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2013届高三数学强化训练3个及5个附加题 江苏适用


2013 届高三数学强化练 1 姓名 2 1、当 a=________时,函数 f(x)=x -2ax+a 的定义域为[-1,1],值域为[-2,2]. 2 2 2 2 2 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b ? c ? 2b ? 4c ? 5 且 a ? b ? c ? bc ,
则△ABC 的面积为

??? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? 3 已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为 4 已知函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x ) ? 2 f (3),y ? f ( 的图象关于点 x? 1)

(1, 0) 对称,则 f (2013) ?

x2 y 2 5 已知 O 为坐标原点,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲 a b ??? ? ??? ? ??? ? 线的渐近线于异于原点的两点 A.B,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双 曲线的离心率 e 为 1 ? cos ? x ? cos 2 ? x ? ?? ? 0 ? ,其最小正周期为 . 6、已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x? 2 2 (I)求 f ? x ? 的表达式;

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 8 倍 ( 纵坐标不变 ), 得到函数 y ? g ? x ? 的图象 , 若关于 x 的方程 g ? x? ? k ? 0 , 在区间
(II)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 0, ? ? 2? ?

7 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 3, 公差d ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,且 a1 , a4 , a13 分别是等比数 列 ?bn ? 的第 2 项,第 3 项,第 4 项. (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)证明

1 1 1 1 3 ? ? ? ??? ? ? . 3 S1 S2 Sn 4

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ,离心率 e ? . 2 a b 2 过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | .
8 设椭圆 (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试 判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

9 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放 射性污染指数 f ( x ) 与时刻 x(时)的关系为 f ? x ? ?

x 2 ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? , x ?1 3
2

其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [0, ] ,若用每天 f ( x ) 的最大值为当天的综合放射性污 染指数,并记作 M (a) . (1)令 t ?

1 2

x , x ??0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污 染指数是否超标?

2013 届高三数学强化 练 2

姓名

1 函 数 y=f(x),x∈D, 若 存 在 常 数 C, 对 任 意 的 xl∈D, 仔 在 唯 一 的 x2∈D, 使 得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数 为 C.已知 f(x)=x3,x∈[1,2],则函
数 f(x)=x 在[1,2]上的几何平均数为 2 已知 O 为锐角△ ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 若 AO = x AB + y AC ,且 2 x ? 10y ? 5 , 则 cos ?BAC 的值是________ 3 若曲线 f ? x ? ? a cos x 与曲线 g ? x ? ? x2 ? bx ? 1在交点 ? 0, m? 处有公切线,则 a ? b ? 4 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线在第一 象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分 别为 e1 , e2 ,则 e1e2 +1 的取值范围是 5 已知 a ? (sin ? ,cos? ) 、 b ? ( 3,1) (1)若 a // b ,求 tan ? 的值; ( 2 )若 f (? ) ? a ? b , ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的三条边分别为 a 、 b 、 c ,且
3

?

?

? ?

? ?

??? ? ??? ? ? ? a ? f (0) , b ? f (? ) , c ? f ( ) ,求 AB ? AC 。 6 3

6 某销售商销售某品牌手机,该品牌手机进价为每部 1580 元,零售价为每部 1880 元.为促 进销售,拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法,且赠送礼物的价值不超过 180 元.统 计表明:在促销期间,礼物价值每增加 15 元(礼物的价值都是 15 元的整数倍,如礼物价值 为 30 元,可视为两次增加 15 元,其余类推) ,销售量都增加 11%. (1)当赠送礼物的价值为 30 元时,销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍? (2)试问赠送礼物的价值为多少元时,商家可获得最大利润?

7 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点,

BC ? BB1 .
(1)求证: AC 1 ∥平面 AB 1D ; (2)试在棱 CC1 上找一点 M ,使 MB ? AB1 .
A1

A

B

D

C

B1

C1

8 已知 F 1 、 F2 分别是椭圆 C : 是直线 l :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, M 、 N 分别 a 2 b2

x y ? ? m ( m 是大于零的常数)与 x 轴、 y 轴的交点,线段 MN 的中点 P a b

在椭圆 C 上. (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)试探究直线 l 与椭圆 C 是否还存在异于点 P 的其它公共点?请说明理由; (Ⅲ)当 a ? 2 时,试求 ?PF 1 F2 面积的最大值,并求 ?PF 1 F2 面积取得最大值时椭圆 C 的方程.

高三数学附加题训练(2013 .5)1 姓名

1 若矩阵 A 有特征值 ?1 ? 3 , ?2 ? ?1 ,它们所对应的特征向量分别为 e1 ? ? ? 和 e2 ? ? ? , 求矩阵 A .

?1 ? ?0 ?

?1 ? ?2?

(2)若直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ?

? ) ? 3 2 ,曲线 C : ? ? 1 上的点到直线的距离为 4
(2) 求 d 的最大值

d ,(1)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程

3 已知斜率为 1 的直线与抛物线 y 2 ? 2 x 交于不同两点 A, B ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.

4 在如图所示的几何体中 , ?ABC 是边长为 2 的正三角形 , AE ? 1, AE ? 平面 ABC, 平面

BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD.
(I)若 AE=2,求证:AC∥平面 BDE; (II)若二面角 A—DE—B 为 60°,求 AE 的长.

高三数学附加题训练(2013 .5)2 姓名 1 已知矩阵 M = ? C'. (1)求实数 a,b 的值; (2)求曲线 C' 的方程.

?1

? 对应的变换将点 A(1,1)变为 A' (0,2),将曲线 C:xy=1 变为曲线 ?b 1?

a?

? ?x ? ? ? 2 平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ? y?? ? ?

2 ? r cos ? , 2 (? 为参数, r ? 0) ,以 O 为极 2 ? r sin? 2

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值.

?
4

) ? 1, 若圆 C 上

3 已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形∠BCD=60°, AB=PB=PD=2,PC= 3 ,AC 与 BD 交于 O 点,H 为 OC 的中点。 (1)求证 PH 平面 ABCD; (2)求侧面 PAB 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值。

4 甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下: ①连续竞猜 3 次,每次相互独立; ② 每次 竟猜时 , 先 由甲 写出 一个 数字 , 记为 a, 再由 乙猜 甲写的 数字 , 记为 b, 已知 ,若 a ? b ? 1 ,则本次竞猜成功; a, b ??0,1, 2, 3, 4, ?5 ③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖 (I )求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏,这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎 记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望

高三数学附加题训练(2013 .5)3 姓名

?3 3 ? ?1? A?? ?1 ? ? ? ? ?c d ? ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ?1? ,属于特征值 1 已知矩阵 ?3? ?2 ? ? ? ?? 2? .求矩阵 A 的逆矩阵. 1 的一个特征向量为

2 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐标方

? ? x ? ? 3t , 程为 ? 2 cos 2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,t∈R).试在曲线 C ? ?y ?1? t
上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大.

3 中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动 力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要 进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如该项新技术 的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为

3 2 1 、 、 。指标甲、乙、丙合格分别记 4 3 2

为 4 分、2 分、4 分;若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结果互不影响. (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数 学期望.

4 已知函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1) ,an ?1 ? ln(2 ? an ) ? an ,n ? N* ,证明 0 ? an ? an ?1 ? 1 .

高三数学附加题训练(2013 .5)4 姓名 1 已知矩阵 A ? ? ?
1 ?2 ? . (1)求逆矩阵 A?1 ; ? ?3 ?7 ?

(2)若矩阵 X 满足 AX ? ? ? ,试求 1
? ?

? 3?

矩阵 X.

2已知圆C的极坐标 方程是 ? ? 4cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x

? ?x ? ? ? ?y ? ? 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程是 ?
若直线 l 与圆C相切,求实数m的值.

2 t?m 2 2 t 2 (t是参数) 。

3 若 ?1 ? 2x? ( 1)求

2013

? a0 ? a1 x ? ... ? a2013 x 2013 ( x ? R) , a a1 a 2 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2013 , ? 2 ? ... ? 2013 ? 2 2 2 2013 的值

(2) 求值

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? 2013a2013

4 已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) .

高三数学附加题训练(2013 .5)5 姓名 ? ?1 a ? 1 已知 a , b ? R , 若矩阵 M ? ? 所对应的变换把直线 l : 2 x ? y ? 3 变换为 l’: 4x-y+3=0, ? ? b 3? ?1 求 a 和 b 值 并求 M

2 在极坐标系中,已知直线 l: 2 ? cos? + ? sin ? + a ? 0(a ? 0) 圆 C: ? ? 4sin ? (1) 若直线与圆无公共点,求 a 的取值范围 (2) 若直线被圆 C 截得的弦长为 2 ,求 a 的值.

3)已知四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,
0

AB=PA=2,E、F 分别为 BC.PD 的中点。 (Ⅰ)求证:AE 与平面 AFC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求平面 AFC 与平面 PCA 所成锐二面角的余弦值。

4.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,对称轴为 y 轴,点 A(m,2)在抛物线上,A 点到抛物 线焦点的距离为

17 。 8 5 2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若过点 M ( ?1, ) 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,P 点坐标为(1,2) , 求证: PA , PB 为定值。

2013 届高三数学强化练 4
1. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 ,? ? 0 ,0≤? ? 2?) 在 . R 上的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值为

姓名
y 5

?ax2 ? 2 x ? 1,≥ x 0, ? 2. 已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数, 直线 y ? t ? ? x ? bx ? c,x ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向右依次交于四个不同点 A , . B , C , D .若 AB ? BC ,则实数 t 的值为 x 0) 作曲线 C :y ? e 的切线, 3. 过点 P(?1, 切点为 T1 , 设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作曲线 C 的切线,切 点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,…,依次下去,得 到第 n ? 1 (n ? N) 个切点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为

?1

O

5

11 x

(第 1 题)



4 在平面四边形 ABCD 中, 点 E, F 分别是边 AD, BC 的中点, 且 AB ? 1 ,EF ? 2 , CD ? 3 . uuu r uuu r uuu r uuu r 若 AD ? BC ? 15 ,则 AC ? BD 的值为 2 2 2 sin C 5 在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b 2 2 2 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin A ? sin B ? sin C ,求 T 的取值范围.

6 时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假 设某网校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系式

y?

m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出 x?2

套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) ,试 确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)

7 已知函数 f ( x) ? 1nx ?

1 2 ax ? 2 x 2

(1)若函数 f ( x ) 在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?

1 1 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 2 2

求实数 b 的取值范围。

8

y2 已知 F1,F2 分别为椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上下焦点, b a

x2

其 F1 是 抛 物 线

3 C2 : x2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二 象限的交点,且|MF2|= 。 5
(1)试求椭圆 C1 的方程;
2 2 (2)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? k ( x ? t )(t ? 0)

交椭圆于 A,B 两点,若椭圆上一点 P 满足 OA ? OB ? ?OP ,求实数 ? 的取值范围。

??? ? ??? ?

??? ?



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