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空间几何体的表面积与体积练习题.及答案


空间几何体的表面积与体积专题
一、选择题 1.棱长为 2 的正四面体的表面积是( A. 3 解析 B.4 C ). C.4 3 D.16

1 3 每个面的面积为: ×2×2× = 3.∴正四面体的表面积为:4 3. 2 2 B ).

2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( A.2 倍 解析 B.2 2倍 C. 2倍

3 D. 2倍

4 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍,则体积 V= π R3,知体积扩大到原来的 2 2倍. 3 B ). D. 140 3

3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为( A. 142 3 B. 284 3 C. 280 3

解析

根据三视图的知识及特点,可画出多面体

的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积

V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×? ×2×2?×2=
4.某几何体的三视图如下,则它的体积是( A.8- 2π 3 B.8- π 3 C.8-2π

1 3

?1 ?2

? ?

284 . 3

A) D. 2π 3

解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半

1 2π 径为 1,高为 2 的圆锥,所以 V=23- ×π ×2=8- . 3 3 5.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆的半径为 1,则该几何 体的体积为( 3 A)A.24- π 2 B.24- π 3 C.24-π D.24- π 2

据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱,其中长方体的棱长分 1 3π 别为: 2,3,4, 半圆柱的底面半径为 1, 母线长为 3, 故其体积 V=2×3×4- ×π ×12×3=24- . 2 2 6.某品牌香水瓶的三视图如图 (单位:cm),则该几何体的表面积为(
1

C

)

π? ? A.?95- ? cm2 2? ? π? ? C.?94+ ? cm2 2? ? 解析

π? ? B.?94- ? cm2 2? ? π? ? D.?95+ ? cm2 2? ?

这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、 π 下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为 2×3×3+12×1- 4 π 1 =30- ;中间部分的表面积为 2π × ×1=π ,下面部分的表面 4 2 π π π 积为 2×4×4+16×2- =64- .故其表面积是 94+ . 4 4 2 7.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S-ABC 的体积为( A.3 3 解析 C). B.2 3 C. 3 D.1

由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上,作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D,设 SD=x,

则 DC=4-x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD,在△SAD 和△SBD 中,由已知条件 可得 AD=BD= 3 x,又因为 SC 为直径,所以∠SBC=∠SAC=90°,所以∠DCB=∠DCA=60°,在 3 3 x= 3(4-x),所以 x=3,AD=BD= 3,所以三角形 ABD 为 3

△BDC 中 ,BD= 3(4-x),所以

1 正三角形,所以 V= S△ABD×4= 3. 3 二、填空题 8.三棱锥 PABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 PABC 的体 积等于__ 3______.解析 1 1 3 依题意有,三棱锥 PABC 的体积 V= S△ABC·|PA|= × ×22×3= 3. 3 3 4

9.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球 的体积之比为_ 3∶2_______. 解析 设圆柱的底面半径是 r,则该圆柱的母线长是 2r,圆柱的侧面积是 2π r·2r=4π r2,设球的 半径是 R,则球的表面积是 4π R2,根据已知 4π R2=4π r2,所以 R=r.所以圆柱的体积是 π r2·2r 4 2π r3 =2π r3,球的体积是 π r3,所以圆柱的体积和球的体积的比是 =3∶2. 3 4 3 πr 3 10. 如图所示, 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形

2

组成,则该多面体的体积是___ 解析

2 _____. 6 3 ,连 2

由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜高为

接顶点和底面中心即为高,可求得高为

2 1 2 2 ,所以体积 V= ×1×1× = . 2 3 2 6

11.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是____2π R2____. 解析 由球的半径为 R,可知球的表面积为 4π R2.设内接圆柱底面半径为 r,高为
2 2 2

2h, 则 h +r =R .而圆柱的侧面积为 2π r·2h=4π rh≤4π

r2+h2
2

=2π R (当且仅

2

当 r=h 时等号成立),即内接圆柱的侧面积最大值为 2π R2,此时球的表面积与内 接圆柱的侧面积之差为 2π R2. 12.如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点

A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为___13_____cm.
解析 根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展

开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为 52+122=13 (cm).

三、解答题 13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示,墩的上 半部分是正四棱锥 PEFGH, 下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、 图 3 分别是该标识墩的正视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)求该安全标识墩的体积. 解析 (1)侧视图同正视图,如图所示:(2)该安全标识墩的体积为 1 3

V=VPEFGH+VABCDEFGH= ×402×60+402×20=64 000(cm3).
14 .一个几何体的三视图如图所示. 已知正视图是底边长为 1 的平行四边形, 侧视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成 的矩形.(1)求该几何体的体积 V;(2)求该几何体的表面积 S. 解析 (1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为
3

1 的正方形,高为 3,所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面 BCC1B1, 所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3. 15. 已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形, 正视图(或称主视图)是一个底 边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.(1)求该几何体的体积 V;(2)求该几何体的侧面积 S. 解析 由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形,正侧面

及其相对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、 右侧面均为底边长为 6,高为 h2 的等腰三角形,如右图所示. 1 1 (1)几何体的体积为:V= ·S 矩形·h= ×6×8×4=64. 3 3 (2)正侧面及相对侧面底边上的高为:h1= 42+32=5.左、右侧面的底边上的高为:h2= 42+42= 1 ?1 ? 4 2.故几何体的侧面面积为:S=2×?2×8×5+2×6×4 2?=40+24 2. ? ? 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( 解:设展开图的正方形边长为 a,圆柱的底面半径为 r,则 2πr=a, r ?

). .

a a2 ,底面圆的面积是 , 2? 4?

a2 ? a2 1 ? 2? 于是全面积与侧面积的比是 2? 2 , ? a 2? 2.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去与 8 个顶点 相关的 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( ). 2 .解:正方体的体积为 1 ,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是 1 1 1 1 1 1 1 5 ?( ? ? )? ? ,于是 8 个三棱锥的体积是 ,剩余部分的体积是 , 3 2 2 2 2 48 6 6 3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是 6cm 和 8cm,高是 5cm, 则这个直棱柱的全面积是 。 2 3.答案:148 cm 解:底面菱形中,对角线长分别是 6cm 和 8cm,所以底面边长是 5cm, 侧面面积是 4×5×5=100cm2,两个底面面积是 48cm2, 所以棱柱的全面积是 148cm2. 4.已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为 1:2,则它 们的高之比为 。
4.答案:2 2 : 5 解:设圆柱的母线长为 l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为 1:

4

2,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是

2? 4? 和 , 3 3 2? r l 2l 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 ? ? ,得 r1 ? , r2 ? , l 3 3

l l 2 ? ( )2 3 ?2 2. 所以它们的高的比是 2l 5 l 2 ? ( )2 3

5. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直, 且长度分别为 1cm, 2cm, 3cm, 则此棱锥的体积_________ 3 5.答案:1cm 解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为 1cm,2cm 的两条)确定的侧面 看作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积是 1,高为 3, 1 则它的体积是 ×1×3=1cm3. 3 6.矩形两邻边的长为 a、b,当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为 b 6.答案: a 解: 矩形绕 a 边旋转, 所得几何体的体积是 V1=πb2a, 矩形绕 b 边旋转, 所得几何体的体积是 V2=πa2b, 所以两个几何体的体积的比是

V1 ? b2 a b ? ? V2 ? a 2b a

16.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值;(2)当四面体的体积最大时,求其表面积. 解析 (1)如图,在四面体 ABCD 中,设 AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取 AD 的中点为 P,

BC 的中点为 E,连接 BP、EP、CP.得到 AD⊥平面 BPC,∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC
1 1 1 1 1 = ·S△BPC·AP+ S△BPC·PD= ·S△BPC·AD= · ·a 3 3 3 3 2 ≤

a - - ·x=
4 4

2

x2 a2

a
12

?3a2-x2?x2

a
12

·

3a2 1 3 6 1 = a (当且仅当 x= a 时取等号).∴该四面体的体积的最大值为 a3. 2 8 2 8

(2)由(1)知,△ABC 和△BCD 都是边长为 a 的正三角形,△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形,其腰 长为 a,底边长为


6 3 1 6 a,∴S 表=2× a2+2× × a× 2 4 2 2
2

a2-?

? 6 ?2 a? ?4 ?

3 2 6 10a 3 2 15a 2 3+ 15 2 a + a× = a+ = a. 2 2 4 2 4 4

5


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