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河北省唐山一中2013届高三第二次月考数学(文)试题解析


河北省唐山一中 2013 届高三第二次月考 数学(文)试题解析 卷Ⅰ(选择题 共 60 分)

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项正确) 1、已知集合 M ? {x || x ? 1 |? 1} , N ? { y | y ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 3)}则 M ? N ? ( A. {x || 1 ? x ? 2} 【答案】A 【解析】因为集合 M ? {x || x ? 1|? 1} ? {x | 0 ? x ? 2} , B. {x || 0 ? x ? 2} C. {x || 1 ? x ? 2} D. ? )

N ? {y | y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3)} ? {y | y ? 1} ,因此可知 M ? N ? {x || 1 ? x ? 2} ,选 A.
【考点定位】本试题主要是考查了集合的运算问题,主要是二次不等式的求解,以及绝对值 不等式的求解。 2、已知 i 是虚数单位,则复数 A. ? 1 B. ? i

(1 ? i) 2 的虚部等于( 1? i
C. i

) D. 1

3、已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? ( 3,1) ,则 | a ? b | 的最大值为( A.1 【答案】C B.



3

C.3

D.9

【解析】因为题目中给定向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? ( 3,1) ,可知道 a 表示的点

?

4、在等差数列 {an } 中,前 n 项的和为 S n ,若 2a8 ? 6 ? a11 ,则 S 9 ? ( A.54 【答案】A 【解析】由于条件等差数列 {an } 中,前 n 项的和为 S n ,可知 B.45 C.36 D.27



2a8 ? 6 ? a11 ?2a1 ? 14d ? 6 ? a1 ? 10d ?a5 ? 6 ,而 S9 ? 9a5 ? 54 ,故选 A
【考点定位】本试题主要是考查了等差数列的前 n 项和与其通项公式的关系的运用。 5、下列四个命题中的真命题为( A. ?x ? R,使得 sin x ? cos x ? 1.5 ;
2 B. ?x ? R,总有 x ? 2 x ? 3 ? 0 ;



C. ?x ? R, ?y ? R , y 2 ? x D. ?x ? R, ?y ? R , y ? x ? y

【答案】D 【解析】因为选项 A 中,

6、已知某几何体的三视图如左上所示,则这个几何体的外接球的表面积等于( A.



7 ? 3

B.

28 ? 3

C. 8?

D. 16?

7、要得到函数 y ? cos(

?
3

? 2 x) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像(



? 个单位 12 ? C. 向左平移 个单位 6
A.向左平移

B. 向右平移

? 个单位 12 ? D. 向右平移 个单位 6

【答案】A 【解析】因为要得到函数 y ? cos(

?

? 2 x)= cos(2 x ? ) 的图像,只需将函数 3 3

?

y ? sin 2 x ? cos( ? 2 x) 的图像向左平移 个单位得到 2 12 y ? sin 2 x ? cos[ ? 2( x ? )] ? cos( ? 2 x) ,故选 A. 2 12 3
【考点定位】 本试题主要是考查了三角函数图像的变换的运用。 ] 8、按照如右图所示的程序框图执行,若输出的结果为 15, 则 M 处的条件可为 ( A. k ? 8 ) B. k ? 8 M 否 S=S+k k=2k 结束 是

?

?

?

?

?

开始

k=1 S=0

输出 S

C. k ? 16 【答案】D

D. k ? 16

【解析】解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: S k 是否继续循环 循环前 0 1/

9、函数 f ( x) ? e sin x 的单调递增区间( A. ? 2k? ?

?x

) (k ? Z )

? ?

5? ?? , 2k? ? ? 4 4?

B. ? 2k? ?

? ?

3? ?? , 2k? ? ? 4 4?

C. ? 2k? ?

? ?

?
4

, 2k? ?

3? ? 4? ?

D. ? 2k? ?

? ?

?
4

, 2k? ?

5? ? 4 ? ?

【答案】B 【解析】根据题意可知,原函数

10、过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点,O 为抛物线的顶
2

点,则△ABO 是一个 ( A.等边三角形 C.不等边锐角三角形 【答案】D

) B.直角三角形 D.钝角三角形

【解析】设出 A,B 点坐标,以及直线 AB 的方程,AB 方程 y=kx+

P 2

联立直线方程与抛物线方程,得到 x2-2pkx-p2=0,∴x1x2=-p2,y1y2=
? ?

p2 4

p2 3p 2 OB ==x1x2+y1y2=-p + = ,用向量的坐标公式求 OA? <0 再代入向量的夹角公式,求 4 4
2

出∠AOB 的余弦值, ,∴∠AOB 为钝角,△ABO 为钝角三角形,选 D. 【考点定位】 本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系, 关键是用坐标表示向量的数量 积. 11、已知函数 f ( x) ? lg x ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 则 a ? 2b 的取值范围是( A. (2 2, ??) 【答案】C 【解析】画出 y=|lgx|的图象如图: B. [2 2, ??) C. (3, ?? ) D. [3, ?? ) )

∵0<a<b,且 f(a)=f(b) , ∴|lga|=|lgb|且 0<a<1,b>1 ∴- lga=lgb ∴ab=1 ∴a+2b≥2 2ab =2 2 ∵a≠b ∴a+b>2 2 故选 A.

【考点定位】本题主要考查了对数函数的图象和性质,利数形结合的思想方法,考查基本不 等式的运用,属基础题 12、已知函数 f ( x) ? ? A.2012

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f (2011 ? ( ) ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
C.2010



B.2011

D.2009

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1——160 编号。按编号顺序平均分成 20 组(1—8 号,9—16 号,……153—160 号) ,若第 16 组 应抽出的号码为 126,则第一组中用抽签方法确定的号码是______________.

?x ? y ? 1 ? 1 ? 14、已知实数 x, y 满足 ? x ? ,则 x ? 3 y 的最大值为________________. 2 ? ?2 x ? y ? 4 ?
【答案】

?x ? y ? 1 ? 1 ? 【解析】已知实数 x、y 满足 ? x ? ,在坐标系中画出可行域, 2 ? ?2 x ? y ? 4 ?
1 5 2 1 1 ,3) ,B( , , ,C( ,- ) , 2 2 2 3 3 17 1 分别代 入 x-3y 得: , ? ,2∴x-3y 的最大值是 2. 2 3
三个顶点分别是 A( 【考点定位】本试题主要是考查了用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找 出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不 等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一 一代入,最后比较 ,即可得到目标函数的最优解.

15、已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的右焦点 F ,若过 F 且倾斜角为 600 的直线 l 与 2 a b

双曲线的右支有且只有 1 个交点, 则此双曲线的离心率 e 的范围是_________________.[来

【考点定位】本试题主要是考查了双曲线的性质及其应用,解题时要注 意挖掘隐含条件.

1 x ? ?2 ? ( 2 ) , x ? 0 ? 16、已知直线 y ? mx(m ? R) 与函数 f ( x) ? ? 的图象恰有三个不同的公共 ? 1 x3 ? 1, x ? 0 ?2 ?
点,则实数 m 的取值范围是 __________ .

【答案】 【解析】解:画出图像 由图可知,当直线 y=mx(m∈R)与函数的图象相切时,即直线 y=mx 过切点 A(1, 时, 有唯一解,∴m=

3 ) 2

3 , 2

1 x ? ?2 ? ( 2 ) , x ? 0 ? 结合图象得:直线 y=mx(m∈R)与函数 f ( x) ? ? 的图象恰有三个不同的公 ? 1 x3 ? 1, x ? 0 ?2 ?
共点,则实数 m 的取值范围是 a>

3 3 故答案为:( ,+∞). 2 2

【考点定位】 本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法, 数形结合是数学解题中常 用的思想方法,本题由于使用了数形结合的方法,使得问题便迎刃而解,且解法简捷. 三、解答题:(大题共 6 个小题满分 70 分,17 题 10 分,其余各题均 12 分.) 17.(本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an ? 1(n ? N* ) . (1)求 a1 , a2 ; (2)设 bn ? log3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

(II)求证:对

k ? 3有0 ? ak ?1 ? ak ?

4 3

2 ? S2 ? ?2a1a2 , 2 得S2 ? ?2S2 ? S ? a2 S1 ? a1a2 , (I)解:由题意 ? 2 ,

1 3 2 2 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? (ak ?1 ? ) 2 ? ? 0且ak ?1 ? 0 a ?0 2 4 因 ,由①得 k
2 ak ?1 4 4 ? , ak ? 2 3 ,由①只要证 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3 要证
2 2 3ak ?1 ? 4(ak ?1 ? ak ?1 ? 1),即(ak ?1 ? 2)2 ? 0. [

即证

此式明显成立.

因此

ak ?

4 (k ? 3). 3

最后证

ak ?1 ? ak . 若不然
2 k

ak ?1

2 ak ? 2 ? ak , ak ? ak ? 1

ak ? 0, 故
又因 因此

ak ? 1,即(ak ? 1)2 ? 0. a ? ak ? 1 矛盾.

ak ?1 ? ak (k ? 3). Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an?1Sn ,

证法二:由题设知 故方程

x2 ? Sn?1 x ? Sn?1 ? 0有根Sn 和an?1 (可能相同).

【考点定位】本试题主要是考查了数列的通项公式与前 n 项和的关系式的运用,以及等比 数列的定义的运用,求解其通项公式。 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1( x ? R) . (1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , a ?

3 , A 为锐角,且

f (A ?

?
8

)?

2 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值. 3

又 a= 3 ,利用余弦定理与基本不等式可得 bc≤ 最大值

9 3 6 + ,从而可求得△ABC 面积 S 的 2 2

∴ sin A ? 1 ? cos2 A ? 又? a ?

3 .——————————————————— —7 分 3

3 ,由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
6 ,? b 2 ? c 2 ? 2bc , 3

即 ( 3 ) 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?

∴ bc ? ∴S ?

9 3 6 .—————————————————————————9 分 ? 2 2

1 1 9 3 6 3 3( 3 ? 2 ) .—————————10 分 bc sin A ? ( ? )? ? 4 2 2 2 2 3

【考点定位】本题考查同角三角函数基本关系,考查正弦函数的单调性与最值,突出余弦定 理与基本不等式的应用,综合性强,属于中档题 19. (本小题满分 12 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况, 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测 试,成绩在 8. 0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频 率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14, 0.28,0.30 .第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由;

(3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机 选出 2 人参加“毕业运动会”,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率.

【考点定位】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、二项分 布及几何概型,关键是理解清楚题意及计算时要心细. 20. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB ? 平面 ACD,DE ? 平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1) 请在线段 CE 上找到点 F 的位置, 使得恰有直线 BF∥平

面 ACD,并证明这一事实; (2)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值.

如图, (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE ⊥平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 // 连接 FH ,则 FH ? ED ,∴ FH ? AB ,

2

……………3 分 ]由 BF ? 平面 ACD 内,

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH ,

AH ? 平面 ACD,? BF // 平面 ACD;……………6 分
(2)取 AD 中点 G,连接 CG、EG,则 CG ? AD, 又平面 ABED ? 平面 ACD,∴CG ? 平面 ABED, ∴ ?CEG 即为直 线 CE 与平面 ABED 所成的角,……………9 分 设为 ? ,则在 Rt ?CEG 中, 有 sin ? ?

CG 3 6 . ? ? CE 2 2 4

……………12 分

21. (本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1有两个不 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2
同的交点 P 和 Q . (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数 k ,使得向量

OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

【答案】 (1)

(2)不存在常数 k

【解析】 (1)直线 l 与椭圆有两个不同的交点,即方程组有 2 个不同解,转化为判别式大于 0. (2)利用 2 个向量共线时,坐标之间的关系,由一元二次方程根与系数的关系求两根之和, 解方程求常数 k.该试题主要是考查了(1)把直线 l 与椭圆有两个不同的交点,转化为方程 组有 2 个不同解. (2)考查 2 个向量共线的条件.这样的两点。

【考点定位】 本试题主要是考查直接利用条件求点的轨迹方程的方法, 向量坐标形式的运算, 两个向量共线的性质,准确计算是解题的难点. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ax(a, x ?R) .
3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围;

(3)设函数 h( x) ?

1 1 8 f ?( x) ? (2a ? ) x ? a ? 1 , x ? ? ?1, b? , (b ? ?1) ,如果存在 3 3 3

a ? ? ??, ?1? ,对任意 x ? ? ?1, b? 都有 h( x) ? 0 成立,试求 b 的最大值.

1 1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax 3 2 (江西 19)设 . 2 ( ,?? ) f (x) 在 3 (1)若 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f (x) 在 [1,4] 上的最小值为 3 ,求 f (x) 在该区间上的最大值. ? 2 2 ( ,?? ) (m, n) ? ( ,?? ) 3 【解析】 (1)f (x) 在 3 上存在单调递增区间, 即存在某个子区间 使
' 得 f ( x) ? 0 .由

1 1 2 f ' ( x ) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?( x ? ) 2 ? ? 2a [ ,?? ) f ' ( x) 在区间 3 2 4 , 上单

2 2 2 1 f '( ) ? 0 f ' ( ) ? ? 2a ? 0 a?? 3 3 9 9, 调递减,则只需 即可。由 解得

解 答: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ,∴ f / ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ,
/ 令 f ( x) ? 0 ,则 x1 ?

1 , x2 ? ?1 , 3

………………2 分

x 、 f / ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表
x
f / ( x)
(??, ?1)
+

?1
0 极大值

1 ( ?1, ) 3

1 3
0 极小值

1 ( , ??) 3
+

?

f ( x)

?

f (?1) ? 1
5 ; 27

?

1 5 f( )?? 3 27

?

即函数的极大值为 1,极小值为 ? (2) f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a ,
2

………………4 分

若 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上是单调递增函数, 则 f ?( x ) 在区间 [0, ??) 内恒大于或等于零, 若 a ? 0 ,这不可能,
2 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x 符合条件,

若 a ? 0 ,则由二次函数 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a 的性质知

? 2 ?a ? 0 ?? ? 0 ,即 ? ,这也不可能, ? 3a ?a ? 0 ? f (0) ? ?a ? 0 ?
综上可知当且仅当 a ? 0 时 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单 调递增; ……………8 分

∴不等式①恒成立的充要条件是 h(b) ? 0 ,即 ab2 ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 ,…10 分 ∵ b ? ?1 ,∴ b ? 1 ? 0 ,且 a ? 0 ,∴

b 2 ? 2b ? 3 1 ?? , b ?1 a

依题意这一关于 a 的不等式在区间 ? ??, ?1? 上有解,



b 2 ? 2b ? 3 1 b 2 ? 2b ? 3 ? (? ) max ,即 ? 1 , b2 ? b ? 4 ? 0 , b ?1 a b ?1



?1 ? 17 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ?b? ,又 b ? ?1 ,故 ?1 ? b ? , 2 2 2 ?1 ? 17 . 2
………………12 分

从而 bmax ?

【考点定位】本试题主要是考查导数在研究函数中的运用, 求解函数的极值和研究函数与 方程的解的问题。同时利用分离参数的思想来求解参数的范围。


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