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2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛四川省预赛

2010 年全国高中数学联赛四川赛区预赛由四川省数学会普及工作委员会及四川省数学 竞赛委员会主办,由四川省数学竞赛委员会组织及负责命题,命题负责人:柳斌. 预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准, 主要考察学生对基础知识和基本技能的掌 握情况,以及综合和灵活运用的能力. 试题相当于高考数学试题的中、难度水平,有利于广

大学生拓宽视野,促进素质教育. 学生自愿报名参加. 全省在同一时间由各市、州统一组织 竞赛(不在县级以下单位设置考场). 试卷答题时间 120 分钟,试题总分 140 分,其中包括:6 道选择题(每道 5 分,共 30 分) 、6 道填空题(每道 5 分,共 30 分) ;4 道解答题(每道 20 分,共 80 分). 命题难度大体相当于普通高考试题. 预赛时间定在 5 月 1 6 日(星期日)下午 14:30~16:30. 竞赛完后先由各市、州集中评卷,然后将其中 10%的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员 会(原则上每个参赛学校均应有试卷上报),由四川省数学竞赛委员会组织专人复查. 从中评 出一等奖 300 名、二等奖 500 名、三等奖 700 名,由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书. 经四川省数学竞赛委员会研究决定, 为确保全国高中数学联赛的安全保密工作, 自 2007 年起,四川省只在成都市设立一个考场,全省参赛人数控制在 1000 人左右,参赛学生为预 赛的一、二等奖获得者及个别优秀学生(初赛人数较多的市、州可酌情增加决赛名额). 考场 设在成都七中, 个别边远地区的优秀考生经济确有困难者提出申请, 经批准可由省数学竟赛 委员会给予适当资助.


一、选择题(本题满分 40 分,每小题 5 分) 1、已知 p : 1 ? sin 2? ?



4 4 和 q : sin ? ? cos ? ? .则 p 是 q 的( ). 3 3

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品.从中任取 2 件,记其中含正品的个数个数为 随机变量 ? ,则 ? 的数学期望 E? 是( ).

7 8 9 C、 D、 5 5 5 3、设正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 3,侧棱长为 2,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成的
A、 B、 角的大小是( ). A、 30
?

6 5

B、 45

?

C、 60

?

D、 arctan 2

4、 已知函数 f ( x) ? A、 ? 4

x 4 ? (k 2 ? 2k ? 4) x 2 ? 4 的最小值是 0, 则非零实数 k 的值是 ( ) . x4 ? 2x2 ? 4
C、2 D、4

B、 ? 2

5 、 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 八 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 其 中 AA 1 ?1 ,

AB ? 2 2 , AD ? 3 3 ,则经过 B、C 两点的球面距离是( ).
A、

2? 3

B、

4? 3

C、 2?

D、 4?

6、 对任意实数 m ,过函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 图象上的点 (2, f (2)) 的切线恒过一定点

P ,则点 P 的坐标为( ).
A、 (0, 3) B、 (0, ? 3) C、 ( , 0 )

3 2

D、 ( ?

3 , 0) 2

7、设 A1、A2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 a2 b2

的点 P ,使得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( ). A、 (0,

1 ) 2

B、 (0,

2 ) 2

C、 ( , 1)

1 2

D、 (

2 , 1) 2

8、记 F ( x, y ) ? ( x ? y ) ? (
2

x 3 2 ? ) , ( y ? 0) ,则 F ( x, y ) 的最小值是( ). 3 y
C、

A、

12 5

B、

16 5

18 5

D、4

二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 9、 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? f (1 ? x) ,则 f (2010 )? 10、实数 x, y 满足 3 | x ? 1 | ?2 | y ? 1 |? 6 ,则 2 x ? 3 y 的最大值是 11 、 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , 当 n ? 2 时 , a n , S n , S n ? . .

1 成等比数列,则 2

lim n 2 a n ?
n ??



12、 集合的容量是指集合中元素的和. 则满足条件 “ A ? {1,2,3,4,5,6,7} , 且若 a ? A 时, 必有 8 ? a ? A ”的所有非空集合 A 的容量的总和是 三、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 13、已知函数 f ( x) ? sin( x ? . (用具体数字作答)

?
4

) ? 2 sin( x ?

?
4

) ? 4 cos 2 x ? 3 cos( x ?

3? ). 4

(1)试判断函数 f ( x) 的奇偶性,并给出证明; (2)求 f ( x) 在 [

?
2

, ? ] 上的最小值与最大值.

14、已知 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,M 点的坐标为(4,0),过点 F 作斜率为 k 1 的直线 与抛物线交于 A、B 两点,延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点,设直线 CD 的斜率为 k 2 . (1)求

k1 的值; k2

(2)求直线 AB 与直线 CD 夹角 θ 的取值范围. 15、已知函数 f ( x) ? x 3 ? mx2 ? x ? 1 ,其中 m 为实数. (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对一切的实数 x ,有 f ?( x) ?| x | ? 求实数 m 的取值范围. 16、 已知 S n 是数列 {an } 的前 n 项的和, 对任意的正整数 n , 都有 (1 ? b)S n ? ?ban ? 4 成立,其中 b ? 0 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 c n ?
n

7 成立,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数. 4

an 4n

(n ? N ? ) ,若 | cn |? 2 ,求实数 b 的取值范围.


1、C 提示:因为 1 ? sin 2? ?


4 ,故 p 是 q 3

(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin ? ? cos ? ?

的充要条件.故选 C. 2、C 3、A
1 2 C4 C4 8 提示:数学期望是: 1? 2 ? 2 ? 2 ? .故选 C. C5 C5 5

提示:设顶点 S 在底面 ?ABC 的射影是 H ,则 H 为 ?ABC 的外心.从而

AH ?

2 3 ? 3? ? 3 ,于是可得 ?SAH ? 30? .故选 A. 3 2
2

4 、 B 提 示 : f ( x) ? 1 ? (k ? 2k ? 6)

x2 4 2 , 因 为 x ? 4 ? 4x , 故 4 2 x ? 2x ? 4

0?

x2 1 ? . 4 2 x ? 2x ? 4 6
当 k ? 2k ? 6 ? 0 时, f min ? 1 ,不合题意;
2

当 k ? 2k ? 6 ? 0 时,
2

1 f max ? 1, f min ? 1 ? (k 2 ? 2k ? 6) , 6
由条件知 1 ?

1 2 (k ? 2k ? 6) ? 0 ,解得 k ? ?2 或 0(舍去) .故选 B. 6 1 1 ? (2 2 ) 2 ? (3 3 ) 2 ? 3 , 在 ?O B C 中 5、C 提示:球 O 的半径 R? 2 1 2? OB ? OC ? 3 , BC ? AD ? 3 3 ,则 cos ?BOC ? ? ,从而 ?BOC ? . 2 3 1 所以,经过 B、C 两点的球面距离是 2? ? 3 ? ? 2? .故选 C. 3
6、 B 提示:因为 f ?( x) ? 2 x ? m ,故 f ?(2) ? 4 ? m .于是过 (2, f (2)) 的切线方程

是: y ? (5 ? 2m) ? (4 ? m)(x ? 2) ,即 y ? (m ? 4) x ? 3 ,因此切线方程恒过 (0, ? 3) .故 选 B. 7、D

提示:由题设知∠ OPA2=90° , 设 P(x,y)(x>0) , 以 OA2 为 直 径 的 圆 方 程 为

a a2 b2 2 2 (x ? )2 ? y 2 ? ,与椭圆方程联立得 (1 ? 2 ) x ? ax ? b ? 0 .由题设知,要求此方程 2 4 a
在(0, a )上有实根. 由此得 0 ?

a 2(1 ? b ) a2
2

? a 化简得 e 2 ?

1 2 ,1) . , 所以 e 的取值范围为 ( 故 2 2

选 D.

8、C

提示:设动点 P ( x,? ) 与 Q( y, ) ,则 F ( x, y ) ? PQ ,点 P 的轨迹为直线

x 3

3 y

2

x 3 3 y ? ? ,点 Q 的轨迹为双曲线 y ? ,双曲线上的任一点 ( x0 , ) 到直线 x ? 3 y ? 0 的距 3 x x0


x0 ? 3 ? d? 10

3 x0

?

6 , 10

当 x0 ? ?3 时等号成立.故 F ( x, y ) 的最小值为

18 .故选 C. 5

9、0 提示:由条件知 f (0) ? 0 , f ( x ? 1) ? f (? x) ? ? f ( x) ,于是 f ( x ? 2) ? f ( x) ,

) ? f (0) ? 0 .故填 0. 即 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数.所以, f (2010
10、4 提示:由 3 | x ? 1 | ?2 | y ? 1 |? 6 确定的图形是以四边形 ABCD 及其内部,其中

A(?1, 4) 、 B(1, 1) 、 C (?1, ? 2) 、 D(?3, 1) .由线性规划知识知, 2 x ? 3 y 的最大值是 4,
当 x ? ?1, y ? ?2 时可取到.故填 4. 11、 ?

1 提示:由条件知当 n ? 2 时, 2 1 1 2 Sn ? a n ( S n ? ) ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) , 2 2

从而

1 1 ? ? 2 ,于是 S n S n ?1 1 1 ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, S n S1

所以 S n ?

1 .于是 2n ? 1

a n ? S n ? S n?1 ?
所以,

1 1 2 ? ?? . 2n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3)

2n 2 lim n a n ? lim? ? lim? n?? n ?? ( 2n ? 1)(2n ? 3) n ??
2

1 ?? . 1 3 2 (2 ? )(2 ? ) n n

2

故填 ?

1 . 2

12、224 提示:先找出满足条件的单元素和二元素的集合有: A1 ? {4} , A2 ? {1,7} ,

A3 ? {2,6} , A4 ? {3,5} ,将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求,则所有符合条
件的集合 A 中元素的总和是 : (4 ? 8 ? 8 ? 8) ? 2 3 ? 224.故填 224.. 13、 (I)f ( x) ?

2 3 2 (sin x ? cos x) ? 2 (sin x ? cos x) ? 4 cos 2 x ? (cosx ? sin x) 2 2

? ?2 2 cos x ? 4 cos2 x ,

f (?x) ? ?2 2 cos(?x) ? 4 cos(?2x) ? ?2 2 cos x ? 4 cos2x ? f ( x) .
所以, f ( x) 为偶函数. (II) f ( x) ? ?2 2 cos x ? 4(2 cos2 x ? 1)

? ?8 cos2 x ? 2 2 cos x ? 4
? ?8(cosx ?
因为 x ? [ 当 cos x ? ?

2 2 17 ) ? . 8 4

?
2

, ? ] ,故 ? 1 ? cos x ? 0 ,所以,当 cos x ? 0 时, f ( x) 有最小值 4 ;

17 2 时, f ( x) 有最大值 . 4 8

14、 (I)由条件知 F (1, 0) ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 、 C( x3 , y3 ) 、 D( x4 , y 4 ) ,不妨
2 4 设 y1 ? 0 .直线 AB 的方程为 y ? k1 ( x ? 1) ,与 y ? 4 x 联立得 y 2 ? y ? 4 ? 0 ,所以 k1

y1 y2 ? ?4 , x1 x2 ? 1 .
① 当 x1 ? 4 时,则 A(4, 4) ,故 y 2 ?

1 1 ?4 ? ?1 , x 2 ? ,即 B ( ,?1) .直线 AM 的 4 4 y1

方程为 x ? 4 ,从而 C (4, ? 4) ;直线 BM 的方程为: y ?

4 ( x ? 4) ,与 y 2 ? 4 x 联立得 15

y 2 ? 15y ? 16 ? 0 ,得 y4 ? 16 , x4 ? 64 ,即 D(64, 16) .
于是 k1 ?

k 4 16 ? (?4) 1 ? .所以. 1 ? 4 . , k2 ? 3 64 ? 4 3 k2
y1 2 ( x ? 4) 与抛物线方程 y ? 4 x . 联立得 x1 ? 4

② 当 x1 ? 4 时,直线 AM 方程为 y ?

y12 ( x ? 4) 2 ? 4 x( x1 ? 4) 2 ,又由 y12 ? 4 x1 ,化简上述方程得 x1 x 2 ? ( x12 ? 16) x ? 16x1 ? 0 . 此方程

? 16 .即 C (16 ,? 16) ,同理, D( 16 ,? 16 ) .所 有一根为 x1,所以另一根 x3 ? 16 , y3 ? x1 y1 x2 y 2 y1 x1


16 16 ? y 2 y1 x x y ? y1 1 k2 ? ?? 1 2 ? 2 ? k1 , 16 16 y1 y 2 x 2 ? x1 4 ? x 2 x1 ?


k1 k ? 4 .由①、②可知 1 ? 4 . k2 k2
(II) tan? ?

k1 ? k 2 3k1 3 3 ? ? ,故 ? ? arctan .所以,直线 AB 与直线 CD 2 4 1 ? k1 k 2 4 4 ? k1
3 ]. 4
2

夹角 θ 的取值范围是 (0, arctan

15、 (I)因为 f ?( x) ? 3x 2 ? 2mx ? 1 , ? ? 4m ? 12 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 有两个不等 实根: x1 ?

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 . 3 3

当 x1 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 单调递减; 当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 单调递增; 综上所述,有 f ( x) 的单调递减区间为:[

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 , ] ;单调递增区 3 3

间为: (??,

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 )、( ,??) . 3 3
2

(II)由条件有: 3 x ? 2mx ? 1 ?| x | ?
2 ①当 x ? 0 时,3x ? (2m ? 1) x ?

7 . 4

3 3 ? 0, ? 2m ? 1 在 x ? 0 时恒成立. 因为 即 3x ? 4 4x

3x ?

1 3 3 ? 2 3x ? ? 3 ,当 x ? 时等号成立.所以 3 ? 2m ? 1 ,即 m ? 1 . 2 4x 4x

2 ②当 x ? 0 时, 3 | x | ? (2m ? 1) | x | ?

3 3 ? 0 ,即 3 | x | ? ? 1 ? 2m 在 x ? 0 时恒 4 4| x|

成立,因为 3 | x | ? 即 m ? ?1 .

1 3 3 ? 2 3| x |? ? 3 ,当 x ? ? 时等号成立.所以 3 ? 1 ? 2m , 2 4| x| 4| x|

③当 x ? 0 时, m ? R . 综上所述,实数 m 的取值范围是 [?1, 1] . 16、 (I)当 n ? 1 时,有 (1 ? b)a1 ? ?ba1 ? 4 ,故 a1 ? 4 . 当 n ? 2 时,

(1 ? b)S n ? ?ban ? 4 n


(1 ? b)S n?1 ? ?ban?1 ? 4n?1 .
于是

(1 ? b)an ? ?b(an ? an?1 ) ? 3 ? 4n?1 ,
即 an ? ban?1 ? 3 ? 4 n?1 ① 若 b ? 4 ,则

a n a n ?1 3 a a 3 ? n ?1 ? ,于是 n ? 1 ? (n ? 1) . 从而 an ? (3n ? 1) ? 4n?1 n n 4 4 4 4 4 4

(n ? 2) ,所以, an ? (3n ? 1) ? 4n?1 (n ? 1) .
② 若 b ? 4 ,则

an ?
于是

3 3 ? 4 n ? b(a n ?1 ? ? 4 n ?1 ) b?4 b?4 3 3 ? 4 n ? (a1 ? ? 4 n )b n ?1 b?4 b?4 12 3 )b n ?1 ? ? 4 n (n ? 2) b?4 b?4 12 3 )b n ?1 ? ? 4 n (n ? 1) b?4 b?4

an ?
从而

a n ? (4 ?
所以,

a n ? (4 ?

?(3n ? 1) ? 4 n ?1 ? 综上所述, a n ? ? 12 n ?1 3 (4 ? )b ? ? 4n ? b?4 b?4 ?
(II)若 b ? 4 时, c n ? 当 b ? 4 时, c n ?

(b ? 4) (b ? 4)

3n ? 1 ,显然不满足条件,故 b ? 4 . 4

4(b ? 1) b n 3 ?( ) ? . b(b ? 4) 4 b?4

若 b ? 4 时,

4(b ? 1) ? 0 ,故当 n ? ?? 时, cn ? ?? ,不符合条件,舍去. b(b ? 4)

①若 0 ? b ? 1 时,

3 4(b ? 1) ? ? 0, 故从而 cn 为单调递减数列, 且 cn ? 0 . 所 ? 0, b?4 b(b ? 4)

以,只须 c1 ?

a1 ? 1 ? 2 即可,显然成立.故 0 ? b ? 1 符合条件; 4

②若 b ? 1 时, cn ? 1 ,显然也满足条件.故 b ? 1 符合条件; ③若 1 ? b ? 4 时,

3 4(b ? 1) ? 0 , 从 而 cn 为 单 调 递 增 数 列 , 因 为 ?0,? b?4 b(b ? 4)
n??

故 cn ? 0 , 要使 | cn |? 2 成立, 只须 lim c n ? ? c1 ? 1 ? 0 .

3 5 ? 2 即可. 于是 1 ? b ? . 故 b?4 2

1? b ?

5 符合条件. 2
5 2

综上所述,所求的实数 b 的范围是 (0, ] .


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