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3.2.2复数代数形式的除法运算(3)


多项式的乘法: (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
类比多项式的乘法运算

(a+bi)(c+di) = ac ? adi ? bci ? bdi 2

=ac+adi+bci-bd
类比多项式的同类项合并

? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i

个复数相乘,类比两个多项式相乘,在所得的结果中 合并, 把i2换成________ -1 ,并且把实部与虚部分别______ 复数。 两个复数的积仍然是一个___

3.2.2

复数代数形式的除法运算

本节课的学习目标

1.掌握复数代数形式的除法运算; 2.掌握复数代数形式除法运算的基本技巧.

教学重点:
掌握复数除法.

共轭复数:当两个复数的实部_____ 相等 ,虚部互为相反数 ____ 时, 共轭复数 这两个复数叫做互为__________. 虚部不等于0的两个共轭 共轭虚数 ,通常记复数z=a+bi的共轭复数 复数也叫做____________ 为

z? a-bi 。 _____

(1)(1+i)(1-i)=

.

(2)(2+3i)(2-3i)=
(3)(2+i)(2-i)= .

.

(4)z ? z ? ?a ? bi ??a - bi ? ?
观察式子有何特点? 结果是虚数还是实数?

除法运算法则
若3x=5,则x=?

计算:已知( 3 ? i)z ? 2 ? 2i, 则z ?
x ? 5?3 ? 5 3

?(2 ? 2i) ? (3 ? i)

逆 运算 除法是乘法的____ 两个复数相除,如何计算?

计算: ( 3 ? 2) ? ( 3 ? 1 )
解:原式 ? 3 ? 2 1、写成分式 3 ?1

( 3 ? 2)( 3 ? 1) ? ( 3 ? 1)( 3 ? 1)

分母带根式的除法

计算(a ? bi) ? (c ? di) a ? bi 解:原式 ? 1、写成分式 c ? di
复数除法

类比

?

3 ? 3 ? 2 3 ? 2 分母有理化 3 ?1 2、分母有理化 1? 3 ? 2 1 3 3、结果中的根式分开写 ? ? 2 2

分母实数化

(a ? bi)(c ? di) ? (c ? di)(c ? di)
(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? c2 ? d 2

2、分母实数化

3、写成a+bi

ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i 2 2 c ?d c ?d

复数的除法法则
a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di
?

总结步骤 1、先把除式写成分式的形式

(a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i 2、分子分母同乘以分母的共 ? 2 2 (c ? di)(c ? di) c ?d

轭复数,进行分母实数化

ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i 2 2 c ?d c ?d

(c ? di ? 0).

3、化简结果写成a+bi形式

注:因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0, a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di

例1.计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)
1 ? 2i 解: (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ? 3 ? 4i

先写成分式形式

(1 ? 2i)(3 ? 4i) ? (3 ? 4i )(3 ? 4i )

然后分母实数化即可运算.

(一般分子分母同时乘以分

3 ? 8 ? 6 i ? 4 i ? 5 ? 10 i母的共轭复数) ? ? 2 2 3 ?4 25 1 2 ?? ? i 5 5
化简成代数形式就得结果.

练习一 :
1小组: 2i ? (2 ? i)
2 4 答案: - ? i 5 5

?1 ? i? ? ?1- i? 2小组:
4小组: (1 ? i) ? (1 ? i)

答案:i

3小组:( 1 ? i) ? (2 ? i)
1 3 答案: - ? i 5 5

答案: -i

2 说明: 要熟记 (1 ? i ) ? ?2i , (1 ? i ) ? 2i ,

2

1? i ? i, 1? i

1 ? i ? ?i . 1? i

练习二.计算 ⑴ (7 ? i ) ? (3 ? 4i )
1? i 2 ⑵( ) 1? i 1 1 ⑶ ? 3 ? 2i 3 ? 2i

1- i

-1

4 i 13

注 :复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等 .

【补偿训练】
5-i 1.(2010·浙江文,3)设 i 为虚数单位,则 =( 1+i A.-2-3i C.2-3i B.-2+3i D.2+3i )

[答案] C
[解析] 本题考查了复数的除法运算. 5-i (5-i)(1-i) 4-6i = = 2 =2-3i. 1+i (1+i)(1-i)

【补偿训练】
1? i 2 ( 2.(2014· 湖北高考)i为虚数单位, ) ? ( ) 1? i

A.1 B.-1 C.i 【解析】选B.

D.-i

1 ? i 2 ?1 ? i ??1 ? i ? ( ) ? 1? i ?1 ? i ? (1 ? i) ?2i ? ? ?1. 2i

【补偿训练】
1 3.在复平面内,复数 z= 对应的点位于( 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

[答案] D
2-i 2 i 1 [解析] z= = = - , 故 z 对应的点位于第四象 5 5 5 2+i 限.

【补偿训练】

4. 已知z ? C, 满足(3 ? i) ? z ? 10

求z

解:令z ? a ? bi(a, b ? R) (3 ? i)( a ? bi) ? 10
?3a ? b ? (a ? 3b)i ? 10
由复数相等的充要条件 ?3a ? b ? 10 ? a ? 3 ?? ? ? a ? 3b ? 0 ?b ? ?1

?z ? 3?i

小结:复数的除法法则
1、把除式写成分式的形式 2、分子与分母都乘以分母的共轭复数 3、化简后写成代数形式

(a ? bi )(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? 2 2 (c ? di )(c ? di ) c ?d
分母实数化

a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di) ? c ? di


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