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山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学试题


山东省济南市 2013 届高三高考模拟考试 理科数学试题(2013 济南一模)
第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的.
x 2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. x x ? 0 2.已知复数 A.4

?

?

B. x x ? ?1或x ? 0

?

?

C. x x ? 4

?

?

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

2 ? 3i ( i 是虚数单位) ,它的实部和虚部的和是 1? i
B.6 C.2 D.3

3.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗, 用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高 度的平均数 x甲、 x乙 和中位数 y甲、y乙 进行比较,下面 结论正确的是 A. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 C. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙
?y ?1 ? ?x ? y ? 8 ?

B. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 D. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙

4.已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 A. ?2 B.5 C.6 D.7

5.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 ? 2, ??? 上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
1? 6.函数 f ? x ? ? ln ? ? x ? ? 的图象是 x? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A. A. 13 11

B.

C. D. 13 8

D.

7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 B. 21 C. 8 13 13 x 1 8 8.二项式 ( ? ) 的展开式中常数项是 2 3x A.28 B.-7 C.7
2 2

D.-28

9.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x ? y ? 1 相交于

A , B 两点,且 AB ? 3, 则 OA ? OB 的值是
A. ?
1 2

第 7 题图

B.

1 2

C. ?

3 4

D.0

10.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) 在区间 [? ? , 5? ] 6 6 上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点
A.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标

缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

D.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

11.一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 A.

20 3

B.

40 3

C. 20

D. 40

12.设 a ?

?

2

1

1 dx, b ? x

?

3

1

1 dx, c ? x
B.

?

5

1

1 dx , x

则下列关系式成立的是 A.

a b c ? ? 2 3 5

b a c ? ? 3 2 5

第 11 题图

C.

c a b ? ? 5 2 3

D.

a c b ? ? 2 5 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
1 1 ? 的最小值为 m n

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若点 A ?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 m n ? 0, 则 14. 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 恰好是双曲线
2

.

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点,且渐近线方 a 2 b2


程为 y ? ? 3x ,则双曲线方程为

y
15.函数 y ? sin(

?
2

x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如

图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与

x

x 轴的交点,则 tan ?APB



16.f ( x) ?| 2x ?1|, f1 ( x) ? f ? x ? , f2 ? x ? ? f ? f1 ? x ?? ,

, f n ? x ? ? f ? f n?1 ? x ?? 则函数

y ? f4 ? x ? 的零点个数为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本题满分 12 分) 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cosx ,? y) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的单调增区间; ( 2 )已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2 ,

A 2

b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形, AB / / CD, 且 AC ? BD,

AC与BD交于O, PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分 别 是 A B、 A P的 中
点. (1)求证: AC ? EF ; (2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.

P

F D O A E
第 18 题图
*

C

B

19. (本题满分 12 分)

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1 (n ? N ) ,等差数列 ?bn ? 满足

b3 ? 3, b5 ? 9 .
(1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

1 bn ? 2 (n ? N * ) ,求证 cn ?1 ? cn ? . 3 a n?2

20.(本题满分 12 分) 某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继 续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试不合格的 概率均为

1 2 ,参加第五项不合格的概率为 2 3

(1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望. 21.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? xe .
x

(1) 求 f ( x) 的单调区间与极值; (2) 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有

f ( x2 ) ? f (a) f ( x1 ) ? f (a) 成立.若存在,求 a 的范围,若不存在,请说明理由. ? x2 ? a x1 ? a

22.(本题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 . (2,2) 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ? (i) 求 OA ? OB 的最值. (ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值;
C B O D A

b2 , a2

y

x

第 22 题图

2013 年 3 月济南市高考模拟考试理科数学参考答案
一、选择题
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

二、填空题

13 . 2 三、解答题 17.

14. x ?
2

y2 ?1 3

15. ?2

16. 8







1





m?n



m ? n ? 0 ,?2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? y ? 0


…….………….……….…2 分

y ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
………4 分 ∴

?
6

) ? 1 …………… . ………

?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

…………………………………………………………

……5 分 ∴

?

?
?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z













[?


?
3

? k? ,
2

6

? k? ], k ? Z …………………………………6 分
因 为



sin( A ?


?
6

A f( )?3 2







2sin( A ? ) ? 1 ? 3 6

?



) ? 1 , ………………………………………7 分

A?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ………………………………………………………………………………

……8 分 因



0? A??







A?


?
3

. 余

………………………………………………………………………9 分 弦 定 理 得 :

a2 ?

b2 ? 2

c2 ? c

ob ,

s c 即

A

4 ? b2 ? c 2 ? bc


…………………………10 分 , 因 为

4 ? (b ? c)2 ? 3bc

b ?c ? 4







bc ? 4


…………………………………………11 分

S

ABC

?

1 bc sin A ? 3 . ……………………………………………………………………………… 2

…12 分 18. 证明: (1) E、F 分别是 AB、AP 的中点.

P

F D C

EF 是 PB 的中位线,? EF / / PB, ---------------------------------2 分
由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC, -------------------------3 分

AC ? BD, ? AC ? 面POB, ----------------------------4 分
PB ? 面POB ? AC ? PB ----------------------------------5


? A C? E . F ----------------------------------------------------6 分
(2)以 OB, OC , OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 {OB, OC, OP} 由题设, OA ? OB ? 2, OC ? OD ? 1,------------------------------7 分

A? 0, ?2,0? , B ? 2,0,0? , C ? 0,1,0? , D ? ?1,0,0? , P(0,0,2)
OE ? (1, ?1,0), OF ? (0, ?1,1), ---------------------------------8 分
设平面 OEF 的法向量为 m ? ( x, y, z)

z
P

? ?m ? OE ? 0 ?? 可得 m ? (1,1,1) ,-----------------------------10 分 m ? OF ? 0 ? ?
平面 OAE 的法向量为 n ? (0,0,1) 设二面角 F ? OE ? A 为 ? ,

F D O A E B C

y

x

cos ? ?

m?n 3 --------------------------------------------------------12 分 ? | m || n | 3
得 an ? 2Sn?1 ? 1 ----②,

19. 解: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 ----①

① ? ②得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ,? an?1 ? 3an …………………………………………2 分

? an ? 3n?1 ; ………………………………………………………………………………3 分
?b5 ? b3 ? 2d ? 6,?d ? 3 …………………………………………………………………4 分 ?bn ? 3n ? 6
…………………………………………………………………………6 分 ………………………-………………………8 分 ………………………………………………………9 分

(2)因为 an?2 ? 3n?1 , bn?2 ? 3n 所以

cn ?

3n n ? n n ?1 3 3

1 ? 2n ?0 3 n ?1 1 cn ?1 ? cn ? ??? ? c1 ? 3 1 所以 cn ?1 ? cn ? 3
所以 c n ?1 ? c n ?

………………………………………………………10 分 ………………………………………………………11 分 ………………………………………………………12 分

20.解: (1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格 记 A={前四项均合格} B={前四项中仅有一项不合格} 则 P(A)= ( ) ? (1 ? ) ?

1 4 2 1 …………………………………………………………2 分 2 3 24 11 1 2 1 ? (1 ? ) 3?(1 ? ) ? ………………………………………………4 分 P(B)= C 42 2 3 16
又 A、B 互斥,故所求概率为 P=P(A)+P(B)=

1 1 5 ? ? ……………………………………………………………………… 24 16 48

…………5 分 (2)该生参加考试的项数 ? 可以是 2,3,4,5.

1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? ? ? P( X ? 3) ? C2 (1 ? ) ? ? ? 2 2 4, 2 2 2 4 1 1 1 3 1 P( X ? 4) ? C3 (1 ? ) ? ( ) 2 ? ? 2 2 2 16 P ( X ? 5) ? 1 ? 1 1 3 5 ? ? ? …………………………………9 分 4 4 16 16
2 3 4 5



X
p

1 4

1 4

3 16

5 16
…………………………

…………10 分

1 1 3 5 57 E( X ) ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 4 4 16 16 16
…………12 分 21 . 解 : (1)

………………………………

f ?( x) ? (1 ? x)e x

.



f ?( x) ? 0





x ? ?1 ;……………………………………………………1 分
列表如下

x
f ?( x )

(??,?1)
-

?1
0

(?1,??)
+

f ( x)
? f ( x)
的 单 调 递 减 区 间 是

极小值

(??,?1)

















(?1,??) .………………………………………………4 分 f ( x)
= f ( ?1) ? ? 分 (2) 设 g ( x) ?
极 小 值

1 e

……………………………………………………5

f ( x) ? f (a) , 由 题 意 , 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有 x?a
, 即

g ( x2 ) ? g ( x1 )

y ? g ( x)



(a,??)













数.………………………………………………………………………………………………7 分

g ?( x) ?

f ?( x)( x ? a) ? [ f ( x) ? f (a)] (1 ? x)e x ( x ? a) ? xe x ? ae a ? ( x ? a)2 ( x ? a)2

( x 2 ? x ? ax ? a)e x ? xe x ? ae a x 2e x ? axe x ? ae x ? ae a ? ? ( x ? a)2 ( x ? a)2
………………8 分

…………………………

?x ? (a,??) , g ?( x) ? 0
令 h( x) ? x e ? axe ? ae ? ae ? 0
2 x x x a

h?( x) ? 2xex ? x2ex ? a(1 ? x)ex ? aex ? x( x ? 2)ex ? a( x ? 2)e x

……………………………………………………………………………… ……… ? (x ? 2 ) x ( ? a x) e …10 分 若 a ? ?2 ,当 x ? a 时, h?( x) ? 0 , h( x) 为 [a,??) 上的单调递增函数,

? h( x) ? h(a) ? 0
立.

,









…………………………………………………………11 分

若 a ? ?2 ,当 x ? (a,?2) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 为 [a,?2] 上的单调递减函数,

? ?x0 ? (a,?2)



h( x0 ) ? h(a) ? 0





?x ? (a,??)
值 范

,

h( x ) ? 0




盾…………………………………………12 分 所 以 , a 的





[-2, ??) .……………………………………………………………………………………13 分

22.





(1)







e?

c 2 ? a 2



4 2 ? 2 ?1 2 a b





a 2 ? b 2 ? c 2 ,……………………………………………2 分
解 得

a 2 ? 8, b2 ? 4

,

















x2 y2 ? ? 1 .……………………………………………………………4 分 8 4
(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 联立 ?

? y ? kx ? m ,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m2 ? 8 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 8
----------①

2 ?? (4km) ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0

? 4km ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 8 ? x1 x2 ? 2m ? 2 1 ? 2k ?
…………6 分

…………………………………………………

? kOA ? kOB

b2 1 ?? 2 ?? a 2

?

y1 y2 1 ?? x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
…………7 分

…………………………………………………

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
=k
2

2m 2 ? 8 ? 4km m2 ? 8k 2 2 ? km ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

………………………………………

…………8 分

??

m 2 ? 4 m 2 ? 8k 2 ? ? ?(m2 ? 4) ? m2 ? 8k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
…………………………………………………

? 4k 2 ? 2 ? m2
………9 分

(i) OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2

?

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 4 ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?? 2 ?2 ?4 O ?A O ?B ? 2
当 k=0(此时 m ? 2 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA? OB 的最小值为-2.
2

又 直 线

AB

的 斜 率 不 存 在 时 OA ? OB ? 2 , 所 以 OA ? OB 的 最 大 值 为

2. …………………………………11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

S ?AOB ?

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k 2
2

|m| | m | ? ? 4km ? 2m 2 ? 8 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4 ? ? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? | m | 64k 2 16(m 2 ? 4) ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 2 2 m m

? S四边形ABCD ? 4S?AOB ? 8 2 .
即,四边形 ABCD 的面积为定值…………………………………………………………13 分



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