],则x+y的最大值为 【答案】3

.

(第1题) 【解析】因为(x+y-1)(x-y+1)≥0,

10

? x ? y-1 ? 0, ? x ? y-1 ? 0, ? ? x y ? 1 ? 0 x-y ? 1 ? 0, ? 所以 或?
作出可行域如图中阴影部分所示. 令x+y=z,则y=-x+z,当直线y=-x+z平移经过点A(1,2)时,x+y取得最大值为3.

2.(2015·广东卷)若变量x,y满足约束条件

? x ? 2 y ? 2, ? ? x ? y ? 0, ? x ? 4, ?

则z=2x+3y的最大值为

.

(第2题) 【答案】5 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线 l0:2x+3y=0,再作一组平

? x ? 2 y ? 2, ? x ? 4, 得 行于 l0 的直线 l : 2x+3y=z ,当直线 l 经过点 Α 时, z=2x+3y 取得最大值,由 ? ? x ? 4, ? ? y ? -1, 所以点Α 的坐标为(4,-1),所以zmax=2×4+3×(-1)=5.
? x ? -1, ? ? y ? 3, ? x-y ? 1 ? 0, ?

3.已知实数x,y满足约束条件

那么z=x +y -2x的最小值是

2

2

.

11

(第3题) 【答案】1 【解析】记目标函数为z=x +y -2x=(x-1) +y -1.表示可行域中的点与A(1,0)的距离d的平方减 去1,易知dmin= 2 ,所以z的最小值为1.
2 2 2 2

4.(2014·安徽卷)已知变量x,y满足约束条件 唯一,则实数a的值为 .

? x ? y -2 ? 0, ? ? x-2 y -2 ? 0, ? 2 x-y ? 2 ? 0. ?

若z=y-ax取得最大值的最优解不

【答案】2或-1

(第4题) 【解析】方法一:画出可行域如图中阴影部分所示,可知点A(0,2),B(2,0),C(-2,-2), 则zA=2,zB=-2a,

zC=2a-2.
要使对应最大值的最优解有无数组,只需zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或2. 方法二:画出可行域如图中阴影部分所示,z=y-ax可变形为y=ax+z,令l0:y=ax,则由题意知

l0∥AB或l0∥AC,故a=-1或2.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第91~92页.

12

【检测与评估】 第46课 简单的线性规划 一、 填空题 1.在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点为A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则由△ABC围成 的区域所表示的二元一次不等式组为 .

2.(2015·湖南卷)若变量x,y满足约束条件

? x ? y ? 1, ? ? y -x ? 1, ? x ? 1, ?

则z=2x-y的最小值为

.

3.(2015·辽宁育才中学一模 )已知实数x,y满足约束条件 最大值为4,则实数a的值为 .

? x ? 1, ? ? y ? a,a ? 1, ? x -y ? 0, ?

若目标函数z=x+y的

?2 x-y ? 0, ? ? x ? y -4 ? 0, 2 x 3 ? y 3 ? x ? 3, 2 4.已知实数x,y满足不等式组 ? 则 x y 的取值范围是

.

5.(2015·福建卷)已知变量x,y满足约束条件 的值为 .

? x ? y ? 0, ? ? x-2 y ? 2 ? 0, ?mx-y ? 0, ?

若z=2x-y的最大值为2,则实数m

6.若实数x,y满足约束条件

? x-y ? 2 ? 0, ? ? x ? y -4 ? 0, ?2 x-y -5 ? 0, ?

则z=|x+2y-4|的最大值为

.

13

7.(2015·南京、盐城一模)若变量x,y满足约束条件

? 2 x-y ? 0, ? ? x-2 y ? 3 ? 0, ? x ? 0, ?

则2 的最大值为

x+y

.

8.(2014·福建卷)已知圆C:(x-a) +(y-b) =1,平面区域Ω : C与x轴相切,则a +b 的最大值为
2 2

2

2

? x ? y -7 ? 0, ? ? x-y ? 3 ? 0, ? y ? 0. ?

若圆心C∈Ω ,且圆

.

二、 解答题 9.给出的平面区域是△ABC内部及边界(如图中阴影部分所示),若目标函数 z=ax+y(a>0)取得 最大值的最优解有无穷多个,求a的值及z的最大值.

(第9题)

10.已知实数x,y满足不等式组 (1)求z1=x +y 的最小值;
2 2

? x ? 0, ? ? x-y ? 0, ?2 x-y -2 ? 0. ?

y-1 (2)求z2= x ?1 的取值范围.

11.为保增长、促发展,某地计划投资甲、乙两个项目,根据市场调研知,甲项目每投资100万 元需要配套电能2万千瓦·时,可提供就业岗位24个,GDP增长260万元;乙项目每投资100万元

14

需要配套电能4万千瓦·时,可提供就业岗位36个,GDP增长200万元.已知该地为甲、乙两个项 目最多可投资3 000万元,配套电能100万千瓦·时,若要求两个项目能提供的就业岗位不少于 840个,问:如何安排甲、乙两个项目的投资额,才能使GDP增长得最多?

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)

12.(2015·重庆卷)若不等式组 则实数m的值为 .

? x ? y -2 ? 0, ? ? x ? 2 y -2 ? 0, ? x-y ? 2m ? 0 ?

4 表示的平面区域为三角形,且其面积等于 3 ,

13.(2015·苏北四市期末)若实数x,y满足x+y-4≥0,则z=x +y +6x-2y+10的最小值为

2

2

.

【检测与评估答案】 第46课 简单的线性规划

1.

? x ? 2 y-1 ? 0, ? ? x-y ? 2 ? 0, ?2 x ? y-5 ? 0 ?

【解析】如图,直线AC的方程为2x+y-5=0,直线BC的方程为x-y+2=0,直线

AB的方程为x+2y-1=0.在三角形的内部任取一点,如点(1,1),代入上述三条直线方程的左边
得2×1+1-5<0,1-1+2>0,1+2×1-1>0.又因为含有边界,所以△ABC围成的区域所表示的二元

一次不等式组为

? x ? 2 y-1 ? 0, ? ? x-y ? 2 ? 0, ?2 x ? y-5 ? 0. ?

15

(第1题)

2.-1

【解析】根据约束条件

? x ? y ? 1, ? ? y -x ? 1, ?x ? 1 ?

作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线

? x ? y ? 1, ? x ? 0, ? ? z=2x-y过点A时,z取得最小值.联立 ? y -x ? 1,解得 ? y ? 1, 所以A(0,1),所以z=2x-y在点A处
取得最小值为-1.

(第2题)

3.2 【解析】作出不等式组

? x ? 1, ? ? y ? a,a ? 1, ? x-y ? 0 ?

所表示的可行域如图中阴影部分如示.

? y ? a, ? x ? a, ? ? x-y ? 0, y ? a, 联立 ? 解得 ? 即点A(a,a).作直线l:z=x+y,则z为直线l在y轴上的截距,当直
线 l 经 过 可 行 域 上 的 点 A(a , a) 时 , 直 线 l 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 , 此 时 z 取 最 大 值 , 即

zmax=a+a=2a=4,解得a=2.

(第3题)

16

? 55 ? ?3, ? 4. ? 9 ?

? 4 8? ? ,? 【解析】由条件知,可行域是以点A ? 3 3 ? ,B(3,6),C(3,1)为顶点组成的三
? y? ? ? ? x? ,其中
2

2x 角 形 及 其 内 部 ( 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ) , 而 目 标 函 数 可 化 为 z= y +

? ? ?

3 y? 1 ? y? ?1 ? 2 2 2(t -1) , 2? ? ? ? ? , 2 2 x ? m i n= 3 ? x ?max =2 ,设 f(t)=t2+ t , f'(t)=2t- t = t ,其中 t∈ ? 3 ? ,故当 t=1

? 1 ? 55 ? 55 ? 55 ? ? ?3, ? 时,f(t)min=3.又f ? 3 ? = 9 ,f(2)=5,故f(t)max= 9 ,即所求取值范围为 ? 9 ? .

(第4题)

5.1 【解析】将目标函数变形为y=2x-z,当z取最大值,则直线纵截距最小,故当m≤0时,不

2m ? ? 2 , ? ? 满足题意;当m>0时,画出可行域如图中阴影部分所示,其中 B ? 2m-1 2m-1 ? .显然O(0,0)不 2m ? ? 2 4 2m , ? ? 是最优解,故只能B ? 2m-1 2m-1 ? 是最优解,代入目标函数得 2 m -1 - 2 m -1 =2,解得m=1.

(第5题)

17

|x ? 2 y-4|
6.21 【 解 析 】 作 出 可 行 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 . 由 z=|x+2y-4|=



12 ? 22 , 知

z=|x+2y-4|表示在可行域内取一点到直线 x+2y-4=0的距离的 5 倍,由图知点 C(7 ,9)到直线 x+2y-4=0的距离最大,所以zmax=|7+2×9-4|=21.

(第6题)

7.8 【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.直线2x-y=0与直线x-2y+3=0的 交点为 (1, 2),代入目标函数 m=x+y得到最大值为3,由函数 y=2 为增函数,得 2 的最大值为 2 =8.
3

m

x+y

(第7题)

8.37

【解析】作出不等式组
2 2

? x ? y -7 ?? 0, ? ? x-y ? 3 ? 0, ?y ? 0 ?

表示的平面区域 Ω 如图中阴影部分所示 ( 含边

界),圆C:(x-a) +(y-b) =1的圆心坐标为(a,b),半径为1.由圆C与x轴相切,得b=1.解方程组

? x ? y-7 ? 0, ? x ? 6, ? ? y ? 1, ? y ? 1, 得? 即直线x+y-7=0与直线y=1的交点坐标为P(6,1).又点C∈Ω ,则当点C
与P重合时,a取得最大值,所以a +b 的最大值为6 +1 =37.
2 2 2 2

18

(第8题)

9. 直线z=ax+y(a>0)是斜率为-a,在y轴上的截距为z的直线族,从图上可以看出,当-a小于直 线AC的斜率时,目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解是 (5,2);当-a大于直线AC的斜率 时,目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解是 (1,4);只有当-a等于直线AC的斜率时,目 标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解才有无穷多个,线段AC上的所有点都是最优解.直线AC

1 1 1 9 的斜率为- 2 ,所以a= 2 时,z的最大值为 2 ×1+4= 2 .

10.首先画出可行域,如图中阴影部分所示.

(第10题) (1) z1=x +y 表示的是可行域内任意一点(x,y)到点(0,0)的距离的平方.由图可知,点A(x,y) 到点O(0,0)的距离最小,点A的坐标是(1,0),所以z1 min=1 +0 =1.
2 2 2 2

y -1 (2) z2= x ? 1 表示的是可行域内任意一点(x,y)与点B(-1,1)连线的斜率.由图可知点A(1,0) 0-1 1 与点 B(-1 , 1) 连线的斜率最小, z2 min= 1 ? 1 =- 2 , z2
=1( 取不到 ) ,所以 z2 的取值范围是

max

? 1 ? ? , 1? ? ? 2 ?.
11.设甲项目投资x万元,乙项目投资y万元,增长的GDP为z万元,则投资甲、乙两个项目可增 长的GDP为z=2.6x+2y.

? x ? y ? 3000, ?0.02 x ? 0.04 y ? 100, ? ? ?0.24 x ? 0.36 y ? 840, ? x ? 0, ? ? y ? 0, 依题意,知x,y满足 ?

19

作出此不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

(第11题) 把z=2.6x+2y变形为y=-1.3x+0.5z,其在y轴上的截距为0.5z. 由图可知当直线y=-1.3x+0.5z经过可行域上的点B时,其纵截距取得最大值,也即z取得最大值.

? x ? y ? 3000, ? 0.24 x ? 0.36 y ? 840, 由? 得x=2 000,y=1 000,即点B的坐标为(2 000,1 000),
故当甲项目投资2 000万元、乙项目投资1 000万元时,GDP增长得最多.

12.1

【解析】如图,作出不等式组

? x ? y-2 ? 0, ? ? x ? 2 y-2 ? 0, ? x-y ? 2m ? 0 ?

所表示的平面区域为△ABC,且其面积等

4 于 3 ,再注意到直线 AB: x+y-2=0 与直线 BC :x-y+2m=0 互相垂直,所以△ABC 是直角三角形,

? 2-4m 2m ? 2 ? 1 , ? ? 3 ? ,D(-2m,0),从而S△ABC= 2 |2+2m|·|m+1|易知,A(2,0),B(1-m,1+m),C ? 3
2m ? 2 4 1 2 |2+2m|· 3 = 3 ,化简得(m+1)2=4,解得m=-3或m=1,检验知当m=-3时,已知不等式组
不能表示一个三角形区域,故舍去,所以m=1.

(第12题)

13.18 【解析】先画出不等式x+y-4≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,

20

则z=(x+3) +(y-1) 表示不等式x+y-4≥0表示的平面区域内的点(x,y)与定点(-3,1)距离的平

2

2

? |-3 ? 1-4| ? ? 2 2? 方,可求得zmin= ? 1 ? 1 ? =18.

2

(第13题)

21


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