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2011年益阳市一中保送生招生考试数学试卷参考答案


2011 年上学期九年级检测考试数学试题 参考答案与评分标准
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 C 5 C 11、8.5 、 15、1 、 6 B 7 D 12、 12、120 16、 ,0) 、 (36, ) ( 8 D

二、填空题 9、2(a-2)(a+2) 2(a13、 13、4 10、 10、 x ≥ ?2且x ≠ 4 14、 14、

4 3

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分) 解答题 17、 解: 原式 =

a ( a + b) a ( a ? b) a2 = 2 ……………………………… (3 分) b2 (a ? b)(a + b) b

Q | a ? tan 600 | + b + 3 = 0 ∴ a = tan 600 = 3, b = ?3 …………(5 分)
当a = 18、

3, b = ?3 时,原式=

( 3) 2 1 = ( ?3) 2 3

…………………………… (6 分)

5 ?5 x + 2 > 3( x ? 1) ? ?2 x > ?5 ? x > ? 5 ? ?? ?? 解: ? 2 ? ? < x ≤ 4 ………(5 分) 3 1 2 ?7 ? 2 x ≥ 2 x ? 1 ? 2 x ≤ 8 ?x ≤ 4 ? ?
5 ? 2
O

0

4

……………(6 分)

四、解答题(本大题两小题,每小题 8 分,共 16 分) 解答题 19、如图 ,在 △ ABC 中, AB = AC,∠A = 36° ,线段 AB 的垂直平 分线交 AB 于 D,交 AC 于 E,连接 BE. (1)求∠CBE 的大小; (2)求证: AE 2 = AC EC . (1)∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴ EA = EB ,∴ ∠EBA = ∠A = 36° ……(1 分) ∵ AB = AC,∠A = 36° ∴ ∠ABC = ∠C = 72° ………………………… (2 分) , ∴ ∠CBE = ∠ABC ? ∠EBA = 36° …………………………………………… (3 分) . (2)由(1)得,在△BCE 中, ∠C = 72° ∠CBE = 36° , , ∴ ∠BEC = ∠C = 72° ,…………………………………………………………… (4 分) ∴ BC = BE = AE ……………………………………………………………………(5 分) 在△ABC 与△BEC 中, ∠CBE = ∠A , ∠C = ∠C ,

∴ △ ABC ∽△BEC .∴
2

AC BC 2 ,即 BC = AC EC .……………(7 分) = BC EC

故 AE = AC EC . ………………………………………………………… (8 分) 20、某班 13 位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的要求需要完成总面积为 80 m 的三 个项目任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如图所示:
2

各项目面积比例统计图

每人每分钟完成各项目工作量统计 面积(m2)
1 2

地面 55% 玻璃 20% 课桌椅 25%

1 3

1 4

项目 擦玻璃 擦课桌椅 扫地拖地

(1) 在扇形统计图中表示擦玻璃的扇形的圆心角等于
2

72

度………(1 分)

(2) 如果 x 人每分钟擦课桌椅面积是 y m ,那么 y 关于 x 的函数关系式是:

y=

1 x ;……………………………………………………………………… (2 分) 2

(3) 他们一起完成扫地拖地的任务后, 把这 13 人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅, 如果你是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能最快地完成任务? 解:(3)设分配 x 人去擦玻璃,那么 (13 ? x ) 去擦课桌椅,由题意得

16 20 ,解之得 x = 8 = 1 1 x (13 ? x) 4 2

…………………………………………… (6 分)

经检验, x = 8 是原方程的解.此时 (13 ? x ) =5……………………………… (7 分) 答: 分配 8 人去擦玻璃,5 人去擦课桌椅才能最快地完成任务……………… (8 分) 五、解答题(本大题两小题,每小题 10 分,共 20 分) 解答题 21、如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连结 AC,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E. (1)求证:AB=AC; (2)求证:DE 为⊙O 的切线; E C D B A

O

(3)若⊙O 的半径为 5,∠BAC=60°,求 DE 的长. 证: (1)连接 AD,∵AB 为直径,∴∠ADB=90 。………………………………(1 分) 又∵CD=BD,∴AD 是 BC 的垂直平分线。∴AB=AC ……………………(3 分)
0

(2) 连接 OD,∵BD=DC,BO=OA,∴OD//AC,……………………………… (5 分) 又 ED⊥AC,∴ED⊥OD 故 DE 为⊙O 的切线………………………………………(6 分) (3)∵∠BAC=60 ,∴∠BAD=30
0 0

…………………………………………… (7 分)

故在 Rt△ADB 中,AB=10,BD=5,AD=5 3 …………………………………… (8 分) 在 Rt△ADE 中,DE=ADsin∠DAE= 5 3 ×

1 5 3 = …………………………… (10 分) 2 2

22、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且 获利不得高于 45%, 经试销发现, 销售量 y(件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y = kx + b , 且 x = 65 时, y = 55 ; x = 75 时, y = 45 . (1)求一次函数 y = kx + b 的表达式; (2)若该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价 定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围. 解: (1)根据题意得 ?

?65k + b = 55, 解得 k = ?1 b = 120 . , ?75k + b = 45.

所求一次函数的表达式为 y = ? x + 120 .………………………………………(2 分) (2) W = ( x ? 60) ( ? x + 120) = ? x 2 + 180 x ? 7200 ……………………… (3 分)

= ?( x ? 90) 2 + 900 ,
Q 抛物线的开口向下,∴ 当 x < 90 时, W 随 x 的增大而增大
而 60 ≤ x ≤ 87 ,∴ 当 x = 87 时, W = ?(87 ? 90) 2 + 900 = 891 .

∴ 当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元…… (6 分)
(3)由 W = 500 ,得 500 = ? x + 180 x ? 7200 ,
2

整理得, x 2 ? 180 x + 7700 = 0 ,解得, x1 = 70,x2 = 110 .……………… (9 分) 由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间,而

60 ≤ x ≤ 87 ,所以,销售单价 x 的范围是 70 ≤ x ≤ 87 .………………… (10 分)
六、解答题(本大题两小题,每小题 12 分,共 24 分) 解答题 23、如图,已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,P 是边 BC 延长线段上的一点,连接 AP 交

边 CD 于点 E,把射线 AP 沿直线 AD 翻折,交射线 CD 于 Q,设 CP=x,DQ=y (1)求 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (2)当点 P 运动时,△APQ 的面积是否会发生变化?如果发生变化,请求出△APQ 的面 积 S 关于 x 的函数关系式;如果不发生变化,请说明理由。 (3)当以 4 为半径☉Q 与直线 AP 相切,且☉Q 与☉A 也相切时,求☉A 的半径。 Q 解: (1)∵CE//AB,∴Rt△PCE∽Rt△PBA ∴

CE CP CP 3x , CE = ……………… (2 分) = AB = AB BP BP x+4 DQ AD = CE CP
即 DQ =

∵∠AQD=∠AED=∠PEC,∠ADQ=∠PCE=900 ∴Rt△ADQ∽Rt△PCE,

A G

D

AD CE CP
B

E 23 题图 C P

4 3x 12 ∴y= = ( x > 0) ……………………… (4 分) x 4+ x x
(2)△APQ 的面积不会发生变化………………… (5 分)

S ?APQ = S ?AEQ + S ?PEQ =

1 1 EQ BP = 2 y ( x + 4) = 12 …………… (7 分) 2 2

(3)作 QG⊥AP 于 G,则 QG=4。设☉A 的半径外 r 由 S ?APQ =

1 AP QG = 12 得:AP=6 ……………………………………(8 分) 2
2 2 2 2 2 2

在 Rt△ABP 中:AB +BP =AP ,即:3 +(4+x) =6 ,解得:x= ?4 ± 3 3 ∵x>0, ∴x= ?4 + 3 3 ,从而 DQ=y=

12 4 3 = x+4 3

∴ AQ=

AD 2 + DQ 2 =

8 3 ……………………………………………(10 分) 3 8 3 ………………………(11 分) 3 8 3 ………………………(12 分) 3

①☉Q 与☉A 外切时:AQ=4+r ∴ r= ?4 +

② ☉Q 与☉A 内切时:AQ=r-4

∴ r= 4 +

24 、 如 图 所 示 , 已 知 在 直 角 梯 形 OABC 中 , AB ∥ OC,BC ⊥ x 轴 于 点 沿 过 C,A(11) B (3, . ,、 1) 动点 P 从 O 点出发, x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动. , P 点作 PQ 垂直于直线 OA ,垂足为 Q .设 P 点移动的时间为 t 秒( 0 < t < 4 ) △OPQ 与 .. 直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S .

(1)求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式; (2)求 S 与 t 的函数关系式; (3)将 △OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90° ,是否存在 t ,使得 △OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛 y 物线上?若存在,直接写出 t 的值;若不存在,请说明理由. 2 解: (1)由图象可知:抛物线经过原点, A B 2 1 设抛物线解析式为 y = ax + bx(a ≠ 0) . Q F C 把 A(11) , B (3, 代入上式得: , 1) O P 1 3 第 24 题图 1 1 ? ?a = ? 3 ?1 = a + b 1 4 ? 解得 ? ∴所求抛物线解析式为 y = ? x 2 + x …………(3 分) ? 3 3 ?1 = 9a + 3b + 1 ?b = 4 ? 3 ? (2) 分三种情况: ①当 0 < t ≤ 2 , 重叠部分的面积是 S△OPQ , 过点 A 作 AF ⊥ x 轴于点 F , y 2 ∵ A(11) ,在 Rt△OAF 中, AF = OF = 1 , ∠AOF = 45° , , Q G A B 1 在 Rt△OPQ 中, OP = t , ∠OPQ = ∠QOP = 45° , F C 2 O 1 H P 3 1? 2 ? 1 2 t ? = t 2 …(5 分) ∴ PQ = OQ = t cos 45° = t ,∴ S = ? 第 24 题图 2 2 2? 2 ? 4

x

x

?

?

②当 2 < t ≤ 3 ,设 PQ 交 AB 于点 G ,作 GH ⊥ x 轴于点 H , ,则四边形 OAGP 是等腰梯形,重叠部分的面积是 S梯形OAGP . ∠OPQ = ∠QOP = 45° ∴ AG = FH = t ? 2 , ∴S =

1 1 ( AG + OP ) AF = (t + t ? 2) × 1 = t ? 1 .………………………………(7 分) 2 2

③当 3 < t < 4 ,设 PQ 与 AB 交于点 M ,交 BC 于点 N ,重叠部分的面积是 S五边形OAMNC . y 因 为 △PNC 和 △BMN 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 重 叠 部 分 的 面 积 是

S五边形OAMNC = S梯形OABC ? S△ BMN .
∵ B (3, , OP = t ,∴ PC = CN = t ? 3 , 1) ∴ BM = BN = 1 ? (t ? 3) = 4 ? t ,

2 1 A

Q B M F O 1 第 24 题图 3 N C 3 P x

1 1 1 11 ∴ S = (2 + 3) × 1 ? (4 ? t ) 2 = ? t 2 + 4t ? .…………………………(10 分) 2 2 2 2
(3)存在

t1 = 1

t2 = 2 …………………………………………………(12 分)


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