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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第44讲 排序不等式


第四讲 排序不等式与琴生不等式 本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用. 排序不等式(又称排序定理) :给定两组实数 a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn.如 果 a1≤a2≤……≤an;b1≤b2≤……≤bn.那么 a1bn+a2bn-1+……+anb1(反序和)≤a1 bi1 +a2 bi +……+an bi (乱序和)≤a1b1+

a2b2+……+anbn(同序和) ,
2 n

其中 i1,i2,……,in 是 1,2,……,n 的一个排列. 该不等式所表达的意义是和式

?a b
j ?1

n

j ij

在同序和反序时分别取得最大值和最小值. 1 (a b n 1 n

切比雪夫不等式:设有两个有序数组 a1≤a2≤……≤an;b1≤b2≤……≤bn.则 +a2bn - 1 +……+anb1)≤

a1+a2+……+an b1+b2+……+bn 1 · ≤ n (a1b1 +a2b2 +……+ n n

anbn), 其中等号仅当 a1=a2=……=an 或 b1=b2=……=bn 时取得. 琴生不等式又称凸函数不等式,它建立在凸函数的基础上. 定义 设连续函数 f(x)的定义域是[a,b] (开区间(a,b)或(-∞,+∞)上均可),如果对于 x1+x2 1 区间[a, b]内的任意两点 x1, 2 有 f( 2 x )≤2 [f(x1)+f(x2)], 则称 f(x)为[a, b]上的下凸函数. 如 图(1)

Q
M P x2 (1 ) 定理一.若 f(x)是下凸函数,则对其定义域中的任意几个点 x1 ,x2 ,……,xn ,恒有 x1 x1+x2+……+xn 1 f( )≤n [f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]. n 定义 设连续函数 f(x)的定义域是[a,b](开区间(a,b)或(-∞,+∞)上均可),如果对于 x1+x2 1 区间[a, b]内的任意两点 x1, 2 有 f( 2 x )≥2 [f(x1)+f(x2)], 则称 f(x)为[a, b]上的下凸函数. 如 图(2)

x2 (2 Q ), 则 对 其 定 义 域 中 的 任 意 n 个 点 x , x , . . .x, 恒 有 定 理 二 : 若 f (x) 是 上 凸 函 数 1 2 n

x1

P M

f(

x1 ? x2 ? ... ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn )] ,容易验证 f ( x) ? tan x, log 1 x 分别 n n 2

是 (0,

?
2

), (0,??) 上的下凸函数。 f ( x) ? sin x, lg x 分别是 [0, ? ], (0,??) 上的上凸函数。定理

一和定理二所表达的不等关系,统称为琴生不等式。 幂平均: 设 a1 , a 2 ,..., a n 是任意 n 个正数, 我们称 (

a1 ? a 2 ? ... ? a n 1 ) r (r ? 0) 为这一组数的 r 次 n
r r r

幂平均, 记为 M r a1 , a 2 ,..., a n )简记作 M r (a) 。 ( , 由定义容易得到 M 1 (a) ? 可以证明 lim M r ( a ) ?
r ?0 n

a1 ? a 2 ? ... ? a n , n

a1 ? a 2 ? ... ? a n 。

幂平均不等式:设 a1 , a 2 ,..., a n 是任意 n 个正数。如果 ? ? ? ,那么一定有 M ? (a ) ? M ? (a ) , 等 号 只 有 当

n
2

个 数 全 相 等 时 才 能 成 立 。 例 如 n?3 时 ,
2 2

a1 ? a 2 ? a3 ? 3

a1 ? a 2 ? a3 3

?3

a1 ? a 2 ? a3 ,显然 M r (a) 是 r 的递增函数。 3
3 3 3

我们将在本节的附录里对排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分别给出证明。由 于幂平均不等式数学背景深,难度大,这里不再证明,有兴趣的读者可以参阅史济怀先生著 《平均》 。 A 类例题 例 1 求证 tan 66 ? tan 46 ? tan 25 ? 3
? ? ?

证法一: tan 66 ? tan 46 ? tan 25 ? (tan 65 ? tan 25 ) ? tan 46 ?
? ? ? ? ? ?

2 tan 65 ?. tan 25? ? tan 45? ? 3
证 法 二 : f ( x) ? tan x 在 (0,

?
2

) 上 是 下 凸 函 数 。 据 琴 生 不 等 式
, 因 此

tan 66 ? ? tan 46 ? ? tan 25 ? 66 ? ? 46 ? ? 25 ? 137 ? ? tan ? tan ? tan 45 ? 3 3 3
tan 66 ? ? tan 46 ? ? tan 25 ? ? 3

说明:如原题改为求证 tan 66 ? tan 44 ? tan 25 ? 3 ,则证法二仍可,证法一则不灵。
? ? ?

例 2 ?ABC 中求 sin A ? sin B ? sin C 的最大值。 解:考察函数 f ( x) ? sin x , x ? [0, ? ] ,对任意 x1 , x2 ? [0, ? ] , [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]

1 2

? f(

x1 ? x2 x ? x2 x ? x2 x ? x2 x ? x2 1 ) ? (sin x1 ? sin x2 ) ? sin 1 ? sin 1 cos 1 ? sin 1 2 2 2 2 2 2

? sin

x1 ? x2 x ? x2 x ? x2 1 (cos 1 ? 1) ? 0 ,所以 f ( 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 。因此 f (x) 是上 2 2 2 2

凸函数。据琴生不等式

sin A ? sin B ? sin C A? B ?C ? sin ? sin A ? sin B ? sin C 3 3

?

3 3 3 3 ? ,当且仅当 A ? B ? C ? 60 时取得最大值 。 2 2
链 接 : 用 琴 生 不 等 式 可 以 轻 而 易 举 得 得 到 一 系 列 三 角 不 等 式 , 例 如 ?ABC 中

sin A. sin B. sin C ?

3 3 A B C 3 3 A B C 3 , cos ? cos ? cos ? , sin ? sin ? sin ? 。 8 2 2 2 2 2 2 2 2
a b ?1

例 3 若 a ? 2b ? 12 ,求 2 ? 2
x

的最小值。

解:由于 y ? 2 是下凸函数(读者自行证明) 。据琴生不等式

2 a ? 2b ? 2b ?2 3

a ?b ?b 3

,即

2 a ? 2.2b ? 3.2 4 ,也就是 2 a ? 2 b?1 ? 48 ,当且仅当 a ? b ? 4 时达到最小值。
说明:运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。 情景再现 1. ?ABC 中,求 sin A ? sin B ? sin C 的最大值。 2. f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 a ? 0 ,证明 f (x) 是下凸的;若 a ? 0 ,证明 f (x) 是上凸的。
2

3. 用 函 数 f ( x) ? lg x 的 凸 函 数 性 质 证 明 平 均 值 不 等 式 : 对 ai ? 0 ( i ? 1,2,..., n ) 有

a1 ? a 2 ? ... ? a n n ? a1 a 2 ...a n n
B 类例题
2 2 2 例 4 设 x, y, z 都是正数,且 x ? y ? z ? 8 ,试证 x ? y ? z ? 16

3

3

3

2 3
, 因 此 有

证 明 : 据 幂 平 均 不 等 式

3

x3 ? y3 ? z3 ? 3

x2 ? y2 ? z2 3

8 2 x 3 ? y 3 ? z 3 ? ( ) 3 .9 ,也就是 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 16 。 3 3
例 5 1)若不等 式

a ? b ? m4 a 2 ? b 2 对所有正实数 a, b 都成立,则 m 的最小值是
(第十三届希望杯.高二)
3 3 3 2 2 2

____________。

2)设 a, b, c 都是正数,试证 3(a ? b ? c ) ? (a ? b ? c)( a ? b ? c )

. 3 ) 设 a1 , a 2 , . a n .?, R

?

, 且 a1 ? a 2 ? . .? .a n ? 1 , 试 证 当 m ? 1 时 有

(a1 ?

1 m 1 1 1 ) ? (a 2 ? ) m ? ... ? (a n ? ) m ? n(n ? ) m a1 a2 an n
1 2 1 2 1 4

a ?b 2 a2 ? b2 2 a? b 1)解:据幂平均不等式 ( ) ?( ) ? ? 2 2 2
a? b
4 3
3

a2 ? b2
4

,因此

2

a2 ? b2

? 2 4 ,故 m 的最小值是 2 4 。

2)证明: 3

a3 ? b3 ? c3 a ? b ? c ? 3 3

(1) ,又 3

a3 ? b3 ? c3 ? 3

a2 ? b2 ? c2 因此 3

得 (3

a3 ? b3 ? c3 2 a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 3 3

( 2 ),

( 1 ) 与 ( 2 ) 相 乘 得

a3 ? b3 ? c3 a ? b ? c a 2 ? b 2 ? c 2 3 3 3 ,也就是 3(a ? b ? c ) ? ? . 3 3 3
(a ? b ? c).( a 2 ? b 2 ? c 2 ) 。仿此,一般地设 a1 , a 2 ,..., a n ; ? , ? 都是正数,且 r ? ? ? ? ,则


a1 ? a 2 ? ... ? a n a ? a 2 ? ... ? a n a1 ? a 2 ? ... ? a n ? ? 1 . 。 n n n
r r r

?

?

?

?

?

(a1 ?
3)证明:由幂平均不等式 [

1 m 1 1 ) ? (a 2 ? ) m ? ... ? (a n ? ) m 1 a1 a2 an ]m ? n

a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? a2 ? ? ... ? a n ? 1? ( ? ? ... ? ) a1 a2 an a1 a 2 an ? n n







便



1 1 1 1? ? ? ... ? a1 a 2 an m 1 1 1 (a1 ? ) m ? (a 2 ? ) m ? ... ? (a n ? ) m ? n( ) a1 a2 an n

( 1 ), 由 于

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1 ,由柯西不等式(或平均值不等式)易知 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ).

(

1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ) ? n 2 ,于是得 ? ? ... ? ? n2 a1 a 2 an a1 a 2 an

(2) ,由不等式(1) (2)得

(a1 ?

1 m 1 1 1 ) ? (a 2 ? ) m ? ... ? (a n ? ) m ? n(n ? ) m 。 a1 a2 an n

我们注意到许多不等式就是该不等式的特例。例如,设 a, b 都是正数,且 a ? b ? 1 ,那 么 (a ?

1 2 1 25 。 设 a, b, c 都 是 正 数 , 且 a ? b ? c ? 1 , 那 么 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2 1 1 1 100 。 (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? (c ? ) 2 ? a b c 3
22 ? 3 13 ? ,证明 2 4

例 6 已知非负实数 x, y, z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ?

x? y?z ?

3 。 2

(2003-2003 匈牙利数学奥林匹克)
2 2

分析:我们想起这样的一道题。已知 x, y 为非负实数, x ? y ? 1 ,求 x ? y 的最大值 和最小值。这道题的几何意义是点 p( x, y) 在单位圆的一段弧上,求点 p 纵、横坐标之和的最 值。对比我们做过的题和要做的题,发现其本质是一样的,只不过问题由平民推到了空间, 过去的圆变成了现在的球因而解法完全类似。 证明:由已知,配方可得 ( x ? ) ? ( y ? 1) ? ( z ? ) ?
2 2 2

1 2

3 2

27 (这表明点 p( x, y, z ) 在以 4

3 3 1 3 的 球 面 上 ), 据 幂 平 均 不 等 式 (? ,?1,? ) 为 球 心 , 半 径 为 2 2 2

x?

1 3 ? y ?1? z ? 2 2? 3

1 3 ( x ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? ) 2 2 2 ? x ? y ? z ? 3 ? 3. 27 ? 1 ? 3 4 3

? x ?1 ? 3 1 x ? y ? z ? ,当且仅当 ? y ? 时取等号。 2 2 ? ?z ? 0
2 2

[来源:Zxxk.Com]

又 x, y, z 为非负实数,所以 ( x ? y ? z ) ? x ? y ? z , 3( x ? y ? z ) ? x ? 2 y ? 3z ,相加
2 2

得 ( x ? y ? z ) ? 3( x ? y ? z ) ?
2

13 解此不等式得 ? 4( x ? y ? z ) 2 ? 12( x ? y ? z ) ? 13 ? 0 , 4

x? y?z ?

? x? y?0 22 ? 3 ? , 当 且 仅 当 ? 22 ? 3 时 等 号 成 立 。 综 上 便 有 2 ?z ? 2 ?

22 ? 3 3 ? x? y?z ? 。 2 2
例 7 设 0 ? a ? b ? c ? d ? e ,且 a ? b ? c ? d ? e ? 1 ,求证 ad ? dc ? cb ? be ? ea ?

1 5

(1994 年国家数学集训队 9 人测验试题)

证明:因为 a ? b ? c ? d ? e ,所以 d ? e ? c ? e ? b ? d ? a ? c ? a ? b ,利用切比雪

1 (a ? b ? c ? d ? e) 5 2 2 [( d ? e) ? (c ? e) ? (b ? d ) ? (a ? c) ? (a ? b)] ? ,也即 2(ad ? dc ? cb ? be ? ea) ? 。 5 5 1 因此 ad ? dc ? cb ? be ? ea ? 。 5
夫不等式,有 a(d ? e) ? b(c ? e) ? c(b ? d ) ? d (a ? c) ? e(a ? b) ? 说明: 排序不等式与切比雪夫不等式有共同之处,它们都有已经排序的两组实数

a1 , a 2 ,..., a n ;b1 , b2 ,..., bn 都涉及到反序和及同 序和。不同的是在排序不等式中没有每组数的
算术平均,而在切比雪夫不等式中却有

a1 ? a 2 ? ... ? a n b1 ? b2 ? ... ? bn , 。正因为有共性, n n

因此它们是相通的,又由于有差异,作为数学工具,它们又有不同的功能和作用。在使用时, 我们必须把握住问题的结构特点,选择最佳的切入点和突破口。 例 8 设 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,其周长为 1,求证:

1 1 1 ? ? ? A B C

3(

分析:由问题的对称性,不妨设 a ? b ? c ,三角形中大边对大角,于是有 A ? B ? C 1 1 1 。这样既不改变问题的实质,又增加了已知条件: ? ? ? (这种形式是题目所需要的) C B A 1 1 1 两组有序实数 a ? b ? c ,及 ? ? 。这就为应用排序原理创设了很好的情境。 C B A 1 1 1 证法一:用排序原理。不妨设 a ? b ? c ,于是有 A ? B ? C ? ? ? 。由排序不 C B A 1 1 1 1 a c a c 等 式 a. ? c. ? a. ? c. (同序和大于或等于反序和) ,也就是 ? ? ? ,同理 C A A C C A A C b c b c a b a b a ? b a ? c b ? c 2a 2b 2c ,不等 ? ? ? , ? ? ? ,相加得 ? ? ? ? ? C B B C B A A B C B A A B C a b c 1 1 1 a b c 式两边同加 ? ? ,并注意到 a ? b ? c ? 1 ,就得 ? ? ? 3( ? ? ) A B C A B C A B C 1 1 1 a b c b ? c ? 2a a ? c ? 2b a ? b ? 2c 证法二:比较法 ( ? ? ) ? 3( ? ? ) ? ? ? A B C A B C A B C (b ? a) ? (c ? a) (a ? b) ? (c ? b) (a ? c) ? (b ? c) b?a a ?b c?a a?c ? ? ? ?( ? )?( ? ) A B C A B A C c ?b b?c (a ? b)( A ? B) (a ? c)( A ? C ) (b ? c)( B ? C ) , 因 此 ?( ? )? ? ? ?0 B C AB AC BC 1 1 1 a b c ? ? ? 3( ? ? ) 。 A B C A B C 说明:利用排序原理证明其他不等式时,必须制造出两个合适的有序数组。 情景再现 4. 1)设 a, b, c 都是正数,试证 a ? b ? c ? abc(a ? b ? c )
5 5 5 2 2 2

a b c ? ? )。 A B C

2)设 a, b, c, d 都是正数,试证 a ? b ? c ? d ? 4(a ? b ? c ? d )
3 3 3 3 6 6 6 6

5. 已知 a1 , a 2 ,..., a n 是正数,求证 (a1 ?

1 2 1 1 ) ? (a 2 ? ) 2 ? ... ? (a n ? ) 2 ? a1 a2 an

(

a1 ? a2 ? ... ? an n ? )2 n a1 ? a2 ? ... ? an

6. 假设 b1 , b2 ,..., bn 是正数 a1 , a 2 ,..., a n 的某一排列,证明
2 2

?b
i ?1

n

ai
i

?n
2

7. 设 a, b, c 是三角形的三边长,求证 a (b ? c ? a) ? b (c ? a ? b) ? c (a ? b ? c) ? 3abc 8. 设 x ? 0 ,求证: 1 ? x ? x ? x ? ... ? x
2 3 2n

? (2n ? 1) x n

例 9 设 a1 , a 2 ,..., a n 为两两不等的正整数,求证:对任何正整数 n ,下列不等式成立:
n ak 1 ?? ? k 2 k ?1 k k ?1 n

(第 20 届 IMO 试题)

证法一:用排序原理。对于任意给定的正整数 n ,将 a1 , a 2 ,..., a n 按从小到大顺序排列为

a1 ? a 2 ? ... ? a n 。 因 为
' ' '

1 1 1 1 1 ? ? ... ? 2 ? 2 ? 2 , 据 排 序 原 理 得 2 2 n (n ? 1) 3 2 1
'

n n a 1 1 1 1 1 ' 1 ' 1 a1 2 ? a 2 2 ? ... ? a n 2 ? a1 2 ? a 2 2 ? ... ? a n 2 , 即 ? a k 2 ? ? k2 。 又 因 为 k 1 2 n 1 2 n k ?1 k ?1 k

'

a1 , a 2 ,..., a n 为 两 两 不 等 的 正 整 数 , 所 以 a k ? k ( k ? 1,2,...n ), 于 是
' ' ' '

n n n n ak a k 1 1 ? ? 2 ? ? ,故 ? k ? ? 。 ? k 2 k ?1 k k ?1 k 2 k ?1 k ?1 k k ?1 k

n

'

证法二: 用平均值不等式。 据平均值不等式的变形形式

a2 1 1 ? 2a ? b , a ? ,b ? 取 , ak b k

a 有 k ? k2

1 ( )2 2 1 k ? ? ,这样 便有 1 2 k ak ( ) ak

n ak 1 n 1 ? 2? ? ? ? k 2 k ?1 k k ?1 a , 而 k ?1 k

n

n 1 1 ?? ,故 ? a k ?1 k k ?1 k

n

n n ak 1 n 1 1 ? 2? ? ? ? ? 。 ? k 2 k ?1 k k ?1 k k ?1 k k ?1

n

证法三:用柯西不等式。据柯西不等式有 (

n ak 1 2 ) ? [? ?k k k ?1 k ?1 n

1 ak

]2 ?

(?

n n n n ak a 1 1 1 ).( ? ) ? (? k ).( ? ) ,两边约去正因式 ? 即得。 2 2 k ?1 k k ?1 a k k ?1 k k ?1 k k ?1 k

n

说明:这题证法很多,除了上述的证法之外还可用比较法、放缩法、增量法、构造法、 数学归纳法来证得,读者不妨一试。 例 10 W.Janous 猜测:设 x, y, z ? 0 ,则

y2 ? x2 z2 ? y2 x2 ? z2 ? ? ?0 z?x x? y y?z
2 2 2

证法一:用排序原理。考察两组实数 x , y , z 及 y ? z, x ? z, x ? y ,由对称性,不妨设

x ? y ? z ,由此则得 x 2 ? y 2 ? z 2 , x ? y ? x ? z ? y ? z ?

1 1 1 ,由排 ? ? y?z x?z x? y

序原理 x

2

1 1 1 1 1 1 (顺序和不小于乱序 ? y2 ? z2 ? x2 ? z2 ? y2 y?z x?z x? y z?x y?z x? y
y2 ? x2 z2 ? y2 x2 ? z2 ? ? ?0 z?x x? y y?z

和) ,移项后得

1 ? ? x ? 2 (u ? v ? w) ?z ? x ? u ? 1 ? ? 证法二:代换法。令 ? x ? y ? v ,则得 ? y ? (v ? w ? u ) ,代入后原不等式化为证明 2 ?y ? z ? w ? 1 ? ? z ? (u ? w ? v) ? 2 ?
vw wu vw wu vw wu uv vw wu ? ?2 . ,由于 ,即 ? ? ? (u ? v ? w) ? 0 (*) ? ? 2w , u v u v u v w u v
同理可证

wu uv vw uv vw wu uv ? ? 2u , ? ? 2v ,三不等式相加便得 ? ? ? (u ? v ? w) 。 v w u w u v w

链 接 : 由 证 法 一 很 容 易 将 W.Janous 猜 测 推 广 : 设 xi ? 0 ( i ? 1,2,..., n ) 记 ,

x ? x2 x ? xn x ? x1 ? 3 ? ... ? 1 ?0 S ? x1 ? x 2 ? ... ? x n ,则 2 S ? x2 S ? x3 S ? x1
2 2 2 2 2 2

情景再现

a3 b3 c3 ? ? ? a?b?c 9. 设 a, b, c 为正数,求证 bc ac ab
10. 已知 a, b, c 都是正数,求证

1 1 1 a 8 ? b8 ? c8 ? ? ? a b c a 3b 3 c 3

习题四 A类 1. 设 a1 , a 2 ,..., a n 都是正数( n ? 2 ) ,且
n
n

?a
i ?1

i

? 1 ,求证 ?
i ?1

1 n 1 ? ? 1 ? a i n i ?1 1 ? a i ai

2. n 是给定的正整数( n ? 3 ) ,求单位圆的内接 n 边形面积的最大值。 3. 设 xi ? [0,

?

2

], i ? 1,2,3,4,5 , 满 足 sin 2 x1 ? sin 2 x 2 ? ... ? sin 2 x5 ? 1 , 证 明

2(sin x1 ? sin x2 ? ... ? sin x5 ) ? cos x1 ? cos x2 ? ... ? c ox5s
4. 设 x1 , x 2 ,..., x n 是正数, p 是正整数,证明

1 p p p ( x1 ? x 2 ? ... ? x n ) n

1 ? [ ( x1 ? x2 ? ... ? xn )] p n
B类 5. 记 ?ABC 的三边长为 a, b, c ; p ?

1 (a ? b ? c) ,求证 p ? 2

p?a ?

p?b ?

pc

? 3p
6. 已知 ?1 , ? 2 ,..., ? n 都非负且 ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n ? ? , si 求 n 值。
2

?1 ? si 2 ? 2 ? . ? si 2 ? n 的最大 n n

, 7. 设 x1 ? x2 ? ... ? xn ,y1 ? y 2 ? ... ? y n , z1 , z 2 . 又

z n 是 y1 , y 2 ,..., y n 的一个排列, 求证:

? (x
i ?1

n

i

? y i ) 2 ? ? ( xi ? z i ) 2
i ?1
2

n

(第 17 届 IMO 试题)

8. 设 a, b, c 是三角形的边长,求证: a b(a ? b) ? b c(b ? c) ? c a(c ? a) ? 0
2 2

(第 24 届 IMO 试题) C类 9. 设 x1 , x 2 ,..., x n 与 a1 , a 2 ,..., a n 是任意两组实数,它们满足条件: (1) x1 ? x 2 ? ... ? x n ? 0 ( 2 ) | x1 | ? | x 2 | ?...? | xn |? 1 ( 3 ) a1 ? a 2 ? ... ? an ( n ? 2 ) 为 了 使 不 等 式 ,

| a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? an xn |? A(a1 ? an ) 成立,那么数 A 的最小值 是多少?
(1988 年理科试验班复试试题) 10. 平面上给定 n 个不同的点, 试证: 一定可以画一个圆, 使圆内恰有 k 个点, 而其余 n ? k 个 点都在所画的 圆外面。 附录 1. 排 序 不 等 式 : 给 定 两 组 实 数 a1 , a 2 ,..., a n ; b1 , b2 ,..., bn , 如 果 a1 ? a 2 ? . . .? an ;

b1 ? b2 ? ... ? bn ,那么 a1bn ? a 2 bn ?1 ? ... ? a n b1(反序和)? a1bi1 ? a 2 bi2 ? ... ? a n bin (乱序

和) ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn (同序和) ,其中 i1 , i2 ,..., in 是 1,2,..., n 的一个排列。 证明:对于任意 k , h ? {1,2,..., n} , (a1b1 ? a k bn ) ? (a1bn ? a k b1 ) ? (a1 ? a k )(b1 ? bn )

? 0 ,由此得 a1b1 ? a k b ? a1bn ? a k b1 。所以,我们可将 a1bi1 ? a 2 bi2 ? ... ? a n bin 中的第一项
的 因 数 bi1 与 b1 对 调 , 和 不 会 减 少 , 同 样 可 将 第 二 项 调 为 a 2 b2 … , 依 次 类 推 即 得

a1bi1 ? a 2 bi2 ? ... ? a n bin ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ,同样可以证明 a1bn ? a 2 bn ?1 ? ... ? a n b1 ? a1bi1 ? a 2 bi2 ? ... ? a n bin 。排序不等式的证明反映了调整的思想,通过调整产生变化并逐渐
接近结论同排序不等式可以证明好些其他的重要不等式,例如切比雪夫不等式、平均不等式、 柯西不等式。 2. 切 比 雪 夫 不 等 式 : 设 有 两 个 有 序 数 组 a1 ? a 2 ? ... ? an ; b1 ? b2 ? ... ? bn , 则

a ? a 2 ? ... ? a n b1 ? b2 ? ... ? bn 1 (a1bn ? a 2 bn?1 ? ... ? a n b1 ) ? 1 . ? n n n

1 (a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ) n
证 明 : 由 排 序 原 理 有 a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ,

a1b1 ? a2 b2 ? ... ? an bn ? a1b2 ? a2 b3 ? ... ? an b1 , a1b1 ? a2 b2 ? ... ? an bn

? a1bn ? a2b1 ? ... ? anbn?1 ,相加 n? ai bi ? (? ai )( ? bi ) ,即
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

? ai
i ?1

n

?b
.
i ?1

n

i

n

n

?

1 n ? ai bi ,同 n i ?1

1 n 样可证 ? ai bn ?1?i ? n i ?1

? ai
i ?1

n

?b
.
i ?1

n

i

n

n

3. 琴生不等式:若 f (x) 是上凸函数,则对其定义域中的任意 n 个点 x1 , x 2 ,...,x n ,恒有

f(

x1 ? x2 ? ... ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn )] n n
证明:用数学归纳法。 n ? 1时,不等式显然成立。 n ? 2 时,由上凸函数的定义不等式

f(

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 成 立 。 假 设 n ? 2 k 时 命 题 正 确 , 即 2 2
x1 ? x2 ? ... ? x2k 2
k

f(

)?

1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ... ? f ( x 2k )] 2k





n ? 2 k ?1





f(

x1 ? x2 ? ... ? x2k ?1 2 k ?1

1 x1 ? x2 ? ... ? x 2k x2k ?1 ? x2k ? 2 ? ... ? x2k ?1 ) ? f[ ( ? )] 2 2k 2k

x1 ? x2 ? ... ? x2k x k ? x2k ? 2 ? ... ? x 2k ?1 1 1 1 ? [f( ) ? f ( 2 ?1 )] ? [ k ( f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ... ? k k 2 2 2 2 2

f ( x2k )) ?

1 1 ( f ( x2k ?1 ) ? f ( x2k ? 2 ) ? ... ? f ( x2k ?1 ))] ? k ?1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... k 2 2

? f ( x2k ) ? f ( x2k ?1 ) ? ... ? f ( x2k ?1 )] 。 这 就 是 说 当 n ? 2 k ?1 时 , 不 等 式 也 成 立 。 因 此 当

n ? 2,4,8,16,..., 2 k 时不等式总成立。
接下来我们再证明当 n ? k 时( n ? 2 )如果不等式成立,那么当 n ? k ? 1 时不等式也一 定成立。 设 f(

x1 ? x2 ? ... ? xk x ? x 2 ?... ? x k ?1 1 令 代 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xk )] , x k ? 1 k ?1 k k

x1 ? x2 ? ... ? x k ?1 ?
入得 f (

x1 ? x 2 ? ... ? xk ?1 1 k ?1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ... ? f ( xk ?1 ) ? k k
[来源:学.科.网]

f(

x1 ? x2 ? ... ? xk ?1 x ? x2 ? ... ? xk ?1 1 )] ,也就是 f ( 1 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) k ?1 k ?1 k x1 ? x2 ? ... ? xk ?1 )] ,整理便得 k ?1

? ... ? f ( xk ?1 ) ? f (

f(

x1 ? x2 ? ... ? xk ?1 1 )? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xk ?1 )] ,这就是说当 n ? k ? 1 时不等 k ?1 k ?1
k k ?1

式也一定成立。当 n ? 2,4,8,16,..., 2 ,2

,... 时不等式成立(大踏步前进) ,然后又证明了 k 时

成立,必导致 k ? 1 时成立(将前面空档回填) ,因此对任意正整数不等式都成立。 本节情景再现解答 1.

x1 , x2 ? (0, ? ) , 由 幂 平 均 不 等 式

sin x1 ? sin x 2 2

?

sin x1 ? sin x 2 , 而 2

s i x1 ? s i x 2 n n ? 2
s x1 i s n x 2 i ? 2 ?

x ? x2 x1 ? x 2 2 s i n1 c o s x ? x2 2 2 ? s i n1 2 2
sn x1 ? s i 2 x2 i n
。 此式说明函数 f ( x) ?









n

sin x 在 (0, ? ) 上是上凸函数。

A? B?C ? 3. 据琴生不等式 sin A ? sin B ? sin C ? 3 sin 3
2. 设 x1 , x 2 为任意实数, a ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f (

? 3 ,最大值为 3 4 .2 2 2

5

1

x1 ? x2 a ) ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 ,因此 2 2

f(

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,故 f (x) 为下凸函数。 a ? 0 时同理可证为上凸函数。 2 2

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

3. 容易知道 f ( x) ? lg x 为正实数集上的上凸函数, a1 , a 2 ,..., a n 为任意正实数。据琴生不等



lg

a1 ? a2 ? ... ? a n 1 ? (lg a1 ? lg a 2 ? ... ? lg a n ) n n













a1 ? a 2 ? ... ? a n n ? a1 a 2 ...a n ,当 a1 ? a2 ? ... ? an 时取等号。 n
4. 1) 参考例 5 中 2) 有 , 代入即得所证。 2)与 1)证法相同

a5 ? b5 ? c5 a3 ? b3 ? c3 a 2 ? b 2 ? c 2 3 3 3 , a ? b ? c ? 3abc , 又 ? 3 3 3

(a1 ?
5. 据幂平均不等式 [

1 2 1 1 ) ? (a 2 ? ) 2 ? ... ? (a n ? ) 2 1 a1 a2 an ]2 ? n

a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? a2 ? ? ... ? a n ? ? ? ... ? a1 a2 a n a1 ? a 2 ? ... ? a n a1 a 2 an ? ? n n n





1 1 1 ? ? ... ? a1 a 2 an n ? ,因此 n a1 ? a 2 ? ... ? a n

(a1 ? [

1 2 1 1 ) ? (a 2 ? ) 2 ? ... ? (a n ? ) 2 1 a ? a 2 ? ... ? a n a1 a2 an n ? ]2 ? 1 ,两边 n a1 ? a 2 ? ... ? a n n

平方后即得。 6. 不 妨 设 a1 ? a 2 ? ... ? a n ? 0 , 则

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? , 注 意 到 , ,..., 是 a n a n ?1 a 2 a1 b1 b2 bn

1 1 1 1 1 1 , ,..., ? ... ? an 的一个排列,故由排序原理 n ? a1 ? a2 (反序和) ? a1 a 2 an a1 a2 an

a1

a a a 1 1 1 (乱序和) ,即 1 ? 2 ? ... ? n ? n ? a2 ? ... ? a n b1 b2 bn b1 b2 bn

7. 不 妨 设 a ? b ? c , 由 排 序 原 理 先 得 a(b ? c ? a) ? b(c ? a ? b) ? c(a ? b ? c) , 再 得

a 2 (b ? c ? a) ? b 2 (c ? a ? b) ? c 2 (a ? b ? c) ? ab(c ? a ? b) ? bc(a ? b ? c) ? ca(b ? c ? a)
a 2 (b ? c ? a) ? b 2 (c ? a ? b) ? c 2 (a ? b ? c) ? ab(b ? c ? a) ? bc(c ? a ? b) ? ca(a ? b ? c)
以上两不等式相加便得。 8. 序 列 1, x, x ,..., 与 1, x, x ,..., x 有 相 同 的 次 序 ; 与 x , x x
2 n 2 n n n ?1

,...,x,1 有 相 反 次 序 , 而

x, x 2 ,..., x n ,1 是 1, x, x 2 ,..., x n 的一个排序。所以

12 ? x 2 ? x 4 ? ... ? x 2n ? 1.x n ? xx n?1 ? ... ? x n?1 x ? x n .1 ,即
1 ? x 2 ? x 4 ? ... ? x 2 n ? (n ? 1) x n (1) 。同样

1.x ? x.x 2 ? ... ? x n?1 .x ? x n .1 ? 1.x n ? xx n?1 ? ... ? x n .1 ,即
x ? x3 ? ... ? x 2 n?1 ? x n ? (n ? 1) x n (2)(1)+(2)便得所证 。本题用平均不等式也可证 ,
得。 9. 不妨设 a ? b ? c ,则

1 1 1 a b c b c 2 a , ,a ? ? ? ? ? b2 ? c2 ? bc ac ab bc ac ab bc ac ab a b c ab bc ac ac ab bc b2 ? c2 ? a2 ? ? ? ? ? ? ? a?b?c bc ac ab c a b c a b
a 8 ? b8 ? c8 1 1 1 ,故 ? ? bc ac ab a 3b 3 c 3

10. 三次用到排序原理。不妨设 a ? b ? c ? 0 ,则

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? b5 3 3 ? c5 3 3 ? a 5 3 3 ? b5 3 3 ? c5 3 3 ? a 2 3 ? b 2 3 ? c 2 3 bc c a ab c a ab bc c a b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? a2 3 ? b2 3 ? c2 3 ? ? b2 3 ? c2 3 ? ? ? a a b c a c b b c ? a5
3 3

习题四解答 1. 设 a1 ? a 2 ? ... ? an ,由此可得 (1 ? a1 )
? 1 2

? (1 ? a2 )
n

?

1 2

? ... ? (1 ? an )

?

1 2

,由切比雪夫不等



1 1 ? ai 1 ? a ? n i ?1 i

n

? ai
i ?1

n

?
.
i ?1

n

1 1 ? ai n
,也就是

n

?
i ?1

ai 1 ? ai

?

1 n 1 ? 1? a n i ?1 i

2. 如图,容易证明当圆内接 n 边形的所有顶点都在某一条直径的同侧时, n 边形面积不可能 取得最大值。设 n 边形顶点 A1 , A2 ,..., An 不在任何一条直径的同侧。令 ?A1OA2 ? ?1 ,

?A2 OA3 ? ? 2 ,..., ?An OA1 ? ? n , 0 ? ? i ? ? ( i ? 1,2,3,..., n ) 。
A3

[来源:学科网]

A2

O An A1

S n边形 ?
等式

1 (sin ? 1 ? sin ? 2 ? ... ? sin ? n ) ,由 f ( x) ? sin x 在 (0, ? ) 上是上凸函数,据琴生不 2

sin ?1 ? sin ? 2 ? ... ? sin ? n ? ? ? 2 ? ... ? ? n n 2? 2? , S n边形 ? sin ,当 ? sin 1 ? sin n n n 2 n

且仅当正 n 边形时取得最大值。 3. 由已知 1 ? sin x1 ? sin x2 ? sin x3 ? sin x4 ? sin x5 ,即
2 2 2 2 2

cos x1 ? sin 2 x 2 ? sin 2 x3 ? sin 2 x 4 ? sin 2 x5

, 再 据 幂 平 均 不 等 式 得

s 2 xn ? s 2 x3 ? s 2 xn ? s 2 x5 ? i 2 i n i 4 i n

s ix2 n s ix3 n s ix4 n s ix5 n ? ? ? ,于是有 cos x1 2

?

sin x 2 ? sin x3 ? sin x 4 ? sin x5 , 同理可得关于 cos x 2 , cos x3 , cos x 4 , cos x5 的同类不等式, 2

五个不等式相加,即得所证。

x1 ? x 2 4. 由于 p ? 1 ,由幂平均不等式 2
p p

p

?

x1 ? x 2 x ? x2 p 1 p p ,得 ( x1 ? x 2 ) ? ( 1 ) ,该式 2 2 2

表明 f ( x) ? x 在 (0,??) 上是下凸函数。因此有
p

(

x1 ? x2 ? ... ? x n p 1 p p p ) ? ( x1 ? x 2 ? ... ? x n ) n n
x 是 [0,??) 上的上凸函数,从而有 p ? a ?

5. 注意到 f ( x) ?

p ?b ?

p?c

?3

p?a? p?b? p?c ? 3p , 另外一个不等式两边平方后, 成为一个显然成立的式子。 3
2

6. f ( x) ? sin x ( x ? (0, ? ] )是上凸函数,据琴生不等式

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? ... ? sin 2 ? n n

[来

源:Z。xx。k.Com]

? sin 2

?1 ? ? 2 ? ... ? ? n
n

, 因此有 sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? ... ? sin 2 ? n ? n.(sin

?
n

对正整数 n 再 )2 ,

求 n.(sin

?

? 9 ) 2 的最大值。当 n ? 1,2,3,4 时, n.(sin ) 2 的值分别为 0,2, ,2。当 n ? 4 时 4 n n
?
n ) 2 ? n.

由不等式 sin x ? x 可知 n.(sin

?2
n
2

?

?2
n

?

?2
5

?

9 。 综上所求的最大值当 n ? 3 时应 4



? ? 9 ? ?? ? ? 2 ? ? 3 ? 。此时 ? 1 3 。当 n ? 2 时最大值应是 2,此时 ?1 ? ? 2 ? 4 2 ? ? 4 ? ? 5 ? ... ? 0 ?
由 排 序 原 理 , 得

7.

?x y ? ?x z
i ?1 i i i ?1 i n 2

n

n

i

, 即 ?

? 2x y
i ?1 i n 2

n

i

? ?? 2 xi z i , 但
i ?1 2

n

? ( xi ? yi ) ? ? ( xi ? zi ) ,所以 ? ( xi ? 2 xi yi ? yi ) ? ? ( xi ? 2 xi zi ? zi ) ,也就
2 2 2 2 2 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n



? ( xi ? y i ) 2 ? ? ( xi ? z i ) 2
i ?1 i ?1

n

n

1 1 1 由对称性不妨设 a ? b ? c , , , ; a b c 1 1 1 由 此 则 得 a ?b?c ? a ?c ?b ? b ?c ?a , , 由 比 较 法 不 难 证 得 ? ? c b a
8. 考察三组数 a, b, c ;b ? c ? a, c ? a ? b, a ? b ? c ; 及

a(b ? c ? a) ? b(c ? a ? b) ? c(a ? b ? c) 。由排序原理,

1 1 1 a(b ? c ? a) ? b(c ? a ? b) ? c(a ? b ? c) a b c 1 1 1 ? a(b ? c ? a) ? b(c ? a ? b) ? c(a ? b ? c) ,也就是 abc(a ? b ? c) ? a 2 b(b ? c ? a) c a b
? b 2 c(c ? a ? b) ? c 2 a(a ? b ? c) ,移项即得 a 2 b(a ? b) ? b 2 c(b ? c) ? c 2 a(c ? a) ? 0 ,对

a, b, c 的其他排序同理可证。
9. 为方便起见,将集合 X ? {x1 , x 2 ,..., x n } 划 分为两个子集: A ? {? 1 , ? 2 ,..., ? s } ,这里

? i ? X , i ? 1,2,..., s 且 ?1 ? ? 2 ? ... ? ? s ? 0 。B ? {?1 , ? 2 ,..., ? t } ,这里 ? i ? X , i ? 1,2,..., t
且 0 ? ?1 ? ? 2 ? ... ? ? t 。 容 易 推 得

?? i ?
i ?1

s

1 , 2

??
i ?1

t

i

??

1 , 现 在 考 察 2

{a1 x1 , a 2 x 2 ,..., a n x n } ,由排序原理得 ? ai xi ? a1? 1 ? a 2? 2 ? ... ? a s? s ?
i ?1

n

as ?1?1 ? as ? 2 ? 2 ? ... ? an ?t , 注 意 到 a1 ? ai , ? i ? 0 , 则 a1? i ? ai? i , (i ? 1,2,..., s) 。 又 a s ?i ? a n 及? i ? 0 ,有 a s ?i ? i ? an ? i (i ? 1,2,..., t ) 。 ? ai xi ? ? ai? i ? ? a s ?t ? i ?
i ?1 i ?1 i ?1 n s t

a1 ? ? i ? a n ? ? i ?
i ?1 i ?1

s

t

1 ,又由排序原理 (a1 ? a n ) (1) 2

?a x
i ?1 i

n

i

? a1 ? t ? a 2 ? t ?1 ? ... ? at ?1 ? at ?1? s ? at ? 2? s ?1 ? ... ? a n? 1 ? a1 ( ? t ? ? t ?1 ? ... ? ?1 )

1 1 ,由(1) (2)得 ? (a1 ? a n ) ? ? a n (? s ? ? s ?1 ? ... ? ?1 ) ? ? (a1 ? a n ) (2) 2 2 ?
n 1 1 1 (a1 ? an ) ,即 | ? ai xi | ? | a1 ? an | ,因此 A 的最小值为 2 2 2 i ?1

?a x
i ?1 i

n

i

10. 设 这 n 个 点 为 p1 , p 2 ,..., p n , 作 它 们 两 两 连 结 线 段 p i p j 的 垂 直 平 分 线

lij (i ? j, i, j ? 1,2,..., n) ,在平面上取不在 l ij 上的一点 o ,则 o 到 p i 的距离两两不等,不失一
般性,可设 op1 ? op2 ? ... ? opn 1)要使圆内没有点,只要以 o 为圆心,取半径 r ? op1 画圆即可。 2)要使圆外没有点(点全在圆内或圆上) ,只要以 o 为圆心,取半径 r ? opn 画圆即可。 3)要使圆内恰好有 k 个点( 1 ? k ? n )且其他点都在圆外,只要以 o 为圆心,取半径

opk ? r ? opk ?1 画圆即可。
本题虽没有直接援用排序不等式,但证题的关键是排序。

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