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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.5.3 定积分的概念]


选修 2-2

第一章

1.5

1.5.3

一、选择题 1.已知?b f(x)dx=6,则?b6f(x)dx 等于(

?a

?a

) B.6(b-a) D.不确定

A.6 C.36 [答案] C
<

br />[解析] ?b6f(x)dx=6?b f(x)dx=36.故应选 C. ? ?
a a

?x2 ?x≥0?, ? 2.设 f(x)=? x 则?1-1f(x)dx 的值是( ? ? ?x<0?, ?2

)

A.? x2dx
-1

?

1

B.? 2xdx
-1 0 -1

?

1

C.? x2dx+?12xdx
-1

?

0

?0

D.? 2xdx+?1x2dx

?

?0

[答案] D [解析] 由定积分性质(3)求 f(x)在区间[-1,1]上的定积分, 可以通过求 f(x)在区间[-1,0] 与[0,1]上的定积分来实现,显然 D 正确,故应选 D. 3.若?bf(x)dx=1,?bg(x)dx=-3,则?b[2f(x)+g(x)]dx=(

?a

?a

?a

)

A.2 C.-1 [答案] C

B.-3 D.4

[解析] ?b[2f(x)+g(x)]dx=2?bf(x)dx+?bg(x)dx=2×1-3=-1. ? ? ?
a a a

4.由函数 y=-x 的图象,直线 x=1、x=0、y=0 所围成的图形的面积可表示为( A.?1(-x)dx

)

?0

B.?1|-x|dx

?0

C.?0-1xdx

?

D.-?1xdx

?0

[答案] B [解析] 围成图形如图,由定积分的几何意义可知,所求图形面积 S=-?1(-x)dx=?1

?0

?0

|-x|dx,故选 B.

5.∫2π 0 cosxdx=( A.0 C.-π [答案] A

) B.π D.2π

[解析] 作出[0,2π]上 y=cosx 的图象如图,由 y=cosx 图象的对称性和定积分的几何意 义知,阴影部分在 x 轴上方和下方部分的面积相等,积分值符号相反,故∫2π 0 cosxdx=0.

6.下列命题不正确的是(

)
a a

A.若 f(x)是连续的奇函数,则? ?- f(x)dx=0 B.若 f(x)是连续的偶函数,则? ?- f(x)dx=2?af(x)dx
a a

?0

C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则?bf(x)dx>0

?a

D.若 f(x)在[a,b)上连续且?bf(x)dx>0,则 f(x)在[a,b)上恒正

?a

[答案] D [解析] 本题考查定积分的几何意义,对 A:因为 f(x)是奇函数,所以图象关于原点对 称,所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相等,故积分是 0,所以 A 正确.对 B:因为 f(x) 是偶函数, 所以图象关于 y 轴对称, 故图象都在 x 轴下方(或上方)且面积相等, 故 B 正确. C 显然正确.D 选项中 f(x)也可以小于 0,但必须有大于 0 的部分,且 f(x)>0 的曲线围成的面 积比 f(x)<0 的曲线围成的面积大. 二、填空题 π 7.由 y=sinx、x=0、x= 、y=0 所围成的图形的面积可以写成________. 2

[答案]

sinxdx

[解析] 由定积分的几何意义可得.

8.?6(2x-4)dx=________.

?0

[答案] 12 [解析]

如图 A(0,-4),B(6,8),M(2,0), 1 S△AOM= ×2×4=4, 2 1 S△MBC= ×4×8=16, 2 ∴?6(2x-4)dx=16-4=12.

?0

9.设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似 计算积分?1f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1, x2, …, xN 和 y1, y2, …,

?0

yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点 数 N1,那么由随机模拟方法可得积分?1f(x)dx 的近似值为________.

?0

[答案]

N1 N

[分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识,难度不大,但综合性较强,很好的 考查了学生对积分等知识的理解和应用,题目比较新颖.
1 [解析] 因为 0≤f(x)≤1 且由积分的定义知: ? f(x)dx 是由直线 x=0,

?0

x=1 及曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的面积.又产生的随机数对在如图所示 的正方形内,正方形面积为 1,且满足 yi≤f(xi)的有 N1 个点,即在函数 f(x) 的图象上及图象下方有 N1 个点,所以用几何概型的概率公式得:f(x)在 x N1 N1 N1 =0 到 x=1 上与 x 轴围成的面积为 ×1= ,即?1f(x)dx= . N N N ?
0

三、解答题 10.利用定积分的几何意义,解释下列等式. π (1)?12xdx=1;(2)?1-1 1-x2dx= . 2 ? ?
0

[解析] (1)?12xdx 表示由直线 y=2x,直线 x=0、x=1、y=0 所围成的图形的面积,

?0

1 如图所示,阴影部分为直角三角形,所以 S△= ×1×2=1,故?12xdx=1. 2 ?
0

(2) ?

1

?-1

1-x2dx 表示由曲线 y= 1-x2,直线 x=-1、x=1、y=0 所围成的图形面积

π (而 y= 1-x2表示圆 x2+y2=1 在 x 轴上方的半圆),如图所示阴影部分,所以 S 半圆= , 2 故?
1

?-1

π 1-x2dx= . 2

一、选择题 11.设 f(x)是[a,b]上的连续函数,则?bf(x)dx-?bf(t)dt 的值(

?a

?a

)

A.小于零 C.大于零 [答案] B

B.等于零 D.不能确定

[解析] ?bf(x)dx 和?bf(t)dt 都表示曲线 y=f(x)与 x=a,x=b 及 y=0 围成的曲边梯形面 ? ?
a a

积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为 0. 12.定积分?1xdx 与?1 xdx 的大小关系是(

?0

?0

)

A.?1xdx=?1 xdx

?0

?0

B.?1xdx>?1 xdx

?0

?0

C.?1xdx<?1 xdx

?0

?0

D.无法确定

[答案] C [解析] 在同一坐标系中画出 y= x与 y=x 的图象如图,由图可见,当 x∈[0,1]时,y

= x的图象在 y=x 的图象上方,由定积分的几何意义知,?1xdx<?1 xdx.

?0

?0

13.(2014· 太原模拟)已知 t>0,若?1(2x-2)dx=8,则 t=(

?0

)

A.1 C.-2 或 4 [答案] D

B.-2 D.4

[解析] 作出函数 f(x)=2x-2 的图象与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,-2), 易求得 S△OAB=1,

∵?t (2t-2)dx=8,且?1(2t-2)dx=-1,∴t>1,

?0

?0

1 1 ∴S△AEF= |AE||EF|= ×(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,∴t=4,故选 D. 2 2 14.下列等式不成立的是( )

A.?b[mf(x)+ng(x)]dx=m?bf(x)dx+n?bg(x)dx

?a

?a

?a

B.?b[f(x)+1]dx=?bf(x)dx+b-a

?a ?a

?a

b C.?bf(x)g(x)dx=?bf(x)dx· ? g(x)dx

?a

?a

D.?2π sinxdx=?0-2πsinxdx+∫2π 0 sinxdx

?-2π

?

[答案] C [解析] 利用定积分的性质进行判断,选项 C 不成立.

1 1 1 例如?1xdx= ,?1x2dx= ,?1x3dx= . 2 3 4 ? ? ?
0 0 0

但? x dx≠? xdx· ? x dx.故选 C.

?0

1 3

?0

1

?0

1 2

二、填空题 15.已知 f(x)是一次函数,其图象过点(3,4)且?1f(x)dx=1,则 f(x)的解析式为_______.

?0

6 2 [答案] f(x)= x+ 5 5 [解析] 设 f(x)=ax+b(a≠0), ∵f(x)图象过(3,4)点,∴3a+b=4. 1 又?1f(x)dx=?1(ax+b)dx=a?1xdx+?1bdx= a+b=1. 2 ? ? ? ?
0 0 0 0

3a+b=4, ? ?a=5, ? 解方程组?1 得? 2 a+b=1, ? ?2 ?b=5. 6 2 ∴f(x)= x+ . 5 5 16.比较大小:? exdx________? xdx.
-2 -2

6

?

0

?

0

[答案] > [解析]

? exdx- 0-2xdx=? (ex-x)dx, ?-2 ? -2 ? ?

0

0

令 f(x)=ex-x(-2≤x≤0),则 f ′(x)=ex-1≤0, ∴f(x)在[-2,0]上为减函数, 又 f(0)=1>0,∴f(x)>0,由定积分的几何意义又知? f(x)dx>0,则由定积分的性质知,
-2

?

0

-2e dx>? -2xdx. ? ? ?
0 0

x

17.利用定积分的几何意义,计算:?2 4-x2dx=________.

?1

[答案]

2π 3 - 3 2

[解析] 由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积.

π 易知 AB= 3,∠AOB= , 3 1 1 2π 3 ∴S= ×4π- ×1× 3= - . 6 2 3 2 三、解答题 x x∈[-2,2?, ? ? 18.已知函数 f(x)=?2x x∈[2,π?, ? ?cosx x∈[π,2π]. [解析] 由定积分的几何意义知
3 ? ?-2x dx=0, 2 3

求 f(x)在区间[-2,2π]上的积分.

2xdx= ? ?2

π

?π-2??2π+4? 2 =π -4, 2

∫2π π cosxdx=0,由定积分的性质得 f(x)dx=? -2x dx+? 2xdx+∫π cosxdx=π -4. ? ? ?2 ?-2
2 2π 3 π 2π 2


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