tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(文科)


福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知复数 z=(a﹣1)+i,若 z 是纯虚数,则实数 a 等于() A.﹣1 B. 2 C. 0 D.1 2. (5 分)已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则() A.¬p:?x∈R,cosx≥1 B. ¬p:?x∈R,cosx<1

C. ¬p:?x∈R,cosx≤1 D.¬p:?x∈R,cosx>1 3. (5 分)已知 m、n 为两条不同直线,α、β 为两个不同平面,则下列命题中正确的是() A.m∥n,m⊥α?n⊥α B. α∥β,m?α,n?β?m∥n C. m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β 4. (5 分) 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2, 且侧棱 AA1⊥底面 ABC, 其正视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧视图的面积为()

A.

B.

C.

D.4

5. (5 分)从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数,分别有下列事件: ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数; ②至 少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是() A.① B.②④ C. ③ D.①③ 6. (5 分)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的 等腰梯形,那么原平面图形的面积是()

A.2+

B.

C.

D.1+

7. (5 分)等差数列{an}中,a5+a6=4,则 log2( A.10 B.20 C.40

?



)=() D.2+log25

8. (5 分)已知正四棱锥 S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE、 SD 所成的角的余弦值为() A. B. C. D.

9. (5 分)已知数列{an},如果 a1,a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1,…,是首项为 1,公比为 的等比数列,则 an=() A. (1﹣ ) B. (1﹣ ) C. (1﹣ ) D. (1﹣ )

10. (5 分)已经函数 为() A.1

,则 f(x)在上的零点个数

B. 2

C. 3

D.4

11. (5 分)已知 O 是△ ABC 所在平面内一定点,动点 P 满足 ,λ∈(0,+∞) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的() A.内心

B.垂心

C.外心

D.重心

12. (5 分)在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具 有性质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0) . 则函数 f(x)=(e )* A.2
x

的最小值为() C. 6 D.8

B. 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上. 13. (4 分)设实数 x,y 满足条件 则 z=2x﹣y 的最大值是.

14. (4 分) △ ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 2acosC+ccosA=b, 则 sinA+sinB 的最大值为.

15. (4 分)已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 ,顶点 A、B、C 在半球的底面内,顶点 D 在半球球面上,且在半球底面上的射影为半球球心,则此半球的体积是. 16. (4 分)若函数 f(x)为定义域 D 上单调函数,且存在区间?D(其中 a<b) ,使得当 x∈ 时,f(x)的值域恰为,则称函数 f(x)是 D 上的正函数,区间叫做等域区间.如果函数 g (x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,则实数 m 的取值范围.
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项 的值相等的概率.

18. (12 分)已知平面向量 =(



) , =(sin

x,cos

x) ,函数 f(x)= ? .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f(x)的图象上的所有的点向左平移 1 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图 象,若函数 y=g(x)+k 在(﹣2,4)上有两个零点,求实数 k 的取值范 围. 19. (12 分)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1) ,n∈N . (Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)设 bn=3 ?
n *

}是等差数列; ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

20. (12 分)在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD, ,AB=2BC=2,AC⊥FB. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 FBC; (Ⅱ)求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M,使 EA∥平面 FDM?证明你的结论.

21. (12 分)杭州某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入 98 万元引进世界先进 设备奔腾 6 号,并马上投入生产.第一年需要的各种费用是 12 万元,从第二年开始,所需 费用会比上一年增加 4 万元,而每年因引入该设备可获得的年利润为 50 万元. 请你根据以上数据,解决下列问题:

(1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后,有两种处理方案: 第一种:年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格卖出; 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算?并说明理由. 22. (14 分)若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分 别满足:f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x)和 g(x)的“隔离直 2 线”.已知 h(x)=x ,φ (x)=2elnx(e 为自然对数的底数) . (1)求 F(x)=h(x)﹣φ(x)的极值; (2)函数 h(x)和 φ(x)是否存在隔 离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在, 请说明理由.

福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知复数 z=(a﹣1)+i,若 z 是纯虚数,则实数 a 等于() A.﹣1 B. 2 C. 0 D.1 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 利用纯虚数的定义可得,复数的实部等于 0,即 a﹣1=0,即得 a=1. 解答: 解:∵复数 z=(a﹣1)+i, 若 z 是纯虚数,∴a﹣1=0,∴a=1, 故选 D. 点评: 本题考查纯虚数的定义,属于容易题. 2. (5 分)已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则() A.¬p:?x∈R,cosx≥1 B. ¬p:?x∈R,cosx<1 C. ¬p:?x∈R,cosx≤1 D.¬p:?x∈R,cosx>1 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 分析: 本题中所给的命题是一个全称命题, 故其否定是一个特称命题, 将量词改为存在量 词,否定结论即可 解答: 解:命题 p:?x∈R,cosx≤1,是一个全称命题 ∴¬p:?x∈R,cosx>1, 故选 D. 点评: 本题考查了“含有量词的命题的否定”, 属于基础题. 解决的关键是看准量词的形式, 根据公式合理更改,同时注意符号的书写.

3. (5 分)已知 m、n 为两条不同直线,α、β 为两个不同平面,则下列命题中正确的是() A.m∥n,m⊥α?n⊥α B. α∥β,m?α,n?β?m∥n C. m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 证明题. 分析: 由线面垂直的几何特征,及线面垂直的第二判定定理,可判断 A 的真假; 根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义,可判断 B 的真假; 根据线面垂直及线线垂直的几何特征,及线面平行的判定方法,可判断 C 的真假; 根据面面平行的判定定理,可以判断 D 的真假. 解答: 解:若 m∥n,m⊥α 根据线面垂直的第二判定定理可得 n⊥α,故 A 正确; 若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n 或 m,n 异面,故 B 错误; 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,故 C 错误; 由 m?α,n?α,m∥β,n∥β,若 a,b 相交,则可得 α∥β,若 a∥b,则 α 与 β 可能平行也 可能相交,故 D 错误; 故选 A 点评: 本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定, 熟练掌握空间线面位置 关系的判定,性质及几何特征是解答的关键. 4. (5 分) 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2, 且侧棱 AA1⊥底面 ABC, 其正视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧视图的面积为()

A.

B.

C.

D.4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 图表型. 分析: 先分析得等边三角形的高,那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长,把相关 数值代入即可求解. 解答: 解:易得三棱柱的底面为等边三角形,边长为 2, 作出等边三角形的高后,组成直角三角形,底边的一半为 1, ∴等边三角形的高为 , ∴侧视图的面积为 2× =2 , 故选 A. 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,三视图的投影规则是 主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等. 5. (5 分)从 1,2 ,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数,分别有下列事件: ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;

②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是() A.① B.②④ C. ③

D.①③

考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 根据互斥事件的定义,逐一分析四个答案中的两个事件的关系,可得答案. 解答: 解:①恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件,故①不是互斥事件; ②至少有一个是奇 数包含两个数都是奇数的情况,故②不是互斥事件; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生,故③是互斥事件; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数可以同时发生,故④不是互斥事件. 故选:C. 点评: 本题考查互斥事件的判断,是基础题,解题时要认真审题. 6. (5 分)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的 等腰梯形,那么原平面图形的面积是()

A.2+

B.

C.

D.1+

考点: 斜二测法画直观图. 专题: 计算题;作图题. 分析: 原图为直角梯形, 上底为 1, 高为 2, 下底为 1+ 可利用原图和直观图的面积关系求解.

, 利用梯形面积公式求解即可. 也

解答: 解: 恢复后的原图形为一直角梯形, 上底为 1, 高为 2, 下底为 1+

, S= (1+

+1)

×2=2+ . 故选 A 点评: 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法,属基础知识的考查.

7. (5 分)等差数列{an}中,a5+a6=4,则 log2( A.10 B.20 C.40

?



)=() D.2+log25

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题.

分析: 由等差数列{an}中,a5+a6=4,利用等差数列的性质得到其项数之和为 11 的两项之 和为 4,可得出 a1+a2+…+a10 的值,将所求式子的真数利用同底数幂的乘法法则计算 ,再利 用对数的运算性质计算后,将 a1+a2+…+a10 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a5+a6=4, ∴a1+a11=a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a6=20, ∴a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20, 则 log2( ? … )=log22
a1+a2+…+a10

=a1+a2+…+a10=20.

故选 B 点评: 此题考查了等差数列的性质,以及对数的运算法则,熟练掌握等差 数列的性质是 解本题的关键. 8. (5 分)已知正四棱锥 S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE、 SD 所成的角的余弦值为() A. B. C. D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由于是正方体,又是求角问题,所以易选用向量量,所以建立如图所示坐标系,先 求得相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标,最后用向量夹角公式求解. 解答: 解:建立如图所示坐标系, 令正四棱锥的棱长为 2,则 A(1,﹣1,0) ,D(﹣1,﹣1,0) , S(0,0, = =(﹣1,﹣1,﹣ ∴cos< 故选 C. >= ) ,E , ) ,

点评: 本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法, 同时, 还考查了转化思想和运算 能力,属中档题.

9. (5 分)已知数列{an},如果 a1,a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1,…,是首项为 1,公比为 的等比数列,则 an=() A. (1﹣ ) B. (1﹣ ) C. (1﹣ ) D. (1﹣ )

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 因为数列 a1, (a2﹣a1) , (a3﹣a2) ,…, (an﹣an﹣1) ,…,此数列是首项为 1,公比 为 的等比数列,根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项.

解答: 解: 由题意 an=a1+ (a2﹣a1) + (a3﹣a2) +…+ (an﹣an﹣1) = 故选:A. 点评: 考查学生对等比数列性质的掌握能力,属于基础题. 10. (5 分)已经函数 为() A.1 ,则 f(x)在上的零点个数

B. 2

C. 3

D.4

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于 a +2a+3= (a+1)+2≥2, 可得 y=sinx 的图象.由图象可得,函数 y= 到函数 f(x)零点的个数. 解答: 解:∵a +2a+3=(a+1) +2≥2, ∴ 分别画出 y= 由图象看出,函数 y= 因此函数 故选 B. . ,y=sinx 的图象. ,y=sinx 的图象有且仅有两个交点. ,在上的零点个数为 2.
2 2 2 2

. 分别画出 y=



,y=sinx 的图象交点的个数,进而得

点评: 本题考查了指数函数与正弦函数的图象、函数零点的意义,属于基础题. 11. (5 分)已知 O 是△ ABC 所在平面内一 定点,动点 P 满足 ,λ∈(0,+∞) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的() A.内心

B.垂心

C.外心

D.重心

考点: 三角形五心;向量在几何中的应用;轨迹方程. 专题: 计算题. 分析: 可先根据数量积为零得出 在 BC 的高线上,从而得到结论. 解答: 解:∵ 与 λ( + )垂直,可得点 P







又∵

?(

+

)=﹣|

|+|

|=0



与 λ(

+

)垂直,





∴点 P 在 BC 的高线上,即 P 的轨迹过△ ABC 的垂心

故选 B. 点评: 本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形 的五心等知识,解答关键是得出出 题. 12. (5 分)在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具 有性质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0) . 则函数 f(x)=(e )* A.2
x

与 λ(

+

)垂直,属于基础

的最 小值为() C. 6 D.8

B. 3

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 根据性质,f(x)=(e )*
x x

=1+e +

x

,利用基本不等 式,即可得出结论.
x

解答: 解:根据性质,f(x)=(e )* 当且仅当 e =
x

=1+e +

≥1+2=3,

时,f(x)=(e )*

x

的最小值为 3.

故选:B. 点评: 本题考查新定义,考查基本不等式的运用,正确理解新定义是关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上. 13. (4 分)设实数 x,y 满足条件 则 z=2x﹣y 的最大值是 1.

考点: 专题: 分析: 解答: 联立

简单线性规划. 计算题;数形结合. 画出对应的平面区域,求出可行域中各个角点的坐标,分析代入后即可得到答案. 解:满足约束条件的平面区域如下图所示: 可得 .即 A(1,1)

由图可知:当过点 A(1,1)时,2x﹣y 取最大值 1. 故答案为:1

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划, 其中根据约束条件, 画出满足约束条件的可行 域并求出各角点的坐标,是解答此类问题的关键. 14. (4 分) △ ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 2acosC+ccosA=b, 则 sinA+sinB 的最大值为 . 考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式利用正弦定理化简,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简, 整理得到 cosC=0,确定出 C 为直角,进而利用诱导公式得到 sinB=cosA,原式变形后利用 两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用正弦函数的值域即可确定出最大 值. 解答: 解:把 2acosC+ccosA=b,利用正弦定理化简得:2sinAcosC+sinCcosA=sinB, 整理得:2sinAcosC+sinCcosA=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 即 sinAcosC=0, ∵sinA≠0,∴cosC=0, ∴C=90°, ∴sinB=cosA, ∴sinA+sinB=sinA+cosA= sin(A+45°) , ∵sin(A+45°)≤1,∴sinA+sinB≤ , 则 sinA+sinB 的最大值为 . 故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的值域,熟练掌 握正弦定理是解本题的关键. 15. (4 分)已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 ,顶点 A、B、C 在半球的底面内,顶点 .

D 在半球球面上,且在半球底面上的射影为半球球心,则此半球的体积是

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意求出正四面体的高,就是球的半径,然后求出球的体积.

解答: 解:由题意正四面体 ABCD 的所有棱长均为 ,顶点 A、B、C 在半球的底面内, 顶点 D 在半球面上,且 D 点在半球底面上的射影为半球的球心,可知正四面体的高就是球 的半径, 所以底面 ABC 的中心到顶点 A 的距离: 所以球的半径为: 所以半球的体积为: 故答案为: . . . ,

点评: 本题考查球的内接体, 球的半径与球的体积的求法, 考查空间想象能力与计算能力. 16. (4 分)若函数 f(x)为定义域 D 上单调函数,且存在区间?D(其中 a<b) ,使得当 x∈ 时,f(x)的值域恰为,则称函数 f(x)是 D 上的正函数,区间叫做等域区间.如果函数 g (x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,则实数 m 的取值范围
2



考点: 二次函数的性质. 专题: 新定义. 分析: 根据函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数建立方程组,消去 b,求出 a 的 取值范围,转化成关于 a 的方程 a +a+m+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内有实数解进行求解. 解答: 解:因为函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数, 所以当 x∈时, g(a)=b g(b)=a 即 a +m=b,b +m=a, 2 2 两式相减得 a ﹣b =b﹣a, 即 b=﹣(a+1) , 2 2 代入 a +m=b 得 a +a+m+1=0, 由 a<b<0, 且 b=﹣(a+1) 得﹣1<a<﹣ , 故关于 a 的方程 a +a+m+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内有实数解, 记 h(a)=a +a+m+1, 则 h(﹣1)>0,h(﹣ )<0,且△ ≥0, 解得 m∈(﹣1,﹣ ) . 故答案为: (﹣1,﹣ ) . 点评: 本题主要考查了新的定义,以及函数的值域,同时 考查了等价转化的数学思想, 属于中档题.
2 2 2 2 2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项 的值相等的概率. 考点: 等差数列与等比数列的综合;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (Ⅰ)先根据条件求出公差 和公比,即可求出通项; (Ⅱ)先根据第一问的结果把基本事件都写出来,再找到满足要求的即可求出结论. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q. 由题得:S10=10+ 解得:d=1,q=2. 所以:an=n,bn=2 . . (Ⅱ)分别从从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,得到的基本事件有 9 个: (1,1) , (1,2) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) . 两项的值相等的有(1,1) , (2,2) . ∴这两项的值相等的概率: . 点评: 本题主要考察等差数列等比数列,古典概型等基础知识,考察运算能力,化归与转 化思想.是对基础知识的综合考察,属于中档题目.
n﹣1

d=55;b4=q =8;

3

18. (12 分)已知平面向量 =(



) , =(sin

x,cos

x) ,函数 f(x)= ? .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f(x)的图象上的所有的点向左平移 1 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图 象,若函数 y=g(x)+k 在(﹣2,4)上有两个零点,求实数 k 的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (I) 利用数量积和两角和的正弦公式可得 f (x) , 再利用周期公式即可得出周期 T. (II)依题意将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到函数 y=g(x) =2 = ,函数 y=g(x)+k 在(﹣2,4)上有两个零点,即

函数 y=g(x)与 y=﹣k 在 x∈(﹣2,4)有两个交点,即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)∵ = =2 , =



=8.

∴函数 f(x)的最小正周期为 8. (Ⅱ)依题意将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到函数 y=g(x)=2 = ,

函数 y=g(x)+k 在(﹣2,4)上有两个零点,即函数 y=g(x)与 y=﹣k 在 x∈(﹣2,4) 有两个交点,如图所示. ∴当 0<﹣k<2,即﹣2<k<0, ∴实数 k 取值范围为﹣2<k<0.

点评: 本题考查了三角函数的图象与性质、 数量积和两角和的正弦公式、 数形结合等基础 知识与基本技能方法,属于中档题. 19. (12 分)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1) ,n∈N . (Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)设 bn=3 ?
n *

}是等差数列; ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和;等比关系的确定. 分析: (Ⅰ)将 nan+1=(n+1)an+n(n+1)的两边同除以 n(n+1)得 差数列的定义得证. (Ⅱ)由(Ⅰ)求出 bn=3 ?
n

,由等

=n?3 ,利用错位相减求出数列{bn}的前 n 项和 Sn.

n

解答: 证明(Ⅰ)∵nan+1=(n+1)an+n(n+1) , ∴ ∴ ∴数列{ , , }是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列; ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ∴ ,

bn=3 ? ∴

n

=n?3 , ?3
n ﹣1

n

+n?3 ①
n+1

n

?3 +n?3 ①﹣②得 3 ﹣n?3
n n+1

n



=

= ∴ 点评: 本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列; 考查数列求和的方法: 错位相 减法.求和的关键是求出通项选方法. 20. (12 分)在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD, ,AB=2BC=2,AC⊥FB. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 FBC; (Ⅱ)求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M,使 EA∥平面 FDM?证明你的结论.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用勾股定理的逆定理即可得到 AC⊥CB,又 AC⊥FB,利用线面垂直的判 定定理即可证明; (Ⅱ) 利用 (Ⅰ) 的结论可得 AC⊥CF, 又 CF⊥CD, 利用线面垂直的判定定理即可得出 FC⊥ 平面 ABCD.利用等腰梯形的性质即可得出△ BCD 的面积,利用三棱锥的体积公式即可得 出; (Ⅲ)线段 AC 上存在点 M,且 M 为 AC 中点时,有 EA∥平面 FDM.利用正方形的性质、 三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明. 解答: (Ⅰ)证明:在△ ABC 中, 2 2 2 ∵ ,AB=2,BC=1,∴AC +BC =AB . ∴AC⊥BC. 又∵AC⊥FB, BF∩CB=B,

∴AC⊥平面 FBC. (Ⅱ)解:∵AC⊥平面 FBC,∴AC⊥FC. ∵CD⊥FC,∴FC⊥平面 ABCD. 在 Rt△ ACB 中, ,∴∠CAB=30°,

∴在等腰梯形 ABCD 中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°, ∴CB=DC=1, ∴FC=1. ∴△BCD 的面积 S= ∴四面体 FBCD 的体积为: = . .

(Ⅲ)解:线段 AC 上存在点 M,且 M 为 AC 中点时,有 EA∥平面 FDM,证明如下: 连接 CE 与 DF 交于点 N,连接 MN. 由 CDEF 为正方形,得 N 为 CE 中点. ∴EA∥MN. ∵MN?平面 FDM,EA?平面 FDM, ∴EA∥平面 FDM. 所以线段 AC 上存在点 M,使得 EA∥平面 FDM 成立.

点评: 熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体 积公式、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键. 21. (12 分)杭州某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入 98 万元引进世界先进 设备奔腾 6 号,并马上投入生产.第一年需要的各种费用是 12 万元,从第二年开始,所需 费用会比上一年增加 4 万元,而每年因引入该设备可获得的年利润为 50 万元. 请你根据以上数据,解决下列问题: (1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后,有两种处理方案: 第一种:年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格卖出; 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算?并说明理由. 考点: 函数与方程的综合运用. 分析: (1)设引进设备 n 年后开始盈利,盈利为 y 万元,依题意得出 y=50n﹣ (12n+ ×4)﹣98,求根.

(2)分别算出两个方案最后盈利.盈利大的较为合算.

解答: 解: (1) 设引进设备 n 年后开始盈利, 盈利为 y 万元, 则 y=50n﹣ (12n+ ﹣98=﹣2n +40n﹣98,由 y>0,得 10﹣ * ∵n∈N ,∴3≤n≤17, 即 3 年后开始盈利. 答:引进该设备 3 年后,开始盈利. (2)方案一:年平均盈利为 , =﹣2n﹣ 当且仅当 2n=
2

×4)

<n<10+



+40≤﹣2

+40=12,

,即 n=7 时,年平均利润最大,共盈利 12×7+26=110 万元.
2

方案二:盈利总额 y=﹣2(n﹣10) +102,n=10 时,y 取最大值 102, 即经过 10 年盈利总额最大, 共计盈利 102+8=110 万元. 两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算. 答:方案一合算. 点评: 本题主要考查函数的应用问题.注意把生活问题转换成方程或函数式来解决. 22. (14 分)若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分 别满足:f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x)和 g(x)的“隔离直 2 线”.已知 h(x)=x ,φ(x)=2elnx(e 为自然对数的底数) . (1)求 F(x)=h(x)﹣φ(x)的极值; (2)函数 h(x)和 φ(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在, 请说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 新定义;导数的综合应用. 分析: (1)由已知中函数 f(x)和 φ(x)的解析式,求出函数 F(x)的解析式,根据 求导公式,求出函数的导数,根据导数判断函数的单调性并求极值 (2)由(1)可知,函数 f(x)和 φ(x)的图象在( ,e)处相交,即 f(x)和 φ(x) 若存在隔离直线,那么该直线必过这个公共点,设隔离直线的斜率为 k.则隔离直线方程为 y﹣e=k(x﹣ ) ,即 y=kx﹣k +e,根据隔离直线的定义,构造方程,可求出 k 值,进而 得到隔离直线方程. 2 解答: 解: (1)∵F(x)=f(x)﹣φ(x)=x ﹣2elnx(x>0) , ∴F′(x)=2x﹣ = =

令 F′(x)=0,得 x= , 当 0<x< 时,F′(x)<0,x> 时,F′(x)>0 故当 x= 时,F(x)取到最小值,最小值是 0 (2)由(1)可知,函数 f(x)和 φ(x)的图象在( ,e)处相交, 因此存在 f(x)和 φ(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点, 设隔离直线的斜率为 k.则隔离直线方程为 y﹣e=k(x﹣ ,即 y=kx﹣k 2 由 f(x)≥kx﹣k +e(x∈R) ,可得 x ﹣kx+k ﹣e≥0 当 x∈R 恒成立, 2 2 则△ =k ﹣4k +4e=(k﹣2 ) ≤0,

+e

∴k=2

,此时直线方程为:y=2 x﹣e ﹣ =(2

x﹣e, x﹣e﹣φ(x)=2 ) , x﹣e﹣2elnx, (x﹣

下面证明 φ(x)≤2 G′(x)=2

exx>0 时恒成立令 G(x)=2

x﹣2e) =2

当 x= 时,G′(X)=0,当 0<x< 时 G′(x)>0, 则当 x= 时,G(x)取到最小值,极小值是 0,也是最小值. 所以 G(x)=2 x﹣e﹣g(x)≥0,则 φ(x)≤2 x﹣e 当 x>0 时恒成立. ∴函数 f(x)和 φ(x)存在唯一的隔离直线 y=2 x﹣e 点评: 本题考查的知识点是函数的求导, 利用导数求最值, 属于中档题, 主要做题要仔细.


推荐相关:

福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(文科)

福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知复数 z=(a﹣1)+i,若 z 是纯虚数,...


福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(文科)

福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知复数 z=(a﹣1)+i,若 z 是纯虚数,...


福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(理科)

福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,...


福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(理科)

福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(理科)_高中教育_教育专区。福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 ...


福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(理科)(Word版含解析)

福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(理科)(Word版含解析)_数学_高中教育_教育专区。福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,...


福建省福州八中2015届高考数学四模试卷(文科)

福建省福州八中2015届高考数学模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。福建省...(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9...


福建省福州八中2015届高考数学四模试卷(文科)

福建省福州八中2015届高考数学模试卷(文科)_高中教育_教育专区。福建省福州...(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9...


福建省福州八中2015届高考数学二模试卷(文科)

{bn}的前 n 项和,求使得 对所有 n∈N 都成立的最 * 福建省福州八中 2015 届高考数学模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60...


福建省福州八中2015届高考数学二模试卷(文科)

{bn}的前 n 项和,求使得 对所有 n∈N 都成立的最 * 福建省福州八中 2015 届高考数学模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com