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湖北省部分重点中学2013届高三数学起点考试试卷 理 新人教A版


湖北省部分重点中学 2012—2013 学 年度高三起点考试 理科数学试卷

一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 1、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,1,5 分)已知复数 z= ? ( A、0 ) B、 ?

1 3 ? i ,则1 ?

z ? z 2 = 2 2

1 3 ? i 2 2

C、

1 3 ? i 2 2

D、

1 3 ? i 2 2

答案:A 解析: 2. (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,2,5 分)下列命题中的假命题是 ( ) A.存在实数 α 和 β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个 α 和 β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对任意 α 和 β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的 α 和 β ,使 cos(α +β ) ≠cosα cosβ -sinα sinβ 答案:B 解析:

3、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,3,5 分)若一个三位数的十位数字比个位数字和 百位数字都大,则称这个数为“伞数”,现从 0,1,2,3,4,5, 6 这七个数字中任取 3 个数, 组成无重复数字的三位数, 其中“伞 数”有 ( ) A、105 个 B、70 个 C、55 个 D、40 个 答案:C 解析: 4、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,4,5 分)执行如图 所示的程序框图,输出的 S 的值为 ( ) A、 ? 6 B ? 15 、 C、3 D、10
1

答案:D 解析: 5、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,5,5 分)甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数, s1 , s 2 分别表示 甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有 ( A. C. )
甲 9 6 5 5 4 1 0 1 2 8 3 2 乙

x1 ? x2 , s1 ? s2 x1 ? x2 , s1 ? s2

B. D.

x1 ? x2 , s1 ? s2 x1 ? x2 , s1 ? s2

答案:B 解析:

5 5 7

6、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,6,5 分)已知函数 f ( x) ? 等比数列 {an } 满足 a50 ? 1 ,则 f (ln a1 ) ? f (ln a2 ) ? ? ? f (ln a99 ) ? ( A.101 答案:D 解析: ) B.99 C.

3x ( x? R) ,正项 1 ? 3x

101 2

D.

99 2

7、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,7,5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x),
2 且 x∈ ?? 1,1? 时, f ( x) ? 1 ? 2 x ,函数 g ( x) ? lg x ? 2 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间

?? 6,12? 内零点的个数为
A、18 答案:A 解析:

( B、 19

) C、20 D、17

8、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试, 5 分) 8, 如图, 在平面斜坐标系 XOY 中,?xoy ? ? ,

? ? Y ? ? 平面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 , e2 分别是 X 轴,
2

?
O X

Y 轴同方向的单位向量) 。则 P 点的斜坐标为(x,y) , 向量 OP 的斜坐标为(x,y)。有以下结论: ①若 ? ? 60 ,P(2,-1)则 OP ?
?

3

②若 P( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y 2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ③若 OP ? ( x1 , y1 ) , OQ ? ( x2 , y 2 ) ,则 OP ? OQ ? x1 x2 ,? y1 y2 ④若 ? ? 60 ,以 O 为圆心,1 为半径的圆的斜坐标方程为 x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0
?

其中正确的结论个数为 A、1 答案:C 解析:

( B、2 C、3 D、4

)

9、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,9,5 分)已知 x,y ? R 且 x 2 ? y 2 ? 1 ,a,b ? R 为 常数, t ?

a2 x2 ? b2 y 2 ? b2 x2 ? a2 y 2 则
( ) B、t 有最大值无最小值 D、t 既无最大值也无最小值

A、t 有最大值也有最小值 C、t 有最小值无最大值 答案:A 解析:

10、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,10,5 分)椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左 a 2 b2

右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为椭圆上的任一点,且 PF ? PF2 的最大值的取值范围是 c ,3c ,其中 1
2 2

?

?

c ? a 2 ? b 2 ,则椭圆 E 的离心率 e 的取值范围是(
A、 ?

)

? 3 ? ,1? 3 ? ? ?

B、 ? ,

?1

?2

2? ? 2 ?

C、 ?

? 2 ? ,1? 2 ? ? ?

D、 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

答案:B 解析:
3

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填写在 答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两个均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11. (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,11,5 分)已知

(1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ? ? ? (1 ? x)n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,且
a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 126 ,那么 (3 x ?
答案:-540 解析: 12. (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,12,5 分) 一个几何体的三视图如图所示(单位: m),则该几何体的 体积为_______m . 答案:6+ p 解析:
3

1 n ) 的展开式中的常数项为 x

.

13、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,13,5 分)关于式子 以下结论:

?

5 2 0

25 ? 4x 2 dx 的结果,有

5 的圆的面积的二分之一 2 5 ②半径为 的圆的面积的四分之一 2
①半径为 ③长短轴长分别为 10 和 5 的椭圆面积的二分之一 ④长短轴长分别为 10 和 5 的椭圆面积的四分之一 ⑤该式子的值为

25 ? 8

⑥该式子的值为 .

25 ? 16

其中正确结论的序号为 答案:①,④,⑤ 解析:

14、(2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,14,5 分)设集合 M={1,2,3,?,n} (n∈ N ),
4

?

对 M 的任意非空子集 A, 定义 f(A)为 A 中的最大元素, A 取遍 M 的所有非空子集时, 当 对应的 f(A) 的和为 S n ,则:① S 3 = 答案:17, (n - 1)2n + 1 解析: (二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目 序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分. ) 15、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,15,5 分) (几何证明 选做题) 如图圆 O 的直径 AB ? 6 ,P 是 AB 的延长线上一点,过点 P 作
0 圆 O 的切线,切点为 C,连接 AC,若 ?CPA ? 30 ,则 PC ?

. ② Sn =

.

.

答案: 3 3 解析:

16、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,16,5 分) (极坐标与参数方程选做题)若直线 l 的 极坐标方程为 ? cos(? ? 则 d 的最大值为 答案: 3 2 + 1 解析:

?

? x ? cos ? ) ? 3 2 ,圆 C :? ( ? 为参数)上的点到直线 l 的距离为 d , 4 ? y ? sin ?
.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试 17,12 分)已知函数 f ( x ) ?

cos2 x . π sin( ? x) 4

(Ⅰ)化简函数 f ( x ) 的解析式,并求其定义域和单调区间; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a,b,c,满足: a ? b ? c ? ab ,求 f (C )
2 2 2







5

二、填空题:11、 ? 540 12、 6 ? ? 15、 3 3 16、 3 2 ? 1

13、①④⑤ 14、① 17

② (n ? 1)2 n ? 1

三、解答题:17、解: (Ⅰ) f ( x ) ?

cos2 x ? sin 2 x ,??????????2 分 π π sin cos x ? cos sin x 4 4

?

(cos x ? sin x )(sin x ? cos x ) π ? 2(sin x ? cos x ) ? 2sin( x ? ) ,????????4 分 4 2 (cos x ? sin x ) 2

π π π ? x ) ? 0 ,∴ ? x ? kπ(k ? Z) ,其定义域为 {x | x ? kπ ? , k ? Z } .????6 分 4 4 4 3π π , 2kπ ? )k ? Z 上单调递增; 函数 f ( x ) 在 (2kπ ? 4 4 π 5 在 (2kπ ? , 2kπ ? π)k ? Z 上单调递减. ????????????????8 分 4 4 1 ? 2 2 2 (Ⅱ)∵ c ? a ? b ? 2abCosC,由已知可得:CosC= ,∴A= 2 3
由题意 sin( ∴ f (C ) ?

2 (sin A ? cos A) ?

2? 6 ???????12 分 2

18、解: (Ⅰ)由直方图知,成绩在 14, 16? 内的人数为: 50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人. ┉┉3 分 (Ⅱ)由直方图知,成绩在 ?13,14? 的人数为 50? 0.06 ? 3 人,

?

A、 设为 x 、 y 、 z ;成绩在 ?17,18? 的人数为 50? 0.08 ? 4 人,设为 频 率 B 、 C 、 D . 18. (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,18, 频率 组距 若 m , n ? ?13,14) 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 组距 0.38 0.38 12 分)某班 ?17,18? 时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况; 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部 若 m, n ?
介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成 若 m, n 分别在 ?13,14? 和 ?17,18? 内时, 五组:每一组 ?13,14) ;第二组 ?14,15) ,??,第五组
A B C D
0.32
0.32

?17,18? .右图是按上述分组方法得到的频率分布直方 x xA xB xC xD
y z yA zA yB zB yC zC yD zD

0.16

0.16
0.08 0.06

图.

(I)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为 良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (II)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米 测试成绩,且已知 m, n ? ?13,14) ? ?17,18? , 求事件“ m ? n ? 1 ”的概率. 解 析

0.08 0.06 O

O

13

14

15

16

17

18



19题 图

13

14

15

16

17

18



19题 图



6

(Ⅱ)∵ c ? a ? b ? 2abCosC,由已知可得:CosC=
2 2 2

1 ? ,∴A= 2 3

∴ f (C ) ?

2 (sin A ? cos A) ?

2? 6 ???????12 分 2

18、解: (Ⅰ)由直方图知,成绩在 14, 16? 内的人数为: 50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人. ┉┉3 分 (Ⅱ)由直方图知,成绩在 ?13,14? 的人数为 50? 0.06 ? 3 人, 设为 x 、 y 、 z ;成绩在 ?17,18? 的人数为 50? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D . 若 m , n ? ?13,14) 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 若 m, n 分别在 13,14? 和 17,18? 内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD
0.08 0.06 O 频率 组距 0.38 0.32

?

若 m , n ? ?17,18? 时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况;

?

?

0.16

13

14

15

16

17

18



19题 图

共有 12 种情况. ┉┉9 分 所以基本事件总 数为 21 种. 记事件“ m ? n ? 1 ”为事件 E,则 事件 E 所包含的基本事件个数有 12 种. ∴P(E)=
12 4 ? . 21 7

即事件“ m ? n ? 1 ”的概率为 19、

4 . 7

???12 分

19、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,19,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥AD,点 E (6 分)连 上,CE∥AB,BC//AD。 ? DE=CE=AB=1,AE=2, 在线段 AD PE,BE
法一:以 A 为原点 O,AD 为 OX 轴,AB 为 OY 轴,AP 为 OZ 轴建立空间直角坐标系 (Ⅰ)求证:CE⊥平面 PAD; A(0,0,0) ,B(0,1,0)E(2,0,0)

(Ⅱ)若 PA=AB=1,AD=3,且 CD 与平面 PAD

由(I)知 AB 为平面 PAE 的法向量且 AB ? (0,1 所成的角为 45°,求二面角 B—PE—A 的正切值。,0) 设平面 PBE 的法向量为 n ? ( x, y, z) 解 析 由 n ? BE, n ? PB, BE ? (2,?1,0), PB ? (0,1,?1)



k ? ?x ? 2 ? ?y ? z ? 0 得? 解之,得 ? y ? k ( k ? 0) 取 n ? (1,2,2) ??????8 分 ?2 x ? y ? 0 ?z ? k ? ?
设所求二面角的平面角为 ? ,则 cos? ?

2 5 ?????12 分 ? ,? tan? ? 2 AB ? n 3

AB ? n

7

∴P(E)=

21

?

7

.

即事件“ m ? n ? 1 ”的概率为 19、

4 . 7

???12 分

? DE=CE=AB=1,AE=2, (6 分)连 PE,BE
法一:以 A 为原点 O,AD 为 OX 轴,AB 为 OY 轴,AP 为 OZ 轴建立空间直角坐标系 A(0,0,0) ,B(0,1,0)E(2,0,0) 由(I)知 AB 为平面 PAE 的法向量且 AB ? (0,1,0) 设平面 PBE 的法向量为 n ? ( x, y, z) 由 n ? BE, n ? PB, BE ? (2,?1,0), PB ? (0,1,?1)

k ? ?x ? 2 ? ?y ? z ? 0 得? 解之,得 ? y ? k ( k ? 0) 取 n ? (1,2,2) ??????8 分 ?2 x ? y ? 0 ?z ? k ? ?
设所求二面角的平面角为 ? ,则 cos? ?

2 5 ?????12 分 ? ,? tan? ? 2 AB ? n 3

AB ? n

法二:作 AH ? PE 于 H,连 BH,由(I)知 BA ? PE,? PE ? 平面 AHB

? PE ? BE,? ?AHB 为所求二面角的平面角 ??????10 分
在 rt?PAE 中, AH ? PE ? AE ? PA 由,得 AH ? 20、解: (Ⅰ) f ( x ) =-ln x-ax +x,] f ?( x ) =-
2

2 5

,? tan?AHB ?
2

AB 5 ???12 分 ? AH 2

1

x

-2ax+1=-

2ax -x+1 .2 分

x

8

得?

?2 x ? y ? 0

解之,得 ? y ? k ( k ? 0) 取 n ? (1,2,2) ??????8 分

?z ? k ? ?

设所求二面角的平面角为 ? ,则 cos? ?

AB ? n AB ? n

?

2 5 ?????12 分 ,? tan? ? 3 2

法二:作 AH ? PE 于 H,连 BH,由(I)知 BA ? PE 20、 (2013 届湖北部分重点中学高三起点考试,20,12 分) ,? PE ? 平面 AHB

f x) ? BE ? ax ? 为所求二面角的平面角 已知函数 ?(PE ? ln ,? ?AHBx(a ? 0).
2

1 x

??????10 分

(Ⅰ)若 f ( x ) 是单调函数,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)若 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,证明: f ( x1 ) ? f5 x2 ) ? 3 ? 2ln 2. AH (
20、解: (Ⅰ) f ( x ) =-ln x-ax +x,]
2

在 rt?PAE 中, AH ? PE ? AE ? PA 由,得 AH ?

2

,? t an?AHB ?
2

AB

?

5 ???12 分 2

解析:

f ?( x ) =-

1

x

-2ax+1=-

2ax -x+1 .2 分

x

令 Δ =1-8a,当 a≥ 当 0<a<

1 时,Δ ≤0, f ?( x ) ≤0, f ( x ) 在(0,+∞)单调递减.?4 分 8

1 2 时,Δ >0,方程 2ax -x+1=0 有两个不相等的正根 x1,x2, 8 不妨设 x1<x2,则当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时, f ?( x ) <0,当 x∈(x1,x2)时, f ?( x ) >0, 1 这时 f ( x ) 不是单调函数.综上,a 的取值范围是[ ,+∞). ???????6 分 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当 a∈(0, )时, f ( x ) 有极小值点 x1 和极大值点 x2, 8 1 1 1 2 2 且 x1+x2= ,x1x2= . f ( x1 ) ? f ( x2 ) =-ln x1-ax1+x1-ln x2-ax2+x2=-(ln x1+ln x2)- (x1 2a 2a 2 1 1 1 -1)- (x2-1)+(x1+x2)=-ln(x1x2)+ (x1+x2)+1=ln(2a)+ +1.?9 分 2 2 4a 1 1 1 1 1 4a-1 令 g (a)=ln(2a)+ +1,a∈(0, ],则当 a∈(0, )时,g ?(a)= - 2= 2 <0,g (a)在(0, 4a 8 8 a 4a 4a 1 1 )单调递减,所以 g (a)>g ( )=3-2ln 2,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2. . ?????12 分 8 8

1 21、 (2013? e ? 1 ,? c ? 1 a, b ? 3 a 已知 F 3 a) 21、 (Ⅰ) 届湖北部分重点中学高三起点考试 ? a13 分) A(0, 是椭圆 ? F ( 21,, 0) , 取 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

1 左焦点,A 是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心率为 ,点 B 在 x 轴上,AB⊥AF,A、B、F 三 3 2 a?0 3 3 3 2 ? k AF ? ? 点确定的圆 C 恰好与直线 x3? 3 y? k AB ? ? ? 3 ? 0 相切. ? l AB : y ? ? 3 x ? 2 a 1
0 ? (? a) (Ⅰ)求椭圆的方程; 2 (Ⅱ)设 O 为椭圆的中心,过 F 点作直线交椭圆于 M、N 两点,在椭圆上是否存在点 T,使得 3 3 1 令 y ? 0 ? x ? a ? B ( a, 0) 半径 r ? a ? 圆心 ( a, 0) 2 2 2 OM ? ON ? OT ? 0 ,如果存在,则求点 T 的坐标;如果不存在,请说明理由. ? 圆心到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离 d 解析:
3

1 a?3 2 d? ?a 2

?a ? 2

?b ? 3
??????6 分

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)设直线 MN:ny=x+1,联立 ? x 2

?ny ? x ? 1 ? 2 2 , (3n ? 4) y ? 6ny ? 9 ? 0 , y2 ?1 ? ? 3 ?4
6n 9 , y1 y 2 ? ? 2 3n 2 ? 4 3n ? 4

9

设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y 2 ) ,T ( x0 , y0 ) , y1 ? y 2 ?

1 1 1 1 1 4a-1 令 g (a)=ln(2a)+ +1,a∈(0, ],则当 a∈(0, )时,g ?(a)= - 2= 2 <0,g (a)在(0, 4a 8 8 a 4a 4a 1 1 )单调递减,所以 g (a)>g ( )=3-2ln 2,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2. . ?????12 分 8 8 21、 (Ⅰ)? e ?

1 1 3 ,? c ? a, b ? a 2 2 2

1 3 a) ? F (? a, 0) , 取 A(0, 2 2

3 a?0 3 3 3 ? l AB : y ? ? x? a ? k AB ? ? ? k AF ? 2 ? 3 1 3 2 3 0 ? (? a) 2 3 3 1 令 y ? 0 ? x ? a ? B ( a, 0) 半径 r ? a ? 圆心 ( a, 0) 2 2 2

Y

? 圆心到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离 d
1 a?3 d?2 ?a 2
?a ? 2

M

A

?b ? 3
??????6 分

x2 y 2 ?1 ? 椭圆方程为 ? 4 3

F

O

B

?ny ? x ? 1 N ? 2 2 (Ⅱ)设直线 MN:ny=x+1,联立 ? x 2 , (3n ? 4) y ? 6ny ? 9 ? 0 , y2 ?1 ? ? 3 ?4
设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y 2 ) ,T ( x0 , y0 ) , y1 ? y 2 ?

T

6n 9 , y1 y 2 ? ? 2 2 3n ? 4 3n ? 4

? y ? ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ?? 0 ? O M ? O N ? O T ? 0 , ? x0 ? ? x1 ? x 2

?

64 36n 2 ? ? 1,解得,n=0. 4(3n 2 ? 4) 2 3(3n 2 ? 4) 2

即 MN 的斜率不存在时,T(2,0) 。当 MN 的斜率为 0 时,T 不存在。??????13 分 22、证明: (Ⅰ)①当 n=2 时, a 2 ? 2 ,不等式成立。

22 、 2013 届 湖 北 部 分 重 点 中 学 高 三 起 点 考 试 , 22 , 14 分 ) 数 列 { an } 满 足 a1 =1 且 (
②假设当 n=k(k ? 2)时不等式成立,即 ak ? 2 ,

1 1 )a n ? n (n ? 1) 。 1 1 n )a k 2 k ? a k ? 2 。即当 n=k+1 时不等式成立。 ? 那么 a k ?1 ? (1 ? ? 2n k ?k 2 (Ⅰ)用数学归纳法证明: an ? 2 ( n ? 2) a n ?1 ? (1 ?
2

根据①②可知: an ?a n对 ?na? 2 成立。??????4 分 2 ?1 n

(Ⅱ)设 bn ?

a a ? an an?1 1 1 1 1 (Ⅱ) n ?1 ? 1 ? 2 ? n ,故 bn ? n?1 ? ?1 ? 2 ?3 n 4 (n ? 1) an an an n ? n 2 an (Ⅲ)已知不等式 ln(1+x)<x 对 x>0 成立,证明: n n ? n 2 an (其中无理数 a ? 2e
e=2.71828。。 。) a ? a1 解析: 当 n=1 时, b1 ? 2 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? 2 , bn ?

an

,证明数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

7 4

a1

1 1 1 1 ? n ? 2 ? n?1 , n ? n 2 an n ? n 2
2

10

故 S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 1 ? (

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ) ? ( 3 ? 4 ? ? ? n?1 ) 2 ?3 3? 4 n(n ? 1) 2 2 2

?

64 36n 2 ? ? 1,解得,n=0. 4(3n 2 ? 4) 2 3(3n 2 ? 4) 2

即 MN 的斜率不存在时,T(2,0) 。当 MN 的斜率为 0 时,T 不存在。??????13 分 22、证明: (Ⅰ)①当 n=2 时, a 2 ? 2 ,不等式成立。 ②假设当 n=k(k ? 2)时不等式成立,即 ak ? 2 , 那么 a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a k ? k ? a k ? 2 。即当 n=k+1 时不等式成立。 k ?k 2
2

根据①②可知: an ? 2 对 n ? 2 成立。??????4 分 (Ⅱ)

a n?1 a ? an an?1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? n ,故 bn ? n?1 ? ?1 ? 2 ? n an an an n ? n 2 an n ? n 2 an a 2 ? a1 1 1 1 1 ? n ? 2 ? n?1 , ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? 2 , bn ? 2 a1 n ? n 2 an n ? n 2
1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ) ? ( 3 ? 4 ? ? ? n?1 ) 2 ?3 3? 4 n(n ? 1) 2 2 2

当 n=1 时, b1 ?

故 S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 1 ? (

=1+ ? ?

?1 ?2

1 1 1 1 1 ? 1? 1 n?1 ? 1 1 7 ? ? ??? ? ? ? 4 ?1 ? ( 2 ) ? ? 1 ? 2 ? 4 ? 4 ??????9 分 3 3 4 n n ? 1? ? ?
2

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n ?1 )a n n ?n 2 n ?n 2 1 1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a n ? 2 ? 故 ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 , ? ln(1 ? x) ? x ) ( n ? n 2 n ?1 n ? n 2 n ?1 1 1 ? n ?1 ( n ? 2) 故 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 n ?n 2
(Ⅲ)当 n ? 2 时,由(1)的结论知: a n ?1 ? (1 ? 求和可得 ln a n ? ln a 2 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 3 ? 4 ??? n 2?3 3? 4 n(n ? 1) 2 2 2

=

1 1 1 1 3 ? ? 2 ? n ? 2 n 2 4 2
3 3 a n ?1 3 ? ,? an ? 2e 4 ( n ? 2) ,而 a1 ? 1 ? 2e 4 2 4

而 a 2 ? 2 ,? ln

3

故对任意的正整数 n,有? an ? 2e 4 。??????14 分

11

12

共有 12 种情况. ┉┉9 分 所以基本事件总 数为 21 种. 记事件“ m ? n ? 1 ”为事件 E,则 事件 E 所包含的基本事件个数有 12 种. ∴P(E)=
12 4 ? . 21 7

即事件“ m ? n ? 1 ”的概率为 19、

4 . 7

???12 分

? DE=CE=AB=1,AE=2, (6 分)连 PE,BE
法一:以 A 为原点 O,AD 为 OX 轴,AB 为 OY 轴,AP 为 OZ 轴建立空间直角坐标系 A(0,0,0) ,B(0,1,0)E(2,0,0) 由(I)知 AB 为平面 PAE 的法向量且 AB ? (0,1,0) 设平面 PBE 的法向量为 n ? ( x, y, z) 由 n ? BE, n ? PB, BE ? (2,?1,0), PB ? (0,1,?1)

k ? ?x ? 2 ? ?y ? z ? 0 得? 解之,得 ? y ? k ( k ? 0) 取 n ? (1,2,2) ??????8 分 ?2 x ? y ? 0 ?z ? k ? ?
设所求二面角的平面角为 ? ,则 cos? ?

2 5 ?????12 分 ? ,? tan? ? 2 AB ? n 3

AB ? n

法二:作 AH ? PE 于 H,连 BH,由(I)知 BA ? PE,? PE ? 平面 AHB

? PE ? BE,? ?AHB 为所求二面角的平面角 ??????10 分
在 rt?PAE 中, AH ? PE ? AE ? PA 由,得 AH ? 20、解: (Ⅰ) f ( x ) =-ln x-ax +x,] f ?( x ) =-
2

2 5

,? tan?AHB ?
2

AB 5 ???12 分 ? AH 2

1

x

-2ax+1=-

2ax -x+1 .2 分

x

13

令 Δ =1-8a,当 a≥ 当 0<a<

1 时,Δ ≤0, f ?( x ) ≤0, f ( x ) 在(0,+∞)单调递减.?4 分 8

1 2 时,Δ >0,方程 2ax -x+1=0 有两个不相等的正根 x1,x2, 8 不妨设 x1<x2,则当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时, f ?( x ) <0,当 x∈(x1,x2)时, f ?( x ) >0, 1 这时 f ( x ) 不是单调函数.综上,a 的取值范围是[ ,+∞). ???????6 分 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当 a∈(0, )时, f ( x ) 有极小值点 x1 和极大值点 x2, 8 1 1 1 2 2 且 x1+x2= ,x1x2= . f ( x1 ) ? f ( x2 ) =-ln x1-ax1+x1-ln x2-ax2+x2=-(ln x1+ln x2)- (x1 2a 2a 2 1 1 1 -1)- (x2-1)+(x1+x2)=-ln(x1x2)+ (x1+x2)+1=ln(2a)+ +1.?9 分 2 2 4a 1 1 1 1 1 4a-1 令 g (a)=ln(2a)+ +1,a∈(0, ],则当 a∈(0, )时,g ?(a)= - 2= 2 <0,g (a)在(0, 4a 8 8 a 4a 4a 1 1 )单调递减,所以 g (a)>g ( )=3-2ln 2,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2. . ?????12 分 8 8 21、 (Ⅰ)? e ?

1 1 3 ,? c ? a, b ? a 2 2 2

1 3 a) ? F (? a, 0) , 取 A(0, 2 2

3 a?0 3 3 3 ? l AB : y ? ? x? a ? k AB ? ? ? k AF ? 2 ? 3 1 3 2 3 0 ? (? a) 2 3 3 1 令 y ? 0 ? x ? a ? B ( a, 0) 半径 r ? a ? 圆心 ( a, 0) 2 2 2

? 圆心到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离 d
1 a?3 2 d? ?a 2
?a ? 2

?b ? 3
??????6 分

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

?ny ? x ? 1 ? 2 2 (Ⅱ)设直线 MN:ny=x+1,联立 ? x 2 , (3n ? 4) y ? 6ny ? 9 ? 0 , y2 ?1 ? ? 3 ?4
设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y 2 ) ,T ( x0 , y0 ) , y1 ? y 2 ?

6n 9 , y1 y 2 ? ? 2 2 3n ? 4 3n ? 4

? y ? ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ?? 0 ? O M ? O N ? O T ? 0 , ? x0 ? ? x1 ? x 2

14

?

64 36n 2 ? ? 1,解得,n=0. 4(3n 2 ? 4) 2 3(3n 2 ? 4) 2

即 MN 的斜率不存在时,T(2,0) 。当 MN 的斜率为 0 时,T 不存在。??????13 分 22、证明: (Ⅰ)①当 n=2 时, a 2 ? 2 ,不等式成立。 ②假设当 n=k(k ? 2)时不等式成立,即 ak ? 2 , 那么 a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a k ? k ? a k ? 2 。即当 n=k+1 时不等式成立。 k ?k 2
2

根据①②可知: an ? 2 对 n ? 2 成立。??????4 分 (Ⅱ)

a n?1 a ? an an?1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? n ,故 bn ? n?1 ? ?1 ? 2 ? n an an an n ? n 2 an n ? n 2 an a 2 ? a1 1 1 1 1 ? n ? 2 ? n?1 , ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? 2 , bn ? 2 a1 n ? n 2 an n ? n 2
1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ) ? ( 3 ? 4 ? ? ? n?1 ) 2 ?3 3? 4 n(n ? 1) 2 2 2

当 n=1 时, b1 ?

故 S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 1 ? (

=1+ ? ?

?1 ?2

1 1 1 1 1 ? 1? 1 n?1 ? 1 1 7 ? ? ??? ? ? ? 4 ?1 ? ( 2 ) ? ? 1 ? 2 ? 4 ? 4 ??????9 分 3 3 4 n n ? 1? ? ?
2

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n ?1 )a n n ?n 2 n ?n 2 1 1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a n ? 2 ? 故 ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 , ? ln(1 ? x) ? x ) ( n ? n 2 n ?1 n ? n 2 n ?1 1 1 ? n ?1 ( n ? 2) 故 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 n ?n 2
(Ⅲ)当 n ? 2 时,由(1)的结论知: a n ?1 ? (1 ? 求和可得 ln a n ? ln a 2 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 3 ? 4 ??? n 2?3 3? 4 n(n ? 1) 2 2 2

=

1 1 1 1 3 ? ? ? ? 2 n 22 2n 4

3 3 a n ?1 3 4 ? ,? an ? 2e ( n ? 2) ,而 a1 ? 1 ? 2e 4 而 a 2 ? 2 ,? ln 2 4

3

故对任意的正整数 n,有? an ? 2e 4 。??????14 分

15


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