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2013届高三数学强化训练3个及5个附加题 江苏适用


2013 届高三数学强化练 1 姓名 2 1、当 a=________时,函数 f(x)=x -2ax+a 的定义域为[-1,1],值域为[-2,2].
2 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b ? c ? 2 b ? 4 c ? 5 且 a ? b ? c ? b c , 则△ABC 的面积为
2 2 2 2 2

r />3 已知 ? A B C 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3 O A ? 4 O B ? 5 O C ? 0 ,则 O C ? A B 的值为 4 已知函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ? 2 f ( 3 ) ,y ? f (x ? 1 ) 的图象关于点
(1, 0 ) 对称,则 f ( 2 0 1 3 ) ?
x a
2 2

??? ?

??? ?

????

?

???? ??? ?

5 已知 O 为坐标原点,双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲
???? ???? ????

线的渐近线于异于原点的两点 A.B,若 ( A O ? A F ) ? O F ? 0 ,则双 曲线的离心率 e 为 6、已知函数 f ? x ? ?
3 s in ? x ?c o s ? x ? c o s ? x ?
2

1 2

??

? 0 ? ,其最小正周期为

?
2

.

(I)求 f ? x ? 的表达式; (II)将函数 f ? x ? 的图象向右平移
?
8

个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2

倍(纵坐标不变),得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 ,在区间
? ? ? 0, 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? 2 ? ? ?

7 已知等差数列 ? a n ? 的首项 a 1 ? 3 , 公 差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且 a 1 , a 4 , a 1 3 分别是等比数 列 ? b n ? 的第 2 项,第 3 项,第 4 项. (I)求数列 ? a n ? 与 ? b n ? 的通项公式; (II)证明
1 3 ? 1 S1 ? 1 S2 ? ??? ? 1 Sn ? 3 4 .

8 设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左右顶点分别为 A ( ? 2 , 0 ), B ( 2 , 0 ) ,离心率 e ?

3 2



过该椭圆上任一点 P 作 P Q ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 Q P 的延长线上,且 | Q P | ? | P C | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 A C ( C 点不同于 A , B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 R B 的中点,试 判断直线 C D 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

9 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放 射性污染指数 f ( x ) 与时刻 x(时)的关系为 f ? x ? ?
1
x x ?1
2

? a ? 2a ?

2 3

, x ? ?0, 24 ? ,

其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [ 0 , ] ,若用每天 f ( x ) 的最大值为当天的综合放射性污
2

染指数,并记作 M ( a ) . (1)令 t ?
x x ?1
2

, x ? ? 0 , 2 4 ? ,求 t 的取值范围;

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污 染指数是否超标?

2013 届高三数学强化 练 2

姓名
3

1 函 数 y=f(x),x∈D, 若 存 在 常 数 C, 对 任 意 的 xl∈D, 仔 在 唯 一 的 x2∈D, 使 得 已知 f(x)=x ,x∈[1,2],则函 f ( x1 ) f ( x 2 ) ? C ,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数 为 C. 数 f(x)=x 在[1,2]上的几何平均数为 2 已知 O 为锐角△ ABC 的外心, AB ? 6 , AC ? 10 若 AO = x AB + y AC ,且 2 x ? 10 y ? 5 , 则 cos ? BAC 的值是________ 3 若曲线 f ? x ? ? a c o s x 与曲线 g ? x ? ? x 2 ? b x ? 1 在交点 ? 0 , m ? 处有公切线,则 a ? b ? 4 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线在第一 象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分 别为 e1 , e 2 ,则 e1 e 2 +1 的取值范围是 5 已知 a ? ( s i n ? , c o s ? ) 、 b ? ( 3 , 1) (1)若 a // b ,求 ta n ? 的值; (2)若 f (? ) ? a ? b , ? A B C 的三个内角 A , B , C 对应的三条边分别为 a 、 b 、 c ,且
a ? f (0 ) ,b ? f (?
? ?
? ?
3

?

?

?
6

) ,c ? f (

?
3

??? ???? ? ) ,求 A B ? A C 。

6 某销售商销售某品牌手机,该品牌手机进价为每部 1580 元,零售价为每部 1880 元.为促 进销售,拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法,且赠送礼物的价值不超过 180 元.统 计表明:在促销期间,礼物价值每增加 15 元(礼物的价值都是 15 元的整数倍,如礼物价值 为 30 元,可视为两次增加 15 元,其余类推) ,销售量都增加 11%. (1)当赠送礼物的价值为 30 元时,销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍? (2)试问赠送礼物的价值为多少元时,商家可获得最大利润?

7 在正三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中,点 D 是 B C 的中点,
B C ? B B1 .
A

(1)求证: A1 C ∥平面 A B 1 D ; (2)试在棱 C C 1 上找一点 M ,使 M B ? A B 1 .

A1

B

D

C

B1

C1

8 已知 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C : 是直线 l :
x a ? y b

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, M 、 N 分别

? m ( m 是大于零的常数)与 x 轴、 y 轴的交点,线段 M N 的中点 P

在椭圆 C 上. (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)试探究直线 l 与椭圆 C 是否还存在异于点 P 的其它公共点?请说明理由; (Ⅲ)当 a ? 2 时,试求 ? PF 1 F 2 面积的最大值,并求 ? PF 1 F 2 面积取得最大值时椭圆 C 的方程.

高三数学附加题训练(2013 .5)1 姓名
?1 ? ?0 ? ?1 ? ?2?

1 若矩阵 A 有特征值 ?1 ? 3 , ?2 ? ?1 ,它们所对应的特征向量分别为 e1 ? ? ? 和 e2 ? ? ? , 求矩阵 A .

(2)若直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ?
d

?
4

) ? 3 2 ,曲线 C : ? ? 1 上的点到直线的距离为

,(1)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程

(2) 求 d 的最大值

3 已知斜率为 1 的直线与抛物线 y 2

? 2x

交于不同两点 A, B ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.

4 在如图所示的几何体中, ? A B C 是边长为 2 的正三角形, A E ? 1, A E ? 平面 ABC,平面
B C D ? 平面 ABC,BD=CD,且 B D ? C D .

(I)若 AE=2,求证:AC∥平面 BDE; (II)若二面角 A—DE—B 为 60°,求 AE 的长.

高三数学附加题训练(2013 .5)2 姓名 1 已知矩阵 M = ? C'. (1)求实数 a,b 的值; (2)求曲线 C' 的方程.

?1

? 对应的变换将点 A(1,1)变为 A' (0,2),将曲线 C:xy=1 变为曲线 ?b 1?

a?

2 平面直角坐标系

? ?x ? ? ? xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ? y ? ? ? ?

2 2 2 2

? r cos ? , (? ? r sin ?

为参数, r

? 0)

,以 O 为极

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? 的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值.

sin( ? ?

?
4

) ? 1,

若圆 C 上

3 已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形∠BCD=60°, AB=PB=PD=2,PC= 3 ,AC 与 BD 交于 O 点,H 为 OC 的中点。 (1)求证 PH 平面 ABCD; (2)求侧面 PAB 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值。

4 甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下: ①连续竞猜 3 次,每次相互独立; ② 每次 竟猜时 ,先 由甲 写出 一个 数字 ,记为 a,再由 乙猜 甲写的 数字 ,记为 b,已知
a , b ? ? 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ?5 , ,若 a ? b ? 1 ,则本次竞猜成功;

③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖 (I )求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏,这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎 记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望

高三数学附加题训练(2013 .5)3 姓名

1

?3 A?? ?c 已知矩阵

3? ?1? ?1 ? ? ? ? d? ?1? ,属于特征值 ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为

?2 ? ?

1 的一个特征向量为

? 3 ? ? ?? 2? .求矩阵 A 的逆矩阵.

2 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐标方 程为 ? 2 cos 2 ?
? 3? sin ? ? 3 ,直线
2 2

l 的参数方程为 ?

? x ? ? 3t , ? ?y ?1? t ?

(t 为参数,t∈R).试在曲线 C

上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大.

3 中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动 力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要 进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如该项新技术 的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
3 4



2 3



1 2

。指标甲、乙、丙合格分别记

为 4 分、2 分、4 分;若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结果互不影响. (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数 学期望.

4 已知函数

f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数.

(1)求实数 a 的取值范围; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1) ,an ?1 ? ln(2 ? an ) ? an ,n ? N* ,证明 0 ? an ? an ?1 ? 1 .

高三数学附加题训练(2013 .5)4 姓名 1 已知矩阵 A ? ? ?
1 ?3 ?2 ? ? ?7 ?

. (1)求逆矩阵 A?1 ; (2)若矩阵 X 满足 AX

? 3? ?? ? ?1 ?

,试求

矩阵 X.

2已知圆C的极坐标 方程是 ?

? 4 cos ?

,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x
? ?x ? ? ? ? y ? ? ? 2 2 2 2 t t? m

轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 若直线 l 与圆C相切,求实数m的值.

的参数方程是

(t是参数) 。

3 若 ?1 ? 2 x ? ( 1)求

2013

? a 0 ? a 1 x ? ... ? a 2013 x

2013

(x ? R) ,
a1 2 ? a2 2
2

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2013 ,

? ... ?

a 2013 2
2013

?

的值

(2) 求值

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? 2013a2013

4 已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x , y ? 0 , 且 x ? y ? 6 ) ,乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x , y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E ( ? ) .

高三数学附加题训练(2013 .5)5 姓名 1 已知 a , b ? R , 若矩阵 M 求 a和b值 并求 M ?1
? ?1 ?? ?b a? ? 所对应的变换把直线 l 3?

: x ? y ? 3 变换为 l’: 4x-y+3=0, 2

2 在极坐标系中,已知直线 l: 2 ? c o s ? + ? s in ? (1) 若直线与圆无公共点,求 a 的取值范围 (2) 若直线被圆 C 截得的弦长为 2 ,求 a 的值.

+ a ? 0(a ? 0)

圆 C: ?

? 4 s in ?

3)已知四棱锥 P—ABCD 中, P A ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为菱形, ? A B C ? 6 0 ,
0

AB=PA=2,E、F 分别为 BC.PD 的中点。 (Ⅰ)求证:AE 与平面 AFC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求平面 AFC 与平面 PCA 所成锐二面角的余弦值。

4.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,对称轴为 y 轴,点 A(m,2)在抛物线上,A 点到抛物 线焦点的距离为
17 8



(Ⅰ)求抛物线 C 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若过点 M ( ? 1, ) 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,P 点坐标为(1,2) ,
2 5

求证: PA , PB 为定值。

2013 届高三数学强化练 4
1. 函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ) ( A ? 0 ,? ? 0 ,0 ≤ ? R 上的部分图象如图所示,则 f ( 2 0 1 3 ) 的值为
2

姓名
? 2?)

在 .

y 5

2. 已知函数

? a x ? 2 x ? 1,x ≥ 0 , ? f (x) ? ? 是偶函数, 直线 y ? t 2 ? x ? b x ? c, x ? 0 ?

与函数 y ? f ( x ) 的图象自左向右依次交于四个不同点 A , . B , C , D .若 A B ? B C ,则实数 t 的值为 x 3. 过点 P ( ? 1,0 ) 作曲线 C :y ? e 的切线, 切点为 T1 , T1 设 在 x 轴上的投影是点 H 1 ,过点 H 1 再作曲线 C 的切线,切 点为 T 2 ,设 T 2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,…,依次下去,得 到第 n ? 1 ( n ? N ) 个切点 T n ? 1 .则点 T n ? 1 的坐标为
uuu uuu r r 若 AD ? BC ? 15 uuu uuu r r ,则 A C ? B D

?

1

O

5

11 x

(第 1 题)


? 2

4 在平面四边形 ABCD 中, E, 分别是边 AD, 的中点, AB ? 1 ,E F 点 F BC 且 的值为 5 在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T
? s in
2

, ? CD
2 2 2

3

. .

s in C b ? a ?c ? 2 2 2 2 s in A ? s in C c ? a ? b

A ? s in B ? s in C
2 2

,求 T 的取值范围.

6 时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假 设某网校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系式
y ? m x?2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出
2

套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) ,试 确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)

7 已知函数 f ( x ) ? 1 n x ?

1 2

ax ? 2 x
2

(1)若函数 f ( x ) 在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?
1 2 1 2

时,关于 x 的方程 f ( x ) ? ?

x ? b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,

求实数 b 的取值范围。

8

已知 F1,F2 分别为椭圆 C 1 :
C2 : x
2

x a

2
2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的上下焦点,

其 F1 是 抛 物 线
3 5

? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二 象限的交点,且|MF2|=



(1)试求椭圆 C1 的方程; (2)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? k ( x ? t )( t ? 0 )
2 2

交椭圆于 A,B 两点,若椭圆上一点 P 满足 O A ? O B ? ? O P ,求实数 ? 的取值范围。

??? ?

??? ?

??? ?


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