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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第8章§8.3


§8.3 空间图形的基本关系及公理

§ 8.3 空 间 图 形 的 基 本 关 系 及 公 理

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理
1.空间图形的基本关系 (1)点和直线的位置有两种:点在直线上 __________和点在直 线外. (2)点和平面的位置有两种:点在平面内和 点在平面外 . ____________ (3)空间两条直线的位置关系有三种:平行直线 _________、 异面直线 . 相交直线和____________

(4) 空 间 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种 : 直线在平面内 __________________ 、 直 线 和 平 面 相 交 、 直线与平面平行 . _______________

(5) 空 间 两 平 面 的 位 置 关 系 有 两 种 :
两平面平行和两平面相交 _____________________________ . 思考感悟 直线吗? 若a α, b β,则a,b就一定是异面 γ, b γ.

提示:不一定,可能存在平面γ,使a

2.空间图形的公理及等角定理
文字语言 如果一条直线 两点 在一 上的_____ 个平面内, 那么 公理 这条直线上 所有的点 都 1 __________ 在这个平面内 (即直线 在平面内 __________) 图形语言 符号语言

若 A∈l,B∈l, A∈α,B∈α,则 __________

文字语言 经过不在同一条 直线上的三点, 公理 有且只有 一个 __________ 2 平面(即可以确定 一个平面) 如果两个不重合 的平面 有一个公共点 ______________ 公理 ,那么它们 3 有且只有 一 ___________ 条通过这个点的 公共直线

图形语言

符号语言 若 A、B、C 三点 不共线,则 A、B、C三点 _______________ 确定 _________ 一个平 面 α 使 A∈α, B∈α,C∈α 若 A∈α,A∈β, 则 α∩β=l,且 _______________ A ∈l ________

文字语言 平行于同一 公理 条直线的两 4 平行 条直线_____ 空间中,如果 两个角的两 等角 条边分别对 定理 应平行,那么 这两个角相 等或互补

图形语言

符号语言 若 a∥b,b∥c, a∥ c 则_____ 若 AO∥A′O′, B′O′ , BC∥________ 则∠AOB= ∠A′O′B′, ∠AOC 和 ∠A′O′B′互 补

3.异面直线所成的角

(1)定义:过空间任意一点 P分别引两条异面直线a,
b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成

锐角或直角 就是异面直线a,b所成的角. 的___________
直角 ,则称这两条 如果两条异面直线所成的角是_______

直线互相垂直. π (0, ] (2)范围:________ 2 .

课前热身 1.(教材习题改编)如图所示,将无盖正方体纸盒 展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是 ( )

A.平行

B.垂直
C.相交成60°

D.异面成60°
答案:D

2.若三个平面两两相交,且三条交线相交于一 点,则这三个平面把空间分成( )部分. A.5 B.6 C.7 D.8 答案:D

3.下列四个命题中,正确命题的个数是( ) ①空间不同三点确定一个平面; ②垂直于同一直线的两直线平行; ③一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另 一条相交; ④两组对边相等的四边形是平行四边形. A.0 B. 1 C.2 D.3 答案:A

4.(2010年西安调研)已知a、b是异面直线,下 列命题: ①存在一个平面α,使a∥α,且b∥α;②存在一 个平面α,使a⊥α且b⊥α;③存在一个平面α, 使a?α,且b与α相交;④存在一个平面α,使a, b到平面α的距离相等. 其中正确命题是________. 答案:①③④

5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AB1与C1B所成的角是________.

解析:将直线 AB1 平移至 C1D,在等边三角形 π C1DB 中得∠DC1B= ,即两异面直线所成的角 3 π 为 . 3
π 答案: 3

考点探究?挑战高考

考点突破 共面问题 证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种 途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定 一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平 面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别 确定几个平面,再证这些平面重合.

如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角 1 1 梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 2 2
例1

FA,G、H 分别是 FA、FD 的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

【思路点拨】

(1)由 G、H 分别为 FA、FD 的

1 中点,得 GH 綊 AD,易得 BC 綊 GH,从而四 2 边形 BCHG 是平行四边形. (2)证明 D 点在 EF、CH 确定的平面内.

【解】

(1)证明:由已知 FG=GA, 1 FH=HD,可得 GH 綊 AD. 2 1 又 BC 綊 AD, 2 ∴GH 綊 BC, ∴四边形 BCHG 为平行四边形.

1 (2)由 BE 綊 AF,G 为 FA 中点知, 2 BE 綊 FG, ∴四边形 BEFG 为平行四边形, ∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH, ∴EF∥CH, ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH, ∴C、D、F、E 四点共面.

【易错警示】

本题易错点是不能把证明 C、D、

F、 E共面转化为 C、 H、 F、 E共面,在分析题

意时,应仔细分析问题中每一句话的含义.

三点共线与三线共点问题 利用两平面交线的惟一性,证明诸点在两平面的 交线上是证明空间诸点共线的常用方法.证明点 共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点 的方法. 证明线共点,基本方法是先确定两条直线的交点, 再证交点在第三条直线上,也可将直线归结为两 平面的交线,交点归结为两平面的公共点,由公 理2证明点在直线上.

如图所示,已知空间四边形 ABCD 中, E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CF CG 2 边 BC,CD 上的点,且 = = , CB CD 3 (1)求证:三条直线 EF,GH,AC 交于一点. AE CF AH CG (2)若在本题中, = =2, = =3, EB FB HD GD 其他条件不变. 求证: EH, FG, BD 三线共点.
例2

【思路点拨】

(1) 先证 E , F, G , H 四点共面,

再证 EF, GH交于一点,然后证明这一点在 AC
上. (2)画出图形,模仿(1)进行证明.

【证明】

(1)∵E,H 分别是 AB,AD 的中点, 1 ∴由中位线定理可知,EH 綊 BD. 2

CF CG 2 又∵ = = , CB CD 3

2 ∴在△CBD 中,FG∥BD,且 FG= BD. 3 ∴由公理 4 知,EH∥FG,且 EH<FG. ∴四边形 EFGH 是梯形,EH、FG 为上、下两 底. ∴两腰 EF、GH 所在直线必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF 平面 ABC, ∴P∈平面 ABC.同理可得 P∈平面 ADC, ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线上. 又∵面 ABC∩面 ADC=AC, ∴P∈直线 AC. 故 EF、GH、AC 三直线交于一点.

AE CF (2)因为 = =2, EB FB

所以 EF∥AC. AH CG 又 = =3, HD GD ∴HG∥AC,

∴EF∥HG,且EF>HG. 所以四边形EFGH为梯形. 设EH与FG交于点P,

则P∈平面ABD,P∈平面BCD,
所以P在两平面的交线BD上,

所以EH、FG、BD三线共点.
【易错警示】 证明线共点时,两条直线相交可能

缺乏理论依据.

变式训练 1 如图所示, O1 是正方体 ABCD -A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心,M是 对角线A1C和截面B1D1A的交点. 求证:O1、M、A三点共线.

证明:∵A1C1∩B1D1=O1. 又B1D1 平面B1D1A,A1C1 平面AA1C1C, ∴O1∈平面B1D1A,O1∈平面AA1C1C. ∵A1C∩平面B1D1A=M,A1C 平面AA1C1C, ∴M∈平面B1D1A,M∈平面AA1C1C. 又A∈平面B1D1A,A∈平面AA1C1C. ∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线 上, 由公理3可知O1、M、A三点共线.

异面直线所成的角 与异面直线相交的问题有异面直线的判定,异面直 线所成的角,异面直线的公垂线及异面直线间的距 离,这其中最重要的是异面直线所成的角.求异面 直线所成的角,一般是通过平行线首先找到它们所 成的角,然后放到三角形中,通过解三角形求之. 对于异面直线所成的角也可利用空间向量来求.

(2010年高考湖南卷改编)如图所示,在长方 体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是 棱CC1的中点.求异面直线A1M和C1D1所成的角的 正切值.
例3

【思路点拨】

【解】 因为 C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1 为异 面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90° . 2 而 A1B1=1,B1M= B1C2 + MC 1 1= 2, B1M 故 tan∠MA1B1= = 2. A1B1 即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2.

【名师点评】

求异面直线所成的角无论是用

几何法还是向量法,都要特别注意异面直线所
成角的范围是(0°,90°].

变式训练2 (2010年高考大纲全国卷Ⅰ)正三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , 若 ∠ BAC = 90° , AB = AC = AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:选C.不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直 角坐标系如图所示,则B(0,-1,0),A1(0,0,1), A(0,0,0), C1(-1,0,1),

→ → ∴BA1=(0,1,1),AC1=(-1,0,1). → → BA1· AC1 1 1 → → ∴ cos〈BA1 , AC1 〉= = = , 2 → → 2 × 2 |BA1||AC1| → → ∴〈BA1,AC1〉=60° . ∴异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60° .

方法感悟 方法技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或 点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平 面内(即“纳入法”).(如例1) (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线, 只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据 公理3可知这些点在交线上,因此共线.(如例2)

2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连 线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明 两线不可能共面,从而可得两线异面.

3.求两条异面直线夹角的大小,一般方法是 通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问 题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异 面直线夹角的大小与顶点位置无关,往往将角 的顶点取在其中的一条直线上,特别地,可以 取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点 或异面线段的端点.总之,顶点的选择要与已 知量有关,以便于计算,具体步骤如下:

(1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一条, 或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在 特殊的位置上;

(2)证明作出的角即为所求角;
(3)利用三角形来求解.(如例3)

失误防范 1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直 线,而不是分别在两个平面内.一定要理解定 义. 2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线所 成角的范围是(0°,90°].

考向瞭望?把脉高考

考情分析 空间中的位置关系是每年高考必考的知识点之一, 考查重点是异面直线的判定,异面直线所成的 角.题型既有选择题、填空题,又有解答题,难 度为中低档;客观题主要考查异面直线所成角的 概念及求法,主观题考查较全面,考查异面直线 所成角的概念、求法、判定及异面直线的判定, 同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力.

预测2012年高考仍将以考查异面直线所成的 角为主要考查点,重点考查学生的空间想象 能力和运算能力.

真题透析
(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD,下 列命题正确的是________(写出所有正确命题的编 号 ). ①相对棱AB与CD所在的直线异面; ②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高 线的交点; ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这 两条高所在的直线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线 段相交于一点;


⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱长 度之和大于最长棱. 【思路点拨】 画出图形,根据各个命题寻找其 成立的根据,或者寻找其不成立的反例. 【解析】 命题①中,如果AB,CD共面,则四 点A,B,C,D共面,ABCD为平面图形,与 ABCD是四面体矛盾,故命题①正确;

命题②中,如果命题成立,即顶点A在底面BCD上 的射影为底面三角形的垂心,如图(1)所示,则 CD⊥AH,CD⊥BE,根据线面垂直的判定定理, 知CD⊥平面ABH,故CD⊥AB,同理可以证明 AD⊥BC,AC⊥BD,但这些条件在题目的已知中 是不具备的,故命题②不一定成立,即命题不正确; 命题③中,如图(2)所示,当△ABC,△ABD的AB 边上的高的垂足为同一个点时,命题不成立,这种 情况是完全可能的,如当CA=CB,DA=DB时, 故命题③不正确;

命题④中,如图(3)所示,E,F,G,H,I,J 分别为BC,AD,CD,AB,AC,BD的中点, 连接各中点,容易证明四边形EHFG为平行四 边形,故HG,EF相交于一点,且该点平分两 线段,即交点为线段HG的中点,设为O;同理 可以证明HG,IJ也相交于一点,且在该点互相 平分,即线段IJ也过线段HG的中点O,故三组 对棱中点的连线交于一点,故命题④正确;

命题⑤中,如图(2)所示,设最长棱为AC,假设 结论不成立,即不存在端点,则由它引出的另两 条棱的长度之和大于最长棱,即从两个端点A, C引出的两条棱的长度之和均不大于AC,即AB +AD≤AC,CB+CD≤AC,两个不等式相加,得 AB+AD+CB+CD≤2AC,即(AB+CB)+(AD+ CD)≤2AC.在△ABC,△ADC中AB+CB>AC, AD+CD>AB,两式相加得(AB+CB)+(AD+ CD)>2AC,得出矛盾结论,说明假设不成立,故 命题⑤正确.故填①④⑤. 【答案】 ①④⑤

【名师点评】 立体几何中很多命题往往是用反 证法证明,如本题中的命题①、⑤. 这类命题的 特点是没有可以直接利用的定理,直接证明非常 困难,遇到这种情况往往使用反证法解决.证明 空间三线交于一点 ( 这样的问题我们称之为三线 共点),基本思路是先证明两条直线交于一点 (这 只要证明这两条直线共面且不平行 ) ,再证明第 三条直线也过这个点即可.

名师预测 1 .在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,上下底面均为 正方形,则DD1与BB1所在直线是( ) A.相交直线 B.平行直线 C.不垂直的异面直线 D.互相垂直的异面直线 解析:选 A. 由于几何体是四棱台,所以 DD1 与 BB1 延长后相交于一点,即 DD1 与 BB1 所在直线 是相交直线.

2.以下四个命题中,正确命题的个数有( ) ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;② 若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面, 则A、B、C、D、E共面;③若直线a、b共面, 直线a、c共面,则直线b、c共面;④依次首尾 相接的四条线段必共面. A.0 B. 1 C.2 D.3

解析:选 B.①正确,可以用反证法证明;② 从条件看出两平面有三个公共点 A 、 B 、 C , 但是若 A 、 B 、 C 共线,则结论不正确;③不 正确,共面不具有传递性;④不正确,因为 此时所得的四边形四条边可以不在一个平面 上.

3.如图所示,表示一个正方体表面的一种展 开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在 原正方体中相互异面的有________对.

解析:将展开图恢复成正方体后,得到AB和

CD、EF和GH、AB和GH三对异面直线.
答案:3

4.如图所示,在四面体ABCD中,E、F分 别是AC、BD的中点,若CD=2AB=2, EF⊥AB,则EF与CD所成的角等于 ________.

解析: 如图所示, H 为 DA 的中点, 则 FH⊥EF. 1 在 Rt△EFH 中,HE=1,HF= , 2

∴∠EHF=60° , 即 EF 与 CD 所成的角为 30° .
答案:30°

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