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2014年汕头市理科数学一模考试试题及答案


2014年汕头市普通高考模拟考试试题









本试卷共4页,20小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查试题卷、答题卡是否整洁无缺损,之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字 笔在答题卡指定位置填写自己班级,姓名和座位号。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上题目的标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后, 再涂其他答案,答案答在答题卡上。不按要求填涂的,答案无效。 3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式: 体积公式:V体积 = ? h,V锥体 = 3 S ? h,其中V, S, h分别是体积、底面积和高;
1

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知i为虚数单位,则复数2i(1 + i)的模是( ) A.4 B.2 2 C. 3 2 D.8 )

2.若集合M = {x ∣ x < 3},N = {x ∣ y = lg(x ? 1)},则=(

A.(1,3) B. 1,3) C.(-1,3) D.(-3,1) 3.如图,在中AB = AC = BC = 2,则AB·BC= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.双曲线 4 ? y = 1的焦点到渐近线的距离为( A.2 5.在下列命题 ①?x ∈ R, ③
x3 2 1 X 2 4 x
2

A C

2

) D.3

B
第3题图

B. 2
π

C.1

> 0; ②α = 2 是 sin = 1 的充要条件;

+x

1

的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 2 ; ④ 设 随 机 变 量 ξ ~N(0,1), 若 P(ξ ≥ 1) = P , 则
1

P ?1 < ξ < 0 = 2 ? p,其中所有正确命题的序号是(



A.①②③ B.①③④ C.①②④ D. ②③④ 6.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本,则 不同的赠送方法共有( ) A.4 种 B. 10 种 C. 18 种 D. 20 种 7.某个长方体被一个平面所截,截得的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( ) A.4 B. 4 2 C. 6 2 D.8

1 1 j 1

第 7 题图

8. 设 ( , ), ( , )为平面直角坐标系上的两点,其中 , , ∈ . 令 ? = ? , , ? = ? , ,若 ?x + ?y = 3,且 ?x ? ?y ≠ 0,则称点 B 为点 A 的“相关点”,记作: B = τ(A),已知0 (0, 0 ), (0, 0 ∈ ) 为平面上一个定点, 平面上点列{ }满足: =τ(?1 ), 且点 的坐标为( , ),其中i = 1,2,3, ? , n,z 则点0 的相关点”有( )个

A.4 B.6 C.8 D.10 二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 (一)必做题(9-13 题) 9.已知α?
π 2

,π , sin α = 2,则tan 2α =

1

10.在等比数列 an 中,2a3 ? a2 a4 = 0,若 bn 为等差 数列,且b3 = a3 , 则数列 bn 的前 5 项和等于 11.若执行如图所示的框图,输入 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x = 2,则输出的数等于 12. 设 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ≤ x ≤ 1 时, = 2x(1 ? x), ? 2 = 13.某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克, B 原料 2 千克; 生产乙产品 1 桶需 耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。 每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品 的计划中,要求以每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克。 通过合理安排生产计划, 从每天生产的甲、 乙两种产品中, 公司可共获得的最大利润是 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题, 两题全答的,只记前一题的得分) x = cos α 14.在直角坐标系xoy中, 曲线C1 的参数方程为 y = 1 + sin α(其中 α 为参数); 在极坐标系 (与 直角坐标系xoy取相同的长度单位,且原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线C2 的方程为 ρ cos θ ? sin θ + 1 = 0,则C1 与C2 交点个数为
5

15.如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G,给出下列三个结 论: ①AD + AE = AB + BC + CA , 中正确结论的序号是 ②AF ? AG = AD ? AE ③?AFB~?ADG,其

C

E o G

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

F B D

16.(本小题 12 分)设a = (2 cos ωx, 3),b = (s in2 ωx, cos 2 ω x ? sin2 ωx)(ω > 0),函数 = a ? b,且函数
图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离 4
π

(I)为求函数 的解析式。 (II)在锐角三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 = 0,B = 4 a = 2 求 c 边的长。
π

17. (本小题满分 12 分)靖国神社是日本军国主义的象征。中国人民珍爱和平,所以要坚决反对 日本军国主义。2013 年 12 月 26 日日本首相安倍晋三悍然参拜靖国神社,此举在世界各国激起舆 论的批评。 某报的环球舆情调查中心对中国大陆七个代表性城市的 1000 个普通民众展开民意调查。 某城市调查体统计结果如下表: 性别 男 女
中国政府是否 需要在钓鱼岛和其他争议 问题上持续对日强硬

需要 50 250 不需要 100 150 (I)试估计这七个代表性城市的普通民众中,认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持 续对日强硬”的民众所占比例; (II)能否有以上的把握认为这七个代表性城市的普通民众的民意与性别有关? (III)从被调查认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬”的民众中,采用分 层抽样的方式抽取 6 人做进一步的问卷调查,然后在这 6 人中用简单随机抽样方法抽取 2 人进行 电视专访,记被抽到的 2 人中女性的人数为 X,求 X 的分布列。 附:K 2 =
n ad ?bc 2 a+b c+d a+c b+d

,

P(K 2 ≥ k) 0.050 k 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

18. (本小题满分 14 分)如图,已知ABCD ? A1 B1 C1 D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在AA1 上,点 F 在CC1 上,且AE = FC1 = 1. (I)求证:E、B、F、D1 四点共面; (II)若点 G 在 BC 上,BG = 3,点 M 在BB1 上,GM ⊥ BF,垂足为 H,
2

求证:EM ⊥ 面 BCC1 B1 ; (III)用 表示截面EBFD1 和面BCC1 B1 所成锐二面角大小, 求cosθ .

D1 C1 F B1 D M C H G B

A1 E A

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的方程为 三个顶点的坐标分别为A 2,0 , B 0,1 , C 2,1 (I)求椭圆 C 的离心率;

x

2

4m

+ 2

y

2 2

m

= 1, 如图, 在平面直角坐标系xoy中, ?ABC的

(II)若椭圆 C 与?ABC无公共点,求 m 的取值范围; (III)若椭圆 C 与?ABC相交于不同的两点,分别为 M、N, 求?OMN面积 S 的最大值。

A o

y

C x

B

20.(本小题满分 14 分) 设数列{an }的前 项和为Sn ,已知a1 = 2, (I)求a2 的值; (II) 求数列{an }的通项公式 (III) 证明:对一切正整数 n,有a + a + ? + a < 12
1 2 n

1

1

1

7

21. (本小题满分 14 分)已知函数f(x) = e ? 1 ? ax, (a ∈ R) (I)求函数y = f(x)的单调区间; (II)试探究函数F(x) = f(x) ? xlnx在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若 不存在,请说明理由。 (III)若g x = ln e ? 1 ? lnx,且f(g(x)) < ( )在x ∈ (0, +∞)上恒成立,求实数 a 的取值 范围。
x

x

2013---2014 年高三一模理科数学参考答案
一、选择题: (1—8 小题)BADCB BDC 3、本题主要考查向量的数量积的定义 AB ? BC ? AB ? BC cos120? ? ?2 6、本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力。分两类:一是取出 1 本画册,3 本集邮册,
1 2 此时赠送方法有 C4 ? 4 种;二是取出 2 本画册,2 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 6 种.故赠送方法共有 10 种.

A 如图,该长方体的底面边长 为 2,高为 3,点 B、C、D 分 别为对应棱的中点,沿着 平行四边形 ABCD 切割该 长方体,显然被切割的部 分占上面正方体的一半, 所以剩余的部分体积为 8

D B

C 7、 8、因为 ?x + ?y =3(?x, ?y 为非零整数)故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 P 0 的相关点有 8 个 二、填空题: 9、 ? 3 10、10 11、

2 3

12、 ?

1 2

13、2880

14、2 15、①②

解析: 11、由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差, 则S ?

(1 ? 2)2 ? (2 ? 2)2 ? (3 ? 2) 2 2 ? 3 3
5 2 1 2 1 2 1 . 2

12、 f (? ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?

14、曲线 C1 : x2 ? ( y ?1)2 ? 1, C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,由圆心到直线的距离 d ?

| 0 ? 1 ? 1| ? 0 ? 1 ,故 C1 与 C2 的 2

交点个数为 2. 15、如图, ?AFB ? ?BFG ? ?ADG ? ?DFG ? 180? ,? ?ADG ? ?AFB ,所以③错
三、解答题:

16、解 : (1) f ( x) ? a ? b ? 2 sin ?x cos?x ? 3 (cos2 ?x ? sin 2 ?x)......... .......... .(1分) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...(2分) 1 3 ? ? 2( sin 2?x 2 ? cos 2?x) ? 2 sin(2?x ? )......... .......... .......... .......... .........( 4分) 2 2 3 2? ? 又由题意知: T ? ? 4 ? , 所以? ? 1.......... .......... .......... .......... .......... .(5分) 2? 4 所以函数f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

3

)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... (6分)

方法一; (2)由(1)知道 : f ( A) ? 2 sin(2 A ? 又因为0 ? A ? 所以2 A ?

?
3

) ? 0,? sin(2 A ?

?
3

)?0

?
2

, 所以

?
3

? 2A ?

?
3

?

? ? , 所以A ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........( 8分) 3 3 所以sin C ? sin( A ? B)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....(9分) 3 4 3 4 a c 所以由正弦定理 ? 得到;......... .......... .......... .......... .......... .......... ...(11分) sin A sin C 6? 2 2? a sin C 6 ?3 2 4 c? ? ? .......... .......... .......... .......... .......... ......( 12分) sin A 3 3 2 ? sin(

?

?

4? .......... .......... .......... .......... ........( 7分) 3

?
3

?

?
4

) ? sin

?

cos

?

? cos

?

sin

?

?

6? 2 .......... .......... .......... ........( 10分) 4

方法二 : (2)由(1)知道 : f ( A) ? 2 sin(2 A ? 又因为0 ? A ? 所以2 A ?

?

3

) ? 0,? sin(2 A ?

?

3

)?0

?
2

, 所以

?
3

? 2A ?

?
3

?

4? .......... .......... .......... .......... ........( 7分) 3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ........( 8分) 3 a b 所以由正弦定理 ? 得到;......... .......... .......... .......... .......... .......... ...(9分) sin A sin B 2 2? a sin B 2 ? 2 6 .......... b? ? .......... .......... .......... .......... ......( 10分) sin A 3 3 3 2 所以,由余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A得到 : .......... .......... ........( 11分) 8 2 6 1 ? c2 ? 2 ? c ? , 整理 : 3c 2 ? 2 6c ? 4 ? 0 3 3 2 6 ?3 2 6 ?3 2 解得 : c ? (舍去), 或c ? .......... .......... .......... ....( 12分) 3 3 4?
分) 17、解: (1)由题意知道:

?

? ? , 所以A ?

?

(说明:能体现公式的就给

50 ? 250 6 ? ? 54 .5% 550 11

则在这七个代表性城市的普通民众中,认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬”的民众所 占的比例大约为 54 .5% 。………………………………(4 分)

(2)提出假设 H 0 :这七个代表性城市普通民众的民意与性别无关。 由数表知: K ?
2

550(50 ? 150 ? 100? 250) 2 11? 35? 7 ? ? 37.4305? 10.828 150? 400? 300? 250 72
n 6 ? 得 n ? 1, 50 300

则有 99 .9% 以上的把握认为这七个代表性城市普通民众的民意与性别有关…………. (7 分) (3)设抽取的 6 人中男性有 n 人,女性有 6 ? n 人,则

所以 6 人中男性有 1 人,女性有 5 人。………………………………(8 分) 则随机变量 X 的所有可能取值为 1,2………(9 分)

P( X ? 1) ?

1 1 C5 C1

C

2 6

?

5 1 ? ………(10 分) 15 3

P( X ? 2) ?

C52 C
2 6

?

10 2 ? ………(11 分) 15 3

则随机变量 X 的分布列如下表:

X
p

1

2

1 3

2 3
…………………(12 分)

18、(方法一)解: (1)证明:在 DD 1 上取一点 N 使得 DN=1, 连接 CN,EN,显然四边形 CFD 1 N 是平行四边形, ∴D 1 F//CN。同理四边形 DNEA 是平行四边形, ∴EN//AD,且 EN=AD。又 BC//AD,且 AD=BC, ∴EN//BC,EN=BC,∴四边形 CNEB 是平行四边形。 ∴CN//BE。∴D 1 F//BE。∴E,B,F, D1 四点共面。?????.(5 分) (2)∵ GM ? BF ,∴ ? BCF∽ ? MBG。

2 MB 3 MB BG ? 。∴MB=1。?????.(7 分) ∴ ,即 ? 3 2 BC CF
∵AE=1,∴四边形 ABME 是矩形。∴EM⊥BB 1 。?????.(8 分) 又∵平面 ABB 1 A 1 ⊥平面 BCC 1 B 1 ,且 EM 在平面 ABB 1 A 1 内, ∴ EM ? 面 BCC1B1 。?????.(10 分) (3)∵ EM ? 面 BCC1B1 ,∴ EM ? BF, EM ? MH, GM ? BF 。 ∴∠MHE 就是截面 EBFD1 和面 BCC1B1 所成锐二面角的平面角。?????.(12 分)

∵∠EMH= 90 ? ,∴ tan? ?

ME ,ME=AB=3, ? BCF∽ ? MHB。 MH ME 3 。∴ tan? ? = 13 MH 13

∴3:MH=BF:1。又∵BF= 22 ? 32 ? 13 ,∴MH=

所以 cos? ?

14 。???????????????????????..(14 分) 14

方法二: (向量法) (1)如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,那么

D(0,0,0) D1 (0,0,3)

C (3,0,0) F (3,0,2)

A(0,3,0)

B(3,3,0)

E (0,3,1)......... .......... .......... ..(2分)

? D1 F ? (3,0,?1) ? EB ? (3,0,?1) ?四边形BFD1 E是平行四边形 , 所以B、F、D1、E四点共面.......... ....(5分)

z

(2)由题知道 : 设M (3,3, h)

C1 2 所以GM ? (0, , h), BF ? (0,?3,2),而GM ? BF.......... ...(6分) F 3
所以GM ? BF ? 2h ? 2 ? 0, ? EM ? (3,0,0),又CB ? (0,3,0) ? EM ? BF ? 0 ? EM ? BF EM ? CB ? 0.......... .......... .......... .........( 8分x ) EM ? CB, 又BF ? CB ? B 所以h ? 1.......... .........( 7分)
D

7 G (3, ,0) 3

D1

A1 B1
E M

H

A

y

C

G

B

? EM ? 平面BCC1 B1 .......... .......... .......... .......... .......... ...( 10分)

(3)设平面EBFD n ? ( x, y, z ), 1的一个法向量为 ? ?y ? 2 ?n ? BE ? 3 x ? z ? 0 那么? , 令x ? 1 ? ? .......... .......... .......... .......( 12分) z?3 ? ? n ? BF ? ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? n ? (1,2,3), 而平面BCC1 B1的一个法向量为EM ? (3,0,0) ? cos? ? n ? EM n ? EM ? 3 14 ? 3 ? 14 .......... .......... .......... .......... ..(14分) 14

2 2 2 2 19、解 (Ⅰ) 由已知可得, a ? 4m , b ? m

c c2 a 2 ? b2 3m2 3 3 ,即椭圆 C 的离心率为 ?????(4 分) ? ? ? ? 2 2 2 2 a 2 a a 4m (Ⅱ) 由图可知当椭圆 C 在直线 AB 的左下方或 ?ABC 在椭圆内时,两者便无公共点(5 分) ① 当椭圆 C 在直线 AB 的左下方时 x2 y2 ? ?1 将 AB : x ? 2 y ? 2 ? 0 即 x ? 2 ? 2 y 代入方程 4m 2 m 2 2 2 整理得 8 y ? 8 y ? 4 ? 4m ? 0 , ?e ?
由 ? ? 0 即 64 ? 32(4 ? 4m ) <0 解得 0 ? m ? ?0
2

2 2

∴由椭圆的几何性质可知当 0 ? m ?

2 时, 椭圆 C 在直线 AB 的左下方???(7 分) 2

② 当 ?ABC 在椭圆内时,当且仅当点 C (2,1) 在椭圆内

4 1 ? 2 ? 1 ,又因为 m ? 0 , ∴ m ? 2 2 4m m 2 综上所述,当 0 ? m ? 或 m ? 2 时,椭圆 C 与 ?ABC 无公共点???(9 分) 2 2 (Ⅲ) 由(Ⅱ)知当 ? m ? 2 时, 椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两个点 M ﹑ N (10 分) 2 x2 ? y 2 ? 1 ,此时椭圆恰好过点 A , B 又因为当 m ? 1 时, 椭圆 C 的方程为 4 2 ∴① 当 ? m ? 1 时, M ﹑ N 在线段 AB 上,显然的,此时 S ? S ?OAB ? 1 ,当且仅当 M ﹑ N 分别与 A ﹑ B 重 2
∴可得 合时等号成立, ???(11 分) ② 当 1 ? m ? 2 时 , 点 M ﹑ N 分 别 在 线 段 BC , AC 上 , 易 得 M ( 2 m2 ? 1, 1) , N (2, m2 ? 1) , ∴ S =

S矩形OACB ? S? OBM ? S? OAN ? S? MNC ?(12 分) 1 ? 2 ? m2 ? 1 ? m2 ? 1 ? (2 ? 2 m2 ? 1)(1 ? m2 ? 1) 2 2 令 t ? m ? 1 ,则 0 ? t ? 1

? 2 ? 2 m2 ? 1 ? (1 ? m2 ? 1)2 所以 S = ?t 2 ? 1 ? 1 综上可得面积 S 的最大值为 1. ???(14 分) 20、解(Ⅰ) 依题意, 3S1 ? a2 ? ( ? 2)3 ? 6 ,又 S1 ? a1 ? 2 ,所以 a2 ? 20 ;???(3 分)
(Ⅱ) 当 n ? 2 时, 3Sn ? an?1 ? ( ? 2)n?2 ? 6 ,

3Sn?1 ? an ? ( ? 2)n?1 ? 6
两式相减得 3an ? an ?1 ? an ? 3 ? ?2 ? 整 理 得
n ?1

???(5 分)
n ?1

an ?1 ? 4an ?1 ? 3 ? ?2 ?

,



? ?2 ?

an?1
n ?1

? ?2

? ?2 ?

an

n

?3

,





? a ? n ? 1 ? ? 2 ? 1 (6 分) ? ? ????????? n ?1 n ? 2 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? a2 a a ?a ? ? 1 ? 4 且 1 ? 1 ? ?2 所以 2 2 ? 1 ? ?2 ? 1 ? 1? ????(7 分) 又因为 2 ?2 ? ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 ? an?1
故数列 ?

? ? ?2 ? ? an n n 所以 ? 1 ? ? ?2 ? ,所以 an ? 4n ? ? ?2 ? .???????(9 分) n ? ?2 ? 1 1 1 1 * (Ⅲ)因为当 m ? N 时, ? ? 2m ? 2m?1 2m 2 m?1 a2m a2m?1 4 ? ? ?2 ? 4 ? ? ?2 ?
n

? ? an

? a ? ? 1? 是首项为 1 ? 1 ? ?2 ,公比为 ?2 的等比数列, ?2 ? ?

?

4

4 m ?1

5 5 5 ? 42 m ? 22 m 5 ? 42 m ? ? ?(10 分) 2 m ? 1 2 m 2 2m 2 m ? 4 m ?1 4 ? 2 ? 2 ? 2 4 m ?1 ? 2?8 ? 2? 4 4 ? 2 ? 82 m ? 2 ? 4 2 m

①当 n ? 1 时,

1 1 7 ? ? ;(考生易漏) ???????(11 分) a1 2 12

* ②当 n ? 3 且 n 为奇数时,令 n ? 2m ? 1 ( m ? N ),

? 1 1 1 1 1 ?1 1? 1 ? 1 5 5 5 ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? 2 m ?1 4 a1 a2 an a1 ? a2 a3 ? ? a2 m a2 m?1 ? 2 4 4

? ? 1 ?m ? ?1 ? ? ? ? m ? 16 ? ? ? 1 1 1 1 ?1? 1 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;???????(12 分) 1 2 2 12 12 ? 16 ? 2 12 12 1? 16 ③当 n 为偶数时,令 n ? 2m ( m ? N * ), 1 1 1 1 1 1 7 此时 ? ??? ? ? ??? ? ????(13 分) a1 a2 a2 m a1 a2 a2 m?1 12 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n ,有 ? ??? ? .????(14 分) a1 a2 an 12 5 43
21、解: (1)由 f ( x) ? e x ? 1 ? ax, ( x ? R, a ? R) ? f ' ( x) ? e x ? a ????(1 分) ① 当 a ? 0 时,则 ?x ? R 有 f ' ( x) ? 0 ? 函数 f ( x) 在区间 (??,??) 单调递增;?(2 分) ② 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ? x ? ln a , f ' ( x) ? 0 ? x ? ln a

? 函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a,??) ,单调减区间为 (??, ln a) 。????(4 分)
综合①②的当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a,??) ,单调减区间为 (??, ln a) 。???(5 分) (2)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 定义域为 (0,??) ?????????(6 分) 又 F ( x) ? 0 ? a ?

ex ?1 ? ln x, x ? 0 x

令 h( x ) ?

ex ?1 ? ln x, x ? 0 x

(e x ? 1)(x ? 1) 则 h' ( x ) ? , x ? 0 ?????????(7 分) x2
? h' ( x) ? 0 ? x ? 1, h' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1
故函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增。

? h( x) ? h(1) ? e ? 1?????????(8 分)
有由(1)知当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ( x) ? f (ln a) ? 0

ex ?1 ?1 即e ?1? x ? x
x

? 当 x ? 0 且 x 趋向 0 时, h( x) 趋向 ? ?
随着 x ? 0 的增长, y ? e ? 1 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x 的增长速度,而 y ? ln x 的增长
x 2

速度则会越来越慢。故当 x ? 0 且 示?????????(9 分)

x 趋 向 ? ? 时 , h( x ) 趋 向 ? ? 。 得 到 函 数 h ( x ) 的 草 图 如 图 所

故①当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有两个不同的零点; ②当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有且仅有一个零点; ③当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 无零点;?????????(10 分) (3)由(2)知当 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ,故对 ?x ? 0, g ( x) ? 0 , 先分析法证明: ?x ? 0, g ( x) ? x 要证 ?x ? 0, g ( x) ? x

ex ?1 ? ex 只需证 ?x ? 0, x
即证 ?x ? 0, xe x ? e x ? 1 ? 0 构造函数 H ( x) ? xe x ? e x ? 1, ( x ? 0)

? H ' ( x) ? xe x ? 0, ?x ? 0
x x 故函数 H ( x) ? xe ? e ? 1 在 (0,??) 单调递增,

? H ( x) ? H (0) ? 0 ,
则 ?x ? 0, xe ? e ? 1 ? 0 成立。?????????(12 分)
x x

① 当 a ? 1 时 , 由 ( 1 ) 知 , 函 数 f ( x) 在 (0,??) 单 调 递 增 , 则 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0,??) 上 恒 成 立。 ?????????(13 分) ②当 a ? 1 时,由(1)知,函数 f ( x) 在 (ln a,??) 单调递增,在 (0, ln a) 单调递减, 故当 0 ? x ? ln a 时, 0 ? g ( x) ? x ? ln a ,所以 f ( g ( x)) ? f ( x) ,则不满足题意。 综合①②得,满足题意的实数 a 的取值范围 (??,1] 。?????????(14 分)


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