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江西省宜春市第三中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 理


江西省宜春三中 2015-2016 学年度高二下学期第二次月考数学(理) 试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)。 1.复数 z=| (x=my+t 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数为( )

A.2﹣i B.2+i C.4﹣i D.4+i 2.曲线 f(x)=

A.﹣ B.
x

+ C.

在(1,a+1)处的切线与直线 3x+y=0 垂直,则 a 等于( D. )



3.函数 y=e +cosx 在点(0,2)处的切线方程是( A.x﹣y+2=0 B.x+y﹣2=0 C.2x﹣y+2=0 4.直线 x= A. ,x=2,y=0,及曲线 y= B. C.

D.x﹣2y+4=0 )

所围图形的面积为( D.2ln2

5.用反证法证明:若实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,那么 a,b,c,d 中至少 有一个小于 0,下列假设正确的是( ) A. 假设 a,b,c,d 都大于 0 B. 假设 a,b,c,d 都是非负数 C. 假设 a,b,c,d 中至多有一个小于 0 D. 假设 a,b,c,d 中至多有两个大于 0 6.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接等工作,每个场馆至少分配一名志愿者 的方案种数为( )

A.240 B.300 C.150 D.180 7.某班级有 6 名同学去报名参加校学生会的 4 项社团活动,若甲、乙两位同学不参加同一 社团,每个社团都有人参加,每人只参加一个社团,则不同的报名方案数为( A.4320 B.2400 C.2160 D.1320 8.二项式(x ﹣ A.20 B.24
2
2



) 的展开式中不含 x 项的系数之和为( C.30 D.36

6

3



3 2 2 9.若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项系数为 20,则 a ? b 的最小值为(
6

b x



A.

4

B. 3

C. 2

D. 1

1

10.设函数 f(x)=e (2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0, 则 a 的取值范围是( A.[ C.[ ) ) B.[ D.[ ) f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对 ) )

x

11.已知函数 f(x)=sin(x﹣φ ) ,且 称轴是( A.x= ) B.x= C.x= D.x=

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣1)=f(3)=1,f′(x)为 f(x)的导函数, 且导函数 y=f′(x)的图象如图所示.则不等式 f(x)<1 的解集是( )

A.(﹣1,0)

B.(﹣1,3)

C.(0,3) D.(﹣∞,﹣1)(3,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置)。 13.已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2

?

1 0

f (t )dt ,则 f ( x) =_______..

14.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲 同学不与老师相邻,则不同站法种数为 .

15.设函数 f(x)=x +ax 的导数为 f′(x)=2x+1,则数列 项和为 .
?
3

m

的前 n

16.如图,已知射线 OP,作出点 M 使得 ?POM ? 个.

,且 | OM |? 8 ,若射线 OP 上一点 N 能使得

MN 与 ON 的长度均为整数,则称 N 是“同心圆梦点” .请问射线 OP 上的同心圆梦点共有

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答写出文字说明、演算过程或步骤.)

2

17.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 且 f (?1) ? 2, f ?(0) =0,
2

?

1

0

f ( x)dx ? ?2 , 求 a, b, c 的值.

18.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个 球放入 5 个盒子内. (1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投 放方法? 19.已知 An =24Cn ,且(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +a3x +?+anx . (1)求 n 的值; (2)求 a1+a2+a3+?+an 的值. 20.已知函数 f(x)=ax +x (a∈R)在 x= (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.
3 2 4 6 n 2 3 n

处取得极值.

21.已知函数 f(x)=lnx+cosx-( 6

?
a n ?1 ? a n ? nf ?( ) ? 3(n ? N * ) 6

?

,且数列{an}满足 9 )x 的导数为 f ? (x) 2

?



(1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值: (2)若对任意 n∈N' ,都有 an+ 2n ≥0 成立,求 a1 的取值范围.
* 2

22.已知函数



(I)当 a=1 时,求 f(x)在 x∈[1,+∞)最小值; (Ⅱ)若 f(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证: (n∈N ) .
*

3

参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A 9.C 10.D 11.A 12.B 二、填空题 13. f ( x) ? x ? 1 14.12 15. 16.4

18.(1) C5 A5 ? 1200(种)
2 4

(2) A5 ?1 ? 119(种)
5

(3)满足的情形:第一类,五个球的编号与盒子编号全同的放法:1 种 第二类,四个球的编号与盒子编号相同的放法:0 种
4

第三类,三个球的编号与盒子编号相同的放法:10 种
2 第四类,二个球的编号与盒子编号相同的放法: 2C5 ? 20 种

∴ 满足条件的放法数为:1+10+20=31(种)

19.【解答】解: (1)由 An =24Cn ,可得 =5×6, 求得 n=10 或 n=﹣1(舍去) ,故 n=10. (2)在(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +a3x +?+anx 中, 令 x=0,可得 a0=1;
n 2 3 n

4

6

=24?

, (n﹣4) (n﹣5)

再令 x=1,可得 a0+a1+a2+a3+?+an=a0+a1+a2+a3+?+a10=1, ∴a1+a2+a3+?+an 的=a1+a2+a3+?+a10=0. 20.【解答】解: (Ⅰ)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax +2x. ∵f(x)=ax +x (a∈R)在 x= ∴f′(﹣ )=0, ∴3a? ∴a= ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 g(x)=( x3+x2)ex, ∴g′(x)=( x2+2x)ex+( x3+x2)ex= x(x+1) (x+4)ex, 令 g′(x)=0,解得 x=0,x=﹣1 或 x=﹣4, 当 x<﹣4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当﹣4<x<﹣1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当﹣1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 综上知 g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)内为减函数,在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)内 为增函数. 21. +2?(﹣ )=0,
3 2 2

处取得极值,

5

22.解答:

解: (I)

,定义域为(0,+∞) .

∵ ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 当 x≥1 时,f(x)≥f(1)=1; (3 分) (Ⅱ)∵ ∵若 f(x)存在单调递减区间,





∴f′(x)<0 有正数解.即 ax +2(a﹣1)x+a<0 有 x>0 的解. (5 分) ①当 a=0 时,明显成立. ②当 a<0 时,y=ax +2(a﹣1)x+a 为开口向下的抛物线,ax +2(a﹣1)x+a<0 总有 x>0 的解; ③当 a>0 时,y=ax +2(a﹣1)x+a 开口向上的抛物线, 即方程 ax +2(a﹣1)x+a=0 有正根.
2 2 2 2

2

6

因为 x1x2=1>0, 所以方程 ax +2(a﹣1)x+a=0 有两正根. ,解得 .
2

综合①②③知: (Ⅲ)

. (9 分)

(法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x>1 时, 令 ,则有 ,

,即















(12 分)

(法二)当 n=1 时,ln(n+1)=ln2. ∵3ln2=ln8>1,∴ 设当 n=k 时,命题成立,即 ∴n=k+1 时, 根据(Ⅰ)的结论,当 x>1 时, 令 则有 因此,由数学归纳法可知不等式成立. ,则有 , ,即 n=k+1 时命题也成立. (12 分) ,即 . ,即 n=1 时命题成立. . .

点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法, 难点之一在于 (Ⅱ) 中通过求 h′ (x)后,转化为:ax +2(a﹣1)x+a<0 有 x>0 的解的问题,再用分类讨论思想来解决; 难点之二在于(Ⅲ)中法一通过构造函数 法,其中也有构造函数的思想,属于难题. ,用放缩法证得结论,法二通过数学归纳
2

7


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